图形的位似变换和坐标
坐标平面内的位似变换PPT课件
课堂导练
5．(2020·自贡)一种试电笔的构造如图所示，下列说法 正确的是( D ) A．使用试电笔时 手可以接触笔尖 B．使用试电笔时手不要接触笔卡 C．试电笔中的电阻可以用铁丝代替 D．当氖管发光时有微弱电流通过人体
习题链接
1 见习题
提示：点击 进入习题
7
见习题
答案呈现
2B
8 火；切断
3 见习题 4 试电笔；发光
课堂导练
9．(2019·泸州)为安全用电，家庭电路中的空气开关应装 在________线上；空气开关“跳闸”后，受它控制的电 路处于________(填“短路”“断路”或“通路”)状态；试电 笔________(填“能”或“不能”)区分零线与地线。
课堂导练
6．(2019·贵阳)我国的家庭电路有两根进户线，都是从 低压输电线上引下来的。其中一根叫零线，一根叫 ___火__线___，两根进户线之间有___2_2_0___V的电压。
(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与 △ABC位似，且位似比为1∶2； 解：如图，△A′B′C′ 即为所求．
(2)若点C的坐标为(2，4)，则A′B′＝__3______，点C′的坐标为 _(_1_，__2_)__，△A′B′C′的面积＝___3_____．
8．【中考·玉林】如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC 进行位似变换得到△A1B1C1.
解：由题得k＝－2， 把(3，1)和k＝－2代入y＝kx＋b中， 得1＝－2×3＋b，∴b＝7.
(2)若函数y＝kx＋b的图象与两坐标轴围成的三角形和 △AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为 1∶2，求函数y＝kx＋b的表达式．
解：根据位似比为1∶2得函数y＝kx＋b的图象有两种情况： ①不经过第三象限时，过(1，0)和(0，2)，这时表达式为y ＝－2x＋2； ②不经过第一象限时，过(－1，0)和(0，－2)，这时表达式 为y＝－2x－2.
两个位似图形坐标之间的关系课件
8
6
A'
4A
2 B'
B
-12 -10-9-8
-6
-4B"-2
O -2
24
-4
C"
-6
A"
-8
C' C
6 8 9 101112
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （ 12 ，4 ）； A" （－4 ，－6），B" （－4，－2），C" （－12，－4）．
例题：
如图, 三角形AB0的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),B(-2,0), O(0,0),画出它的一个以
原点O为位似中心,相似比为 3 的位似图形.
2
.A′
y 6
A
4
2
.B′
B
x
-4
-2
o
2
分析：问题的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标．
A′( -3,6 ), B′( -3,0 ), O′ ( 0,0 )
3
小，观察对应点之间坐标的 变化，你有什么发现？
8 6
4
2
B〞
-8 -6 -4 -2 O
A〞-2
-4
-6
-8
A A'
2 4 6B 8 B'
位似变换后A，B的对应点为A ' （ 2 ， 1 ），B'（ 2 ， 0 ）； A"（－ 2， － 1），B" （ － 2 ， 0 ）．
探究
如图，△ABC三个顶点坐标 分别为A（2，3），B（2， 1），C（6，2），以点O 为位似中心，相似比为2， 将△ABC放大，观察对应顶 点坐标的变化，你有什么 发现？
沪科版九上数学第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换
y
B
6
4
C
A2
-6 -4 -2 O 2 -2
-4 A′
-6
-8
-10
4 6 8 10 12 x C′
B′
课堂小结
➢ 一般地, 在平面直角坐标系中, 如果以原点为 位似中心, 新图形与原图形的相似比为 k, 那 么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形 上的点的坐标为_(_k_x_,_k_y_)或__(_-_k_x_, _-k_y_)__.
3, 作△ABC 的位似图形. 观察对应顶点坐标的变化, 你有
什么发现？
y
7
6
5
4
3
2 1A
B C
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
连接OA, OB, OC, 分别延长 OA, OB, OC 至点 A′, B′, C′,
使 OA' OB' OC' 3. OA OB OC
B′ C′
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x
在平面直角坐标系中, 在作(x, y)→(ax, by) 变换时, 当 a = b ≠ 0 时为相似变换.
随堂演练
△ABC 的顶点坐标为 A(0, 2), B(-3, 5), C(-6, 3). 按如下方式对△ABC 进行变换: (1) (x, y)→(2x, 2y); (2) (x, y)→(-2x, -2y). 画出变换后的图形, 它与原图形相似吗？为什么？
➢ 在平面直角坐标系中在作 (x, y) (x, ay) 或(ax, y)变换时, 叫伸缩变换.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
第2课时 平面直角坐标系中图形 的位似变换
专项练习图形的位似变换与坐标
目 录
• 位似变换基本概念与性质 • 平面直角坐标系中位似变换 • 三角形和四边形位似变换探讨 • 函数图像在位似变换下性质研究 • 实际应用问题中位似变换思想运用 • 总结回顾与拓展延伸
01 位似变换基本概念与性质
位似变换定义及特点
位似变换定义
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于 一点，对应边互相平行（或在一条直线上），那么这两个图 形叫做位似图形。这个点叫做位似中心，这时的相似比又称 为位似比。
02 平面直角坐标系中位似变 换
平面直角坐标系简介
平面直角坐标系定义
点的坐标
在平面内画两条互相垂直、原点重合 的数轴，组成平面直角坐标系。
平面内一点P的坐标由一对有序实数 (x,y)确定，其中x是点P到y轴的距离， y是点P到x轴的距离。
坐标轴及象限
水平数轴称为x轴或横轴，垂直数轴称 为y轴或纵轴。坐标轴将平面分为四个 象限。
然保持。
渐近线变换规律
反比例函数的渐近线在位似变换 下也会进行相应的平移和缩放，
但渐近线的斜率不会改变。
05 实际应用问题中位似变换 思想运用
几何证明题中位似变换思想运用
利用位似变换证明线段比例关系
01
通过构造位似图形，证明两条线段之间的比例关系，进而解决
几何证明问题。
利用位似变换证明角度相等关系
位似图形特点
两个位似图形中每组对应顶点所在的直线都交于一点，这个 交点叫做位似中心，图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比。
相似比与位似中心关系
相似比
在位似变换中，如果两个相似图形的对应边长之比相等，那么这个比值就叫做 相似比。
位似中心与相似比关系
北师大版初三数学上册《图形的位似》知识讲解及例题演练
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（ ）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断 【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。
平面直角坐标系中图形的位似变换
7
原
6
图
形
5
被
4
纵 向
3
拉
2
伸
到
1
原
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
–1
来 的
2
–2
倍
–3
–4
在平面直角坐标系中，在作（x,y）
(x,ay)或（ax,y）变换时， 这不是相似变换，叫伸缩变换。
练一练:
1.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD,求它们的相似比 y
A
C
o
D
B
x
沪科版九年级数学上册
思考回答
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
C
F
D
A
D
B
O
C
F
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__在___一__条__直___线__上_________
接下来想一想？
1、如果把位似图形放到平面直角坐标系 中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关 系呢？
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B(-2,0)
A
A'
B〞
x
o
B'
B
A〞
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原 点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对 应点的坐标的比等于k或-k.
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别 为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相 似比为2画它的位似图形.
22.4 第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换
第2课时 平面直角坐标系中图形的位似变换知识点 1 位似变换与坐标的变化1．如图22－4－14，在平面直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则点C 的坐标为( )图22－4－14A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)2．教材练习第1题变式△ABC 的顶点坐标为A (0，2)，B (－3，5)，C (－6，3)．按如下方式对△ABC 进行变换，不是位似变换的是( )A ．(x ，y )→(23x ，23y )B ．(x ，y )→(－2x ，－2y )C ．(x ，y )→(y ，x )D ．(x ，y )→(2x ，2y )3．如图22－4－15，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO 与△A ′B ′O ′是以点P 为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P 的坐标为( )图22－4－15A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(－3，2)D ．(3，－2)4．2018·邵阳如图22－4－16，在平面直角坐标系中，已知点A (2，4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B .以坐标原点O 为位似中心将△AOB 缩小为原图形的12，得到△COD ，则CD 的长是( )图22－4－16A ．1B ．2C ．4D ．2 55．如图22－4－17，等腰三角形OBA 和等腰三角形ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．图22－4－176．在平面直角坐标系中有四个点A (0，－2)，B (3，2)，C (1，－1)，D (－2，3)．如果将各点的横、纵坐标都乘3，得到点A ′，B ′，C ′，D ′，那么四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为________．7．如图22－4－18，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶ 2.若点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是________．图22－4－188．在平面直角坐标系中，已知A (8，4)，B (8，0)两点，以坐标原点O 为位似中心，相似比为14，把线段AB 缩小后得到线段A ′B ′，则线段A ′B ′的长等于________．知识点 2 在平面直角坐标系中画位似图形9．如图22－4－19，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (0，－3)，B (3，－2)，C (2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的相似比为2∶1，并直接写出点A 2的坐标．图22－4－1910．如图22－4－20，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)．(1)以点O为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2∶1)，得到△OB′C′，画出图形；(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．图22－4－2011．若△ABC 的顶点坐标分别为(3，2)，(4，3)，(6，5)，△DEF 的顶点坐标分别为(32，1)，(2，32)，(3，52)，则△DEF 与△ABC 的对应边的比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶412．2018·潍坊在平面直角坐标系中，P (m ，n )是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的2倍，则点P 的对应点的坐标为( )A ．(2m ，2n )B ．(2m ，2n )或(－2m ，－2n )C ．(12m ，12n )D ．(12m ，12n )或(－12m ，－12n )13．如图22－4－21，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(－1，0)，以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是( )图22－4－21A ．－12aB ．－12(a ＋1)C ．－12(a －1)D ．－12(a ＋3)14．如图22－4－22，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是________．图22－4－2215．如图22－4－23，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)．若△ABC和△A1B1C1是位似图形，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为________．图22－4－2316．如图22－4－24，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为________．图22－4－2417．如图22－4－25，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)，B(4，2)，C(2，1)．(1)作出与△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1，C 1的坐标； (2)以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A 2B 2C 2，使AB A 2B 2＝12.图22－4－25教师详解详析1．A [解析] 由A(6，3)，B(6，0)，知线段AB ＝3.因为AB ⊥x 轴，线段AB 到线段CD 的变换是以原点O 为位似中心且相似比为13的位似变换，所以CD ＝1，OD ＝2，即C(2，1)．故选A.2．C3．C [解析] 如图所示，点P 即为所求，故点P 的坐标为(－3，2)．4．B 5.(－2，0) 6．3∶1 7．(2，2)8．1 [解析] 根据A(8，4)，B(8，0)可得AB ＝4.因为相似比为14，所以把线段AB 缩小后的线段A′B′的长等于14AB ＝1.9．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．点A 2的坐标为(－2，－2)．10．解：(1)分别延长BO ，CO 到点B′，C′，使OB′，OC′的长度是OB ，OC 长度的2倍，顺次连接三点即可．如图．(2)B′(－6，2)，C′(－4，－2)．(3)点M 的对应点M′的坐标为(－2x ，－2y)． 11．B12．B [解析] 通过位似把△AOB 放大到原来的两倍，则对应点的横、纵坐标分别乘2或－2，故点P(m ，n)的对应点的坐标为(2m ，2n)或(－2m ，－2n)．13．D [解析] 把图形向右平移1个单位，则点C 与坐标原点O 重合，点B′的横坐标变为a ＋1，此时△ABC 以原点为位似中心的位似图形是△A′B′C ，则与点B′对应的点B 的横坐标为－12(a ＋1)，把该点向左平移1个单位，则得到点B 的坐标为－12(a ＋1)－1，即为－12(a ＋3)．14．(1，0) 或(－5，－2) 15.(3，4)或(0，4)16．(53，－4) [解析] 如图，作出△AOB 的位似图形△AO′B′，过点B′作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为E.∵△AB′O′是△ABO 关于点A 的位似图形， ∴AO AO′＝BEB′C. ∵点A 的坐标为(3，0)，点O′的坐标为(－1，0)，点B 的坐标为(2，－3)， ∴AO ＝3，AO′＝4，BE ＝3，∴34＝3B′C ，∴B′C ＝4.易得△O′B′C ∽△OBE ，∴OE CO′＝BEB′C ，即2CO′＝34，∴CO′＝83，∴OC ＝83－1＝53， ∴点B′的坐标为(53，－4)．17．解：(1)△A 1B 1C 1如图所示，A 1(1，－3)，B 1(4，－2)，C 1(2，－1)．(2)△A 2B 2C 2如图所示．。
平面直角坐标系中的位似变换
2
标是（ D ）
y
A
A' A''
B''
A.(3，2) C.(12，8)
O
x
B'
B
B.(12，8)或（-12，8） D.(3，2)或（-3，-2）
(2)、在平面直角坐标系中，四边形OBCD与四边形OEFG位似，位似
中心是原点O，已知C与F是对应点，且C、F的坐标分别是C（3,7）F
（9,21），那么四边形OBCD与四边形OEFG的相似比是 1:3 ，
复习提问：
从下列图形中找出位似图形 ： （1）（2）（4）
（1）
（2）
（3）
1、什么是位似图形？ 2、如何判断两个图形位似？ 3、怎样求两个图形的位似比？
（4）
学习目标
重点:能熟练在坐标系中根据坐标的变化规律做出位似图形 难点:理解位似图形的坐标变换规律.
问题探究
探究一：
如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为
坐标 都
C
乘以
-
1 2
，画出所得到的图形，你发
现了什么？
x
探究点拨：当图中各点的 横、纵坐标缩小一定的倍 数k，依次连接各点所得到 新图形与原图形 位似 ， 位似中心是 坐标原点，位似 比是 |k| 。
定理 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘 同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形 位似 ，位似中心是 坐标原点 ， 它们的位似比为 |k| .
D、 (m , n ) 22
课堂小结
定理
平面直角坐标系 中的位似变化
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横 坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形 与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似 比位|k|.
位似图形变换中各点坐标的求法
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位似图形变换中各点坐标的求法
作者：谭家建
来源：《数学金刊·初中版》2012年第04期
位似变换是新课标下的一种特殊的相似变换，教科书重点研究了平面直角坐标系下引起位似变换图形各个点坐标的求法，而且位似中心在原点这种特殊情况，对于以图形中任意一点为位似中心进行变换后的点的坐标求法大多数同学存在困惑，下面我们以位似中心在不同位置进行求解.
归纳总结
将一个图形按照一定的相似比k放大或缩小，设位似中心的坐标为（a，b），图形中某个点的坐标为A（m，n），那么变换后A的横坐标为k（m－a）+a或k（a－m）+a，对应的纵坐标为k（n－b）+b或k（b－n）+b. 以上结论对于任意多边形都适用.。
位似变换
=面积比的算术平方根.
位似
【例3】(2011·安徽中考)如图，在边长为1个单位长度的小
正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到
△A1B1C1;
(2)以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到 原来的两倍，得到△A2B2C2.
【解析】选D.对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形.
选项中两个图形的对应角都相等，A、B中只要两个对应角相
等就可以判定相似；C中正方形的四条边都相等，一定对应成 比例；只有D中的两个矩形对应边不成比例.
4.(2010· 潍坊中考)如图所示，一般书本的纸张是原纸张多 次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对 开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 AB 等于(
AD
)
(A)0.618
(B) 2
2
(C) 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(D)2
【解析】选B.∵矩形ABCD∽矩形AEFB，
∴ AB =
AD
矩形AEFB的面积 2 . 矩形ABCD的面积 2
1.相似多边形判别的条件： (1)对应角相等.(2)对应边成比例. 两个条件缺一不可. 2.相似多边形的性质： 相似比=对应边的比=对应周长的比=对应对角线的比
1.成比例线段的判断步骤： (1)统一单位； (2)按大小顺序排列； (3)利用前两项的比是否等于后两项的比或前后两项的积是否 等于中间两项的积来判断.若是,则成比例，否则不成比例. 2.比例尺： (1)比例尺= 图上距离.
实际距离
(2)单位要统一.
相似图形 【例2】等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似,A与
位似图形坐标之间的关系
D．(－2，1)或(2，－1)
3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图
形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1，
0)，则E点的坐标为( )
A．(，0)
B．(，)
C．(，)
D ．(2，2)
4．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与 小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a， b)对应小鱼上的点的坐标是____________．
变化，你有什么发现？
8 6 4
B〞2
-8 -6 -4 -2 O
A〞-2
-4 -6
-8
A A'
2 4 6B 8 B'
位似变换后A，B的对应点为A ' （ 2 ，1 ），B'（ 2 ， 0 ）；A" （－ 2，－ 1 ），B" （ － 2 ， 0 ）．
探究
如（4， 0），以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点 坐标的变化，你有什么发现？
的坐标是(2，1)，则点A′的坐标是( )
A．(4，2)
B．(－2，－1)
C．(－4，－2)
D．(－1，－2)
2．在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－ 2)，以原点O为位似中心，相似比 为，把△EFO缩小， 则点E的对应点E′的坐标是( )
A．(－2，1)
B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4)
至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能 说出它们之间的异同吗？在图所示的图案中，你能找到这些变换吗？
小结
▪ 1、在平面直角坐标系中，如果位似变换是 以原点为位似中心，相似比为k，那么位似 图形对应点的坐标的比等于k或-k，则像上
位似对应点坐标公式
位似对应点坐标公式位似对应点坐标公式，这可是个在数学世界里有点小神秘但又超级实用的家伙！咱先来说说位似是啥。
想象一下，有两个图形，它们不仅形状相同，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，这就是位似啦。
就好比两个相似的双胞胎，只不过一个大一点，一个小一点，但是五官比例啥的都一样。
位似对应点坐标公式呢，就是用来描述这两个相似图形中对应点坐标之间关系的神奇公式。
比如说，如果位似中心是坐标原点 O ，原图形上一点的坐标是（x，y），位似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标就是（kx，ky）或者（-kx，-ky）。
记得有一次，我给学生们讲这个知识点。
当时有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，你想想啊，假如你是个建筑师，要设计一个大楼的模型，是不是得根据实际大楼和模型的比例关系来确定模型上每个点的位置呀？这公式就能帮你算出来！”那孩子似懂非懂地点点头。
在实际解题中，这个公式能帮咱们省不少事儿。
比如说，给你一个三角形，告诉你位似中心和位似比，让你求位似后的三角形顶点坐标。
这时候，只要把原来顶点的坐标按照公式一计算，答案就出来啦。
不过，同学们在运用这个公式的时候可别马虎。
一定要搞清楚位似中心的位置，还有位似比是正数还是负数。
有一次考试，有个题给出的位似比是 -2 ，好多同学都忘了还有负数这回事，结果全做错啦，那叫一个可惜哟！其实啊，数学里的每个公式就像是一把钥匙，能帮我们打开知识的大门。
位似对应点坐标公式这把钥匙，能让我们更轻松地探索图形的奥秘。
大家在学习的时候，多做几道练习题，把这个公式用熟了，以后遇到相关的问题就能轻松应对啦。
就像骑自行车，刚开始可能摇摇晃晃，但练得多了，就能自由自在地在路上飞驰啦！希望大家都能和位似对应点坐标公式成为好朋友，让数学学习变得更有趣、更轻松！。
图形的位似变换与坐标
A′( 4 ,6 ), B′( 4 ,2 ), C′( 12 ,4 )
y
A'
6
4 A
3
2
B'
C
1
B
o
2
4
6
还有其他办法吗?
C'
x
12
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别 为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,相 似比为2,将△ABC放大.
（2）一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一； （3）将一个图形放大或缩小而保持形状不变.
复习回顾
如何把三角形ABC放大为原来的2倍?
E
B
O
C
F
D
A
D
B
O
C
F
A
E
对应点连线都交于_位__似___中__心____ 对应线段___平___行__或__在___一__条__直___线__上_________
放大后对应点的坐标分别是多少?
A′( -4 ,-6 ), B′( -4 ,-2 ), C′( -12 ,-4 )
y
A
C
B
x
o
B”
A”
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐
标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以 原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形.
y
A(5,4)
A’(10,4)
C(5,1)
C’
0
B(3,0) B’
D(5,-1)
x
D'
E(4,-2)
E’(8,-2)
人教版九年级下册位似—两个位似图形坐标之间的关系课件
A
y
D
A′
B
D′
B′
C
C′ o
x
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
A′′ (3,-3 ), B′′ ( 4,-1 ), C′′ ( 2,0 ), D′′ ( 1,-2 )
A
y
D
B
C ′′
Co
x
B ′′
D ′′
A ′′
巩固训练
1. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点 坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的相 似是 2 : 3.
A′(-3,3)，B′(-4,1)，C′(-2,0)，D′(-1,2).
或 A′′(3,-3)，B′′(4,-1)，C′′(2,0)，D′′ (1,-2).
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的
坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出
它的一个以原点O为位似中心,位似比为1:2的位似图形.
投影—“动” 悉重难点
解：画法一：将四边 形 OABC 各顶点的坐
标都乘 2 ；在平面 3
直角坐标系中描点O
(0，0)，A' (4，0)，B'
(2，4)，C′ (－2，2)，
用线段顺次连接O，
A'，B'，C'.
y 6
4 C
C' 2
－4
O
－2
－4
B B'
A' A 6x
用坐标描述位似变换教学设计
§27.3位似
第二课时
丁兴儒
教学目标
知识与技能
了解用坐标描述位似变换的基本原理，理解关于原点为位似中心的坐标变换规律，能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出相应点的坐标，能运用位似原理作出位似图形
过程与方法
1、坐标描述位似变换是位似变换进行位置上的精确刻画，是继轴对称、平移、旋转运用坐标轴描述图形变换后，利用“数形结合”描述的又一范例
2、平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同。
练习设计
1、教材P51第5题、P52第7题
2、基础训练同步练习
板书设计
课题：用坐标描述位似变换
1、复习导入3、例题
2、探究新知
4、学生练习
位似变换中对应点的坐标变换规律：5、课堂小结
6、作业
教学反思
学生动手实践完成后，请学生代表说出自己得到的各个点的坐标，并大胆猜想出自己发现的坐标变化规律。请有不同意见的同学说出自己得到的坐标和发现的坐标变化规律。
问：两位同学得出不同的结果，你们认为谁对谁错？（学生讨论）
问：两个同学都对，为什么会出现这样的结果？（学生再次讨论）
两个同学选择的位似方向不同，是他们得到不同结果的原因。位似图形可以在位似中心的同侧也可以在位似中心的两侧，所以得到的坐标也就不同。
2、在直角坐标系中，能利用原点为位似中心的坐标变化规律找出相应点的坐标，能根据位似中心和相似比作出相应图形，能根据位似图形找出位似中心和位似比
3、学生自己总结平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同，更进一步理解图形变换的区别
情感、态度与价值观
通过作图培养学生动手能力ห้องสมุดไป่ตู้利用位似变换的基本原理，培养学生“数形结合”解决问题的思想，并在教学过程中，鼓励学生大胆尝试、猜想，增强学生学习数学的信心
4.8图形的位似
讲
授
在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使
新
OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；
课
顺次连接D，E，F，则△ DEF与△ABC位似，相似
比为２．
满足条件的 △DEF可以在点
Ｏ的另一侧吗？
知识点 3 位似图形的画法
画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以
在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一个顶点上)；
注意：①这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边 的比.②一般情况下，若没有限定条件，此种类型的题目 要注意多种可能．
1. 【中考·辽阳】如图，在边长为1的小正方形组成的网
随
堂
格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是
检
以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格
测
点(网格线的交点)上，则点P的坐标为( )
A．(0，0)
B．(0，1)
C．(－3，2)
D．(3，－2)
【中考·烟台】如图，在平面直角坐标系中 ，正方形
随 堂
ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
检 测
且相似比为
1 3
，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的
边长为6，则C点坐标为( A )
A．(3，2)
B．(3，1)
C．(2，2)
第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点； 第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．
知识点 3 位似图形的画法
注意： (1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多 边形的一个顶点为位似中心画图最简便． (2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与 新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比． (3)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一．
1.4图形的位似+课件+2024—2025学年青岛版数学九年级上册
做法：取格点M，N，P，Q，连接
MP，NQ，分别交AB 于点G，H，
此时，
=
= ，
=
点G，H 将线段AB 三等分.
= ，即
知4－练
感悟新知
知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B
两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中
感悟新知
知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1 的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝
1∶2.
感悟新知
知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与
△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
感悟新知
知识点 4 平面直角坐标系中的位似
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，
它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变
换是全等变换，而位似变换是相似变换.
感悟新知
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标
相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标
清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形
与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换
后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
感悟新知
知3－练
例 4 [新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四
边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似
第2课时 位似图形与坐标
·数学
探究点二:平面直角坐标系中的位似变换 【例2】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4), C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是
;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比
(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比 为2),画出图形;
解:(1)如图.
·数学
(2)分别写出B,C两点的对应点B′,C′的坐标; (3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点M′的坐标.
解:(2)B′(-6,2),C′(-4,-2). (3)M′(-2x,-2y).
为2∶1,点C2的坐标是
;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
·数学
【导学探究】 1.把△ABC向下平移4个单位长度则各顶点的 纵 2.点A2在线段BA的延长线上且BA2等于 2 BA.
解:(1)如图所示,C1(2,-2). (2)如图所示,C2(1,0).
(3)因为 A2 C22 =20,B2 C22 =20,A2 B22 =40, 所以△A2B2C2 是等腰直角三角形,
所以△A2B2C2 的面积是 1 × 20 × 20 =10.
2
坐标减去 4 .
·数学
1. 如图,已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2),(-2,3),(-1,0),把它们的横 坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍,得到点A′,B′,C′.下列说法正确的是 ( B) (A)△A′B′C′与△ABC位似,位似中心是点(1,0) (B)△A′B′C′与△ABC位似,位似中心是点(0,0) (C)△A′B′C′与△ABC相似,但不位似 (D)△A′B′C′与△ABC不相似
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教学活动2
1、以导入坐标系中矩形为例，学生在自制坐标系中移动点的位置（B — A，A-D，D-C，C-B），研究点的移动与坐标的变化关系。形成规律，在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或（左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y），或（x-a，y）；将点（x，y）向上（或向下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y+b ）或（x，y-b）．
教师归纳： 从上例可以得到在对图形进行放大或缩小时，变换前后的横、横坐标与相似比有关系．
拓展延伸：请同学们将图24．6．7中△AOB放大3倍，并感悟其变化．
学生活动：小组合作交流，从比较中掌握规律．
教学活动6
六、随堂练习，巩固深化
如图，将网格中的小船进行如下变换：
1．写出小船各顶点坐标．
2．将上述小船的各顶点纵坐标都乘以-1，画出变化后的图形．
3．你能将小船向左平移3个单位，然后再放大2倍吗？试一试．
教学活动7
七、课堂总结，提高认识
由学生自己进行小结，在形式上可以分四人小组，在小组小结后再在大组总结．
平移
(1)沿x轴左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变：
（2）沿Y轴上下平移时，横坐标不变,纵坐标上加下减
轴对称
图形关于x轴对称：
对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数
画出⊿AOB关于原点对称的⊿A′OB′，你又有什么发现？学生活动：动手动图，进行比较
教师活动：在学生讨论的基础上归纳
图形旋转关于原点对称规律：
（5）关于原点对称，对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数
教学活动4
四、应用新知，巩固新知
1）多媒体展示，师生共同完成如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，4），B（3，1），C（1，3）．
（1）将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A′、B′、C′，依次连接A′ 、B′、C′各点，所得△A′B′C′与原△ABC大小、形状和位置上有什么关系？
（2）将△ABC三个顶点的纵坐标都减去4，横坐标不变，分别得到点A″、B″、C″，依次连接A″、B″、C″各点，所得△A″B″C″与△ABC大小、形状和位置上有什么关系？
教学目标
一、情感态度与价值观
培养数形结合的思想，感受图形上点的坐标变化与图形变化之间的关系，认识其应用价值．
二、过程与方法
经历图形坐标变化与图形平移、对称、旋转、放大、缩小等之间的关系，发展学生的形象思维．
三、知识与技能
理解点或图形的变化引起的坐标的变化规律，以及图形上的 点的坐标的某种变化引起的图形变换，并应用于实际问题中．
《图形的变换与坐标》教学设计方案
课题名称
《图形的变换与坐标》
科目
数学
年级
九年级
教学时间
1课时（45分）
学习者分析
学生虽然已经学习了平移、旋转，对称，相似、位似等的概念和性质，也学习了点在坐标系中的表示，但要让动态图形和坐标联系起来还不是很容易，好在本班学生在长时间的培养中已经习惯于动手，动脑，小组讨论交流，探讨问题，总结规律等活动，学习积极，对数学兴趣很浓，这些都为本节课的学习打下了基础。
(1)沿x轴左右平移时，横坐标左减右加，纵坐标不变
2)将自制三角形，放在坐标系中，记录三个顶点的坐标，再沿y轴上下平移，记录移动后对应点的坐标，小组观察讨论，总结规律。小组代表回答：
（2）沿Y轴上下平移时，横坐标不变,纵坐标上加下减
教师活动：提出思考问题．
在课本图中将⊿AOB沿着x轴对折，得到⊿A′OB，对应顶点的坐标有什么变化？
教学重点、难点
重点：图形坐标变化与图形变换之间的关系。
难点：图形坐标变化 与图形变换规律的探究。
教学资源
1．教师准备：课件、投影仪、制作投影片．
2．学生准备：预习本节课内容，准备坐标纸 ．
《图形的变换与坐标》教学活动过程描述
教学活动1
1、矩形公园ABCD的长宽分别是6千米, 4千米,以公园中心为原点建立坐标系,写出各顶点的坐标.找出各点的关系
图形关于y轴对称：
对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等
旋转
Байду номын сангаас图形关于原点对称：
对应点的横坐标和纵坐标都互为相反数
位似
在对图形进行放大或缩小时，变换前后的横、横坐标与相似比有关系．
教学活动8
八、布置作业，拓展延伸
1）课本P66习题第2题．
2）在平面直角坐标系中（如图24．6-15），描出下列各点：（0，0），（-1，-2），（3，0），（-1，2），（0，0 ），（-2，1），（-2，-1），（0，0）并将点用线段依次连接起来，观察得到的图形，你觉得像什么？如果将这个图形 放大2倍，你能写出放大后相应的坐标吗？
学生活动：应用轴对称观点得出O、B两点坐标不变，点A坐标与点A′坐标关于x轴对称，即点A′（2，-4）．猜想：图形关于x轴对称规律：
（3）关于x轴对称，对应点的横坐标相等、纵坐标互为相反数
再将⊿AOB沿着y轴对折，得到⊿A′OB，对应顶点的坐标有什么变化？猜想：图形关于y轴对称规律：
（4）关于y轴对称，对应点的横坐标互为相反数、纵坐标相等
2)动手操作．学生活动：在课本上画出“试一试”中的图形，观察变换前后的对应顶点的坐标变化情况，然后与同伴交流．
教师活动：在学生讨论的基础上归纳．说明x轴对称点的特点．
教学活动5
五、继续探究，分析归纳
课本图表示△AOB和它缩小后得到的△COD，你能求出它们的相似比吗
学生活动：从图形中观察可以很容易地得到OD=2，OB=4，它们的相似比为1：2，且△OCD与△OAB的位似中心为点O．它们的顶点 坐标变化是：横、纵坐标都是原坐标的 ，即C（1，2），D（2，0），但是点O坐标不变． （这是特殊点）
2、拓展延伸：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
教学活动3
三、动手操作，启发诱导、探索结论；
学生活动：
1)学生将自制三角形，放在坐标系中，记录三个顶点的坐标，再沿x轴左右平移，记录移动后对应点的坐标，小组观察讨论，总结规律。