理论力学-质点动力学
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ma = ∑Fi
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。 等于作用在质点上力系的合力。
§9-2 质点运动微分方程
设有质点M，其质量为m，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
§9-2 质点运动微分方程
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下
1.确定研究对象，选择适当的坐标系； 确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.进行受力分析，画出相应的受力图； 进行受力分析，画出相应的受力图； 3.进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 求解问题所需的运动量 4.列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 还是第二类问题 分别用微分或积分法求解； 第二类问题， 还是第二类问题，分别用微分或积分法求解； 5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。 根据需要对结果进行必要的分析讨论。
其中
ɺ ɺ ɺ v2 = s2 = lθ = l 2θ 2
( )
2
ɺ l 2θ 2 FN = mgcosθ + m l
质点运动微分方程
x
——应用举例 应用举例
解：4. 讨论 ： 本例如果采用直角坐标形式建 立运动微分方程，建立如图所示 的直角坐标系，
mɺɺ = ∑Fix x
根据 y
mɺɺ = −FNsinθ x mɺɺ = mg − FNcosθ y
ɺ mɺɺ = ∑Fi (t ,r, r) r
i
矢量形式
mɺɺ = ∑Fix x
i
直角坐标形式
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
§9-2 质点运动微分方程
ɺɺ ms = ∑Ft i
i
自然坐标形式
m
ɺ s2
ρ
= ∑Fn i
i
0 = ∑Fb i
iLeabharlann Baidu
其中
ɺɺ = at s ɺ s2
ρ
=
v2
其中第一式描述了系统的运动，也就是所要求的单摆运动微 分方程；第二式给出了杆对球约束力的表达式。 。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动
在小摆动的条件下，摆作微幅摆动， 这时，
sin θ ≈θ
于是，运动微分方程中的第1式变为
ɺ θɺ + θ = 0
g l
质点运动微分方程
F v2
♣ 工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
动力学研究物体上作用的力系和物体机械运 动之间的一般关系， 动之间的一般关系，主要是对给定的运动物体 建立力学模型， 建立力学模型，或者对给定的受力物体建立描 述其运动状态变化的模型，总之， 述其运动状态变化的模型，总之，是要建立研 究动力学问题的基本方程和普遍定理。 究动力学问题的基本方程和普遍定理。
－这是已知力求运动，属于第二 类动力学问题。 质点的运动轨迹为圆弧，故采 用弧坐标比较合适。于是，建立 弧坐标系如图中所示。于是，有
mɺɺ = ∑Fiτ s i 2 n ɺ s m = ∑Fin ρ i n o = ∑Fib i
n
ɺ ɺ s ɺɺ s = lθ , s = lθ , ɺɺ = lθ
i
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
其中x、y、θ三个变量相互不独立，所以需要建立x、y、θ 三个变量之间的关系，因而会给求解方程带来困难。也就是说 上述方程虽然是正确的，但解题过程不方便。
第三篇 动力学
工程动力学的研究对象： 工程动力学的研究对象： 质点——质点动力学 质点 质点动力学 质点系（包括刚体） 质点系（包括刚体）——质点系动力学 质点系动力学 前者是后者的基础。 前者是后者的基础。
第三篇 动力学
动力学主要研究两类问题： 动力学主要研究两类问题： 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
理论力学
第三篇 动力学
动力学研究物体的机械运动与物体上作用的 力系之间的关系， 力系之间的关系，建立物体机械运动的普遍规 律。
♣ 工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
♣ 工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道的长 度，则需要多大的初速度 和多长时间才能达到飞离 甲板时的速度。
第三篇 动力学
第9章 质点动力学的基本方程 章
质点动力学(dynamics of a particle)研究作用于质点上 质点动力学 研究作用于质点上 的力和质点运动之间的关系。 的力和质点运动之间的关系。本章主要研究质点在惯性 系中的运动微分方程。 系中的运动微分方程。
第9章 质点动力学 章
质点运动微分方程 结论与讨论 参考性例题
其通解为
θ = Asin( ωnt +ϕ)
其中常数A 和 ϕ 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力， 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
mɺɺ = −mg sin θ s ɺ s2 m = FN − mg cosθ l
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：1. 单摆的运动微分方程：
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
ρ
= an
§9-2 质点运动微分方程
质点动力学的两类基本问题： 质点动力学的两类基本问题： 第一类问题——若已知质点运动，求作用于质点的力。 第一类问题 若已知质点运动，求作用于质点的力。 若已知质点运动 （求导问题） 求导问题） 第二类问题——若已知作用于质点的力，求质点的运动。 若已知作用于质点的力，求质点的运动。 第二类问题 若已知作用于质点的力 （解微分方程（求积分）问题） 解微分方程（求积分）问题） 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。
§9-1 质点动力学的基本定律
1、牛顿第一定律 、 2、牛顿第二定律 、
（惯性定律） 惯性定律）
d ( mv ) = F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律） 、 作用与反作用定律）
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (mv) = ∑Fi dt i 当质点的质量为常量时
若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速度， 则需要弹射器施加多大推力， 或者确定需要多长的跑道。
♣ 工程实际中的动力学问题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
♣ 工程实际中的动力学问题
v1 棒球在被球棒击打 后，其速度的大小和 方向发生了变化。 方向发生了变化。如 果已知这种变化， 果已知这种变化，即 可确定球与棒的相互 作用力。 作用力。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
单摆由一无重量细长杆和固结 在细长杆一端的重球组成。杆长为 OA=l，球质量为m.
试求：
m
1. 单摆的运动微分方程； 2. 在小摆动的假设下分析摆的运动； 3. 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解： 1. 单摆的运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动 分析小摆动条件下，
ɺ θɺ + θ = 0 g l
根据物理知识， 根据物理知识，引入 g ωn = l 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 二阶线性齐次微分方程
2 ɺ θɺ + ωnθ = 0
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。 等于作用在质点上力系的合力。
§9-2 质点运动微分方程
设有质点M，其质量为m，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
§9-2 质点运动微分方程
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下
1.确定研究对象，选择适当的坐标系； 确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.进行受力分析，画出相应的受力图； 进行受力分析，画出相应的受力图； 3.进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 求解问题所需的运动量 4.列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 还是第二类问题 分别用微分或积分法求解； 第二类问题， 还是第二类问题，分别用微分或积分法求解； 5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。 根据需要对结果进行必要的分析讨论。
其中
ɺ ɺ ɺ v2 = s2 = lθ = l 2θ 2
( )
2
ɺ l 2θ 2 FN = mgcosθ + m l
质点运动微分方程
x
——应用举例 应用举例
解：4. 讨论 ： 本例如果采用直角坐标形式建 立运动微分方程，建立如图所示 的直角坐标系，
mɺɺ = ∑Fix x
根据 y
mɺɺ = −FNsinθ x mɺɺ = mg − FNcosθ y
ɺ mɺɺ = ∑Fi (t ,r, r) r
i
矢量形式
mɺɺ = ∑Fix x
i
直角坐标形式
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
§9-2 质点运动微分方程
ɺɺ ms = ∑Ft i
i
自然坐标形式
m
ɺ s2
ρ
= ∑Fn i
i
0 = ∑Fb i
iLeabharlann Baidu
其中
ɺɺ = at s ɺ s2
ρ
=
v2
其中第一式描述了系统的运动，也就是所要求的单摆运动微 分方程；第二式给出了杆对球约束力的表达式。 。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动
在小摆动的条件下，摆作微幅摆动， 这时，
sin θ ≈θ
于是，运动微分方程中的第1式变为
ɺ θɺ + θ = 0
g l
质点运动微分方程
F v2
♣ 工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
动力学研究物体上作用的力系和物体机械运 动之间的一般关系， 动之间的一般关系，主要是对给定的运动物体 建立力学模型， 建立力学模型，或者对给定的受力物体建立描 述其运动状态变化的模型，总之， 述其运动状态变化的模型，总之，是要建立研 究动力学问题的基本方程和普遍定理。 究动力学问题的基本方程和普遍定理。
－这是已知力求运动，属于第二 类动力学问题。 质点的运动轨迹为圆弧，故采 用弧坐标比较合适。于是，建立 弧坐标系如图中所示。于是，有
mɺɺ = ∑Fiτ s i 2 n ɺ s m = ∑Fin ρ i n o = ∑Fib i
n
ɺ ɺ s ɺɺ s = lθ , s = lθ , ɺɺ = lθ
i
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
其中x、y、θ三个变量相互不独立，所以需要建立x、y、θ 三个变量之间的关系，因而会给求解方程带来困难。也就是说 上述方程虽然是正确的，但解题过程不方便。
第三篇 动力学
工程动力学的研究对象： 工程动力学的研究对象： 质点——质点动力学 质点 质点动力学 质点系（包括刚体） 质点系（包括刚体）——质点系动力学 质点系动力学 前者是后者的基础。 前者是后者的基础。
第三篇 动力学
动力学主要研究两类问题： 动力学主要研究两类问题： 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
理论力学
第三篇 动力学
动力学研究物体的机械运动与物体上作用的 力系之间的关系， 力系之间的关系，建立物体机械运动的普遍规 律。
♣ 工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
♣ 工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道的长 度，则需要多大的初速度 和多长时间才能达到飞离 甲板时的速度。
第三篇 动力学
第9章 质点动力学的基本方程 章
质点动力学(dynamics of a particle)研究作用于质点上 质点动力学 研究作用于质点上 的力和质点运动之间的关系。 的力和质点运动之间的关系。本章主要研究质点在惯性 系中的运动微分方程。 系中的运动微分方程。
第9章 质点动力学 章
质点运动微分方程 结论与讨论 参考性例题
其通解为
θ = Asin( ωnt +ϕ)
其中常数A 和 ϕ 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力， 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
mɺɺ = −mg sin θ s ɺ s2 m = FN − mg cosθ l
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：1. 单摆的运动微分方程：
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
ρ
= an
§9-2 质点运动微分方程
质点动力学的两类基本问题： 质点动力学的两类基本问题： 第一类问题——若已知质点运动，求作用于质点的力。 第一类问题 若已知质点运动，求作用于质点的力。 若已知质点运动 （求导问题） 求导问题） 第二类问题——若已知作用于质点的力，求质点的运动。 若已知作用于质点的力，求质点的运动。 第二类问题 若已知作用于质点的力 （解微分方程（求积分）问题） 解微分方程（求积分）问题） 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。
§9-1 质点动力学的基本定律
1、牛顿第一定律 、 2、牛顿第二定律 、
（惯性定律） 惯性定律）
d ( mv ) = F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律） 、 作用与反作用定律）
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (mv) = ∑Fi dt i 当质点的质量为常量时
若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速度， 则需要弹射器施加多大推力， 或者确定需要多长的跑道。
♣ 工程实际中的动力学问题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
♣ 工程实际中的动力学问题
v1 棒球在被球棒击打 后，其速度的大小和 方向发生了变化。 方向发生了变化。如 果已知这种变化， 果已知这种变化，即 可确定球与棒的相互 作用力。 作用力。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
单摆由一无重量细长杆和固结 在细长杆一端的重球组成。杆长为 OA=l，球质量为m.
试求：
m
1. 单摆的运动微分方程； 2. 在小摆动的假设下分析摆的运动； 3. 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解： 1. 单摆的运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动 分析小摆动条件下，
ɺ θɺ + θ = 0 g l
根据物理知识， 根据物理知识，引入 g ωn = l 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 二阶线性齐次微分方程
2 ɺ θɺ + ωnθ = 0