最短路问题专题

3 应用举例
3.2 物流配送问题
问题抽象：物流配送问题可以抽象为必须通过指定点的最短路问题。 分两种情况：车辆回到原点；车辆不回到原点。
举例：考虑2点的情况 由始点k1到终点k2，经过指定点t1、t2的最短路经过4个顶点的 顺序只能是如下两种情况，k1→t1→t2→k2和k1→t2→t1→k2. 若要满 足所求得的路是最短路，那么4个顶点中相邻顶点之间的路也一定 是最短路。 于是分别计算k1→t1，t1→t2，t2→k2和k1→t2，t2→t1，t1→k2 之间的最短路；然后前三者相加得d1，后三者相加得d2，比较d1与 d2之值，取较小者作为最终的输出结果。
由此可以看出，算法的时间与随问题规模增大呈指数增长，所以最 短路算法不适合大规模配送问题求解。
考虑经过2点的Matlab程序（见附件）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 应用举例
3.3 多目标运输问题
求次短路 Matlab程序
参考文献： 多目标最短路模型及算法，西南交通大学大学学报
最短路问题算法及应用
主要内容
1 问题描述 2 算法介绍
2.1 dijkstra算法 2.2 floyd算法
3 应用举例
3.1 物流中心选址 3.2 物流配送问题 3.3 多目标运输问题
1 问题描述
定义1 对简单图G的每一边e赋予一个实数，记为w(e)，称为边e的 权，而每边都赋予权的图称为赋权图。 定义2 (u,v)-路的边权之和称为该路的长，而u,v间路长达到最小的 路称顶点u和v的最短路。 在给定赋权图G中，求两个互异顶点间的最短路，简记为最短路问题。
Step3：若dii<0，则存在一条含有顶点vi的负回路，停止；或者k=n停止，否则转入 step2.
Matlab程序（见附件）
3 应用举例
3.1 物流中心选址
步骤： 求出最短路径矩阵U； 矩阵U每一行求和； 最小值行标号为选 址地点。
Matlab程序（见附件）
参考文献： F I oyd最短路径算法在配送中心选址中的应用，湖南农业大学学报
最短路问题是最优化问题之一，广泛应用于生产实践中的许多问 题，如线路安排、厂区选址、设备更新等。
2 算法介绍-dijkstra算法
基本思想：按距离u0由近及远为顺序，依次求得u0到G的各顶 点的最短路和距离，直到v0(或直到G的所有顶点)，算法结束。
算法步骤：
初始化(i=0)：S0={vs}，P(vs)=0, λ(vs)=0，对每一个v≠vs,令T(v)=+∞, λ(v)=M，k=s
令Si+1=Si ∪{vji}，k=ji，i=i+1，转入step1.
Matlab程序（见附件）
2 算法介绍-floyd算法

算法步骤：
Step1：输入图G的权矩阵W，对所有i，j，有dij=wij，k=1；
Step2：更新dij，对所有i，j，若dij>dik+dkj，则令dij=dik+dkj；
Step1：如果Si=V，算法终止，否则转入step2； Step2：考察每个使(vk,vj) ∈ A且vj不属于Si的点vj。如果T(vj)>P(vk)+wkj，则把T(vj) 修改为P(vk)+wkj，把 λ(vj)修改为k，否则转入step3；
Step3：令T(vji)=min{T(vj)| vj不属于Si}。如果T(vji)<+∞ ，则把vji的 T标号变为P标号，