切比雪夫大数法则
大数定律
随机变量的其它特征数: 随机变量的其它特征数:矩
1.原点矩:对于正整数k,若 )<+∞,称 1.原点矩:对于正整数k,若E(Xk)<+∞,称Exk 原点矩 k, k=1,2,...,为随机变量X k=1,2,...,为随机变量X的k阶原点矩， 为随机变量 阶原点矩， 简称k阶矩. 简称k阶矩. 2.中心矩:对于正整数k,若E[(X2.中心矩:对于正整数k,若E[(X-EX)k]<+∞, 中心矩 k, k=1,2,...,为随机变量 为随机变量X 称E(X-EX)k k=1,2,...,为随机变量X的 E(Xk阶中心矩. 阶中心矩. EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩 分别是一阶原点矩和二阶中心矩. 注: EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩.
分位数和中位数
定义 ： 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x )， 密度函数为 p ( x )， 对任意 α ( 0 < α < 1)， 假如 xα 满足条件 F ( xα ) = ′ 假如 xα 满足条件 ′ 1 F ( xα ) =
∫p ( x ) dx = α
∞
xα
则 xα 称为 X 分布的 α 分位数 ， 或称 α 下侧分位数 。
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律） 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且均存在有限方差， {Xn}相互独立，且均存在有限方差，且方差 相互独立 其中常数C 无关， D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关， 则对任意的ε>0 ，有 则对任意的ε>0
对任意给定的 ε > 0， 上式右端随着 n → ∞ 而趋向于零 。
大数定律
设随机变量序列{X 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常 使得对任意的ε> ε>0 数a，使得对任意的ε>0，有
切比雪夫不等式及大数定律 PPT课件
P{20 X 100 20} P{| X 100 | 20}
10 1 202 0.975
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例2 在每次试验中事件A发生的概率为0.5 .试用切比
雪夫不等式估计在1000次独立的试验中,事件A发生的 的次数在450至550次之间的概率.
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为 E( X ) 100 , 方差为 D( x) 10 2 ,试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解: 由切比雪夫不等式有: P{80 X 120} P{80 100 X 100 120 100}
由切比雪夫不等式 ，对任意 0,
有：
0
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi ) |
}
1 1 n
C
2
D( n
i 1
Xi)
n 2
.
从而：lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi
)
|
0}
0
证毕 .
推论： 设相互独立的随机变量 X1, X2L , Xn,L 服从相同
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
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的分布，且 E( Xi ) , D( Xi ) 2, i 1, 2L ,
切比雪夫不等式及大数定律
的数学期望
方差
E(X )
D( X ) 2 存在，则对任意的
0, 有： P
即有 P X
证:
仅就连续型随机变量的
X
2
2 1 2
2
（5）
（4）
f (x)
情形进行证明.
设 X 的概率密度函数为
f (x)则有来自P X PX
|x|
f
( x)dx
|x|
(
x
2
)2
f ( x)dx
1
2
(x
)2
f
( x)dx
2 2
.
证毕.
例1 已知随机变量 X 的数学期望为
E( X ) 100 ,
方差为
D( x) 10 ,2 试估计 X 落在( 80 , 120 )内的概率.
解:
由切比雪夫不等式有:
P{80 X 120}
P{80 100 X 100 120 100}
即在进行精密测量时，为减少测量误差，可以重复 测量多次，然后用测量值的平均值来代替实际的真值. 当测量次数充分大时，这一平均值与其真值差的绝对 值大于任一小的正数几乎是不可能的,这样就保证了测 量的精度.
p
p
p
n
N
因此，只能求其次，去求证下面两式成立：
（2）
P| fn p | 0 或
（3）
lim P
n
|
fn
p |
0
或
为此 , 先来证明概率论中一个重要的不等式——
P| fn p | 1
lim
n
P|
fn
p
|
1
切比雪夫不等式.
一 . 切比雪夫不等式
切比雪夫大数法则
切比雪夫大数法则（Chebyshev's Law）是概率论中的一个重要定理，它描述了在任意概率分布下随机变量与其均值之间的关系。
该定理由俄罗斯数学家切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）于1867年提出。
切比雪夫大数法则的表述如下：
对于任意一个随机变量，无论其概率分布是什么样的，至少有（1 - 1/k^2）的观测值落在以均值为中心的k倍标准差的范围内，其中k是大于1的任意实数。
简单来说，这个定理告诉我们，对于任意一个概率分布，无论其形状如何，至少有大部分（具体比例由k的大小决定）的数据点会落在均值附近的一个范围内。
而且，随着k值的增大，这个范围也会变得更宽，包含更多的观测值。
切比雪夫大数法则的应用范围广泛，特别是在统计学和概率论中，它提供了一种对数据的分布进行估计和推断的方法。
虽然该法则给出了一个宽泛的范围，但在某些情况下，它可能没有提供很具体的信息。
因此，在实际应用中，需要结合其他的统计方法和技术进行更精确的分析。
切比雪夫不等式与大数定理优选PPT文档
（
.
）
E(X) E(X)
E(X)
易知 D(X )越大Ｘ的取值越分散．
下面仅对连续型Ｘ证明定理结论：
对 于 任 意 ε, 正 数
P{XE(X)ε} f (x)dx l: xE( X )
l:
(xE(X))2
xE(X)
2
f(x)dx
(xE(X))2
2
f(x)dx
12
(xE(X)2 )f(x)dx D (
limP fn p0 D弱是 弱B是是存1D弱41下 1D是是下易易41D1DP弱弱88888aoiiiii切切eeeee大相大相n在大面相相面知知大大29222rfdddddn次n14111比比数 互数 互 ， 数 仅互 互 仅 数 数:::::u:,iiii独88888t1nnnn雪雪y定独 定独则定对 独独对定定i6nDDDDDOOOO立数 事 C夫夫理立 理立对理连 立立连理理MSeeeee越 越kkkkh重ccccctaaaa不不ae， ，于续 ，，续22222......大大ttttyb复（（（（（oooo等等.服 服任型 服服型yvvvvＸＸs试辛辛辛辛辛为 实 oooo式式p从 从意Ｘ 从从Ｘh,,,,的的验钦钦钦钦钦e的 RRRR与与同 同正证 同同证或 v取取,uuuu中定定定定定大大由 一 一整明 一一明ssss(值值事理理理理理ssss上 0数数分分数定分分定iiiin越越aaaa件））））） 定定布 布理 布布理ln 分分（（（（（ 理理i1的 的结 的的结f散散弱弱弱弱弱m )A 随 随论 随随论．．分 大大大大大P 机 机： 机机：数数数数数. k定定定定定n布 f1A n )理理理理理A X ,11111及 的的的的的k,推推推推推p(广广广广广其 伯 ））））） 中 X 努 1,1X利 2,..X 大 .n相数 可 互定 得 独理 上 立立 面 均 . 刻 结 服
切比雪夫不等式与大数定律
第六讲切比雪夫不等式与大数定律主讲教师叶宏副教授概率论与数理统计的研究内容是随机现象的统计规律性，而随机现象的规律性是通过大量的重复试验才呈现出来的.研究大量的随机现象，常常采用极限方法，利用极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.设随机变量X 的期望E (X )与方差D (X )存在，则对于任意实数ε> 0,2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-切比雪夫不等式或2)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-理论价值证明大数定律等等实用价值估计概率例已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X ，则EX =7300, DX =7002≤P (5200 X 9400)≤= P (-2100 X -E (X ) 2100)≤≤= P ( |X -E (X )| 2100)≤≤=P (5200-7300 X -7300 9400-7300)≤2)2100()(1X D -≥98911=-=估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/92)(1)|)((|εεX D X E X P -≥<-2)()|)((|εεX D X E X P ≤≥-22140.5{6}_____X Y P X Y +≥≤例设随机变量和的数学期望分别为－和，方差分别为和，而相关系数为－，则{6}{()()6}P X Y P X Y E X Y +≥=+-+≥由切比雪夫不等式()()()220,E X Y E X E Y +=+=-+=解: ()()()2cov(,)D X Y D X D Y X Y +=++()()2()()3XY D X D Y D X D Y ρ=++=2()1612D X Y +≤=大数定律大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景：大量抛掷硬币正面出现频率伯努利大数定律设n A 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数, p 是每次试验中A 发生的概率,则0>∀ε有0lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞→εp n n P A n 或1lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n n P A n 依概率收敛频率p伯努利大数定律的意义理论价值给概率的统计定义提供了理论依据在概率的统计定义中, 事件A发生的频率“稳定于”事件A在一次试验中发生的概率实用价值如命中率等在n足够大时, 可以用频率近似代替p. 这种稳定称为依概率稳定.切比雪夫大数定律且具有相同的数学期望和方差,2,1,)(,)(2===k X D X E k k σμ则0>∀ε有01lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∑=∞→εμn k k n X n P 或11lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∑=∞→εμn k kn X n P ,,,,21n X X X 相互独立，设随机变量序列辛钦大数定律且具有数学期望(),1,2,k E X k μ==,,,,21n X X X 相互独立同分布，设随机变量序列当n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术均值数学期望近似代替可被定理的意义平均数法则12~(2),(,,),,1_______n n i X E X X n Y X n→∞=∑ 例设总体为其简单随机样本则时依概率收敛于12,,,n X X X 因为独立同分布，22212,,,n X X X 所以也独立同分布，22()i i i E X DX EX =+（）2111=()422+=因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21.2i EX =。
3-5切比雪夫不等式与大数定律
切比雪夫不等式与大数定律
主要内容（2学时）
一、切比雪夫不等式
二、依概率收敛简介
三、大数定律（难点） 1、切比雪夫大数定律
2、伯努利大数定律
3、辛钦大数定律
一、切比雪夫不等式
1、马尔科夫不等式
设X 是只取非负值的随机变量,且具有数学期望E ( X ), 则 对于任意正数 , 有 P{ X } E( X )
证 : nA代表n重伯努利试验中A发生的次数, nA
第i次试验中A发生 1 令X i 0 第i次试验中A没发生 (i 1, 2, ..., n)
B(n, p)
则
nA X1 X 2 ... X n
Xi
B(1, p) E( X i ) p, D( X i ) p(1 p) nA 1 n 1 n 又 X Xi = , E( X ) E( X i ) p n i 1 n n i 1
（证明见下页）
说明：
重要性在于: 不知道X的分布( f ( x ), pk )情况下,通过 E ( X )估计事件{ X }的概率下限.
证 : 以连续型X 证明, 设X的概率密度为f ( x ). X 只取非负值, 故x 0时, f ( x ) 0
E( X )
0
xf ( x )dx x f ( x )dx
P(0.01n X 0.75n 0.01n) P( X E ( X ) 0.01n)
D( X ) 0.1875n 1875 1 1 2 1 2 (0.01n) 0.0001n n
依题意，取 1
1875 0.9 n 1875 解得 : n 18750 1 0.9
切比雪夫大数定理
83 6 P(| X 1000 | 60) 1 2 0.7685 108 60
6
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大 时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出 现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数 , 则 X ~ B(n,0.75)
14
例2：从某工厂的产品中任取200件来检查，结果发现 其中有6件次品，能否相信该工厂产品的次品率 p 1% ? 解：假设该工厂的次品率 p 1% ，则检查200件产品 其中次品率 X 6 的概率
x X P( X 6) C 200 (0.01) x (0.99) 200 x 1 C 200 (0.01) X (0.09) 200 X 200 5
并且方差是一致有上界的，即存在常数C，使得
DX i C, i 1,2,..., n,..., 则对于任意的正数
，有
1 n 1 n lim P(| X i EX i | ) 1 n n i 1 n i 1
10
证：我们用切比雪夫不等式证明该定理。
1 n 1 n E ( X i ) EX i n i 1 n i 1
因为n=200很大，且p=0.01较小，所以可按近似公式计 算，我们有 200 0.01 2 ；从而得到
2 x 2 P( X 6) 1 e 1 (0.1353 0.2707 0.2707 0.1804 x 0 x! 0.0902 0.0361) 0.0166
切比雪夫大数定理
切比雪夫大数定理数学上有一个定律，又称马尔可夫大数定律。
它的内容是：任何大于零的偶数都能被写成两个素数之和，并且这两个素数相差一。
它常被用来表示很难用计算的随机性现象，例如：切比雪夫大数定理：1、同义词不同(1)辛钦大数定律：就是说，每一个不小于1的自然数，都能写成不小于它本身的两个素数的乘积。
(2)切比雪夫大数定律：它反映了自然数与非零整数的依存关系。
它说明任何一个不等式都可以化成这样一个式子，如果等号右边各项的系数依次为1，则所得到的新的不等式正好是原不等式的左边项的平方和加上其余系数的代数和，即两边的数的和为0。
(3)在西方也叫做多项式的函数。
(3)在西方也叫做多项式的函数。
辛钦大数定律的基本思想是“两个变量的线性组合”，这种思想源自对分式运算的研究，辛钦大数定律把分式运算放到定律中，这就使这种定律有了“一般性”，它体现了某些普遍规律。
切比雪夫大数定律是大数定律发展的第二阶段。
切比雪夫在这个定律的基础上又作出了新的推广，使大数定律得到进一步发展。
(4)切比雪夫大数定律：说明任何一个不等式都可以化成这样一个式子，如果等号右边各项的系数依次为1，则所得到的新的不等式正好是原不等式的左边项的平方和加上其余系数的代数和，即两边的数的和为0。
如果用一般形式表示，即α1+α2α+α3+…+αn=0，这个式子可以变形为：(1)现实中人们所指的大数定律，是指数的大数定律。
它是一条重要的数学结论。
它的发现者是法国数学家贝努瓦。
在巴黎的一家小餐馆里，贝努瓦遇见了几位会拉小提琴的穷兄弟，他们对贝努瓦说：“老板，我们真没钱付饭钱。
”贝努瓦立刻联想起了牛顿的名言：“世界上最美丽的东西是看不见的”。
贝努瓦为什么不让餐馆老板赔偿呢？餐馆老板向法国著名的数学家，几何学家切比雪夫求助，而切比雪夫立刻从他的微积分计算出了α1+α2α+α3+…+αn=0，当时，他虽然不知道这个定理，但是贝努瓦在第一眼看到他时就认出他来了，他不禁脱口而出：“您就是切比雪夫教授！”(1)现实中人们所指的大数定律，是指数的大数定律。
大数定理
1 n 1 n P k E k 0 ， n k 1 n k 1
即
1 n 1 n lim P k E k 1. n n n k 1 k 1
1 n 记 n k (下同), 则 lim P{| n E n | } 1. n n k 1
2
P{| 7300 | } 1
700 2
.
700 2 8 故 P{| 7300 | 2100} 1 0.8889. 2 2100 9 即 P{5200 9400} 0.8889.
例 2、 设电站供电网有 10000 盏电灯， 夜晚每一灯开灯 的概率都是 0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同 时开着的灯数在 6800 与 7200 之间的概率。 解 设夜晚同时开着的灯数为 。
【注】1.贝努利大数定理的意义： 记事件 A 在 n 次试验中发生的次数为 n ， 则
n
n
为A
在 n 次试验中发生的频率，所谓频率具有稳定性是指当 n 很大时， 频率
n
n
与某个常数 p 很接近， 或
n
n
与常数 p 有
较大偏差的概率很小。
即
n lim P p 1 n n
而贝努利大数定理从理论上证明了大量重复的随机试 验中，事件 A 发生的频率具有稳定性。
n 频率 依概率收敛于 p P( A) 。 n
n 频率 确实是概率 P ( A) p 的近似值，且试验次数 n
越多，精变量的和，令：
1 第k 次试验中A发生； k 0 第k次试验中A不发生。 且 1 , 2 , , n 相互独立，则
切比雪夫不等式及大数定律
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
1.1 切比雪夫不等式
在随机变量 X 分布未知的情况下，可以利用切比雪夫不等式对随机事件 {| X E(X ) | } 的概率进行估计．例如，当 3 D( X ) 时，有
P{| X E(X ) | 3 D(X )} 8 0.888 9． 9
也就是说，随机变量 X 落在以 E(X ) 为中心，以 3 D( X ) 为半径的邻域内的概率很大，而 落在该邻域之外的概率很小．当 D( X ) 较小时，随机变量 X 的取值就越集中在 E(X ) 附 近，而这正是方差这个数字特征的意义所在．
概率论与数理统计
随机变量的数字特征
切比雪夫不等式及大数定律
随机事件在某次试验中可能发生也可能不发生， 但在大量的重复试验中随机事件的发生呈现出明显 的规律性．实际上，大量随机现象的结果均具有稳 定性，大数定律以严格的数学形式阐述了这种稳定 性，揭示了随机现象的偶然性与必然性之间的内在 联系．下面，我们先来介绍证明大数定律的重要工 具—切比雪夫（Chebyshev）不等式．
1， 在第k次试验中事件A发生， X k 0 ， 在第k次试验中事件A不发生，
其中， k 1，2， ，则
Xk
~
n
B(1，p) ，
k 1
Xk
nA
，1 n
n
Xk
k 1
nA n
，1 n
n
E(Xk )
k 1
p，
并且 X1 ，X2 ， ，Xn ， 满足切比雪夫大数定律的条件，于是由切比雪夫大数定律可证明伯努利大数 定律．
1，2 ，
)
，
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n k 1
第五章大数定律与中心极限定理
Xi
1 n
n i 1
E(Xi)
1,
则称{Xn}服从大数定律.
（2）伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例
（3） 伯努利大数定律和切比雪夫大数定律的证明 都用到切比雪夫不等式，而且需要方差存在。
定理 5.1.4. 辛钦大数定律
设X1, X 2 ,..., X n,...是独立同分布的随机变量序列，
意义：只要试验次数够大，发生事件的频率无限接近于 概率，频率稳定性，频率代替概率。
定理 5.1.3. 切比雪夫大数定律
设X1 , X 2 ,, X n ,是一相互独立的随机变 量序列，
它们的数学期望和方差 均存在，且方差有共同 的上界，
即存在常数 K 0，使得 D ( X i ) K , i 1,2, ,
不等式给出了X 与它的期望的偏差不小于的概率
的估计式.
例 1 E( ) 4, D( ) 0.2, 则由切比雪夫不等式知
P{| 4 | 2} P{| 4 | 1}
,
P{ X
}
2 2
,
P{1 7}
定义 5.1.1设{X n}是一个随机变量序列，a是常数，
若对于任意的 0，有
已知整个系统中至少有84个部件正常工作，系统
工作才正常.试求系统正常工作的概率.
解： 记Y为100个部件中正常工作的部件数，则
Y 近似服从 N(100 0.9,100 0.9 (1 0.9))
即Y 近似服从N (90, 9)
因此，所求概率为
P{Y 84}=1-P{Y<84}=1-P{ Y-90 < 84-90 }
解： 设Xi为第i个螺丝钉的重量，i 1, 2,...,100.
且设X 为一盒螺丝钉的重量.
概率论与数理统计第六章第七章
二、常用的统计量
设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体X的一个样本， X1, X 2 ,, X n 是
这一样本的观察值。定义：
样本平均值（Sample mean） 样本方差(Sample variance)
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n -1
n i 1
(Xi
X )2
Sn2
1 n
n i 1
y2 e 2,
y
0
0,
其它
二、 2 分布
2. 2 分布的性质 （1） 2 分布的可加性
设 12 ~ 2 (n1 )， 2 2～（2 n 2 )
并且 12 , 2 2 相互独立，则有
12 2 2～（2 n1 n 2 )
二、 2 分布
（2） 2 分布的数学期望和方差
若 2 ~ 2 (n)
n i1
Xi
1 n
n i1
E( X i )
D 1 n
n i1
Xi
1 n2
n i1
D(Xi )
1 n2
nC C n
1
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
1
2
D 1 n
n i 1
Xi 1
C
n 2
1
四、辛钦（Khinchin）大数定律 (独立同分布随机变量序列的大数定律)
P 16 Xi 1920 1 P 16 Xi 1920
i1
i1
1 (0.8) 0.2119
因此，这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率近 似为0.2119。
第七章 数理统计的基本概念
切比雪夫大数定律理解
切比雪夫大数定律理解
嘿，朋友！今天咱来聊聊切比雪夫大数定律，这可真是个超级有趣的东西啊！
你想想看，就好像一群小朋友在分糖果。
有的小朋友拿得多，有的拿得少，但是如果分的次数足够多，那平均下来，每个小朋友拿到的糖果不就差不多了吗？这就是切比雪夫大数定律的一个简单例子呀！比如说，我们玩掷骰子游戏，一次两次你可能掷出各种不同的点数，有时候运气好，全是大点数，有时候运气差，都是小点数。
但要是你一直不停地掷下去，掷个几百上千次，那平均下来，每个点数出现的概率不就趋近于相等了吗？
再拿投篮来打比方，你投篮的时候，可能这一次特别准，百发百中，下一次却一个都投不进。
但如果你持续练习，投篮几千次几万次，你的命中率不就会慢慢稳定下来嘛，这不就是切比雪夫大数定律在起作用嘛！
切比雪夫大数定律可不只是在这些小游戏里有用哦！在现实生活中也有着广泛的应用呢。
比如保险公司算保费，他们就是依靠这个定律呀。
他们知道虽然个别客户可能会遭遇很大的风险，但从整体来看，风险是可以被平均和预测的呀！
哎呀，我就觉得这个定律真的太神奇了！它让我们看到在看似混乱和不确定的世界里，其实有着一种潜在的秩序和规律。
它就像一个隐藏的魔法，等着我们去发现和运用。
所以啊，切比雪夫大数定律真的是超级重要的，它能帮助我们更好地理解很多现象和问题，做出更明智的决策呢！。
切比雪夫不等式及大数定律
lni mPYnn p0
贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复
试验，当 n 较大时，事件 A 发生的频率
fn
nA n
做n次 与在每
次试验中发生的概率 p 之差的绝对值大于任意指定正数
的概率可任意地小（接近于0）. 因此，在实践中可以通 过反复试验，用事件发生的频率的来近似地估计它的概率.
证: Yn~B(n,p), EYnnp, D (Y n )n p (1p ),
第一节
第五章
切比雪夫不等式
与大数定律(13)
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
引言:
问题 1 频率稳定性的问题
在相同条件下进行 n 次重复试验，事件 A 发生的频率
fn
nA n
总是在 [0,1] 上的一个确定的常数 p 附近摆动，并且随着
试验次数 n 的增大，越来越稳定地趋于 p 。 如何从理论上说明这一现象？
P { 5 0 X 5 0 0 5 0 } P { |x 5 0 0 | 5 0 }
1
250 502
0.9
二 . 大数定律
贝努里大数定律
定理2 设 Y n 是 n 重 B e r n o u l l i 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ，
p 是 事 件 A 在 每 次 试 验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 任 意 的 0 有
推论： 设 相 互 独 立 的 随 机 变 量 X1,X2 ,Xn, 服从相同
的 分 布 ， 且E ( X i) ,D ( X i) 2 ,i 1 ,2,
则 对 任 意 > 0 ， 有
lni m Pn 1in1
Xi 0
推论说明，若对同一随机现象进行反复观测，则其平
切比雪夫大数定律意义
切比雪夫大数定律意义
【原创实用版】
目录
1.切比雪夫大数定律的定义和意义
2.切比雪夫大数定律与马尔科夫大数定理和伯努利大数定理的异同
3.切比雪夫大数定律的应用案例
4.切比雪夫大数定律在实际生活中的意义
正文
切比雪夫大数定律是概率论中的一个重要定理，它为我们提供了一种估计随机变量方差的方法。
切比雪夫大数定律的意义在于，它告诉我们，当随机变量的方差存在时，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将越来越接近其数学期望。
切比雪夫大数定律与马尔科夫大数定理和伯努利大数定理有着密切
的联系。
这三者都是大数定律的一种表现形式，但它们适用的条件和推导过程有所不同。
马尔科夫大数定理要求随机变量具有独立的二项分布，而伯努利大数定理则要求随机变量具有独立的伯努利分布。
切比雪夫大数定律的条件是随机变量的方差存在，且方差的上限为常数 c。
因此，切比雪夫大数定律可以看作是马尔科夫大数定理和伯努利大数定理的推广。
在实际应用中，切比雪夫大数定律可以帮助我们解决许多实际问题。
例如，在金融风险管理中，我们可以利用切比雪夫大数定律来估计投资组合的方差，从而衡量投资组合的风险。
在统计学中，切比雪夫大数定律可以为我们提供一种估计总体方差的方法，从而提高统计推断的准确性。
在现实生活中，切比雪夫大数定律同样具有重要意义。
当我们面临大量重复实验时，切比雪夫大数定律告诉我们，实验结果的平均值将越来越接近真实值。
这为我们提供了一种快速估计真实值的方法，从而提高了决策的准确性。
综上所述，切比雪夫大数定律在理论和实践中都具有重要意义。
《概率论与数理统计》-4
现在，希望 Φ ( x) = 0.99 ．查正态分布表，得满足这个等式的
x
从而，只要供应320 Q 瓦电力便能以99%的概率 保证该车间的机器正常工作．
0 = 1 C500 × 0.010 × 0.99500 C1 × 0.011 × 0.99499≈ 0.960 500
24；
②用泊松分布近似计算 λ = np = 5
50 5 51 5 P { X ≥ 2} ≈ 1 e e ≈ 0.959 57 0! 1!
③用正态分布近似计算．
1 np P { X ≥ 2} ≈ 1 P { X < 2} = 1 P { X ≤ 1} ≈ 1 Φ np (1 p) = 1 Φ (1.797 8) = 0.963 27.
( kσ , + kσ )
例1 已知随机变量
X 的期望 E ( X ) = 14 ，方差 D ( X ) =
35 3 ，试估计
P {10 < X < 18} 的大小．
解 因为
P {10 < X < 18} = P {10 E ( X ) < X E ( X ) < 18 E ( X )} = P { X 14 < 4} ,
ε
c ,使得 D( X ) ≤ c,
i
i = 1 2 3 …，n ，，，
,有
n
1 lim P n →∞ n
∑
i =1
1 Xi n
∑
E( X i ) < ε = 1 i =1
n
… 推论（辛钦大数定理）设随机变量 X 1，X 2， ，X n
相互独立且服从同一分布,
E ( X i ) = ，D( X i ) = σ 2 < +∞
#4.4 大数定律与中心极限定理
首先，我们介绍一下切比雪夫（Chebyshev）不等式.
定理一 （切比雪夫（Chebyshev）不等式） 设随机变量 X 具有数学期望 E(X),方差 D(X)2,
则对于任意正数 ,不等式
P{X }2 2
成立.这一不等式称为切比雪夫（Chebyshev） 不等式.
上市m公1 司的
股n计t(m入1指) 数；记
为pt (k时) 刻第t
家上市公k司的股票单价， 时刻股票t的权重 是指
该wk上(k) 市公司总股价 占全部nt上(k)市pt(k公) 司股票总股价
的份额：
wt(k) m
nt(k)pt(k)
nt(k)pt(k)nt(m1)pt(m1)
k1
X
1 n
n
Xk
k 1
接近于数学期望
E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X k )
这种接近是在概率意义下的接近.即在定理的条件
下，n个随机变量的算术平均，当 n无限增加时几
乎变成一个常数.
设 Y1,Y2, ,Yn,是一个随机变量序列，a是一个常数.
若对任意正数 ，有 ln i m P{Yna}1
k1
例如：单支股价为5元，而今日收盘时该支股票的单 价为5.1元，这表示一天之后该支股票股价上涨了百 分之二，上证综指前一日收盘时的指数是3500点， 而今日收盘时的指数是3675点，这表示一天之后， 上交所所有股票的平均市值上涨了百分之五；当然， 在这一天的交易中，各支股票有涨有跌，即使在股票 大涨的行情下，股市也仍然是几人欢喜几人愁.假设某 人现有30万元现金急需投资股市，而现在股市各股的 平均股价为5元每股，且证交所规定股民购买任何一 家上市公司的股票不得少于1000股，现该投资人不 想冒个股的暴涨或暴跌风险，而只需望自己的投资不 论增值或亏损均与大盘的涨跌幅度大致相一致，试根 据大数定律，设计一个适合该投资人的投资方案；若 该投资人希望自己的投资不论增值或亏损均与大盘蓝 筹股的涨跌幅度大致相一致，试根据大数定律，设计 一个适合该投资人的投资方案.