银行复利的计算

银行复利的计算

一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？

解 按月存款和计算时，每月的利息为

300

11004121=⨯，记k x 为第k 月末时的养老金数，则由题意得 1001=x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=300111001002x 233001110030011100100⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x ΛΛ

13001110030011100100-⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x Λ 5年末养老金为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=1)30011(30000300111300111100606060x （元） 当复利和存款按日计算时，记k y 为第k 天的养老金数，则每天的存款额为3651200=a ，每天的利率为36500

4=r 。第1+k 天的养老金数量与第k 天养老金数量的关系为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=

+365004136512001k k y y 从第1天开始递推为

36512001=y ⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=3650041365120036512002y 2336500413651200365004136512003651200⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y ΛΛ

136500413651200365004136512003651200-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n y Λ

在5年末时的养老金数为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=13650041300003650041136500411365120018251825

1825y （元） 当存款和复利连续计算时，我们先将1年分为m 个相等的时间区间，则每个时间区间中存款为m

1200，每个区间的利息为m 1004。记第k 个区间养老金的数目为k z ，类似于前面的分析得5年后的养老金为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=110041300001004111004111200555m m m

m m m m z （元） （1） 再让+∞→m 即得连续存款和计息时5年后的养老金数为

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→13000011004130000lim 515e m z m m （元） 观察这三种不同情况下复利的计算问题，我们可以看出将1年分为m 等份得出的计算公式（1）具有一般性，当m 分别取12和365时就是前面两种情况下的计算公式。另外，由于m

m 52511⎪⎭

⎫ ⎝⎛+是m 的单调增函数，所以计息间隔越小，5年后的养老金数就越多，但不会超过连续存款和计息时的极限值。在这三种情况下的具体计算结果分别是 08.6642,68.6641,9.6629182560==≈z y x

由于存款和计息的间隔越小时，收益越大，且不需要一次到银行存入较多现金，而是分批逐渐存入，对投资者的资金周转有利。所以在银行按复利计息时，我们建议存款者尽量采用小间隔的策略。

1、作者：周义仓，赫孝良；

2、书名：《数学建模实验》；

3、出版社：西安交通大学出版社；

4、出版时间：1999年10月