材料力学课件第七章平面弯曲应力

X 0 N2 N1 dQ
N1
dA
A
A
M IZ
dA
M IZ
SZ
N2
M
dM IZ
SZ
dQ bdx
dM SZ
dx bIZ
Q SZ
b IZ
b
h
Q
S
h
2
bd
b
( h2
y2)
y
24
2 h
z y y
或： y y 1 (h y) 1 (h y) 22 22
2 A
S
A y
解：1、作内力图
Q 15
Mmax 20kNm , Qmax 15kN
5
2、强度计算
-5
-15
max
M max WZ
[ ]
M 15
20 15
WZ
M max
[ ]
125cm3
选No.16工字钢： WZ 141cm3
若用切应力确定：
d 6mm IZ 13.8cm
max
Qmax A
[ ] A 11.25cm2
Q ql qx 2
M ql x q x2 22
Q ql M
ql2
m ax
2
m ax
8
§7-1
弯曲内力
规律总结： 1、集中力作用： 剪力图：突跳
方向与F方向相同 突跳值等于F
弯矩图：连续但有转折 1、集中力偶作用： 剪力图：无变化 弯矩图：突跳
顺时针向上突跳 逆时针向下突跳
突跳值等于M
§7-1 弯曲内力
开口向上的 抛物线
§7-1 弯曲内力
当q const 0时：
Qa Qb
弯矩图为开口向 AaQb 0
下的抛物线
AaQb 0
剪力图向下 斜直线
开口向下的 抛物线 开口向下的 抛物线
§7-1 弯曲内力
弯曲内力
剪力和弯矩以及符号规定
剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图
突跳规律：
1、集中力作用处
剪力图： 突跳 方向与F相同 突跳值等于F 弯矩图： 连续但有转折
h
max 4l
b
max
h
故：对于一般细长梁剪应力可以忽略不计。
但以下一些梁，剪应力不能忽略：
● 木梁、焊接梁；
● 粗短梁；
● 有较大集中力作用在支座附近。
10kN 10kN 10kN 已知：[ ] 160MPa , [ ] 40MPa ,
A
E 求：选择工字钢型号。
BC
D
1m 1m 1m 1m
开口向下的抛 物线（向下走）
1 qa 2 1 qa 2
1 qa2 8
§7-1
5 qa 2 qa
3 qa 2
弯曲内力
解：支反力
MB 0,M A 0
1
5
RA 2 qa, RB 2 qa
Q 1.5qa max
M qa2 max
- qa2
§7-1 弯曲内力
例：求下梁的剪力弯矩图
解：支反力
RA
7.1.4剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图 描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化规律的方程
解： 1、求支反力
MB
O
RA
F 3
MA
O
RB
2F 3
2、求各截面内力
1-1截面
Q1
F 3
M1
Fx 3
2 - 2截面 Q2
-
2F 3
M2
Fa
2Fx 3
Q2
3- 3截面
-
2F 3
M2
2F（3a 3
x）
§7-1 弯曲内力
第7章 平面弯曲
§7-1
7.1.1概述： 一、工程实例
弯曲内力
外力特征： 力偶或外力作用垂直于杆轴 变形特征： 杆件轴线由直线变为曲线
把以弯曲为主要变形的杆称为梁
§7-1
二、静定梁的基本形式
弯曲内力
简支梁
外伸梁
悬臂梁
三个平衡方程，三个支反力 三、外荷载的基本形式
集中力 集中力偶 分布力
静定梁 计算简图
max
M WZ
max
M WZ
h
§7-2 弯曲应力
例题 图示悬臂梁，P 5KN，l 1m, 40MPa， 90MPa
解： Mmax 5KN.m IZC 533cm4
y 100
20
1
*
zc
100 2 80
z 20
固定端： ym ax 40mm, ym ax 80mm
b( h
y) y
b
h2 (
y2)
2
24
max
Q
b (h2 24
b bh3
y2)
6Q bh3
(h2 4
y2)
12
y h 2: 0
dx
y
0:
max
3Q 2bh
3Q 2A
二、其它形式截面梁：
圆形截面梁：
max
4Q 3A
薄壁圆环截面：
max
2Q A
工字形截面：
max
QS
*
max Z
d IZ
M b M a AaQb
§7-1 弯曲内力
三、讨论 当q 0时：
Qa Qb 剪力图水平
弯矩图
AaQb 0
向上斜直线
AaQb 0
向下斜直线
§7-1 弯曲内力
当q const 0时： Qb Qa
弯矩图为开口向 上的抛物线
AaQb 0 AaQb 0
剪力图向上 斜直线
开口向上的 抛物线
54cm4Biblioteka Baidu
y 20mm, M y 33.3MPa
IZ
m ax
M I
ymax
900 0.03 54 104
50MPa
横放时 I Z
hb3 12
60 303 12
13.5cm4
m ax
M IZ
ymax
900 0.15 13.5104
100MPa
2 max
§7-2 弯曲应力
A
B x
截面的尺寸，并比较其 重量
l= 2m
D
D d
b
h
z
z
z
y
y
y
Dd 2
hb 2
工字钢
解： 1、圆形
D1 3
Mmax 32
78.2mm
2、圆环
D2
3
M max
（1
- 03.254）
79.9mm
3、矩形
b
Mmax 6
4
41.3mm
A1 48cm2 A2 37.6cm2 A3 34cm2 A4 14cm2
例题 已知图示简支梁 a＝180mm，F=5KN，截面尺寸 b h 30 60mm4
的矩形。 F
F
求：（1）截面竖放时中性层20mm
A C
a
B
D
a
处的正应力和最大正应力
， max
（2）截面横放时最大正应 力 m ax
解： M Fa 5103 0.18 900N.m
竖放时IZ
bh3 12
30 603 12
2、材料 E E
3、纯弯曲与剪切弯曲 4、微曲梁
弯曲应力
平衡条件：
1、 X 0
AdA
A E
y dA
E
A
ydA
E
S
2
0
中性轴z通过截面形心
2、my 0
zdA E
A
A
zydA
E
I
yz
0
yz轴为形心主惯性轴
3、mz M
ydA E
A
A
y 2 dA
E
Iz
M
1 M
EI Z
曲率变化量
§7-2 弯曲应力
求图示梁的内力图
解：1、剪力和弯矩方程
Qx qx 0 x l M x q x2
2
2、作剪力和弯矩图
Q ql max
ql 2
M
max
2
3、规律：
剪力图为斜直
线q向下剪力图向下斜 弯矩图为开口向下的抛物线
顶点处剪力为零
§7-1 弯曲内力
7 1- 3、M、Q、q的微积分关系
一、微分关系（a, b区间连续可微）
M1
Fx 2
Q2
-
F 2
M2
F（l 2
x）
Q F M
Fl
max
2
max
4
求内力图
§7-1
弯曲内力
解：
1、支反力 RA 2、内力方程
-RB
m l
Q1
l m
M1
mx l
Q2
m l
M2
m（ x l
1）
Q F M
Fl
max
2
max
4
求内力图
§7-1
弯曲内力
解：
1、支反力
RA
RB
ql 2
2、内力方程
P2
纵向对称 面
F
A AC a
F +
§7-2
F
B
D
a
弯曲应力
剪切（横力）弯矩 Q 0, M 0
纯弯曲
Q 0, M 0
mM
+ F
m
m FS
m M
mFS
m
弯曲内力如何在横截面上分布 -------超静定问题
§7-1 弯曲应力
二、纯弯曲正应力
m1
m2
a1
a2
o1
o2
b1
b2
一、变形观察
1、横向线仍为直线，但相对转动d 2、纵向线由直线变成曲线，
qa2 2 2a
qa 4
5qa RB qa RA 4
Q
qa
qa 4
M
Q qa max
M
qa2
max
2
qa2 2
§7-2 弯曲应力
一 、概述
本章研究范围：等直梁平面弯曲 平面弯曲：梁的横截面具有纵向对称线，所有纵向 对称线组成的纵向对称平面外载荷作用在纵向对称 平面内梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面 曲线。
三、弯曲正应力强度条件
max
Mymax Iz
WZ IZ ymax
max
Mym- ax Iz
WZ- IZ ym- ax
b
D
I
Z
bh3 12
d
y
z W bh2 6
z y
M
z
O
x
y
WZ、WZ-截面抗弯系数
IZ
πD4 64
(1 4)
W πD3 (1 4 )
32
α d D
α d D
弯曲正应力强度条件
Q Q A腹板 dh0
h h0 d
max
三、剪应力强度条件
max
注意：对于受弯曲变形的构 件，一般采用正应力强度条 件进行设计，再采用剪应力 强度条件进行校核。
比较矩形截面悬臂梁的最大正应力和最大剪应力。
F
l
解： M Fl , Q F
max
max
max
6Fl bh 2
, max
3F 2bh
2、集中力偶作用
剪力图： 无变化 弯矩图： 突跳 突跳值等于m 微积分关系 （假定q向上为正）
顺时针向上突跳 逆时针向下突跳
§7-1 弯曲内力
利用规律作图-----直接作图法
当q 0时：
Qa Qb 弯矩图水平
弯矩图
AaQb 0
AaQb 0
向上斜直线 向下斜直线
§7-1 弯曲内力
当q const 0时：
max
M .5 Wz
5 106 533104
40 37.5MPa
max
M Wz
5 106 533104
80
75MPa
构件安全
5KN.m
讨论：若将截面倒置，结果如何？
§7-2 弯曲应力
例题 已知简支梁的最大弯矩 M max 7.5KN.m, 160 MPa
q=15kN/m
求：按正应力强度最条 件选择下列
三、剪力图与弯矩图
1-1截面
Q1
F 3
M1
Fx 3
2 - 2截面
Q2
-
2F 3
M2
Fa
2Fx 3
3- 3截面
Q2
-
2F 3
M2
2 F（3a 3
x）
Q 2F M
2Fa
max
3
max
3
力区：能够用一个方程描述内力变化的区间。
求内力图
§7-1
弯曲内力
解：
1、支反力
RA
RB
F 2
2、内力方程
Q1
F 2
力学模型
Q图 M图
裂纹发生在枕木的中间 如何解释？
q
若弯矩引起的破坏应当 如何？
剪力引起的破坏 剪力的分布——切应力
7-2-2 弯曲切应力（剪应力）及强度条件
F
h
dx
b
M
QM
Q dx M+dM
M+dM
dx z
y
dQ
N1
’
A* N2
y
一、矩形截面梁： b＜ h （1）假设所有的 都平行于 y （2）假设同一高度 y 处 相等
max
选择No.10工字钢。
Qmax
S
SZ Z
18.1MPa
[
]
d IZ
5-5 提高弯曲强度的措施
● 目的：保证静强度的前提下，尽可能地节省材料
● 思路：重点考虑正应力的强度
max
M WZ
[ ]
● 措施：一、支承和载荷的合理安排，使M减小；
● 支承点不要设在梁的两端；
§7-1 弯曲内力
7.1.3梁的内力和符号规则
QF M Fx
垂直轴线，平行横截面， 称为剪力。
矢量方向垂直轴线， 称为弯矩。
Q Q' M M'
大小相等，方向相反 作用力与反作用力
符号规则：外法线顺时针转900 为剪力正方向；使横梁凹面向 上的弯矩为正弯矩。
试判断上例的 内力符号
§7-1 弯曲内力
A1：A2：A3：A4 3.43：2.69：2.43： 1
4、工字形
WZ
M max
46.9mm3
取10号工字钢 WZ 49mm3
复习 弯曲正应力
中性层 中性轴 用z表示
y
M y
Iz
强度条件：
max
M Wz
[ ]
1 M
EI z
曲率变化量 EIz 抗弯刚度
m
ax
M Wz
[ ]
Wz抗弯系数
1、正应力公式推导
几何关系：（看 b1b2的变化）
dx b1b2 o1o2 o1o2 d b1b2 y d
b1b2 b1b2 ( y)d d
b1b2
d
y
2、物理关系
E E y
问题：中性层（ y的起点）在哪里？ 1 怎样算？
§7-2
M y
IZ 公式适用条件（平面弯曲） 1、线弹性
Qx dQ Qx qxdx M x dM M x Qxdx qxdx dx
2
§7-1 弯曲内力
一、积分关系（a, b区间连续光滑）
b
dQ
b qxdx
a
a
Qb Qa Aaqb
b
dM
b Qxdx
a
a
M b M a AaQb
注意：q向上为正，向下为负
Qb Qa Aaqb
Qb Qa
弯矩图为开口向 上的抛物线
AaQb 0 AaQb 0
剪力图向上 斜直线
开口向上的抛 物线（向上走）
开口向上的抛 物线（向下走）
§7-1 弯曲内力
当q const 0时：
Qa Qb
弯矩图为开口向 下的抛物线
AaQb 0 AaQb 0
剪力图向下 斜直线
开口向下的抛 物线（向上走）
有些伸长，有些缩短 3、纵向线与横向线仍垂直
n1
n2
dx
b
二、平截面假设 横截面在平行弯曲后仍然保持平面
三、推理
h
d
y
z 1、横截面上无剪应力
M
m1
a1
o1
b1
n1
m2
M 2、横截面上存在正应力
a2 o2
3、既不伸长又不缩短纤维层， 称为中性层
b2
n2
中性层与横截面的交线，叫中性轴，z轴表示
§7-2 弯曲应力