合肥工业大学力学班有限元试题08A答案

合肥工业大学工程力学专业《工程结构数值方法》2008年试卷A 答案2008年5月11 日上午考试(共8题，满分100分)，考试时间：120分钟适用专业：工程力学05－1（本科），出题人：牛忠荣1．（8分）线弹性力学静力学问题有限元法计算列式的理论推导是如何采用弹性力学问题基本方程？答：弹性力学有限元的基本过程是：1. 假设单元的位移场模式 }]{[}{e N f δ=2. 代入到几何方程得到 }]{[}{eB δε=3. 代入到物理方程得到}]{][[}{eB D δσ= 4. 代入到虚功方程，得到单元刚度方程}]{[][ee k F δ= 5. 叠加到总刚阵，得到结构的平衡方程}]{[][e e k F δ= 6. 引入位移边界条件后，解第5步得到的方程组，可以得到结点位移2．（12分）用有限元法计算图示平面刚架时, 试求：(1) 如何进行结点编号,使系统总刚度矩阵K 的带宽最小? (2) 计算在你的结点编号下的系统总刚阵K 的半带宽。

(3) 在结点编号确定后,按此顺序进行自由度编号,则图中A 结点水平位移对应的主对角元素在总刚阵K 中的列和行位置是多少? 那些单元对该元素的数值有贡献? 答：（1）见图；（2）半带宽＝15143=+)(； （3）A 结点水平位移对应的主对角元素是2828,k ； A 点周围的4个单元对2828,k 有贡献。

xy 题2图13171353．（10分）弹性力学有限元中，平面等参数单元中的“等参数”概念是何意思？ 该单元在跨相邻单元时，位移场连续吗？ 应力场连续吗？答：在有限单元法中最普遍采用的是等参变换，即单元几何形状的变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数进行变换。

采用等参变换的单元称之为等参元。

所谓“等参元”是指几何形状插值形函数和单元上的位移插值形函数相同，参数个数相等。

相邻等参元之间，位移场是连续的，应力场不连续。

4．（10分）回答下列问题：（1） 弹性力学平面问题8节点等参元，其单元自由度是多少个？单元刚阵元素是多少个？（2） 弹性力学空间问题20节点等参元，其单元自由度是多少个？单元刚阵元素是多少个？（3） 一般的平面刚架结构梁单元的自由度是多少个？单元刚阵元素是多少个？（4） 一般的空间刚架结构梁单元的自由度是多少个？单元刚阵元素是多少个？答：1）自由度16个，刚阵元素16×16＝256；2）自由度60个，刚阵元素60×60＝3600； 3）自由度6个，刚阵元素6×6＝36； 4）自由度12个，刚阵元素12×12＝144. 5．（10分）结构振动问题有限元离散的无阻尼自由振动方程为 0ΦM K 2=-)(ϖ式中n n ⨯K 是刚度矩阵，n n ⨯M 是质量矩阵，ϖ是结构固有频率，Φ是振型向量。

试问为什么从上式求出的特征对<i i Φ,ϖ> (n i ,,2,1 =)中，只有前若干低阶频率和相应振型是可靠的，误差较小。

答：在有限单元法中，采用低阶多项式拟合振型。

结构的低阶振型曲线与低阶多项式比较通配，结构的高阶振型曲线与低阶多项式曲线有着显著的差异。

因而，有限元法中求出的低阶频率和振型是可信的，而所求出的高阶频率和振型误差较大，甚至无效。

6．（7分）用有限元法求结构的动力响应通常有振型叠加法和逐步积分法，试问该两种方法的优缺点。

答：振型叠加法适应于求解线性振动问题，需要计算结构的固有频率和振型。

适合于时间较长求解。

逐步积分法可用于非线性振动问题的求解，不必需要计算结构的固有频率和振型。

适合于时间较短的问题求解，当时间长时计算量大。

7． (25分)图示矩形薄板m m 12⨯，厚度m h 1.0=。

载荷及约束信息如图示，泊松比20/,0m N E E ==μ,N P 10=，板的重量密度为330m /N =γ,沿y 轴负向。

试采用三角形常应变元求： （1）建立适宜的有限元计算模型； （2）结构系统的等效结点力列阵；（3）采用划行划列法引入已知结点位移，计算出结点3和4的位移； （4）单元1和2的各应力分量。

（ 建议单元编号：i j m 单元1：3 4 2 单元2：2 1 3 )解：计算模型题7图题7图单元1的等效结点力：结点 3 4 2N .hA TT ）（）（10101050101010311---=---=γF单元2的等效结点力：结点 2 1 3N .hA TT ）（）（10101050101010312---=---=γF结构整体等效结点力结点 1 2 3 4N ..T）（5006010500----=F单元1：11050=-==-==m j m j i b ,b ,y y b ,.∆ 011=-==+-=m j m j i c ,c ,x x c 单元2：11050-===-==m j m j i b ,b ,y y b ,.∆ 011==-=+-=m j m j i c ,c ,x x c单元1应力矩阵结点 3 4 2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=500500010105005001010001....E S ； 单元2应力矩阵结点 2 1 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=500500010105005001010002....E S ； 单元1刚度矩阵：单元1：11050=-==-==m j m j i b ,b ,y y b ,.∆011=-==+-=m j m j i c ,c ,x x c⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1005020.h E ii k ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=10505020..h E ij k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0050020.h E im k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5150505120....h E jj k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=50050120..h E jm k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5000120.h E mm k3 4 2⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=500010500515050150510010105005050050201...........h E k ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧243；2 1 3⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------==5000105005150501505100101050050500502012...........h E k k ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧312； 叠加总刚阵：结点号： 1 2 3 4⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=+=515050511051050500512021........hE k k K ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4321 已知结点位移：0214321======v v u u u u⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----5150505110510505005120........h E ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧44332211v u v u v u v u＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧----5006010500..； 采用划行划列，得到）（－62051043⨯=-E v v . ）（－＋－502051043.E v .v ⨯=解得结点位移：03152E /v -= ， 04108E /v -= 。

代入：e S δσ=得单元应力（常应力）：2154460m /N xy y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=τσσσ ， 225400m /N xy y x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=τσσσ 。

8．(18分)图示正方形薄板，厚度m h 1.0=，边长m a 1=。

约束信息如图示，板的质量密度为303m /kg =ρ，泊松比0=μ，弹性模量22m /N E =，取210s /m g =。

不计系统阻尼，试采用图示的2个三角形常应变元求：（1）引入已知结点位移后,结构系统的刚度矩阵和一致质量矩阵；（2）结构自由振动方程；（3）计算结构的固有频率。

解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=105005000105005050010500050010505005001005005001121............h ρM ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧243；题8图⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=105005000105005050010500050010505005001005005001122............h ρM ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧312；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+=105000105050020050021221....h ρM M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=511151101511151200....E K ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=15050241250502120....ρM 系统自由振动方程：取202m /N E =，kg 03=ρ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--001505024151115110143v v ....λ 令 40./λη=，则0515********=------).(..).(ηηηη， ηλω40.==0501512512=+---).().)(.(ηηη 052272=+-ηη24701.=η，922.=η 31401.=ω，07712.=ω。

（完）。