优化理论与最优控制之一：发展简史、实例分析、应用类型
控制系统中的优化控制理论与方法
控制系统中的优化控制理论与方法在控制系统中，优化控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过对系统的调整和改进，实现系统性能的最优化。
本文将从优化控制的基本概念、常用的优化控制方法以及优化控制在实际系统中的应用等方面进行阐述。
一、优化控制的基本概念优化控制是指通过对系统参数、结构、控制算法等进行合理设计和调整，使得系统的性能指标达到最优水平的一种控制方法。
其目标是在满足系统动态响应、鲁棒性等基本要求的前提下，使系统的效率、稳定性、鲁棒性等性能指标达到最优。
优化控制理论与方法主要包括数学优化理论、控制理论和计算方法等。
二、常用的优化控制方法1. 最优化理论的应用最优化理论是优化控制的理论基础，主要包括线性规划、非线性规划、动态规划、最优控制等方法。
通过将系统的控制问题转化为一个数学优化问题，可以利用最优化理论的方法求解最优控制策略。
2. PID控制器的优化PID控制器是目前应用最广泛的控制器之一，通过对PID参数的优化，可以提高系统的性能。
常用的PID参数优化方法包括试探法、经验法、遗传算法、粒子群算法等。
3. 模型预测控制模型预测控制是一种基于模型的优化控制方法，通过对系统的动态模型进行建立和优化，可以在一定的预测范围内求解最优控制策略。
模型预测控制主要包括线性模型预测控制、非线性模型预测控制等方法。
4. 自适应控制自适应控制是一种能够自动调整控制器参数的优化控制方法，通过对系统的建模和参数实时调整，可以适应不同工况下的控制需求。
自适应控制主要包括模型参考自适应控制、基于模型的自适应控制等。
三、优化控制在实际系统中的应用优化控制理论与方法在实际系统中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 工业过程控制：优化控制在化工、电力、冶金等工业过程中的应用较为广泛。
通过对控制参数的优化调整，可以提高生产效率、降低能耗、优化产品质量等。
2. 机器人控制：优化控制方法在机器人运动控制、轨迹规划、力控制等方面的应用，可以提高机器人的运动精度、路径规划效果等。
最优控制实验报告
最优控制论文一、最优控制（optimal control）的一般性描述：通过这一门课程的学习，首先给最优控制（Optimal Control)下一个定义：在规定的限度下，使被控系统的性能指标达到最佳状态的控制。
先了解一下最优控制发展的历史：最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
美国学者R.贝尔曼1957年动态规划和前苏联学者L.S.庞特里亚金1958年提出的极大值原理，两者的创立仅相差一年左右。
对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
另外我国科学家钱学森1954年所着的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制主要研究的问题：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定的要求运行，并使给定的某一性能指标达到最优值。
例如，对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少。
现在，我们把这些问题转化为数学模型来分析：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等广泛领域中。
二、最优控制解决问题的基本方法及其特点和适用范围1、变分法变分法又分为古代变分法和现代变分法，它是数学领域里处理泛函（函数的函数）极值的一种方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。
最优控制理论
f ( x(t ), u (t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解令 Nhomakorabea
H L( x, u, t ) f ( x, u, t )
T
哈密顿函数
性能指标
J L( x, u, t )dt
t0
T
令
H ( x, , u , t ) (t ) x
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大 的发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理 论的研究等等；在生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析 等实际生活中广泛应用 。
解决最优控制问题的方法
一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数学 方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。 在许多实际控制问题中，控制函 数的取值常常受到封闭性的边界 限制，如方向舵只能在两个极限 值范围内转动，电动机的力矩只 能在正负的最大值范围内产生等。 因此，古典变分法对于解决许多 重要的实际最优控制问题，是无 能为力的。
t [0, t f ]
这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必 须有
A r (t )
t [0, t f ]
假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设 b>0是单位时间储存单位商品的费用，于是， 单位时间的总成本为：
f x(t ), u(t ), t h u(t ) bx(t )
二、极大值原理
是分析力学中哈密顿方法的推广。 极大值原理的突出优点是可用于控 制变量受限制的情况，能给出问题 中最优控制所必须满足的条件。
最优控制理论_第一章
J （ x (t f ), t f ） F （ x (t ), u (t ), t ) dt
t0
其中第一项是接近目标集程度，即末态控制精度的度量，称为末值型性能指标。 第二项称为积分型性能指标，它能反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制 过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
求解最优控制问题，可以采用解析法或数值计算法 由于电子计算机技术的发展，使得设计计算和实时控制有了实际可用的 计算工具，为实际应用—些更完善的数学方法提供了工程实现的物质条 件 高速度 大容量计算机的应用 一方面使控制理论的工程实现有了 件，高速度、大容量计算机的应用，一方面使控制理论的工程实现有了 可能，另一方面又提出了许多需要解决的理论课题，因此这门学科目前 是正在发展的，极其活跃的科学领域之一。 最优控制理论在一些大型的或复杂的控制系统设计中， 已经取得了富有 成效的实际应用 目前很多大学在自动控制理论课程中已经开始适当增 成效的实际应用。目前很多大学在自动控制理论课程中已经开始适当增 加这方面的内容。
v(t 0 ) v0
m(t 0 ) m0
m (t f ) m e
终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意
从工程实际考虑，约束条件为 0 F (t ) max F (t ) 如果我们既要求拦截过程的时间尽量短，又要求燃料消耗尽量少，则可取性能指标：
J [c1 软着陆问题 飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数 月球表面的重力加速度为常数g。设 设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
最优化理论在智能控制与决策中应用
最优化理论在智能控制与决策中应用最优化理论在智能控制与决策中应用在本文中，我们将探讨最优化理论在智能控制与决策中的应用。
最优化理论是一种数学理论，旨在找到最优解决方案，以满足特定的目标和约束条件。
在智能控制和决策方面，最优化理论可以有效地优化系统的性能，并提供决策支持。
本文将介绍最优化理论的基本概念、算法和应用案例。
一、最优化理论基本概念最优化理论主要涉及目标函数、约束条件和最优解的概念。
目标函数是需要优化的指标，约束条件是限制最优解的条件。
最优解被定义为使目标函数取得最大或最小值时的解决方案。
最优化理论提供了一系列方法和算法，通过改变决策变量的取值来寻找最优解。
二、最优化算法1. 梯度下降法梯度下降法是最优化常用的一种算法。
它通过计算目标函数的梯度（即偏导数），并沿着梯度的反方向不断调整决策变量的取值，以找到最优解。
该算法可以在凸函数和非凸函数中应用，并且具有较好的收敛性能。
2. 线性规划线性规划是一种用于解决线性约束下的最优化问题的方法。
它的目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法（如单纯形法）来求解最优解。
线性规划在资源分配、生产计划等方面有广泛的应用。
3. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，其中决策变量被限制为整数，而不是连续的。
整数规划在离散决策问题中具有重要应用，例如旅行商问题和资源调度问题。
4. 动态规划动态规划是一种递归算法，用于解决具有重叠子问题特性的最优化问题。
它将问题划分为子问题，并根据子问题的最优解构建整体最优解。
动态规划在序列决策、路径规划等领域中具有广泛应用，如背包问题和最短路径问题。
三、最优化理论在智能控制中的应用1. 参数优化在智能控制中，系统的性能往往依赖于一组参数的取值。
最优化理论可以用来寻找最佳的参数配置，以优化系统的性能。
例如，通过调整神经网络中的权重和偏置，可以最小化系统的误差，提高预测精度。
2. 自适应控制自适应控制是智能控制的一种形式，它允许系统根据外部环境和内部状态的变化自主调整控制策略。
优化理论与最优控制
无约束最优化方法的特点及应用范围
最优化方法 坐标轮换法(变量轮 换法或降维法) 特点及应用范围 不需求导数，方法易懂，程序设计容易，但迭代过程较长，收敛速 度较慢，且问题的维数n愈多求解效率愈低，适用于n≤10的小型无约 束最优化问题，当函数的等值线为圆或为长短轴都平行于坐标轴的 椭圆时此法很有效。 效率高于上法，尤其最初几步迭代函数值下降很快，但愈靠近极值 点愈慢。迭代计算简单，占用计算机单元少，对初始点的选择要求 低。常与其它方法混用。 当初始点选得合适时是目前算法中收敛得最快的一种(尤其对二次函 数)，但当初始点选择不当会影响到能否收敛或导致失败。计算较繁 且要求Hessian矩阵是非奇异的。计算量和存贮量都以维数n的平方 (n2)比例增加，故当函数变量较多和因次较高时不宜采用此法。 即使初始点选择不当，此法亦会成功，其它特点与牛顿法相同。 是对最速下降法在收敛速度上的重大改进，其收敛速度比最速下降 法大为加快，而计算又比牛顿法大为简化。计算简单，所需的存储 量少，收敛速度快，常用于多变量的最优化设计。 不需求导数只需计算函数值，适用于中、小型问题的无约束最优化 问题。Powell法是一种求无约束最优化问题较为有效的方法，适用于 中小型无约束最优化问题，但对于多维问题收敛速度较慢。
• 调整（设计、策略、决策）变量 设计变量的数目称为最优化设计的维数。 • 目标函数 在最优化设计中，可将所追求的设计目标（最优 指标）用设计变量的函数（解析或隐含）形式表 达出来，这一过程称为建立目标函数。 • 约束条件 在很多实际问题中，设计变量的取值范围是有限 制的或必须满足一定的条件。以及其他方面的限 制。
f (X ( k 1) )-f (X ( k ) ) 2
③当迭代点逼近极值点时，目标函数在该点的 梯度将变得充分小，故目标函数在迭代点处 的梯度达到充分小时，也可作为终止迭代的 判据：
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
优化理论的发展历程
优化理论的发展历程优化理论是一门研究如何通过优化方法来获取最优解的学科。
它广泛应用于工程、经济、管理等领域。
随着科学技术的发展，优化理论在过去几十年内取得了长足的进步。
本文将简要介绍优化理论的发展历程。
起初，优化问题主要是通过数学计算方法来解决。
早在欧拉和拉格朗日时期，人们就开始使用微积分和变分法来解决一些优化问题。
然而，由于计算能力的限制，这些方法只能应用于简单和小规模的问题。
随着计算机技术的快速发展，优化理论进入了一个全新的阶段。
在20世纪50年代和60年代，线性规划和整数规划成为了优化理论的重要分支。
这些方法通过运用线性代数、凸优化等数学工具，能够在有限时间内求解大规模的优化问题。
此后，随着非线性优化理论的发展，非线性规划成为了优化理论的又一个重要方向。
非线性规划通过引入约束条件和拉格朗日乘子等方法，可以处理更为复杂的问题。
然而，传统的优化理论主要关注确定性问题，忽略了不确定性因素的影响。
在20世纪70年代，概率论和统计学的发展带来了随机优化的兴起。
随机优化不仅考虑了随机性因素，还能够通过概率论的方法对参数进行估计和推断，从而得到更为准确的最优解。
随机优化在金融、风险管理等领域有着广泛的应用。
随着优化问题的复杂度的不断提高，传统的优化方法逐渐显露出局限性。
为了克服这一问题，人们开始探索新的优化方法，如遗传算法、蚁群算法等。
这些启发式算法仿照生物界的进化和群体行为，通过不断迭代和优胜劣汰的过程来搜索最优解。
这些算法在求解复杂问题和非线性问题方面表现出了较好的性能。
此外，机器学习的发展也为优化理论带来了新的机遇。
通过将机器学习算法与优化方法相结合，可以在处理大规模数据和高维数据时获得更好的效果。
当前，优化理论正朝着更加智能化、多目标和多约束的方向发展。
人工智能技术的不断进步为优化问题的求解提供了更多的可能性。
通过结合深度学习、强化学习等方法，可以处理更加复杂和多样化的问题。
此外，对于多目标和多约束优化问题，人们也提出了各种新的算法和理论。
控制系统中的最优控制理论及应用
控制系统中的最优控制理论及应用控制系统是现代工程中不可或缺的一部分，它能够将输入信号转化为相应的输出信号，以实现对系统行为的调整和控制。
而在控制系统中，最优控制是一种关键的理论和方法，它能够在给定的条件下寻找到最优的控制策略，以使系统的性能达到最佳。
最优控制理论的核心是最优化问题，即在给定一组约束条件下，寻找能使某个性能指标达到最优的控制策略。
常见的性能指标有能耗最小、系统响应最快、误差最小等。
为了解决这类问题，最优控制理论通常利用微积分和变分法等数学工具来建立系统的数学模型，并通过求解最优化问题得到最优控制策略。
在最优控制理论中，常用的方法有数学规划、动态规划和最优化方法。
其中，数学规划是在一组约束条件下，通过建立目标函数的数学模型，利用数学优化算法求解最优解。
动态规划是一种递推算法，它通过将复杂的最优控制问题分解为一系列子问题，并利用最优化原理逐步递推求解。
最优化方法则是一类数学求解算法，通过迭代优化搜索来找到目标函数的最优解。
除了理论研究，最优控制理论在实际应用中也具有广泛的价值。
例如，在工程领域中，最优控制可应用于航空航天、自动化控制、能源管理等方面。
在航空航天领域，最优控制可以用于飞行器的轨迹规划和姿态控制，以实现飞行器的安全、高效运行。
在自动化控制领域，最优控制可以用于工业生产中的过程控制和优化，以提高生产效率和降低能源消耗。
在能源管理领域，最优控制可以用于电力系统的调度和优化，以合理分配能源资源和提高能源利用效率。
此外，在生物学、经济学和社会科学等领域中，最优控制理论也有广泛的应用。
在生物学中，最优控制可用于模拟和研究生物系统的行为和进化规律。
在经济学中，最优控制可用于确定最佳的生产方案和资源配置，以实现社会效益的最大化。
在社会科学中，最优控制可用于指导社会政策和管理决策，以实现社会资源的合理分配。
综上所述，最优控制理论是控制系统中的重要组成部分，它通过数学建模和优化算法，为控制系统提供了有效的解决方案。
控制系统的最优控制理论与方法
控制系统的最优控制理论与方法在控制系统中，最优控制理论与方法是一种重要的技术手段，旨在通过优化控制策略，使系统性能达到最佳状态。
本文将介绍最优控制理论的基本概念、主要方法以及在实际应用中的一些案例。
一、最优控制理论的基本概念最优控制理论是一种应用数学理论，研究如何确定控制系统中的最优控制策略，以使系统性能指标达到最佳。
最优控制理论的核心是优化问题的解决方法，通过最小化或最大化某种性能指标，如系统响应时间、稳定性、能耗等，来获取最优控制策略。
在最优控制理论中，有两个基本概念需要了解：动态系统和性能指标。
动态系统是指由一组动态方程描述的系统，其中包含控制变量和状态变量。
性能指标是衡量系统性能的指标，根据不同的要求可以选择不同的性能指标，如最小化过程中的能耗、最大化系统的稳定性等。
二、最优控制方法最优控制方法主要包括动态规划、最优化方法和参数整定等。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 动态规划动态规划是最优控制理论中最基本的方法之一。
它通过将控制问题划分为若干子问题，并逐步求解每个子问题的最优解，最终得到整体的最优控制策略。
动态规划方法适用于动态系统模型已知、状态空间离散化的情况。
2. 最优化方法最优化方法是一种通过优化目标函数求解最优解的方法。
其中，目标函数可以是系统的性能指标，通过最小化或最大化目标函数来确定最优控制策略。
最优化方法适用于动态系统模型复杂、状态空间连续的情况。
3. 参数整定参数整定是指根据系统的数学模型和性能指标，确定控制器的参数值，以实现最优控制。
参数整定方法可以根据系统的特性和要求选择不同的方法，例如经验公式、频域分析、优化算法等。
参数整定在工程实践中具有重要的应用价值，可以使系统在不同工况下都能达到最佳性能。
三、最优控制理论与方法的应用案例最优控制理论与方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个案例来说明。
1. 自动驾驶汽车自动驾驶汽车是近年来亟待解决的重要问题之一。
最优控制理论与方法可以应用于自动驾驶汽车的路径规划和控制中，通过优化控制方法确定最佳行驶路径和速度，从而提高驾驶安全性和行驶效率。
最优控制原理
最优控制原理一、什么是最优控制原理呢最优控制原理呀，是一门超级有趣又很有深度的学科呢。
它主要是研究如何让一个系统在满足一定约束条件下，能够按照某种最优的方式运行哦。
比如说在工程领域，要让一个机器的运行达到最佳的效率，这就可能会用到最优控制原理啦。
再比如说在经济领域，想要让资源得到最合理的分配，最优控制原理也能派上大用场呢。
二、最优控制原理的发展历程在早期呀，科学家们就开始思考如何让一些简单的系统达到最优的状态啦。
随着科技的不断发展呢，最优控制原理的应用场景越来越多，它的理论体系也在不断地完善。
从最初的一些简单的线性系统的研究，到后来能够处理复杂的非线性系统，这一路走来，最优控制原理真的是经历了很多的变革呢。
三、最优控制原理的应用领域1. 在航空航天领域航空航天可是一个对精度和效率要求极高的领域哦。
最优控制原理可以帮助设计飞行轨迹，让飞机或者航天器能够以最节省燃料的方式飞行，同时还能准确地到达目的地呢。
比如说卫星的轨道控制，就需要用到最优控制原理来确保卫星在轨道上稳定运行，并且能够高效地完成它的任务，像拍摄地球的照片、进行气象监测之类的任务呀。
2. 在工业制造领域在工厂里呀，有很多的生产设备。
最优控制原理可以用来优化生产流程，让机器的运行速度、加工精度等都达到最优的状态。
这样就能提高产品的质量，还能降低生产成本呢。
例如在汽车制造流水线上，通过最优控制原理可以让机器人的焊接、装配等操作更加精准，提高汽车的整体质量哦。
3. 在机器人领域机器人的运动控制是一个很复杂的问题呢。
最优控制原理能够帮助机器人规划它的运动路径，让机器人能够以最快的速度、最稳定的姿态完成任务。
就像那些在危险环境下工作的机器人，如在核辐射区域或者火灾现场的救援机器人，最优控制原理可以确保它们在复杂的环境中顺利地完成救援任务哦。
四、最优控制原理中的一些重要概念1. 目标函数目标函数就像是一个指引方向的灯塔呢。
它定义了我们想要达到的最优目标是什么。
最优控制理论
5
电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
二、最优控制的发展简史 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输 入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对 控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参 数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原 理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传 递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程 结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最 优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世 纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
最优控制理论
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三、研究最优控制的方法 从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值 问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属 于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭 集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。
1.3 最优控制问题的提法
f ( x,u, t ) 系统状态方程为 x
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) I D (t )是 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 I D (t（ 受到限制的），使得所需时间最短。 这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 D JD x1 (0) 0 x1 (t f ) 初始状态 x ( 0) 0 末值状态 2 x (t ) 0
最优化方法与最优控制1
第一章 最优化方法的一般概念人们在处理日常生活、生产过程、经营管理、社会发展等实际问题时，都希望获得最佳的处理结果。
在有多种方案及各种具体措施可供选择时，处理结果与所选取方案和具体措施密切相关。
获取最佳处理结果的问题称为最优化问题。
针对最优化问题，如何选取满足要求的方案和具体措施，使所得结果最佳的方法称为最优化方法。
1-1 目标函数、约束条件和求解方法目标函数就是用数学方法描述处理问题所能够达到结果的函数，该函数的自变量是表示可供选择的方案及具体措施的一些参数或函数，最佳结果表现为目标函数取极值。
在处理实际问题时，通常会受到经济效率、物理条件、政策界限等许多方面的限制，这些限制的数学描述称为最优化问题的约束条件。
求解方法是获得最佳结果的必要手段，该方法使目标函数取极值，所得结果称为最优解。
针对各种类型的最优化问题，找出可靠、快捷的处理方法是最优化方法(理论)的研究范畴。
目标函数、约束条件和求解方法是最优化问题的三个基本要素。
无约束条件的最优化问题称为理想最优化问题，所得结果称为理想最优解。
下面用三个简单的例子，说明最优化问题的目标函数和约束条件。
例1-1 有一块薄的塑料板，宽为a ，对称地把两边折起，做成槽(如图1-1)。
欲使槽的横截面积S 最大，1x 、2x 和θ的最优值是多少？该问题要找出最优参数1x 、2x 和θ，使槽的横截面积S 最大，所以，目标函数为θθsin )cos (max 221x x x S ⋅+=； (1-1)由于底边与两个斜边的总长度应等于塑料板宽度a ，即约束条件为a x x =+212。
(1-2)有许多最优化问题可以方便地将等式约束条件代入目标函数中，使原问题转换为无约束条件的最优化问题，便于求解。
例1-1为无约束条件的最优化问题时，目标函数如下θθsin )cos 2(max 222x x x a S ⋅+-=。
(1-3)例1-2 仓库里存有20米长的钢管，现场施工需要100根6米长和80根8米长的钢管，问最少需要领取多少根20米长的钢管？用一根20米长的钢管，截出8米管或6米长管的方法只有三种，设：1x —1根长管截 成2根8米管的根数；2x —1根长管截成1根8米管和2根6米管的根数；3x —1根长管 截成3根6米管的根数。
最优化理论与最优控制.ppt
火箭飞行的最后阶段，进入了月球的引力范围,当火箭 垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时，要求火箭 速度为0，并且燃料消耗为最小。
t=t0
mg 火箭
F(制动力)
月球表面 分析：在火箭速度降为0之前，
制动力 F K dm 与燃料消耗成正比 dt
J是控制u(t)的函数，通常表示为：J [u (t )]
J[u] 的几种形式：
<1> 积分型性能指标：
J[u] t f L[x(t), u(t), t]dt t0
<2> 末值型性能指标：
J[u] [x(t f ), t f ]
<3> 综合型性能指标：
J[u] [x(t f ), t f ]
版社
第一章
绪论
最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代理论的一个 研究热点和中心话题。
现代控制理论：以多变量系统控制、最优控制、系统辩识为 主要内容，最优控制发展早。20世纪60年 代，现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者：钱学森 1945年编著的《工程
控 制论》直接促进了最优控制理论的发展和 形成。
确定变量，列出约束条件，确定目标函数（性能指标） 2） 模型分析，选择合适的最优化求解方法。 3）根据选定的最优化算法，编程，求解 。
最优化的基本问题： 就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究
的对象（或系统）能最优地达到预期的目标。
例如：1 温度控制系态。
缺点：系统设计不是最优的，所得结果不是唯一解。
改进：解析法：力求使设计的系统按一定指标要求来达到 最 二） 解析法：
优，从这个意义上讲，解析法比古典法更前进一步 。核心：目标函数为最小。
优化理论的发展历程
优化理论的发展历程1. 物质优化理论的发展:该理论最早起源于19世纪末的工业革命时期。
当时，工业生产需要提高生产效率和降低成本，因此人们开始研究如何通过最佳化物质使用来改善生产过程。
这种优化理论的思想在20世纪逐渐发展成为了一个独立的学科，涉及到各种行业和领域，如物流、供应链管理、工业生产等。
2. 线性规划和最优化问题:在20世纪初，线性规划（linear programming）作为优化理论的一个重要分支得到了广泛应用。
线性规划是一种数学模型，用于解决最大化或最小化一个线性目标函数的问题。
它的发展推动了优化理论的研究，并引入了诸如单纯形法等方法，用于求解线性规划问题。
3. 非线性优化的研究:随着优化理论的发展，人们开始研究更加复杂的非线性优化问题。
非线性优化是指目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
该领域的研究包括发展新的优化算法和方法，以及探索非线性优化问题的特殊性质。
4. 多目标优化问题:在一些实际应用中，优化问题可能涉及多个目标函数，这就产生了多目标优化问题。
多目标优化试图找到一组最优解，使得这些解在多个目标函数上都能达到最佳。
研究人员提出了多种方法来解决多目标优化问题，如加权法、最优筛选法等。
5. 随机优化和元启发式算法:随着信息技术的进步，人们开始研究利用随机性和启发式算法来解决复杂的优化问题。
随机优化算法利用随机性和概率分布来寻找可能的最优解，并在全局搜索中提供更好的性能。
元启发式算法是一类基于自然和生物系统的优化算法，如遗传算法、蚁群算法等。
它们通过模拟自然系统中的进化和合作行为，寻找问题的最优解。
6. 混合优化方法:最近几十年来，研究人员开始探索将不同的优化方法和技术进行混合，以提高优化问题的求解效率和准确性。
混合优化方法包括使用多种优化算法的组合、引入约束满足算法等。
这些方法在解决复杂的大规模优化问题时表现出了优势。
7. 高级优化理论和应用:近年来，随着计算能力的提升和数据科学的发展，高级优化理论和方法得到了更广泛的应用。
优化理论与最优控制之一：发展简史、实例分析、应用类型
约束条件 0 u(t ) umax
性能指标是使燃料消耗为最小，即
J m(t f )
达到最大值
我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由 初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。
上例的情况表明：任何一个最优控制问题均应包含以下四
个方面的内容：
最优控制研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控 制系统的性能在某种意义下最优。
所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个 容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能 指标达到最优值。
二：研究最优控制的方法
在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种 是苏联学者庞特里雅金提出的“极值原理”；另一种是美国 学者贝尔曼提出的“动态规划”。
极值原理是庞特里雅金等人在 1956至1958年间逐步创立的， 先是推测出极值原理的结论， 随后又提供了一种证明方法。
动态规划是贝尔曼在1953 年至1958年间逐步创立的， 他依据最优性原理发展了 变分学中的哈密顿-雅可比 理论，构成了动态规划。
1-2 最优控制问题的实例
例 月球上的软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
第一章 绪 论
1-1最优控制发展简史
一：最优控制的发展 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计 与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航 空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被 控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新 的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出 它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递 函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得 出的工程结论往往难于应用。在这种背景下，以状态空间概 念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是20 世纪50年代发展起来的现代控制理论的核心，已形成系统的 理论。
优化理论课件(变分法与最优控制理论)
优化理论课件（2）第二部分动态优化：变分法和最优控制理论变分法是处理动态优化的古典方法，现在较少使用，在蒋中一的书中，变分法的思路可用来解释庞特里亚金最大值原理（一阶条件）。
本部分内容主要来自蒋中一《动态最优化基础》。
目录一、什么是动态优化？ (3)（一）动态优化问题的基本要素 (4)（二）泛函及其相关概念 (4)（三）可变终结点 (5)（四）横截条件 (6)（五）目标泛函 (6)二、变分法 (7)（一）基本问题：固定终结点问题 (7)（1）基本问题及其假定 (7)（2）一阶条件：欧拉方程 (8)（二）推广：多状态变量与高阶导数 (10)（1）多状态变量 (10)（2）高阶导数 (10)（三）可变端点问题 (10)（1）一般性横截条件 (11)（2）垂直终结线问题 (12)（3）水平终结线问题 (12)（4）终结曲线问题，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。
(12)（5）截断的垂直终结线问题 (12)（6）截断的水平终结线问题 (13)（7）多变量和高阶导数情形 (13)（四）二阶条件（充分条件） (14)（1）固定端点问题的二阶条件及其二次型检验 (14)（2）凹凸性充分条件 (14)（3）变分 (15)（五）无限期界问题 (16)（1）收敛性 (16)（2）横截条件 (17)（3）充分条件 (17)（六）带约束的优化问题 (17)（1）等式约束 (17)（2）不等式约束 (18)（3）积分约束（等周问题） (19)三、最优控制理论 (20)（一）最优控制理论导论 (20)（二）最大值原理及其横截条件 (21)（1）最简单问题及最大值原理（一阶必要条件） (21)（2）最大值原理的理论基础及其横截条件 (23)（3）自控问题的汉密尔顿函数不变性 (26)（4）推广到多变量 (26)（三）最大值原理的经济学解释及现值的汉密尔顿函数 (27)（1）最大值原理的经济学解释 (27)（2）现值的汉密尔顿函数 (28)（四）充分条件（二阶条件） (29)（1）曼加萨林定理 (29)（2）阿罗条件 (31)（五）无限期界问题 (31)（1）横截条件与反例 (32)（2）作为充分条件一部分的横截条件 (32)（六）有约束的最优控制问题 (33)（1）涉及控制变量的约束 (33)（2）状态空间约束 (39)四、拉姆齐模型 (43)（一）相关理论发展背景 (43)（二）最简单的拉姆齐模型及其动力系统 (45)（三）微分方程定性稳定性判别方法简介 (47)（1）稳定性与渐进稳定性 (47)（2）稳定性判别基本定理 (48)（2）平面动力系统的奇点 (49)一、什么是动态优化？例：一个企业将原料从初始状态A通过五道工序，变为总结状态Z，每个阶段的选择对应一个阶段的成本，如何选择路径使得总成本最小化？从这个例子中可以看到：首先，动态强调的是时期之间的联系，而不仅仅是有时间的顺序；其次，这里也包含了Bellman方程的基本原理。
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1-4 最优控制的研究方法
当系统数学模型、约束条件及性能指标确定后，求解最优 控制问题的主要方法有以下三类：
1. 解析法
2. 数值计算法 3. 梯度型法
(t ) v (t ) h u (t ) (t ) g v m (t ) (t ) ku(t ) m
初始条件
h(0) h0 v ( 0) v 0 m ( 0) M F
终端条件
h(t f ) 0 v(t f ) 0
3）复合型性能指标
J [ X (t f ),t f ] L[ X (t ),u(t ),t ]dt
t0
tf
这样的最优控制问题为波尔扎问题。 通过适当变换，拉格朗日问题和迈耶尔问题可以相互转换。
按控制系统的用途不同，所选择的性能指标不同，常见的有：
1：最小时间控制 J t f t 0 t0 1 dt 2：最小燃料消耗控制 粗略地说，控制量u(t)与燃料消耗量成正比，最小燃料消耗 tf 问题的性能指标为： J | u(t ) | dt
最优控制研究的中心问题是如何选择控制信号才能保证控 制系统的性能在某种意义下最优。
所要解决的问题是：按照控制对象的动态特性，选择一个 容许控制，使得被控对象按照技术要求运转，同时使性能 指标达到最优值。
二：研究最优控制的方法
在研究最优控制的方法中，有两种方法最富成效：一种 是苏联学者庞特里雅金提出的“极值原理”；另一种是美国 学者贝尔曼提出的“动态规划”。
第一章 绪 论
1-1最优控制发展简史
一：最优控制的发展 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计 与分析单输入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航 空及空间技术的发展对控制精度提出了很高的耍求，并且被 控制的对象是多输入多输出的，参数是时变的。面临这些新 的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原理就日益显出 它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传递 函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得 出的工程结论往往难于应用。在这种背景下，以状态空间概 念为基础的最优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是20 世纪50年代发展起来的现代控制理论的核心，已形成系统的 理论。
极值原理是庞特里雅金等人在 1956至1958年间逐步创立的， 先是推测出极值原理的结论， 随后又提供了一种证明方法。
动态规划是贝尔曼在1953 年至1958年间逐步创立的， 他依据最优性原理发展了 变分学中的哈密顿-雅可比 理论，构成了动态规划。
1-2 最优控制问题的实例
例 月球上的软着陆问题
飞船靠其发动机产生一与月球重力方向相反的推力 u(t)，以使飞船在月球表面实现软着陆，要寻求发动 机推力的最优控制规律，以便使燃料的消耗为最少。 设飞船质量为m(t)，高度为h(t)，垂直速度为v(t)，发 动机推力为u(t)，月球表面的重力加速度为常数g。设 不带燃料的飞船质量为M， 初始燃料的总质量为 F．初始高度为h0，初始的垂直速度为v0，那么飞船的 运动方程式可以表示为：
约束条件 0 u(t ) umax
性能指标是使燃料消耗为最小，即
J m(t f )
达到最大值
我们的任务是寻求发动机推力的最优控制规律u(t),它应满足约束条件，使飞船由 初始状态转移到终端状态，并且使性能指标为极值(极大值)。
上例的情况表明：任何一个最优控制问题均应包含以下四
个方面的内容：
设计最优控制系统时，很重要的一个问题是选择性能指标， 性能指标按其数学形式可分为如下三类： 1）积分型性能指标 J t L[ X (t ),u(t ),t ]dt
0
tf
这样的最优控制问题为拉格朗日问题。
2）终值型性能指标
J [ X (t f ), t f ]
这种性能指标只是对于系统在动态过程结束时的终端状态提出了要求，而对于整 个动态过程中系统的状态和控制的演变未作要求。这样的最优控制问题为迈耶尔 问题。
t0ห้องสมุดไป่ตู้
tf
3：最小能量控制 设标量控制函数u2(t)与所消耗的功率成正比，则最小能量控 制问题的性能指标为：
J u 2 (t )dt
t0 tf
除了上述几种应用类型外，根据具体工程实际的需要，还 可以选取其他不同形式的性能指标，在选取性能指标时需 遵循以下原则： 1. 应能反映对系统的主要技术条件要求 2. 便于对最优控制进行求解 3. 所导出的最优控制易于工程实现
(t ) f [ x(t ),u(t ),t ], x(t0 ) x0 1 系统数学模型 x
2 边界条件与目标值 [ x(t f ),t f ] 0 3 容许控制 控制向量的取值范围 u (t )
4 性能指标 不同的最优控制问题有不同的性能指标,用J表示
1-3 最优控制的应用类型