第一型曲线曲面积分22834

高等数学-第七版-课件-20-1 第一型曲线积分

2 2
π
0
a 3 π.
数学分析第二十章曲线积分
高等教育出版社
§1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
例2 设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
y
A
y2 4 x

L
yds
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i ) 2 ( i )t i ,
这里 ti 1 i, i ti .

L
f ( x , y )ds f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt (3)
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 f i ( x , y )ds( i 1, 2, , k ) 存在, ci ( i 1, 2, , k )
L
为常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t2 ,, tn }, 则当 T 0 时, 必有 t 0. 下面证明 lim 0.
数学分析第二十章曲线积分
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线段上的第一型曲线积分 . 此类积分的典型物理背景是求非均匀分布的曲线状物体的质量.

第一型曲面积分(北工大)课件

利用对称性简化计算
总结词
利用曲面的对称性质，简化第一型曲面积分的计算。
详细描述
如果曲面具有对称性，例如关于x轴、y轴或原点对称，我们可以利用这些对称性质来简化第一型曲面积分的计算。通过选择适当的坐标系或改变积分的顺序，可以减少需要计算的定积分数量或简化计算过程。这种方法要求对曲面的对称性有深入的理解和分析。
02
微分学主要研究函数的变化率，包括极限理论、导数、微分等
概念。
积分学则研究函数的累积量，包括不定积分、定积分等概念。
03
曲面积分在微积分中的地位
曲面积分是微积分中一个重要的概念，它涉及到二维平面和三维空间的曲面。
曲面积分可以用来计算曲面上的面积、体积和其他几何量，是解决实际问题的重要工具。
物理意义
曲面积分在物理中有重要的应用，如计算流体流过曲面时的流量、计算磁场穿过曲面的通量等。
物理应用
在物理中，曲面积分可以用来解决许多实际问题，如计算管道内的流体压力、分析电磁波的传播等。
02
第一型曲面积分的计算方法
投影法
总结词
将曲面投影到某一坐标平面，将第一型曲面积分化为二重积分，从而简化计算。
性质
曲面积分具有线性性质、可加性、对称性等基本性质，这些性质在计算曲面积分时非常重要。
曲面积分的几何意义
几何意义
曲面积分可以理解为在曲面上沿着某个方向的面积的累积，这个累积的过程可以用定积分来计算。
几何应用
曲面积分在几何上有着广泛的应用，如计算曲面面积、求曲面上的质心等。
曲面积分的物理意义
第一型曲面积分(北工大)课件
xx年xx月xx日
• 曲面积分的基本概念 • 第一型曲面积分的计算方法 • 第一型曲面积分的应用 • 第二型曲面积分与第一型曲面积

1 第一型曲线积分

L
f ( x , y , z )ds .
如果 L 是闭曲线 , 则记为

L
f ( x , y , z )ds .
2.积分性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z)ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
1 i n
, n). 若有极限
lim f ( i , i )si J ,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此极限为 f ( x, y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作

L
f ( x , y )ds .
若 L为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上的第一型曲线积分, 并且记作
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
为小曲线段 i 的长度. 于是在整个上的质量就近似地等于和式
f ( P ) .
i 1 i i
n
(3) 当对的分割越来越细密(即 d max i 0 )
1 i n
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (2)
令 t max{t1 , t 2 ,
t 0
, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
注2：当曲线 L 由方程 y ( x ), x [a , b] 表示, 且 ( x ) 在

第一型曲面积分

|| T || 为分割 T 的细度，即为诸
Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面,
f 为( x, y, z)
定义在 S 上的函数. 对曲面 S 作分割 T, 它把 S 分成
n 个小曲面块 Si (i 1, 2, L , n), 以 Si 记小曲面块
Si 的面积, 分割 T 的细度
D
其中
E xu2 yu2 zu2 , F xu xv yu yv zuzv , G xv2 yv2 zv2 .
例2 计算
I z dS , 其中 S 为 S
螺旋面(图22-3)的一部分:
z
x ucos v,
S
:
y
u sin
v,
(u,v)
D
,
2
z v,
O
(a, 0, 0)
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
于是, 前述曲面块的质量可由第一型曲面积表示为:
特别地, 当
块 S 的面积.
m ( x, y, z)dS . S
f ( x, y, z) 1 时,曲面积分
dS 就是曲面
S
二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理 22.1
z
例1 计算
S z dS , 其中 S
h
是球面 x2 y2 z2 a2 被
平面 z h (0 h a) 所截
O
a
x
y
得的顶部 (图22-1).
图 22 1
解曲面 S 的方程为 z a2 x2 y2 , 定义域 D 为
圆域 x2 y2 a2 h2 . 由于
1 zx2 zy2

第一型曲面积分

二、第一型曲面积分的计算
第一型曲面积分需要化为二重积分来计算.
定理22.1 设有光滑曲面
S : z z( x , y ) , ( x , y ) D ,
f ( x , y , z ) 为 S 上的连续函数, 则

S
2 f ( x , y , z )dS f ( x , y , z ( x , y )) 1 z x z 2 dxdy . y D
(2)
( 定理证明与曲线积分的定理20.1相仿, 不再详述. )
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例1 计算

S
1 dS , 其中 S z
a
x
z
h
是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被
O
平面 z h (0 h a ) 所截得的顶部 (图22-1).
2
y
图 22 1
2 2
解曲面 S 的方程为 z a x y , 定义域 D 为
a 2 h2
0
a r dr 2 2 a r r dr 2 2 a r
2 a 2 h2 0
πa ln(a r )
2
a 2aπ ln . h
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例2 计算
( xy zx yz )dS ,
S
z
其中 S 为圆锥面 z
x2 y2
O
被圆柱面 x 2 y 2 2ax 所割下的部分 (图22-2). 解对于圆锥面 z 有
EG F 2 1 u 2 .
然后由公式 (3) 求得:
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I v 1 u dudv vdv
2 0 D

第一型曲面积分计算方法

第一型曲面积分计算方法第一型曲面积分是数学中的一个重要概念，它是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。

在实际应用中，第一型曲面积分被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

本文将介绍第一型曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、第一型曲面积分的定义第一型曲面积分是对曲面上某个向量场在曲面上的积分。

具体来说，设曲面S是一个光滑的有向曲面，其方程为r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中(u,v)∈D是S的参数域，f(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是一个向量场，则第一型曲面积分的定义为：∬Sf·dS=∬Df(r(u,v))·|ru×rv|dudv其中，f(r(u,v))表示向量场在曲面上某一点的值，|ru×rv|表示曲面元素的面积，dudv表示参数域D上的面积元素。

二、第一型曲面积分的计算方法计算第一型曲面积分的方法有两种：参数化计算法和向量场计算法。

1. 参数化计算法参数化计算法是通过将曲面S的参数域D映射到一个矩形区域上，然后将曲面积分转化为二重积分来计算。

第一型曲面积分

第一型曲面积分
一、第一型曲面积分的概念
定义1：设S是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S上的函数，对曲面S作分割T，它把S分成n个小区面块Si (i=1,2,...,n).以ΔSi记小曲面块Si的面积，分割T的细度||T||=max(Si) (i=1,2,...,n),在Si上任取一点（）（ξi,ζi,ηi）(i=1,2,...,n),若极限lim||T||→b0∑inf(ξi,ηi,ζi)ΔSi存在，且与分割T及(ξi,ηi,ζi) (i=1,2,...,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S的第一型曲面积分，记作∫∫f(x,y,z)dS .
注：当f(x,y,z)≡1时，曲面积分∫∫dS就是曲面块S的面积。

二、第二型曲面积分的计算
定理22.1：设有光滑曲面，：S：z=z(x,y),(x,y)∈D为S上的连续函数，f(x,y,z)
为S上的连续函数，则：∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy .
第一型曲面积分公式。

eg1:计算∫∫dSz ,其中S是球面x2+y2+z2=a2 ,被平面z=1(0<h<a)所截的顶部。

解：曲面S的方程为z=a2−x2−y2 ,定义域D为圆域x2+y2≤a2−h2 ,由于
1+zx2+zy2=aa2−x2−y2
由第一型曲面积分公式得，∫∫dSz=∫∫1a2−x2−y2∗aa2−x2−y2dxdy=∫02πdθ∫0a2−h2aa2−r2rdr
=2πalnah
注意：(1)有哪位定义域为圆域，所以采用参数坐标来做，令x=rcos θ,y=rsinθ ;。

第一型曲面积分的计算

y
d 1 S z x 2 z 2 y d 2 x d ， d xoy d D xy y x
∵ 关于 xo面 z对称，而yz2x2，被积函数中 x,yy都 z是 y的奇函数，
∴ x y y 0 ， ∴ z d ( x d y z S y ) d z x S z S 。 x
x 2 d y2 S z24 1x 2 d y2 S z24D ya z2 1z2
a dyd
a2y2
a 1
h1
4a
0
a2y2dy0a2z2dz
4 a (ar y )a c (1 a sirn z) c h t 4 a a 1 n arh c 2 t aa rh n .ct
20dx x 2
y x D 21 d y 21 dx x2D 2 x 2ydy
00
41(2x2)2 3dx41x3dx
30
30
x 2sint 16 4co4stdt1 5 .
30
33 2
习题三（ P 1 8 7 ）
4 .求曲线 A B 的方程，使图形 O A B D 绕
D
解：抛物线 y x 2 把 D 分为两个子区域： y
D 1 { x ,y ( )x 1 ,x 2 y 2 } ， 2
ห้องสมุดไป่ตู้
D 2 { x ,y ( )x 1 ,0 y x 2 } 。 D1 y x 2
yx2 yx2, (x,y)D1 -1
设光滑曲面的方程为 z z (x ,y )，在 x面 y 上的投影区域为 D x， y 函数 z (x ,y )在 D x上 y有一阶连续偏导数，若 f(x ,y ,z )在上连续，则有

第一型曲线积分

于是曲面的面积微元
′ dS = 1 + ( z ′ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dσ x ) + ( z y ) dσ =
2 2
所以
∫∫
Σ
zdS = ∫∫ ( x + y ) 1 + 4 x + 4 y dσ =
2 2 2 2 Dxy
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 1 + 4 x 2 rdr
1 2 0
2 2 2
例 2.1 计算解
∫∫
∑
( x + y + z )dS , ∑ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2
z≥0
曲面 ∑ 在 x0 y 平面上的投影区域
Duv = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ a 2 }
因为 z =
a 2 − x 2 − y 2 ，所以
∂z −x = 2 ∂x a − x2 − y 2
12.2
12.2.1 光滑曲面
第一型曲线积分
所谓的光滑曲面，是指曲面上每点都有切平面，且切平面的法方向随着曲面上的点的连续变动而连续变化。而所谓的逐片光滑曲面，是指曲面是由有限个光滑曲面逐片并起来的。例如椭球面是光滑曲面，立方体的边界面是逐片光滑曲面。本节所指的曲面都是有界的光滑或逐片光滑曲面。如果曲面
上的连续函数。将曲面
∑
任意分割成 n 个
小曲面片（图 2.1）
∑1 , ∑ 2 L ∑ n 其面积分别记为 ∆S1 , ∆S 2 ,L ∆S n 。记曲面 ∑ 的这种分法为 ∆ 。对于任意点
处的密度 ρ
Pk (ξ k ,η k , ζ k ) ∈ ∑ k ，当曲面片 ∑ k 很小时，由于 ρ ( x, y, z ) 的连续性，可用曲面 ∑ 在点 Pk

考研数学-第一型曲线曲面积分

3 2 C在xoy面上投影D xy {( x , y ) x y 1} 4
2
2x 2 y z z z 1 1 x y y 2z y 2z
2
2
2
2
4 y 2 z 2 4 yz y 2z
2 2
8 16 8 5 5 R R R 5 15 5 3
例14
练习十二/五
设有一个由曲线y ln x, y 0, x e所围成的均匀薄片, 其面密度为 1, 若此薄片关于直线 x t的转动惯量为I (t ), 求使I (t )取得最小值的t. y 2 解：I (t ) ( x t ) d
dx 2 2 解 : ds 1 ( ) dy dy 2 dy 4 y
( x y 1)ds
L
2
2
( 4 y y 1)
2
2 4 y
2
dy
8 2
例2 练习十三/二(2)
x2 y 2 设L为椭圆 1,已知其周长为a, 2 3 则 (3x 2 5 xy 2 y 2 )ds _______ .
λ 0
i 1
n
2. 计算:

: z z( x , y ) , ( x , y ) D x y , 则
f ( x , y, z )dS

Dxy
f [ x, y, z( x , y )]
1 zx zy dxdy;
2 2
方法：一投、二代、三换．
3. 对称性
对面积的曲面积分 f ( x , y , z ) d S，
第十节第一型曲线曲面积分积分应用

第一型曲面积分

类似地，第一型曲面积分：
dS 投影d
转化为二重积分
重积分的应用一节已给出：当曲面z=z(x,y)向xOy平面上的投影时有 d 2 2 dS 1 z x z y d cos γ 将曲面积分中的dS用dσ 表示,将z用x,y表示，得

D xy
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z z dx f ( x , y , z ) dS d ; x y
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性知：
xdS ydS zdS xydS yzdS xzdS0,

由坐标的轮换对称性知：
1 2 2 2 x dS y dS z dS 3 ( x y z )dS ,
, ΔS ,…, ΔS ΔS n n
1 2 n
( i ,i , i )Si 取极限:求质量的精确值M= lim 0
其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值
i 1
n
一、第一型曲面积分的定义
设曲面是光滑的, 函数 f (x, y, z)在上有界, 把分成n小块Si (Si同时也表示第i小块曲面的面积), 设点(i , i , i )为Si上任意

是球面： x 2 y 2 z 2 R 2 。
解： I ( ax by cz d ) 2 dS

(a x b y c z d 2abxy 2bcyz 2acxz
2 2 2 2 2 2 2
2adx 2bdy 2cdz)dS
称性。设Σ对称于xoy （或yoz,或zox ）坐标面. 若 f（x,y,z )关于z（或 x，或 y)是奇函则 f ( x , y , z )dS 0 数若 f（x,y,z )关于z（或x，或y）是偶函数 ,Σ1是Σ位于对称坐标面一侧的部分，则 f ( x, y, z )dS 2 f ( x, y, z )dS

第一型曲面积分参数方程形式

第一型曲面积分参数
我们要找第一型曲面积分的参数方程形式。

首先，我们要了解第一型曲面积分的定义和性质。

第一型曲面积分定义为：∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
其中，P, Q, R 是曲面 Σ 上的点 (x, y, z) 的函数。

参数方程形式是另一种表示曲面的方法。

一个曲面可以用参数方程表示为：
x = x(u, v)
y = y(u, v)
z = z(u, v)
其中，(u, v) 是参数。

现在我们要把第一型曲面积分的定义和参数方程结合起来。

通过参数方程，第一型曲面积分可以表示为：
∫∫ [P(u, v)x_u(u, v) + Q(u, v)y_u(u, v) + R(u, v)z_u(u, v)]dS 其中，dS 是曲面 Δ 上的面积微元。

这个公式就是第一型曲面积分的参数方程形式。

第一型曲线曲面积分

A 4 A1 4 z dl
L
的面积
z
z a2 x 2 y2
y
4a2 x 2 y2 dl 4a L t 2 2 8a sin dt 16a 0 2013-7-11 2
4
2

x
L
2(1 cos t )dt
21
0
2
三、第一型曲面积分的概念和性质
设f ( M ), g ( M )在曲线L上可积, 则 , R,
f ( M ) g ( M )在L上也可积, 并且有
[f ( M ) g ( M )]dl
L
L
f ( M )dl g ( M )dl
L
性质2：（路径可加性）
若曲线L由曲线L1与曲线L2连接而成, 且 f ( M )在L, L1 , L2上可积, 则有
S 0 i i i i 1
23
i
第一型曲面积分与第一型曲线积分有类似的性质和存在性条件 .
15
[例3] 计算 x dl, 其中L为圆周 : x y z a , L z x y z 0. [解] 首先找曲线的参数方程 y o 先找L在xy平面投影曲线的
2 2 2 2 2
参数方程, 这就是L的参数方程 x 的x , y两式, 利用 x y z 0 就可得到第三式
[例] 假设有一不均匀的金属曲面S , 在S上的点M处的面密度为 ( M ), 求S的质量m .
M i
Si
S
[解] 分割: 将S任意分成n小块
近似 : mi ( M i )Si
求和 : m m i ( M i )S i
2013-7-11