导数与函数零点问题解题方法归纳

导函数零点问题

一．方法综述

导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略

类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点

【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()

2

1e x

f x x ax =++.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若函数()()

2

1e 1x

g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.

【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x

f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；

（2）依题意可得()()2

1e x g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；

当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，

01m <<三种情况讨论可得.

【解析】（1）因为()()

2

1x

f x x ax e =++，所以()()221e x

f x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，

即()()()11e x

f x a x x =++'+.

由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.

①当0a =时，()()2

1e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，

由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()()

,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()

1,1a -+-为减函数.

③当0a <时，()11a -+>-，

由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()

1,a -++∞为增函数，在()()

1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；

当0a >时，()f x 在()()

,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()

1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()

1,a -++∞为增函数，在()()

1,1a --+为减函数. （2）因为()()

2

1e 1x

g x x mx =+--，所以()()2

1e x g x m x =+'-，

①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.

（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.

（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()2

10m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，

且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.

所以()()000g x g <=，又()()()

2

2

2

2

1e 1110m

g m m m m m =+-->+--=，

根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.

（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，

若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点. 又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110e

g m -=+-，所以21e m -，

即当2

11e

m -

<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为2

11e

m -< 【指点迷津】

1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现ln x 时，常猜x ＝1；当函数解析式中出现e x

时，常猜x ＝0或x ＝ln x . 2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法 【举一反三】

【2020·山西吕梁期末】已知函数221

()ln ()x f x a x a R x

-=-∈.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()sin x

g x e x =-，若()()()()

2h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围.

【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1

()2ln f x x a x x

=-

-， 21()2f x x '=+22

21

a x ax x x

-+-=， 对于2210x ax -+=，28a ∆=-，

当[a ∈-时，()0f x '≥， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数.

当(,a ∈-∞-时，

对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.

当)a ∈+∞时，

令()0f x '>，得0x <，

令()0f x '<，得44

a a x <<

，