【精选】轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
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因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（3）由（2）知： ，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，过点 作 ，垂足为 ，
2．如图，在等腰直角 中， ， ，点 是 内一点，连接 ， 且 ，连接 、 交于点 .
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 交 、 分别于点 、 ， ，连接 ，若 的面积与 的面积差为6， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）∠BFC=90°；（2）见解析；（3） .
【精选】轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
【详解】
（1） 是等边三角形，
．
线段 为 边上的中线，
，
．
（2） 与 都是等边三角形，
， ， ，
，
．
在 和 中
，
；
（3） 是定值， ，
理由如下：
①当点 在线段 上时，如图1，
由（2）可知 ，则 ，
又 ，
，
是等边三角形，线段 为 边上的中线
平分 ，即
．
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，
与 都是等边三角形，
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）CE＝2GH，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出 ， ，， ，由等式的性质就可以 ，根据 就可以得出 ；
（3）分情况讨论：当点 在线段 上时，如图1，由（2）可知 ，就可以求出结论；当点 在线段 的延长线上时，如图2，可以得出 而有 而得出结论；当点 在线段 的延长线上时，如图3，通过得出 同样可以得出结论．
因为 ， ，所以 ，所以 ，
设 ，所以 ，设 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE= +1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝ +1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝ +1
∴1+2GH＝ +1
∴GH＝
（3）CE＝2GH
， ， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
同理可得： ，
．
③当点 在线段 的延长线上时，
与 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
同理可得：
，
∵ ，
．
综上，当动点 在直线 上时， 是定值， ．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明 ，所以 ，所以 .
（2）根据题意先求出 ，在 上截取 ，连接 ，由 ， ，可证得 ， ，所以
，因为 ，所以 ．
（3）根据题意和（2）中结论先证明 ，过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，证明 ，所以 ，然后根据等腰三角形的性质可得出 ，过点 作 ，垂足为 ，所以 ，设 ， ，
所以 ， ，求出x，y，不难得到 = ，然后可得 .
【详解】
（1）因为 是等腰直角三角形，所以 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
由（1）知： ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，
在 上截取 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝ ，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
4．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
3．如图，在等边 中，线段 为 边上的中线．动点 在直线 上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连结 ．
（1）求 的度数；
Hale Waihona Puke Baidu（2）若点 在线段 上时，求证： ；
（3）当动点 在直线 上时，设直线 与直线 的交点为 ，试判断 是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3） 是定值， .
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ．
（3）由（2）知： ，因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 平分 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，过点 作 ，垂足为 ，
2．如图，在等腰直角 中， ， ，点 是 内一点，连接 ， 且 ，连接 、 交于点 .
（1）如图1，求 的度数；
（2）如图2，连接 交 于点 ，连接 ，若 平分 ，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 交 、 分别于点 、 ， ，连接 ，若 的面积与 的面积差为6， ，求四边形 的面积.
【答案】（1）∠BFC=90°；（2）见解析；（3） .
【精选】轴对称解答题中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H．
（1）求证：△DCE为等腰三角形；
（2）若∠CDE＝22.5°，DC＝ ，求GH的长；
【详解】
（1） 是等边三角形，
．
线段 为 边上的中线，
，
．
（2） 与 都是等边三角形，
， ， ，
，
．
在 和 中
，
；
（3） 是定值， ，
理由如下：
①当点 在线段 上时，如图1，
由（2）可知 ，则 ，
又 ，
，
是等边三角形，线段 为 边上的中线
平分 ，即
．
②当点 在线段 的延长线上时，如图2，
与 都是等边三角形，
（3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）CE＝2GH，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角形；
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出 ， ，， ，由等式的性质就可以 ，根据 就可以得出 ；
（3）分情况讨论：当点 在线段 上时，如图1，由（2）可知 ，就可以求出结论；当点 在线段 的延长线上时，如图2，可以得出 而有 而得出结论；当点 在线段 的延长线上时，如图3，通过得出 同样可以得出结论．
因为 ， ，所以 ，所以 ，
设 ，所以 ，设 ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，
所以 ，因为 ，
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【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质等知识点，解题的难点在于学会添加常用辅助线，构造三角形全等解决问题，属于中考压轴题.
（2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，BH=HE= +1，即可求GH的值；
（3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，即CE=2GH
【详解】
证明：（1）∵AB＝AC，
∴DH＝CH，
∵DH2+CH2＝DC2＝2，
∴DH＝CH＝1，
∵∠ABC＝∠DCH＝45°
∴△ABC是等腰直角三角形，
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG，
∵BD＝DE，DH⊥BC
∴BH＝HE＝ +1
∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH＝ +1
∴1+2GH＝ +1
∴GH＝
（3）CE＝2GH
， ， ，
，
，
在 和 中
，
，
，
同理可得： ，
．
③当点 在线段 的延长线上时，
与 都是等边三角形，
， ， ，
，
，
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，
，
，
同理可得：
，
∵ ，
．
综上，当动点 在直线 上时， 是定值， ．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
【解析】
【分析】
（1）根据SAS证明 ，所以 ，所以 .
（2）根据题意先求出 ，在 上截取 ，连接 ，由 ， ，可证得 ， ，所以
，因为 ，所以 ．
（3）根据题意和（2）中结论先证明 ，过 作 、 垂线，垂足分别为 、 ，连接 ，证明 ，所以 ，然后根据等腰三角形的性质可得出 ，过点 作 ，垂足为 ，所以 ，设 ， ，
所以 ， ，求出x，y，不难得到 = ，然后可得 .
【详解】
（1）因为 是等腰直角三角形，所以 ， ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
（2）因为 ， ，所以 ，所以 ，
由（1）知： ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，
在 上截取 ，连接 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝ ∠ABC＝ ∠ACB，
∵BD＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝ ∠ACB，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，
∴∠CDE＝ ∠ACB＝∠E，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等腰三角形
（2）
∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE＝ ，
∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠DCH＝45°
4．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
3．如图，在等边 中，线段 为 边上的中线．动点 在直线 上时，以 为一边在 的下方作等边 ，连结 ．
（1）求 的度数；
Hale Waihona Puke Baidu（2）若点 在线段 上时，求证： ；
（3）当动点 在直线 上时，设直线 与直线 的交点为 ，试判断 是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3） 是定值， .
理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，
∴BG＝GC，
∵BD＝DE，DH⊥BC，
∴BH＝HE，
∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ CE，
∴CE＝2GH
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.