理论力学-质点动力学
理论力学-质点动力学的基本方程 PPT课件
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。
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§9-2 质点运动微分方程
设有质点 M ，其质量为 m ，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
12
§9-2 质点运动微分方程
) m r Fi (t , r, r
1、牛顿第一定律 2、牛顿第二定律
（惯性定律）
d mv F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律）
10
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (m v ) Fi dt i 当质点的质量为常量时
m a Fi
2 0 n
其通解为
A sin( n t )
20
其中常数A 和 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
v2 FN mgcos m l g sin 0 l
7
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
当研究飞行器姿态动力
学时，可将其视为刚体系或 质点系。
动力学主要研究两类问题：
若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题；
若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
9
§9-1 质点动力学的基本定律
g g t 2 (1 e kt ) k k
理论力学教学材料7质点动力学ppt课件
( 式中 r r(t) 为质点矢径形式的运动方程 )
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
( 式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
5
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
Fgez '
FgCz '
17
自然轴投影：
m
d 2sr dt 2
F
Fge
特殊情况：
m vr2
Fn
Fgen FgCn
(1)当动系相对于静参考系作平动时，因ac=0，则FgC =0。于 是：
mar F Fge
(2)当动系相对于静参考系作匀速直线运动时，因ae=0和 ac=0 ，则Fge =0， FgC =0 ，于是：相对运动动力学基本方
令
Fge mae
——牵连惯性力
FgC maC ——科氏惯性力
16
则：
mar F Fge FgC
这就是质点相对运动动力学基本方程。
直角坐标投影： d 2 x' m dt 2 Fx' Fgex' FgCx'
m
d 2 y' dt 2
Fy '
Fgey '
FgCy '
m
d 2z' dt 2
Fz '
发射初速度大小与初发射角 0 为
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
理论力学知识总结
学生整理，时间有限，水平有限，仅供参考，如有纰漏，请以老师、课本为主。
第一章质点力学（1）笛卡尔坐标系 位置：k z j y i x ++=r速度：k z j y i x dtr d ...v ++== 加速度：k z j y i x dtv d ......a ++== （2）极坐标系坐标：j i e r θθsin cos += j i e θθθcos sin +-= r e r =r 速度：r r .v = .v θθr =加速度:2...θr r a r -= .....2θθθr r a += （3）自然坐标系（0>θd ） 坐标：ds r d e t =θd e d e t n = θρd ds = 速度：t e v v = 加速度：n t e v e v ρ2.a +=（4）相对运动（5）牛顿运动定律 牛顿第一定律：惯性定律 牛顿第二定律：)(a m v m P dtP d dt v d m F ==== 牛顿第三定律：2112F F -= （6）功、能量vF dt rd F dt dW P rFd dA ⋅=⋅=== （7）（7）有心力第二章 质点动力学的基本定理知识点总结： 质点动力学的基本方程质点动力学可分为两类基本问题:. (1) .已知质点的运动，求作用于质点的力; (2) 己知作用于质点的力，求质点的运动。
动量定理 动量：符号动量定理微分形式动量守恒定律：如果作用在质点系上的外力主失恒等于零，质点系的动量保持不变。
即：质心运动定理：质点对点O 的动量矩是矢量mv r J i ⨯= 质点系对点0的动量矩是矢量i ni nii i i v m r J J ∑∑=⨯==1若z 轴通过点0，则质点系对于z 轴的动量矩为∑==ni z z z J M J ][若C 为质点系的质心，对任一点O 有 c c c J mv r J +⨯=02. 动量矩定理∑∑=⨯=⨯=nie i i n i i i i M F r v m r dt d dt dJ )()( 动量矩守恒：合外力矢量和为零，则动量矩为常矢量。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
理论力学 质点动力学
第8章质点动力学
[例8-1]桥式起重机跑车吊挂一质量为m的重物，沿水平横梁作
ν
匀速运动，速度为，重物中心至悬挂点距离为l。
突然刹车，
重物因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：1）以重物为研究对象2）受力分析mg
F T
a n a t 3）运动分析4）牛顿第二定律
ϕ
sin mg ma t −=ϕ
cos mg F ma T n −=∑=t
t F ma ∑=n
n F ma 5）补充方程
ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=
mg
F T
a n a t ϕsin mg dt
dv
m −=ϕcos 2
mg F l
v
m T −=0<dt
dv 重物减速
=ϕ0
max v v =max
T T , 0F F ==时ϕ)
1(20
max
T gl
v
mg F +=
a n
F N
a t
a n
ma
mg
F N
a t a n
mg
O
解释非惯性系一些物理现象
飞机急速爬高时
飞行员的黑晕现象
爬升时：a > 5g
惯性参考系——地球
非惯性参考系——飞机
动点——血流质点
牵连惯性力向下，从心脏流向头部的血流受阻，造成大脑缺血，形成黑晕现象。
飞行员的黑晕与红视现象
在北半球的弹道偏右;在南半球的弹道偏左
a
C
F
IC。
质点动力学(理论力学课件)
在地球表面，任何物体都受到重力G的作用。在重力作用下
得到的加速度称为重力加速度，用g表示。根据第二定律有 G=mg 或 m=G/g
式中的G和g分别是物体所受的重力和重力加速度的大小， 根据国际计量委员会规定的标准，重力加速度的数值为
9.80665m/s，一般取9.80m/s。
实际在不同的地区，g的数值有些微小的差别。
车梁及柱的振动。
③在机械工程中对高速转动机械的动力分析需要应用动力学的
理论基础。
比如高速转动的转子，若重心不在转轴上（由误差引起）， 转速很高时将引起轴承破坏（此问题在制造和安装中都不容 易克服）。在动力学有关章节将进一步介绍。
④在宇宙飞行及火箭推进技术研制中都需要用到动 力学的基本理论。
第二宇宙速度就是理论指导实践的最典型的例子。 在上世纪50年代，第二宇宙速度早已在理论上得到 承认，但也有人（指理论力学专家）不相信。
,
ab 0
式中τ和n为轨迹切线和主法线的单位矢量。
a v
an
v
2
式中为轨迹的曲率半径。
于是，质点运动微分方程在自然轴上的投影式为：
ma F i
i 1 n
n
mr
F
i 1
n
i
man Fni
i 1
（11-5）
0 Fbi
i 1
n
式中 Fti、Fni、Fbi 中分别是作用于质点的各力在切线、主法线 和副法线上的投影。式（11-4）和（11-5）是两种常用的质 点运动微分方程。
⑤求解未知量。根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动
的初始条件，求出质点的运动。
29
例1、小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。
理论力学11质点动力学基本方程
m
研究小球
受力分析
运动分析
FT
建立直角坐标系， 根据质点运动微分方程
Fix max: FT sin ma0
y
mg
Fiy may: mg FT cos 0
x
a0 a0
FT sin ma0 mg FT cos 0
解得绳的倾角以及绳中的张力分别为
arctan a0
g FT m a02 g2
y
v
积分两次，得到
m
v0
x C1t C3
y
1 2
gt2
C2 t
C4
O
mg
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt 2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程
y
tan x
2v02
g
cos2
x2
可见，其轨迹为抛物线
[例4] 摆动输送机由曲柄带动货架 AB 输送质量为 m 的木箱。已知曲
动力学
动力学： 研究力与运动之间的关系 动力学第Ⅰ类问题： 已知运动求力 动力学第Ⅱ类问题： 已知力求运动
第十一章 质点动力学基本方程
一、质点动力学基本方程
F ma 式中，m 为质点质量、 a 为质点加速度
F 为作用于质点上的合力，即 F Fi
一、质点动力学基本方程
F ma
说明： 1）在国际单位制中，m 的单位为 kg、a 的单位为 m/s2、 F 的单位为 N
0.35
O1
0 aA
A
O2
m
B
所以，木箱与货架间静摩擦因数的最小值
理论力学 质点动力学(共114张PPT)
容，本课程只作适当的复习或让学生自学。 牵连惯性力向上，使血流自下而上加速流动，造成大脑充血，形成红视现象。
动点－血流质点
上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式
分析小摆动条件下，摆的运动
牵连惯性力向下，从心脏流
确将定式一 B的个表自达由式质对点ω在求空一间次的导位数置并需令要其三等个于独零立，坐可标以，发所现以，空此间时自振由幅质B点有有极三大个值自，向由即度头在。共部振的固有血圆流频率受阻，造成大脑
研究作用在物体上的力系与物体运动的关系，主要 是建立运动物体的力学模型，亦即建立描述受力物体运 动状态变化的数学方程，称为动力学问题的根本方程和 普遍定理。
工程动力学的研究对象是质点和质点系〔包括刚体〕， 因此动力学一般分为质点动力学和质点系动力学，前者是 后者的根底。
第7章 质点动力学
研究作用在质点 上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯 性与非惯性系下的运动微分方程和简单的振动问题。
v1
F v2
棒球在被球棒击打后， 其速度的大小和方向发 生了变化。如果这种变 化即可确定球与棒的相 互作用力。
v2 v1
B A
载人飞船的交会与对接
工程动力学主要研究两类问题，一类是：物体的运动，确 定作用在物体上的力；另一类是：作用在物体上的力，确定物 体的运动。实际工程问题中多以这两类问题的交叉形式出现。 总之，工程动力学研究作用在物体上的力系与物体运动的关系。
maa F
aa ae ar aC
m(ae ar aC ) F
mar F mae maC
m ar F FIe FIC
FIe m ae－称为牵连惯性力(connected inertial force) FIC m aC 2mω vr
理论力学(9.2)--质点动力学的基本方程
dt
vx
v
0
e
m
t
vy
mg
(1
e
m
t
)
t 0 时x， y 0
积分
x
v0
m
(1
e
m
t
)
y dy
0
O
y
x dx
0 t
0
v0 FM
Pv
t 0
v0
e
m
t
dt
mg
(1
e
m
t
x
)dt
y
mg
t
m2g
2
(1
e
m
t
)
属于第二类基本问 题 。
其中 b l sin
F
mg cos
1.96N
v
Fl sin2 m
2.1m s
属于混合问 题 。
例 9-4 已知：粉碎机滚筒半径为 Ｒ， 绕 通过 中心的水平
轴 匀速转 动 ，筒内铁 球由筒壁上的凸棱带 着上升。为
了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0 时
例 9-3
已知：一圆锥摆 , 如图所示。质量 m=0.1kg 的小
球系于长 l=0.3 m 的绳上 , 绳的另一端系在固定点
O, 并与铅直线 成60
角。
求：如小球在水平面内作匀速圆 周运动 ，小球的速 度与绳 的张 力。
解： 研究小球
m v2 b
F sin
F cos mg 0
理论力学习题-质点动力学基本方程
理论力学习题-质点动力学基本方程.(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--104第9章 质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。
( √ )2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。
( × )3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。
( × )4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。
( √ )5. 凡运动的质点一定受力的作用。
( × )6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。
( × )二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。
2．质点动力学的基本方程是∑=i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m22∑=nFv m ρ2∑=b F 0。
、 、1053．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b=+，其中0v 为初速度，b 为常数。
则作用于质点上的力=F 2020()mbv b v t -+。
5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。
飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vP gr+。
三、选择题1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。
(A) mg(B) )(a g m +(C) )(a g m -(D) 02．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。
(A) 0=+x m cx(B) 0)(=-+s x mcxδ (C) g x m cx s =-+)(δ (D) 0)(=++s x mcxδ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-，坐标选择如图所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段( A )，下降段( A )。
理论力学质点动力学
˙ 、和时 质点的加速度¨ r 和作用力F 成正比。一般情况下，力可以是坐标r、速度r 间t 的函数。这里m 为惯性质量。
1.2 动量、角动量和能量
(1) 动量与冲量 动量的定义：p = mv；冲量：Fdt； 动量定理： ˙ = F(r, r ˙ , t), p dp = Fdt；动量对时间的变化率等于力。 冲量定理：p2 − p1 = p1 ，意味着动量守恒。 (2) 角动量与力矩 角动量的定义：J = r × p. 力矩：M = r × F.
Contents
1 质点动力学 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 牛顿动力学方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 动量、角动量和能量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各种坐标系下的牛顿方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 4
r
F · dr = V (r) − V (0)
0 r
=
0 r
dV ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∇V · dr.
0
=
0 r
=
r
(F − ∇V ) · dr = 0.
0 r
(1.6)
因为路径是任意的，故F = ∇V ，可以看出V (r) = V (0) + 0 F · dr，只要知 道保守力的表达式，即可由此得到势能的表达式。注意，这里如果假定无穷远 处为能量零点，即可得F = −∇V 。 (iii) 机械能 机械能：势能和动能之和 T + V 。 对于保守力，我们有 dT = F • dr = −∇V (r) • dr = −dV 。 于是，d(T + V ) = 0，即机械能守恒。
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若已知初速度、一定的时 间间隔后飞离甲板时的速度， 则需要弹射器施加多大推力， 或者确定需要多长的跑道。
♣ 工程实际中的动力学问题
爆 破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
♣ 工程实际中的动力学问题
v1 棒球在被球棒击打 后，其速度的大小和 方向发生了变化。 方向发生了变化。如 果已知这种变化， 果已知这种变化，即 可确定球与棒的相互 作用力。 作用力。
ɺ mɺɺ = ∑Fi (t ,r, r) r
i
矢量形式
mɺɺ = ∑Fix x
i
直角坐标形式
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
§9-2 质点运动微分方程
ɺɺ ms = ∑Ft i
i
自然坐标形式
m
ɺ s2
ρ
= ∑Fn i
i
0 = ∑Fb i
i
其中
ɺɺ = at s ɺ s2
ρ
=
v2
理论力学
第三篇 动力学
动力学研究物体的机械运动与物体上作用的 力系之间的关系， 力系之间的关系，建立物体机械运动的普遍规 律。
♣ 工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
♣ 工程实际中的动力学问题
若已知推力和跑道的长 度，则需要多大的初速度 和多长时间才能达到飞离 甲板时的速度。
——应用举例 应用举例
解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动 分析小摆动条件下，
ɺ θɺ + θ = 0 g l
根据物理知识， 根据物理知识，引入 g ωn = l 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 上式可以化为二阶线性齐次微分方程的标准形式 二阶线性齐次微分方程
2 ɺ θɺ + ωnθ = 0
其通解为
θ = Asin( ωnt +ϕ)
其中常数A 和 ϕ 由初始条件决定。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：3. 在运动已知的情形下求杆对球 的约束力 ： 现在是已知运动，要求力， 现在是已知运动，要求力，属于第 一类动力学问题。 一类动力学问题。 根据已经得到的单摆运动微分方程
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
－这是已知力求运动，属于第二 类动力学问题。 质点的运动轨迹为圆弧，故采 用弧坐标比较合适。于是，建立 弧坐标系如图中所示。于是，有
mɺɺ = ∑Fiτ s i 2 n ɺ s m = ∑Fin ρ i n o = ∑Fib i
n
ɺ ɺ s ɺɺ s = lθ , s = lθ , ɺɺ = lθ
第三篇 动力学
工程动力学的研究对象： 工程动力学的研究对象： 质点——质点动力学 质点 质点动力学 质点系（包括刚体） 质点系（包括刚体）——质点系动力学 质点系动力学 前者是后者的基础。 前者是后者的基础。
第三篇 动力学
动力学主要研究两类问题： 动力学主要研究两类问题： 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知运动求作用力，则称为动力学第一类问题； 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 若已知作用力求运动，则称为动力学第二类问题。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉形式出现。
F v2
♣ 工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
动力学研究物体上作用的力系和物体机械运 动之间的一般关系， 动之间的一般关系，主要是对给定的运动物体 建立力学模型， 建立力学模型，或者对给定的受力物体建立描 述其运动状态变化的模型，总之， 述其运动状态变化的模型，总之，是要建立研 究动力学问题的基本方程和普遍定理。 究动力学问题的基本方程和普遍定理。
mɺɺ = −mg sin θ s ɺ s2 m = FN − mg cosθ l
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
解：1. 单摆的运动微分方程：
ɺ θɺ + sinθ = 0 v2 FN = mgcosθ + m l g l
ma = ∑Fi
i
质点的质量与质点加速度的乘积 等于作用在质点上力系的合力。 等于作用在质点上力系的合力。
§9-2 质点运动微分方程
设有质点M，其质量为m，作 用其上的力有 F1，F2，…, Fn， 合力为 FR ，根据牛顿第二定律， 质点在惯性系中的运动微分方程 有以下几种形式：
§9-2 质点运动微分方程
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
求解质点动力学问题的过程与步骤大致如下
1.确定研究对象，选择适当的坐标系； 确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.进行受力分析，画出相应的受力图； 进行受力分析，画出相应的受力图； 3.进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 求解问题所需的运动量 4.列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题 还是第二类问题 分别用微分或积分法求解； 第二类问题， 还是第二类问题，分别用微分或积分法求解； 5.根据需要对结果进行必要的分析讨论。 根据需要对结果进行必要的分析讨论。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例
单摆由一无重量细长杆和固结 在细长杆一端的重球组成。杆长为 OA=l，球质量为m.
试பைடு நூலகம்：
m
1. 单摆的运动微分方程； 2. 在小摆动的假设下分析摆的运动； 3. 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解： 1. 单摆的运动微分方程
i
mɺɺ = ∑Fiy y
i
mɺɺ = ∑Fiz z
i
其中x、y、θ三个变量相互不独立，所以需要建立x、y、θ 三个变量之间的关系，因而会给求解方程带来困难。也就是说 上述方程虽然是正确的，但解题过程不方便。
第三篇 动力学
第9章 质点动力学的基本方程 章
质点动力学(dynamics of a particle)研究作用于质点上 质点动力学 研究作用于质点上 的力和质点运动之间的关系。 的力和质点运动之间的关系。本章主要研究质点在惯性 系中的运动微分方程。 系中的运动微分方程。
第9章 质点动力学 章
质点运动微分方程 结论与讨论 参考性例题
其中
ɺ ɺ ɺ v2 = s2 = lθ = l 2θ 2
( )
2
ɺ l 2θ 2 FN = mgcosθ + m l
质点运动微分方程
x
——应用举例 应用举例
解：4. 讨论 ： 本例如果采用直角坐标形式建 立运动微分方程，建立如图所示 的直角坐标系，
mɺɺ = ∑Fix x
根据 y
mɺɺ = −FNsinθ x mɺɺ = mg − FNcosθ y
ρ
= an
§9-2 质点运动微分方程
质点动力学的两类基本问题： 质点动力学的两类基本问题： 第一类问题——若已知质点运动，求作用于质点的力。 第一类问题 若已知质点运动，求作用于质点的力。 若已知质点运动 （求导问题） 求导问题） 第二类问题——若已知作用于质点的力，求质点的运动。 若已知作用于质点的力，求质点的运动。 第二类问题 若已知作用于质点的力 （解微分方程（求积分）问题） 解微分方程（求积分）问题） 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。 实际工程问题多以两类问题交叉的形式出现。
§9-1 质点动力学的基本定律
1、牛顿第一定律 、 2、牛顿第二定律 、
（惯性定律） 惯性定律）
d ( mv ) = F dt
3、牛顿第三定律 （作用与反作用定律） 、 作用与反作用定律）
§9-2 质点运动微分方程
牛顿第二定律 —— 质点的动量对时间的一阶导数 等于作用在质点上力系的合力。 d (mv) = ∑Fi dt i 当质点的质量为常量时
其中第一式描述了系统的运动，也就是所要求的单摆运动微 分方程；第二式给出了杆对球约束力的表达式。 。
质点运动微分方程
——应用举例 应用举例 解：2. 分析小摆动条件下，摆的运动
在小摆动的条件下，摆作微幅摆动， 这时，
sin θ ≈θ
于是，运动微分方程中的第1式变为
ɺ θɺ + θ = 0
g l
质点运动微分方程