大学物理_上海交通大学_第四版-下册课后题全部答案

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习题11

11-1．直角三角形ABC 的A 点上，有电荷C 108.19

1-⨯=q ，B 点上有电荷C 108.49

2-⨯-=q ，试求C 点的电场强度(设0.04m BC =，0.03m AC =)。

解：1q 在C 点产生的场强：

112

04AC

q E i

r

πε=

， 2q 在C 点产生的场强：

2

22

04BC

q E j r πε=

，

∴C 点的电场强度：44

12 2.710 1.810E E E i j =+=⨯+⨯；

C 点的合场强：22

412 3.2410V

E E E m =+=⨯，

方向如图： 1.8

arctan

33.73342'2.7α===。

11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电

量为C 1012.39

-⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小

和方向。

解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=， ∴电荷线密度：91

1.010q C m l λ--==⨯⋅

可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。 解法1：利用微元积分：

2

1cos 4O x Rd dE R

λθ

θ

πε=

⋅

，

∴

2000cos 2sin 2444O d

E d R R R α

α

λλλθθααπεπεπε-==

⋅≈⋅=⎰10.72V m -=⋅；

解法2：直接利用点电荷场强公式：

由于d r <<，该小段可看成点电荷：

11

2.010q d C λ-'==⨯， 则圆心处场强：11

9

1

22

0 2.0109.0100.724(0.5)O q E V m R πε--'

⨯==⨯⨯=⋅。

方向由圆心指向缝隙处。

11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电

荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆

α

i

2cm O R x αα

心O 点的场强。

解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：

有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧

⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：

有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩

③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：

20

002000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π

π

λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪

⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰

∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()

4O E i j R λ

πε=+。

或写成场强：

22024O x O y E E E R λ

πε=+=

，方向45。

11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。

解：电荷元dq 产生的场为：2

04d q

d E R πε=；

根据对称性有：0

y

d E

=⎰，则：

20

0sin sin 4x R d E dE d E R π

λθθθπε===⎰⎰⎰

02R λ

πε=

，

方向沿x 轴正向。即：02E i R λ

πε=

。

11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλϕ=，式中0λ为一常数，ϕ为半径R 与x 轴

所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。 解：如图，

0200sin 44d dl dE R R λϕϕλπεπε=

=

，

o

R

X

Y

λ

θd θ

dq

E

d

x

y

E

cos sin x y dE dE dE dE ϕϕ==⎧⎪⎨⎪⎩考虑到对称性，有：0=x E ；

∴

20000

0000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R ππλϕϕλλϕϕ

ϕπεπεε-=====

⎰⎰⎰

⎰，

方向沿y 轴负向。

11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。

解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。

利用例11-3结论，有：

33

2

22

22

2

0024()

4()x dq r xdl

d E x r x r σππεπε⋅=

=

++

∴3222

02cos sin 4[(sin )(cos )]

R R Rd dE R R σπθθθ

πεθθ⋅⋅⋅=

+，

化简计算得：

2

01sin 2224E d πσσθθεε=

=⎰

，∴04E i σε=。

11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。

解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，

当2d x ≤

时，由12S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q x S ρ=∆∑， 有：0x E ρε=

； 当2d x >时，由22S E dS E S ⋅=⋅∆⎰和2q d S ρ=∆∑，

有：

02d E ρε=

。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，

平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.

解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。

θ

x

O

r

2d ρε-

x

E

2d ρε2

d 2

d

-O