空间中的曲线
常见空间曲线
常见空间曲线
螺旋线：在三维空间中，螺旋线是一种常见的曲线，它通常在一个方向上逐渐远离或靠近。
螺旋线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
摆线：摆线也是一种常见的空间曲线，它描述了一个在固定平面上摆动的物体的路径。
摆线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
玫瑰线：玫瑰线是一种具有周期性的空间曲线，它通常在一个方向上重复出现。
玫瑰线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
波导线：波导线是一种具有波动性质的空间曲线，它通常在两个方向上同时波动。
波导线的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
螺旋面：螺旋面是一种由螺旋线围绕其对称轴旋
转形成的曲面。
螺旋面的方程通常由参数方程表示，其中参数t表示时间，参数s表示沿曲线的距离。
锥面：锥面是一种由通过圆锥顶点的平面截取圆锥表面形成的曲面。
锥面的方程通常由参数方程表示，其中参数u表示截面到圆锥顶点的距离，参数v表示截面与圆锥轴线之间的夹角。
球面：球面是一种由一个点发出的光线聚焦形成的曲面。
球面的方程通常由参数方程表示，其中参数u表示光线与球面中心的夹角，参数v表示光线与球面法向量的夹角。
空间曲线与曲率分析
空间曲线是三维空间中的曲线，可以用于描述物体的运动轨迹、曲面的边缘等。
曲率是指曲线在某一点的弯曲程度，是描述曲线弯曲性的一个重要指标。
空间曲线与曲率分析是研究曲线形状和性质的一门学科。
在空间曲线与曲率分析中，我们可以通过计算曲线在不同点上的切线、法线和副法线来了解曲线的三维形状。
曲线在某一点的切线是曲线在该点的切线方向，切线方向是曲线在该点的切线方向与曲面切平面的交线。
曲线在某一点的切线可以用来描述曲线在这一点的方向和倾斜度，可以帮助我们理解曲线的走向和形状。
曲线在某一点的法线是指过该点的切线垂直于曲线在该点的切线。
法线方向垂直于曲线的切线，并指向曲线凹侧。
对于平面曲线，法线方向和切线方向垂直，但是对于空间曲线，法线方向和切线方向不一定垂直，因为曲线可以在三维空间中有不同的运动和形状。
曲线在某一点的副法线是曲线切线方向和法线方向的叉积。
副法线方向与曲面凹侧垂直，并指向曲线切线方向的反方向。
副法线用来描述曲线在某一点的弯曲情况，可以告诉我们曲线在该点处的弯曲方向和程度。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要指标。
曲线在某一点的曲率可以通过计算该点处的副法线长度得到。
曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大；曲率越小，表示曲线在该点处的弯曲程度越小。
曲线的曲率可以反映曲线在不同点处的形状变化，帮助我们分析曲线的特点和性质。
空间曲线与曲率分析在许多领域都有重要的应用。
在物理学中，空间曲线与曲率分析可以用于描述物体的运动轨迹、电磁场的分布等。
在计算机图形学中，空间曲线与曲率分析可以用于生成真实感的三维模型和动画。
在工程学中，空间曲线与曲率分析可以用于设计曲线形状和优化结构。
总之，空间曲线与曲率分析是研究曲线形状和性质的一门学科，通过计算曲线在不同点上的切线、法线和副法线，以及曲线在某一点的曲率，我们可以了解曲线的三维形状和弯曲程度。
空间曲线与曲率分析在物理学、计算机图形学和工程学等领域有重要的应用，对于理解和应用曲线的形状和性质有着重要的意义。
空间曲线PPT课件
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。
空间曲线
x x0 m t , y y0 n t , z z p t. 0
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例1 设一动点一方面绕一定直线作匀角速度的圆周 运动, 另一方面作平行于该直线的匀速直线运动, 这个 动点的轨迹称为圆柱螺线.试建立其方程. 解 取定直线为z 轴, 动点P 的运动 方向为z轴的正方向. 选取x轴, 使得在t = 0时, P在x轴的正半 轴上. 设此时P的横坐标为a, 角速度为ω, 匀速直线运动的 速率为v. 设在t 时刻, P的坐标 为(x, y, z) . 由P向xoy平面作垂 线,垂足为M (x, y, 0) . 则
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数 t 的函数:
x x(t ), y y (t ), z z (t ).
t (, )
称为空间曲线的参数方程. x x0 y y0 z z0 如直线 的参数方程为 m n p
在三坐标面上的射影曲线方程如何？
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F x, y, z 0, 对于 xoy 面的射影柱面 设曲线 ： Gx, y, z 0 则它在 xoy 面上的射影曲线方程 方程为 F1 ( x, y) 0，
为
F1 ( x, y) 0, z 0.
同理可得曲线在另外两个坐标面上的投影曲线方程. 2 设曲线 xoz对于 xoy 面和 xoz面的射影柱面方程
x 2 ( z 2) 2 1, 4 36 x 2 4 y.
这说明曲线对 xOz 平面的射影柱面是一个方程为
x ( z 2) 1 的椭圆柱面； 而曲线对 xoy 面的射影 36 4
2 2
柱面是方程为 x 2 4 y, x 6 的一截抛物柱面(不是 整个抛物柱面),这是因为由该方程组的第一个方程 知 x 6.
空间曲线的定义
空间曲线的定义
空间曲线的解释：空间曲线是经典微分几何的主要研究对象之一，在直观上曲线可看成空间一个自由度的质点运动的轨迹。
研究空间曲线的有力工具是微积分，我们可以用微积分来推导三个刻划一条空间曲线几何性质的基本几何量，就是弧长、曲率和挠率。
空间曲线的定义：两个曲面相交可以得到空间曲线，而且其解析式可以用两个曲面的方程联立方程组来确定。
但空间曲线可并非全部是两个曲面相交可以得到，比如螺旋线，他的方程使用参数方程表示就更方便。
第三节空间曲线
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置，设 空间 P0 点（即 r(s0 ) r0
）0，时并，且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明（1）以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面，又因为
和 都垂直于切向量 ，所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面， 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为： 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理：
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ，则
除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，
s 使得参数 是曲线的自然参数，并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知（P11） lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。
参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。
本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。
一、什么是参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。
在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。
因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。
通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。
二、参数方程的应用参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。
下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。
1. 直线的参数方程考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。
可以使用参数方程来表示直线上的点。
假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。
则直线L 的参数方程可以表示为：x = x₁ + t(x₂ - x₁)y = y₁ + t(y₂ - y₁)z = z₁ + t(z₂ - z₁)其中，t 是参数，可以取任意实数。
当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。
2. 圆柱面的参数方程圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。
假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数方程可以表示为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθz = c + t*h其中，θ 是参数，表示圆柱面上的点绕着圆心的角度，t 是参数，表示圆柱面上的点在高度方向上的位置。
3. 螺旋线的参数方程螺旋线是一种特殊的曲线，其可以通过参数方程来描述。
空间曲线的表示形式
空间曲线的表示形式
空间曲线是指在三维空间中的曲线，它可以通过多种方式进行表示。
其中最常用的表示方式包括：
1. 参数方程式：空间曲线可以用一组参数方程式来表示。
例如，对于一条曲线C，可以使用参数t来描述它的位置，方程式为x(t), y(t), z(t)。
2. 点向式：空间曲线还可以使用点向式来表示。
点向式是指将
曲线上每个点表示为其在空间中的位置向量，可以用一组向量表示整条曲线。
3. 隐式方程式：隐式方程式是指将曲线的位置表示为一组方程
式的解。
例如，对于一个球面，可以使用x+y+z=r来表示。
4. 参数化曲面：空间曲线还可以使用参数化曲面来表示。
参数
化曲面是指将曲线表示为另一个曲面上的一条曲线。
在参数化曲面中，曲线的位置可以用参数u和v来描述。
无论采用哪种表示方式，空间曲线都能够被完整地描述出来。
在实际应用中，根据需要选择合适的表示方式，可以简化问题的描述和求解。
- 1 -。
空间中的曲面和曲线
柱面,
平行于 x 轴;
平行于 y 轴;
平行于 z 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
母线
柱面,
准线 xoy 面上的曲线 l1.
母线
准线 yoz 面上的曲线 l2.
母线
故所求方程为
例1. 求动点到定点
方程.
特别,当M0在原点时,球面方程为
解: 设轨迹上动点为
即
依题意
距离为 R 的轨迹
表示上(下)球面 .
例：
求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解：
旋转曲面方程为
交线为
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
,它与所给平面的
截线方程为
解
如图,
例
解答
交线方程为
在 面上的投影为
空间曲线的一般方程、参数方程．
( 必要时需作图 ).
三、柱面
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
的坐标也满足方程
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
故在空间
过此点作
柱面.
对任意 z ,
平行 z 轴的直线 l ,
表示圆柱面
在圆C上任取一点
其上所有点的坐标都满足此方程,
定义3.
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
空间曲线及其方程
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
是一个圆,
z 0.
所求立体在 xoy 面上的投影为 x2 y2 1.
填空题
母线平行于x 轴且通过曲线
2x2 y2 z2 16
0 0
消去变量z后得： H( x, y) 0
曲线关于xOy的 投影柱面. C
投影柱面的特征：
此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、 母线垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影) (即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x, y) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面)
2x 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面，
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y x
例2
方程组
z
x
a2 x2 y2
a
2
y2
a2
表示怎样的曲线？
2
4
z
解 z a2 x2 y2
上半球面（如图）
x
a
2
y2
a2
2
在 xOy面上的投影为
x2 y2 3
4
z 0
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
(2) 因为曲线在平面 z 1 上，所以在 xOz面上
2
的投影为线段.
z
1 2
y 0
空间中的曲面和曲线及二次曲面
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
例3. z = xy. 0 1/2 0 解: xy = (x, y, z) 1/2 0 0 0 0 0
x y , z
1 2 1 2 0 先求得正交矩阵Q = 1 2 1 2 0 , 1 0 0 0 1/2 0 1/2 0 0 使QT 1/2 0 0 Q = 0 1/2 0 , 0 0 0 0 0 0
x = acost y = asint z = vt z
(tR
aO x
y
O x
a y
15
a
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
2. 维维安尼曲线 x = a (1+cost) 2 x 2 + y 2 + z2 = a 2 y = a sint (xa/2)2 + y2 = a2/4 2 t z = asin 2
第六章
§6.2
二次型与二次曲面
空间中的曲面和曲线
§6.3
二次曲面
2011. 12. 22
1
第六章 二次型与二次曲面
§6.2 空间中的曲面和曲线
§6.2 空间中的曲面和曲线 曲面的一般方程: F(x, y, z) = 0 曲线的一般方程: F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 曲线的参数方程: x = x(t) y = y(t) z = z(t)
b
y
x 2 z2 y = 0, 2 + 2 = 1 a c x2 y2 z = 0, 2 + 2 = 1 a b
当a, b, c中有两个相等时——旋转面 当a = b = c = R时——半径为R的球面
23
空间曲线的切向量和曲率
空间曲线的切向量和曲率空间曲线是三维空间中的曲线，由于其存在变曲率的特性，切向量和曲率成为了研究空间曲线性质的重要工具。
本文将介绍空间曲线的切向量和曲率的概念，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。
一、切向量在二维空间中，我们可以通过一条曲线的切线来描述该曲线上某一点的方向。
同样，在三维空间中，一条光滑的曲线上任意一点都存在一个切向量，它与曲线在该点处的切线方向一致。
具体地，设曲线为C，参数为t，位置向量为r(t)。
切向量T(t)可以通过导数来定义，即T(t) = r'(t)。
切向量的长度为1，表示曲线在该点处单位切向量的方向。
切向量在曲线的研究中有重要的应用。
例如，切向量的方向可用于确定曲线的运动方向；切向量与法向量的叉乘可获得曲线的副法向量，用于描述曲线在平面上的弯曲性质等。
二、曲率曲率是描述曲线弯曲程度的量。
对于平面曲线，我们可以通过曲率半径来度量；而对于空间曲线，则需要引入曲率向量来描述曲线在三维空间中的弯曲性质。
曲率向量k(t)定义为曲线的切向量的导数。
具体而言，若切向量为T(t)，则曲率向量等于切向量的导数除以曲线的长度：k(t) = T'(t)/|r'(t)|曲率向量的长度即为曲率，记作k(t)，它表示曲线在该点处的曲率大小。
曲线的曲率越大，其弯曲程度也越大。
曲率向量的方向则由法向量给出，记作N(t)。
法向量是与切向量和副法向量垂直的单位向量，它垂直于曲线所在平面，并指向曲线的凸侧。
三、应用空间曲线的切向量和曲率在几何学和物理学中都有广泛的应用。
在几何学中，切向量和曲率的概念为曲线的研究提供了工具和方法。
通过切向量和曲率的计算，我们可以确定曲线的弯曲性质，并对曲线进行分类和描述。
例如，闭合曲线的曲率是常数，而直线的曲率为零。
在物理学中，切向量和曲率的概念被应用于描述物体的运动和形状。
例如，对于四维时空中曲线的描述，切向量可以表示物体的速度和方向，曲率可以表示物体的加速度和曲率变化率。
三维空间中的曲线
三维空间中的曲线是立体世界的精髓所在，它们以各种华丽的形态和独特的风格展现着无尽的美感。
在三维空间中，曲线可以是一条优美的弯曲线，可以是一组相互交错的螺旋线，也可以是一个复杂的曲面流线。
无论形态如何，三维空间中的曲线都具有一种令人心驰神往的魅力。
首先，三维空间中的曲线给人一种无限延伸的感觉。
想象一下，当我们在空中看着一条曲线，它可以穿越远方的天际线，延伸到无尽的远方。
这种视觉效果使曲线看起来既有力量又富有动感，给人一种亘古不变的感觉。
无论是在自然界中的山脉蜿蜒曲折的线条，还是在现代建筑中的动感曲线设计，都展现了三维空间中曲线无限延伸的魅力。
其次，三维空间中的曲线可以带来一种视觉上的愉悦感。
曲线的动感和流畅性使人们感到放松和舒适。
当我们看到精巧而细致的曲线穿行在庭院中，或者在雕塑作品中看到曲线的凌乱和紧密编织，都会让我们感到一种视觉上的愉悦。
曲线可以打破直线的刚硬和生硬感，给人一种柔和而优雅的感觉。
这也是为什么曲线在设计和艺术领域被广泛应用的原因。
此外，三维空间中的曲线还可以引导我们的视线和思维。
曲线的独特形态和动感使得它具有一种引导人们视线的能力。
通过合理运用曲线，可以引导人们的视线聚焦于主体或者创造一种流动感，使观者在观察时可以有所收敛。
而思维的引导方面，曲线则可以通过展示其独特的形态和结构，激发人们的想象力和创造力。
当我们看到一条迷人的曲线时，我们不禁会思考它是如何形成的、它所代表的意义以及它所展现的故事。
这种思维引导作用使得曲线不仅仅是一种形态，更可以拓宽我们的思维空间。
最后，三维空间中的曲线可以给人一种力量和自信的感觉。
曲线的弯曲性和独特形态使得它具有一种个性和特殊的魅力。
在现代建筑中，许多设计师选择使用曲线来展现建筑的个性和独特性。
一些著名的建筑作品，如悉尼歌剧院和迪拜帆船酒店，都是以曲线为基调设计，因而在建筑界具有重要的地位。
曲线的力量和自信感也可以在其他领域中见到，如雕塑、家具设计等等。
空间曲线简介
V3 V3 1
x = -—Rcosd, y = -—RsinO, z = -R .
2
2
2
第59讲空间曲线
空间曲线及其方程
例4方程组 Z = J&2 —— 丁2
'表示怎样的曲线？
【例4解】 X2 + y2 — Rx = 0 Z = JR2 _ x2 — y2表示球/[ 在
(0,0,0),半径为R的上半f
由空间点F(x,y ’z)在xOy,yOz,xOz平面上的投影分别为(x,y ,0)s (0, y, z)、(x, 0, z),很容易求得曲线在各坐标面上的投影曲线.
例如，曲线厂在％Oy平面上的 投影曲线为
x = %(t),
。秽：y = y(t), € 仕0』*1])
<z = 0
第59讲 空间曲线——投影柱面与投影曲线
椭圆
5
z = h.
用z。％截得的截痕为
x2 z2 1,
C2
J = 0・
截痕为实轴为％轴，虚轴为Z轴的双曲线.
第59讲 空间曲线——用截痕法研究曲面
用平行于zO%面的平面,=kg ±b）截得的截痕为
x1 z2 k1
T —点
<a c b
，=k・
当k2<b2时实轴平行于x轴的双曲线. 当k2 > b2时,实轴平行于z轴的双曲线. 当丁二±b时，则交线为一对直线.
第59讲空间曲线
用截痕法研究曲面
例10试用截痕法考察双曲抛物面的图形特征. 【例10解用】xO双y面曲截抛曲物面面时方，程截为得-为' +一」2 对=2相?.交Q b于于原点的直线
—+2-°，或一一2一饥
二 一丁
空间曲线与曲面的切线与法线的性质与计算
在空间曲线中，法线通常指的是与切线垂直的直线。对于参数方程表示的曲线，其法线方向可以通过切线方向的 叉积得到。具体地，可以选取另外两个不共线的向量与切线方向向量进行叉积运算，得到法线方向向量。
隐函数表示下计算方法
切线计算
对于隐函数表示的曲线 F(x,y,z)=0，其切 线方向可以通过求解隐函数的梯度得到 。具体地，切线方向向量为 grad F = (Fx, Fy, Fz)，其中 Fx、Fy、Fz 分别为 F 对 x、y、z 的偏导数。
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空间曲线与曲面的切
线与法线的性质与计
算
汇报人：XX
2024-01-30
REPORTING
• 曲线与曲面基本概念 • 切线与法线定义及性质 • 空间曲线切线与法线计算 • 曲面切线与法线计算 • 切线与法线在几何中的应用 • 总结与展望
目录
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PART 01
曲线与曲面基本概念
REPORTING
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THANKS
感谢观看
REPORTING对于隐函源自表示的曲面$x^2+y^2-z=0$，在点$(1,1,2)$处的梯度向量为${2,2,1}$，因此切线方向垂直于该向量，法线方向与该向量平行。
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PART 05
切线与法线在几何中的应 用
REPORTING
曲线曲面交点问题
01
切线与法线用于求解曲线或曲面之间的交点，通过 联立方程求解。
02
在计算机图形学中，交点检测是碰撞检测、光线追 踪等算法的基础。
03
对于复杂曲线或曲面，可能需要采用数值方法逼近 求解交点。
最小距离和最大距离问题
01 切线与法线可用于求解点到曲线或曲面的最小距 离和最大距离。
空间曲线的符号
空间曲线的符号
空间曲线可以用符号表示为：x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中t 为参数。
空间曲线可以看作是空间中一个点运动的轨迹。
在三维空间R3的直角坐标系中，点的运动可以用一组参数方程表示，即x、y、z都成为t的函数。
这个参数t表示点在运动过程中的时间，可以是实数也可以是复数。
通过引入参数t，可以将坐标用t表示，从而得到空间曲线的参数方程。
在构建空间曲线的参数方程时，可以根据具体的几何条件和物理条件进行推导和计算。
此外，空间曲线还可以通过两个空间曲面的交线得到。
通过选择两个适当的曲面，并求它们的交线，可以得到一个特定的空间曲线。
这种方法在几何学和工程学中经常被使用。
总之，空间曲线的符号表示是使用参数方程来表示点的运动轨迹，通过引入参数t，可以将坐标用t表示，从而得到空间曲线的参数方程。
空间解析几何中的曲线与曲面
空间解析几何中的曲线与曲面空间解析几何是研究空间中点、直线、曲线和曲面的位置和性质的数学分支。
其中，曲线与曲面是解析几何中的重要概念，它们在数学和工程学科中都有广泛的应用。
本文将从曲线与曲面的定义、性质以及应用角度出发，对空间解析几何中的曲线与曲面进行详细的探讨。
一、曲线的定义和性质曲线是一个一维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲线可以用参数方程或者一般方程来表示。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲线上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲线的方程。
一般方程则是通过将曲线上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲线的方程。
常见的曲线有直线、圆和椭圆等。
曲线的性质包括长度、曲率和弧长等。
长度是曲线上两点之间的距离，可以通过弧长公式进行计算。
曲率是曲线上某一点的弯曲程度，可以通过求曲线的曲率半径来衡量。
弧长是曲线上某一部分的长度，可以通过积分来计算。
这些性质在数学、物理和工程学科中都有广泛的应用。
二、曲面的定义和性质曲面是一个二维的几何对象，由无数个连续的点组成。
在空间解析几何中，曲面可以用一般方程或者参数方程来表示。
一般方程是通过将曲面上的点的坐标表达为变量的代数方程，得到曲面的方程。
参数方程是通过引入一个或多个参数，将曲面上的点的坐标表达为这些参数的函数，从而得到曲面的方程。
常见的曲面有平面、球面和柱面等。
曲面的性质包括方程、切平面和切线等。
方程是确定曲面上的点的代数关系，可以通过给定条件求解得到。
切平面是曲面上某一点的切线和曲面法线组成的平面，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
切线是曲面上通过某一点的曲线，可以用于确定曲面上某点的切线方向。
这些性质在计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域中具有重要的应用。
三、曲线与曲面的应用曲线与曲面在数学和工程学科中有广泛的应用。
在数学领域，曲线与曲面是微积分和线性代数的基础概念，它们被用于描述和解决各种数学问题。
在工程学科中，曲线与曲面是计算机图形学、工程建模和物理模拟等领域的核心概念，它们被用于进行几何建模、图像处理和仿真分析等工作。
空间曲线的参数方程与性质
空间曲线的参数方程与性质曲线是数学中的重要概念之一，而空间曲线则更加复杂而有趣。
本文将介绍空间曲线的参数方程与性质，探讨其在数学和物理中的应用。
一、参数方程的概念及意义参数方程是描述曲线的一种方法，通常用一组参数表示曲线上的坐标。
在空间曲线中，常用的参数有时间t或者弧长s。
通过参数方程，我们可以清晰地描绘出空间曲线的形状和位置。
以二维曲线为例，一条曲线可以用二维向量表示为r(t)=(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)是关于参数t的函数。
同理，空间曲线可以用三维向量表示为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中x(t)，y(t)，z(t)是关于参数t的函数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以探索曲线的不同部分。
二、空间曲线的参数方程的性质1. 曲线的方向：参数方程中的参数t通常是单调变化的，因此我们可以通过观察参数t的变化来确定曲线的方向。
例如，如果随着参数t的增加，曲线逐渐从一个点向另一个点移动，则可判断曲线的方向为从前者指向后者。
2. 曲线的长度：通过参数方程，我们可以计算曲线的长度。
一条空间曲线的长度可以通过积分来求解，即L = ∫[a,b]√[x'(t)² + y'(t)² +z'(t)²]dt，其中[a,b]是参数t的取值范围。
3. 曲线的切线与法线：通过求导数，我们可以得到曲线在某一点处的切线和法线方向。
曲线的切线方向由一阶导数表示，即r'(t)=(x'(t),y'(t), z'(t))。
曲线的法线方向由二阶导数表示，即r''(t)=(x''(t), y''(t), z''(t))。
4. 曲线的曲率：曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的指标。
曲线的曲率可以通过计算曲线切线的变化率来求解，即k = |r'(t) × r''(t)| / |r'(t)|³，其中"×"表示叉积运算。
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2
2
Solution :
v F ¢(t) = <-
sin t , cost , 1 >
\
The equation of
tangent line
The direction vector is < - sin t , cos t , 1> t= p
2
= <- 1, 0 , 1 >
{ x = 0+ (- 1)t y = 1+ (0)t t Î R z = p + (1)t 2
where f1 , f2 , f3 real value functions
Example
Sketch the graph of the function uv F(t) = < cos(t) , sin(t) , t >
Helix
Tangent Vector
Definition :
v
v
v
F ¢(t) = lim D F = lim F (t + Dt) - F (t)
from the point (1,0,0) to the point (1, 0 , 2p)
Solution : Q t from 0 to 2p
2p
ò s =
(- sin t)2+ (cos t )2 + 1 dt
0
2p
2p
ò =
2 dt = 2t = 2 2p
0
0
Motion in Space
uuuv P0P =
t
vv
< x - x0, y - y0, z - z0 > = t < a,b, c >
{ x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct
where t is the parameter
Example
Find an equation of the line through the point (1, 2,3) and parallel to the vector < 5, 6, 7 >
Dt瓺0 D t
t? 0
Dt
F ¢(t) = < f1ⅱ(t) , f2 (t) , f3?(t) >
Example
Find the tangent line of the vector v
function F(t) = < cos t , sin t , t >
at t = p , i.e. the point (0 , 1, p )
本單元內容還有許多因為時間關係，本單元 還有許多內容無法在此介紹
uv Example(continued)
V (2) = < 4 , 8 , 12 > =
42 + 82 + 122
= 16 + 64 + 144 = 224
v a(t) =
Ruuvⅱ(t) = <
2, 4
v a(2) = < 2 , 4 , 12 >
, 6t >
單元結語
空間中的曲線對於更進一步的課程 (1)向量分析 (2)微分幾何 (3)理論力學中軌道的分析(行星運動軌跡)， 都非常有幫助。
Solution :
{ x = 1+ 5t y = 2 + 6t t Î R z = 3+ 7t
Plotting Space Curve
Curves in Three-Space
Vector - Value Functions :
uv F(t) = < f1(t) , f2(t) , f3(t) >
uv Position Vector : R(t)
Velocity :
V (t) =
uv d R(t)
=
uuv R ¢(t )
dt
uuv Speed : V
Acceleration :
av(t) =uv dV Nhomakorabeat) =
Ruuvⅱ(t)
dt
Example
A particle's position at time t is uv R(t) = < t2 , 2t2 , t3 >
Smooth Curve
Definition :
uv
A curve
smooth
igfivFueunvⅱbisy
a vector function
continuous and
uFuvis F¹
called
0
Exampuvle :
uv
Let F = < 1+ t3 ,t2 > , determine weather F is
Lines and Curves in 3-Space
Straight Lines:
{a1x + b1y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c2 z = d2
Parametric Equation for the line
vv = < a,b, c > is called
direction vector
smooth?
Soluuuvtion :
uuv
F¢(t) = < 3t2 , 2t > F¢(0) = < 0 ,0>
uv
\ F is not smooth at t = 0
Example :
Smooth Curve
uuv F¢(t) = < 3t2 , 2t >
uuv F¢(0) = < 0 ,0>
uv
\ F is not smooth at t = 0
Example
Sketch the graph of the function
uv
F(t) = < t , t2 , t3 >
x
y
z y
z x
Example
Sketch the graph of the function uv
F(t) = < (2 + sin 40t)cos t , (2 + cos 40t)sin t , cos 40t >
Find the particle's (1) Velocity (2) Speed
(3) Accerlation at time t = 2
Solution :
uv uuv
V (t) = R¢(t) = < 2t , 4t , 3t2 >
v a(t) =
Ruuvⅱ(t) = <
2,4
, 6t >
uv V (2) = < 4 , 8 , 12 >
Torus Spiral
Arc Length
uuv Vector function F = x(t), y(t), z(t)
b
ò s =
[x¢(t)]2+ [ y¢(t)]2+ [z¢(t)]2 dt
a
b uuv
ò =
F ¢(t) dt
s
a
Example
uv Find the length of helix F (t) = < cos(t) , sin(t) , t >