九年级数学上册第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教案北师大版
北师版初中数学九年级上册教案 第1章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
3 正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教师备课素材示例●归纳导入在小学学过有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性质呢？(1)边的性质：__正方形的四条边都相等__；(2)角的性质：__正方形的四个角都是直角__；(3)对角线的性质：__正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角__；(4)对称性：__轴对称、中心对称__．【教学与建议】教学：归纳矩形、菱形的性质探求正方形的性质．建议：通过演示操作，发现正方形与矩形、菱形之间存在的特殊与一般的关系．●情景导入做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．今天我们先来学习正方形的有关知识．【教学与建议】教学：实际操作从矩形中折叠出正方形，感知正方形．建议：借助图形的特征从边、角、对角线、对称性上分析．正方形的四条边都相等，正方形的四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分．【例1】(1)如图，正方形ABCD中，E是BD上一点，BE＝BC，则∠BEC 为(C)A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°[第（1）题图][第（2）题图](2)如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别于正方形的顶点B，D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E.若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__13__．利用正方形轴对称性可以将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．【例2】(1)用两条直线四等分正方形的面积，不同的画法有(D) A ．一种B ．两种C ．三种D ．无数种(2)如图，正方形ABCD 的边长为1，E ，F 是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB ，EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于(B)A ．1B ．12C ．13D ．14在矩形或正方形中，可以根据垂线段最短或根据两点之间线段最短求最小值．【例3】(1)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点M 为对角线BD 上一动点，ME ⊥BC 于E ，MF ⊥CD 于F ，则EF 的最小值为(B)A ．42B ．22C ．2D ．1[第（1）题图] [第（2）题图](2)如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE ＝1，F 为AB 的中点，P 为AC 上的一个动点，PF ＋PE 的最小值是．综合运用正方形、矩形、三角形等图形的性质，考查综合运用所学知识推理论证的能力．【例4】(1)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为(B)A ．2B ．22C ．2＋1D ．22＋1(2)以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE，则∠BEC 的度数是__30°或150°__．高效课堂教学设计1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2．会利用正方形的性质进行相关计算和证明．▲重点探索正方形的性质定理．▲难点正方形的性质的应用方法．◆活动1 创设情境导入新课(课件)显示投影片：展示生活中有关正方形的图片(多幅幻灯片)．教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形的四条边都相等(小学已学过)；正方形的四个角都是直角(小学已学过)．试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展示，让学生发现：只要矩形有一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．◆活动2 实践探究交流新知【探究1】正方形的概念问题：什么样的图形叫做正方形？归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的__菱形__是正方形．有一组__邻边相等__的矩形是正方形．【探究2】正方形的性质组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳：正方形的性质：(1)边的性质：对边__平行且相等__，四条边都__相等__．(2)角的性质：四个角都是__直角__．(3)对角线的性质：两条对角线__互相垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分一组对角__．(4)对称性：是__轴对称图形__，有__四__条对称轴，也是__中心__对称图形．◆活动3 开放训练应用举例例1 (教材P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F 为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)，∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF；(2)延长BE交DF于点M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF ＋∠F＝90°， ∴∠CBE ＋∠F＝90°， ∴∠BMF ＝90°， ∴BE ⊥DF.例2 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连接AC ，BD 相交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，求DE 的长．【方法指导】过点E 作EF⊥DC 于F ，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE 的长．解：过点E 作EF⊥CD 于F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∠BDC ＝45°， ∴∠EDF ＝45°，∴EF ＝DF. ∵CE 平分∠ACD 交BD 于点E ， ∴EO ＝EF.又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC ＝EC ， ∴Rt △CEO ≌Rt △CEF.∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝2，∴CO ＝12AC ＝22，∴CF＝CO ＝22，∴DF ＝DC －CF ＝1－22，在Rt △DEF 中，由勾股定理，得 DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1. ◆活动4 随堂练习1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A) A ．对角线互相平分 B ．对角线相互垂直 C ．对角线相等D ．对角线互相垂直平分且相等2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)A．14 B．15 C．12 D．173．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B 的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为__(1，0)__和__(1，1)__．(只写一组)4．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠FAG.同理可证：∠GAE＝∠DAE，∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的收获是什么？教学说明：正方形的性质：四个角都是直角、四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，灵活运用其性质和定义解决数学问题．作业：课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4.本节课让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力．。
北师大版(2012)数学九年级上册第1章《正方形的性质与判定》课件
讲授新课
正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一 点，DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证：OE=OF.
D
C
O E
F
A
G
B
讲授新课
证明：在正方形ABCD中 OA=OD，∠AOD=∠AOE=90°， ∵∠ODF+∠DFO=90°， ∠FAG+∠AFG=90°， ∴∠ODF=∠FAG， ∴△DOF≌△AOE， ∴OE=OF.
讲授新课
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平分对角
轴对称图形（4条对称轴）
讲授新课
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四 个全等的等腰直角三角形.
已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相
交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的
讲授新课
如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O ,
MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M , N.
求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN.
证明：（1）∵MN∥AB.
∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4 = 45°. ∴OM = ON. ∵OA= OB,
∴OA- OM = OB - ON,AM=BN. 又∵∠2=∠NBC,AB=BC.
等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
A
D
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定第1课时 正方形的性质教学课件
典例精析
例1 : 如下图在正方形ABCD中,E为CD上一点 , F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系 ？请说明
理由.
A
D
解 : BE=DF,且BE⊥DF.理由如下 :
〔1〕∵四边形ABCD是正方形.
E
∴BC=DC,∠BCE =90° .
B
〔正方形的四条边都相等,四个角都是直角〕
B
C
AB= BC=CD=AD.
已知 : 如右图,四边形ABCD是正方形.対角线AC、BD相交于 点O.求证 : AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
请同学们动手完成以上证明 ？
A
D
O
B
C
提示 : 可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形 , 然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题.
想一想 : 正方形是矩形吗 ？是菱形吗 ？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳结论
相互平分
対角线
対边平行且相等
边
相等
対角线
角
四个角相等都是90°
正方形
対称性
边
四边相等
対角线
相互垂直且 平分対角
轴対称图形〔4条対称轴〕
三 正方形性质定理的应用
定理证明
已知 : 如右图,四边形ABCD是正方形. 求证 : 正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.
证明 : ∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC . 〔正方形的定义〕
又∵正方形是平行四边形.
A
D
∴正方形是矩形, 〔矩形的定义〕
【精选】九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定第1课时教案新版北师大版
第一章《特殊平行四边形》《正方形的性质与判定》(第1课时)【教学目标】1.知识与技能了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．2.过程与方法经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．3.情感态度和价值观培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．【教学重点】探索正方形的性质定理．【教学难点】掌握正方形的性质的应用方法．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、复习回顾(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?菱形的性质有哪些呢？让学生分别从边、角、对角线等方面回忆它们的性质.二、探究新知1.正方形的定义活动1：满足什么条件的菱形是正方形？问题: 从这个图形中你能得到什么？你是怎样想到的？当=90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.定义1.有一个角是直角的菱形叫做正方形。
活动2：满足什么条件的矩形是正方形？邻边相等定义2.邻边相等的矩形叫做正方形。
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？定义3.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形在生活中随处可见，你能举出一些生活中正方形的例子吗？与同伴交流。
2.正方形的性90°┓质：活动4.正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？正方形既是矩形，也是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
1.对称性：正方形是中心对称图形,对称中心为点O，它也是轴对称图形,有4条对称轴.2.性质：(1)它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分.(2)具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等.(3)具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角.活动5：证明定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等。
已知：正方形ABCD，求证:AB=BC=CD=AD ,∠A=∠B=∠C=∠D.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD ,∵四边形ABCD是正方形∴四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D.证明定理：正方形的对角线相等且互相垂直.已知ABCD是正方形，AC、BD分别是正方形的两条对角线，且交于点O，求证：AC=BD，AC⊥BD.证明：∵ABCD是正方形,∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,∵BC=BC.∴ΔABC≌ΔDCB,∴AC=BD.∵OB=OD,AB=AD,OA=OA,∴ΔAOB≌ΔAOD,∴∠AOB=∠AOD,又∠AOB+∠AOD=90°,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,即对角线互相垂直且相等.三、例题讲解例1．正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=_______.解析：∵四边形ABCD是正方形∴BC=AB=2,∠ABC=90°，在Rt△ABC中，.例2.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.分析：由正方形的性质可推理出PE=AE，PF=OE，PE＋PF＝OA.解：∵ABCD是正方形∴AO=AC=5 ,∠BAC=45°,AC⊥BD 又∵PE⊥AC, PF⊥BD∴四边形PEOF为矩形∴PF=OE∴在△APE中,∠PAE=45°∴AE=PE∴PE+PF=AE+OE=AO=5.例3：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.分析：(1)由正方形的性质得到∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，结合CE=CF，可证△BCE≌△DCF，从而有BE=CF;(2)延长BE交DE于点M,由全等可知∠CBE=∠CDF，借助等量代换得到∠BMF=90°，从而有BE⊥CF.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)如图，延长BE交DE于点M，∵△BCE≌△DCF.∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°.∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.四、巩固练习：1.判断题：（1）四个角都相等的四边形是正方形. （×）(2)四条边都相等的四边形是正方形. （×）（3）对角线相等的菱形是正方形. ( √ ) (4)对角线互相垂直的矩形是正方形. （√）（5）对角线垂直相等的四边形是正方形. ( × )(6)四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. ( √ )2.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.解∵四边形ABCD是正方形,△CDE是等边三角形∴∠BCE=90+60=150°,CB=CE∴∠CEB=15°同理∠AED=15°∴∠AEB=60-15-15=30°3.正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF=8cm，则AC=________.提示：AC=2OA=2(ME+MF)=16cm.4.如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。
新北师大版九年级数学上册《一章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定 正方形的判定》公开课教案_10
第十八章平行四边形第一课时正方形的性质一、教学目标：知识与技能：1.理解正方形的概念。
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别。
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。
过程与方法：经历正方形性质探究过程，在探究中发展学生的观察、推理、归纳论证能力。
情感态度与价值观：通过对正方形性质的推理过程，培养学生合情推理的生活态度。
二、教学重点：探索并证明正方形的性质，应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。
三、教学难点：应用正方形的性质解决相关证明及计算问题。
四、教学方法：讲授法，演示法五、教学过程：（一）课堂引入：前面我们已经学习了平行四边形以及两种特殊的平行四边形，他们都是平行四边形中的一员，今天我们继续来认识平行四边形中另一位成员。
他就是矩形和菱形的孩子——正方形。
（二）新知讲授：知识点一、正方形的定义：首先我们一起来看一下什么叫做正方形。
【学生活动】同学们准备一张草稿纸，将它沿着一个角对折，如图所示：思考：什么样的四边形是正方形？【教师活动】上面我们得到矩形折叠使得领边相等就可以得到正方形，那么菱形经过怎样的变化可以得到正方形呢？【学生】有一个角变成直角。
【教师】正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 因此，正方形既是矩形，又是菱形。
因此，我们可以得出正方形的概念：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；同时我们还可以根据几个特殊的平行四边形之间的变化得出正方形的不同定义：即：领边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形。
针对正方形的概念，我们要注意：(1)正方形的四条边相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形．即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．知识点二、正方形的性质：【教师】同学们想一想：1、正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形有哪些性质？2、正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么，有几条？【分析】：既然刚刚我们说正方形是矩形和菱形的孩子，根据遗传学原理，正方形就应该具有矩形和菱形的基因，同时我们在讲正方形的概念的时候提到，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，那么正方形就应该同时具备矩形和菱形的性质特征，当然也肯定和矩形菱形有区别，所以我们可以通过矩形和菱形的性质来找到正方形的性质。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定第1课时 正方形的性质课件
12/12/2021
第十六页，共十六页。
第十一页，共十六页。
又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°， ∴ ∠1 =∠2. ∴ △AED≌△CFD （ASA）.
∴ DE = DF.
图2
第十二页，共十六页。
随堂演练
1.已知：如图所示，在正方形ABCD中， ΔBEC是等 边三角形，求证(qiúzhèng)：∠EAD＝∠EDA＝15°.
证明(zhèngmíng)∵ΔBEC是等边三角形，∴BE=EC=BC=AB， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一
组对边中点的直线都是它的对称轴.
第六页，共十六页。
例1 如图11，在正方形ABCD中，E为CD 边上一点，F为BC延长线上一点，且CE CF. BE与DF之间有怎么样的关系？请说明理由.
图1-1
第七页，共十六页。
解 ： B E D F , 且 B E D F .理 由 如 下 ： （ 1） 四 边 形 ABC D 是 正 方 形 ，
B C D C , B C E 9 0（° 正 方 形 的 四 条 边 相等，四个角都是直角）. D C F 1 8 0 ° B C E 1 8 0 ° 9 0 ° = 9 0 °. BCE DCF. 又 CE CF, BCE DCF . BE DF.
图1-1
牛刀小试 ： (niú dāo xiǎo shì)
1.如图，将5个边长都为1cm的正方形按如图所示
摆放，点A1、A2、 A3 、A4分别(fēnbié)是正方形的中心，
则阴影部分面积和为
1. A2
A3 A1
A4
2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆则放n个，这点样A1的、正A2方、形…重、叠An分部别分是的正面方积形和的为中心(zhō.ngxīnn)，4 1
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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正方形的性质与判定ppt课件
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
2019秋北师版九数上第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教案
1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质教学目标知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．过程与方法：经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．重难点、关键重点：探索正方形的性质定理．难点：掌握正方形的性质的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容．学法解析1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，•在取得一定的经验的基础上，认知正方形．2．知识线索：3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点．教学过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点．二、实践应用，探究新知【课堂演练】（投影显示）演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于O，MN∥AB，•且分别与OA、OB 相交于M、N．求证：（1）BM=CN；（2）BM⊥CN．思路点拨：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在△BOM与△CON是否全等．（2）在（1）的基础上完成，欲证BM⊥CN．只需证∠5+∠CMG=90°就可以了．【活动方略】教师活动：操作投影仪．组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流．学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题．证：（1）•∵四边形ABCD是正方形，∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形 3 正方形的性质与判定(第1课时)正方形的性质
解：(1)四边形 ACED 是平行四边形． 理由：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD∥BC，即 AD∥CE. 又∵DE∥AC， ∴四边形 ACED 是平行四边形． (2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD． ∵BD＝8 cm，
∴BC＝ 22BD＝ 22×8＝4 2 (cm)， ∴BE＝BC＋CE＝4 2＋4 2＝8 2 (cm)．
又∵∠DAE＝∠DCG，DE＝DG， ∴△AED≌△CGD(AAS)， ∴AE＝CG.
第二十页，共二十五页。
(2)BE∥DF，理由如下： 在正方形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCG.
又∵AE＝CG，AB＝CD， ∴△AEB≌△CGD(SAS)，∴∠AEB＝∠CGD． ∵∠CGD＝∠EGF， ∴∠AEB＝∠EGF，∴BE∥DF.
答图
第十八页，共二十五页。
5．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连 接 BE，DF，DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE＝DG.
(1)求证：AE＝CG. (2)试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．
第十九页，共二十五页。
解：(1)证明：在正方形 ABCD 中， ∵AD＝CD， ∴∠DAE＝∠DCG. ∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE， ∴∠AED＝∠CGD．
第七页，共二十五页。
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．
又∵AM⊥BE， ∴∠MEA＋∠MAE＝90°＝∠AFO＋∠MAE， ∴∠MEA＝∠AFO， ∴Rt△BOE≌Rt△AOF，∴OE＝OF.
第八页，共二十五页。
(2)OE＝OF 成立． 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
北师大版九年级数学上册 (正方形的性质与判定)特殊平行四边形课件(第1课时)
你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同
伴交流． 解：
平行四边形 形正
矩形 方 菱形
（来自教材）
知2－练
1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．四个角都相等 B．四条边相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分
（来自《典中点》）
知2－练
2 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角相等
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，
那么这个条件可以是( A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
)
（来自《典中点》）
知识点 2 正方形边的性质
知2－导
议一议
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同矩形与菱形
NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图
中的全等三角形共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
（来自《典中点》）
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此， 正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分 且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有 四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重 要的依据．
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等， 四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
知(2)识延点长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵∠DCF＝90°， ∴∠CDF＋∠F＝90°. ∴∠CBE＋∠F＝90°. ∴∠BMF＝90°.
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定(教案)
-正方形判定方法的灵活运用：对于不同形状的图形，学生需要能够快速准确地判断其是否为正方形，这需要学生对判定方法有深刻理解和灵活运用。
-正方形性质的应用：在解决实际问题时，学生需要将正方形的性质与问题相结合，找到解题的关键点。
-空间想象能力的培养：对于一些较复杂的几何问题，学生需要具备较强的空间想象能力，这在一定程度上是学生的难点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题，如正方形周长和面积的求解。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量一个正方形的边长和角度，验证其性质。
这些核心素养目标旨在帮助学生全面发展，为今后的学习和生活打下坚实基础，符合新教材对学生能力培养的要求。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正方形的定义及其性质：这是本节课的核心内容，需要学生深刻理解正方形的定义，即四条边相等且相互平行，四个角都是直角。在此基础上，掌握正方形的性质，如对角线相等、垂直平分等。
-正方形的判定方法：教授学生掌握判定正方形的几种方法，包括边长相等且角度为直角、邻边相等且夹角为直角的矩形、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形等，以便在实际问题中正确识别和应用。
-正方形周长和面积的求解：重点讲解正方形周长和面积的公式，以及如何运用这些公式解决具体问题。
举例：正方形ABCD，如何求解其周长和面积？通过强调正方形边长相等的性质，引导学生运用边长乘以4得到周长，边长的平方得到面积。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
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3 正方形的性质与判定
第1课时正方形的性质
【知识与技能】
使学生掌握正方形的概念,知道正方形具有矩形和菱形的一切性质,并会用它们进行有关的论证和计算.
【过程与方法】
学会用正方形的性质解决一些问题,进一步发展学生的推理能力,促进其逐步掌握说理的基本方法.
【情感态度】
通过分析正方形的概念、性质与矩形、菱形的概念、性质的联系和区别,对学生进行辩证唯物主义教育.
【教学重点】
正方形的性质.
【教学难点】
正方形的性质.
一、情境导入,初步认识
1.在我们的生活中除了平行四边形、矩形、菱形外,还有什么特殊的平行四边形呢？
2.展示正方形图片,学生观察它们有什么共同特征？
【教学说明】学生回答后,再展示图片,使学生感受到生活中到处存在数学,激发学习热情.
【归纳结论】有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
二、思考探究,获取新知
1.做一做:用一张长方形的纸片折出一个正方形.
2.观察:这个正方形具有哪些性质？
【教学说明】让学生在动手操作中对正方形产生感性认识.
【归纳结论】正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
3.议一议:平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说
明吗？
【教学说明】小组交流,引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程,更清晰地了解各四边形之间的联系与区别.
三、运用新知,深化理解
1.见教材P21例1 .
2.如图,△ABC是一个等腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点；那么,由图中的线段所构成的三角形中互相全等的三角形的对数为（）
A.12
B.13
C.26
D.30
解析:根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数,由于图中全等三角形的对数较多,可以根据斜边长的不同确定对数,可以做到不重不漏.设AB=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为1的有5个,它们组成10对全等三角形；斜边长为2的有6个,它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个,它们组成1对全等三角形；共计26对.故选C.
3.已知正方形ABCD在直角坐标系内,点A（0,1）,点B（0,0）,则点C,D坐标分别为（1,0）和（1,1） .（只写一组）
解析:首先根据正方形ABCD的点A（0,1）,点B（0,0）,在坐标系内找出这两点,根据正方形各边相等,从而可以确定C,D的坐标.∵正方形ABCD的点A（0,1）,点B（0,0）,∴AD ∥x轴,CD∥y轴,这样画出正方形,即可得出C与D的坐标,分别为:C（1,0）,D（1,1）.
4.如图,点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上,AG⊥EF,垂足为G,且AG=AB,求∠EAF 度数.
分析:根据角平分线的判定,可得出△ABF≌△AGF,故有∠BAF=∠GAF,再证明△AGE≌△ADE,有∠GAE=∠DAE,所以可得∠EAF=45°.
解:在Rt△ABF与Rt△AGF中,
∵AB=AG,AF=AF,∠B=∠G=90°,
∴△ABF≌△AGF（HL）,
∴∠BAF=∠GAF,
同理易得:△AGE≌△ADE,
有∠GAE=∠DAE；
即∠EAF=∠EAG+∠FAG
=1
2
（∠DAG+ ∠BAG）
=1
2
∠DAB=45°,
故∠EAF=45°
【教学说明】主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定.
5.如图,正方形ABCD中,AB=3,点E、F分别在BC、CD上,且∠BAE=30°,∠DAF=15°.
（1）求证:DF+BE=EF；
（2）求∠EFC的度数.
分析:（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG.利用正方形的性质,证明△AGE≌△AFE,△FAE ≌△GAE,得出DF+BE=EF；
（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；
解:（1）延长EB至G,使BG=DF,连接AG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°,
∵BG=DF,
∴△ABG≌△ADF,
∴AG=AF,
∵∠BAE=30°,∠DAF=15°,
∴∠FAE=∠GAE=45°,
∵AE=AE,
∴△FAE≌△GAE,
∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；
（2）∵△AGE≌△AFE,
∴∠AFE=∠AGE=∠DFA=90°-∠DAF=75°,
∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°,
∴∠EFC=30°.
【教学说明】学生独立完成以培养学生的独立意识.
四、师生互动,课堂小结
1.师生共同回顾正方形有哪些性质？
2.通过本节课的学习你还有哪些疑惑？请与同伴交流.
1.布置作业:教材“习题1.7”中第2 、3题.
2.完成练习册中相应练习.
本课虽然是学习正方形的性质,实际上应起到对平行四边形、矩形、菱形性质的复习、归纳和总结的作用,培养学生的发散思维能力.。