同步优化探究文数(北师大)课件：第七章 第四节 垂直关系
垂直关系的判定-北师大市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
l
B
二面角－AB－
C
二面角－ l－
B A
D
二面角C－AB－ D
第11页
以二面角棱上任意一点为端点，在两个半 平面内分别作垂直于棱两条射线，这两条射 线所成角叫做二面角平面角。
二面角大小用它平面角来度量
∠A O B ∠A1O1B1
二面角范围：[ 0°, 180 °]．
B1 B
平面角是直角二面角 叫做直二面角
直线与平面垂直判定
第1页
一、直线与平面垂直定义
• 假如一条直线 l 和一个平面α内任意一 条直线都垂直，我们就说直线 l 和平面 α相互垂直，记作 l ⊥α。（如图）
• 直线 l 叫做平面α垂线。 • 平面α叫做直线 l 垂面。 • 直线 l 和平面α交点叫做垂足。
第2页
l
P
α
注：画直线与水平平面垂直时，要把直线 画成和表示平面平行四边形横边垂直。
点.
P
求证：平面PAC⊥平面PBC.
证实 由AB为⊙O直径知，BC
⊥AC。
又∵PA ⊥ ，BC ，
C
∴ PA ⊥ BC ∵ PA∩AC=A
A
·O
B
∴BC ⊥平面PAC.
∵BC 平面PBC ∴平面PAC⊥平面PBC
第16页
小结
1、二面角及其它平面角
A O
l
B
二面角－ l－
二面角范围：[ 0°, 180 °]．
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二、直线和平面垂直判定定理 定理6.1 假如一条直线和一个平面 内两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直于这个平面。
第4页
直线和平面垂直判定定理
定理6.1 假如一条直线和一个平面 内两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直于这个平面。
2018一轮北师大版理数学课件：第7章 第4节 垂直关系
(2)由 AB⊥平面 BCD，得 AB⊥BD. 1 1 2 又 AB＝BD＝1，所以 S△ABD＝2×1 ＝2. 1 1 因为 M 是 AD 的中点，所以 S△ABM＝2S△ABD＝4. 根据(1)知，CD⊥平面 ABD， 则三棱锥 CABM 的高 h＝CD＝1， 1 1 故 VAh＝12. MBC＝VCABM＝ S△ABM· 3 12 分 8分
[变式训练 1] 如图 743 所示，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段 AB 1 上一点，且 AD＝3DB，点 C 为圆 O 上一点，且 BC＝ 3AC，PD⊥平面 ABC， PD＝DB.
图 743
求证：PA⊥CD.
[证明] 因为 AB 为圆 O 的直径，所以 AC⊥CB，在 Rt△ABC 中，由 3AC ＝BC，得∠ABC＝30° . 3分
4．如图 741，已知 PA⊥平面 ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ________．
图 741
4 [∵PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC 为直角三角形． 由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC. 因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．]
(4) 若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平 面．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l α，m β.( )
A．若 l⊥β，则 α⊥β B．若 α⊥β，则 l⊥m C．若 l∥β，则 α∥β D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
2020年同步优化探究文数(北师大版)练习：第七章第四节垂直关系Word版含解析.doc
课时作业A组一一基础对点练1•如图，在Rt△ ABC中，/ ABC = 90 ° P为厶ABC所在平面外一点，PA丄平面ABC，则四面体P ABC中共有直角三角形个数为（）A . 4B . 3C. 2 D . 1解析：由PA丄平面ABC可得△ PAC,A FAB是直角三角形，且PA丄BC.又/ ABC = 90°即AB丄BC,所以△ ABC是直角三角形，且BC丄平面面FAB,所以BC丄FB,即厶FBC为直角三角形，故四面体F ABC中共有答案：A 2. （2017兰州诊断考试）设a 3 丫为不同的平面，m, n为不同的直线，则分条件是（)A. a丄3,aQ3= n,m丄nB. aQ Y=m,a丄Y3丄YC. a丄3,31Y m丄aD. n丄a,n丄3, m丄a解析：A不对，m可能在平面3内，也可能与3平行；B, C不对，满足条件的m 和3可能相交，也可能平行；D对，由n丄a, n丄3可知a// 3结合m丄a知m丄3故选D.答案：D3. （2018长沙市模拟）平面a过正方体ABCD-A i B i C i D i的面对角线AB i，且平面a丄平面C i BD，平面aQ平面ADD i A i = AS,则/ A i AS的正切值为（）Bf1D.2解析：连接AC, A i C，正方体ABCD -A i B i C i D i 中，BD 丄AC, BD丄AA i, ••• AC Q AA i = A,「. BD 丄平面AA i C,「. A i C丄BD , 同理，得A i C丄BC i,••• BD Q BC i= B，二A i C丄平面C i BD,如图，以AA i为侧棱补作一个正方体AEFG-A i PQR，使得侧面AGRA i与平面ADD i A i共面,PAB,又FB 平4个直角三角形. m± 3的一个充A.C.连接AQ ,贝V AQ //CA i ，连接QB i ,交A i R 于S,则平面AQB i 就是平面a, ••• AQ // CA i ,「. AQ 丄平面 C i BD ,T AQ 平面a, •••平面 a 丄平面C i BD ,A i S 1丄，丄• tan / A i AS = AA 厂 2•故选 D. 答案：D4•如图，O 是正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 的中心，则下列直线 中与B i O 垂直的是（ ）A . A i DB . AA iC . A iD iD . A i C i解析：连接B i D i （图略），则A i C i 丄B i D i ，根据正方体特征可得 BB i 丄A i C i ，故A i C i 丄平面BB i D i D , B i O 平面 BB i D i D ，所以 B i O 丄 A i C i . 答案：D5. 如图，在三棱锥 D ABC 中，若AB = CB , AD = CD , E 是AC 的中点，则下列命题中正确 的有 ________ （写出全部正确命题的序号 ）. ①平面 ABC 丄平面 ABD ; ②平面 ABD 丄平面 BCD ;答案：③6. 如图，PA 丄O O 所在平面，AB 是O O 的直径，C 是O O 上一点，AE 丄 PC , AF 丄PB ，给出下列结论：① AE 丄BC ;②EF 丄PB :③AF 丄BC ;④ AE 丄平面PBC ，其中正确的结论有 __________ .解析：①AE 平面FAC , BC 丄AC , BC 丄RA? AE 丄BC ,故①正确； ②AE 丄FC , AE 丄BC , RB 平面RBC? AE 丄RB , EF 平面 AEF? EF 丄PB ,故②正确；③ AF 丄RB ，若AF 丄BC? AF 丄平面RBC ，则AF // AE 与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确. 答案：①②④7.如图所示，在四棱锥 R ABCD 中，RA 丄底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是RC 上的一动点，当点 M 满足 __________ 时，平面MBD 丄平面RCD.（只要填写一个你认为是正确的条 件即可）解由AB = CB , AD = CD 知 AC 丄DE , AC 丄BE ，从而 AC 丄平面 BDE ，所以平面 ABC④平面ACD BDE. 丄平面BDE ，且平面 ACD 丄平面BDE ，故③正确. ③平面ABC 丄平面 BDE ，且平面 ACD 丄平面BDE ;解析：如图，连接AC, BD，则AC丄BD , 丄BD.又PA A AC = A,••• BD丄平面RAC,••• BD 丄PC,•/ PA丄底面ABCD , • RA•••当DM丄PC（或BM丄PC）时，即有PC丄平面MBD.而PC 平面PCD，•平面MBD丄平面PCD.答案：DM丄PC（或BM丄PC等）8•如图，四棱锥P ABCD中，AP丄平面PCD , AD // BC, AB =BC = |A D , E, F分别为线段AD , PC的中点.求证:(1)AP// 平面BEF;（2）BE丄平面PAC.证明：（1）设AC A BE = O,连接OF , EC,如图所示.1由于 E 为AD 的中点，AB= BC = 2AD , AD // BC,所以AE// BC, AE= AB= BC,因此四边形ABCE为菱形,所以0为AC的中点.又F为PC的中点,因此在△ PAC中，可得AP// OF.又OF 平面BEF, AP?平面BEF.所以AP//平面BEF.（2）由题意知ED // BC, ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BE //CD.又AP丄平面PCD ,所以AP I CD，因此AP I BE.因为四边形ABCE为菱形，所以BE丄AC.又AP A AC = A, AP, AC 平面PAC ,所以BE丄平面PAC.P ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PD 丄底面 ABCD , E 为棱PD 的中点.(1)证明：PB //平面AEC ; (2)若 PD = AD = 2, PB 丄 AC ,解析：(1)证明：如图，连接•••底面ABCD 为矩形，••• F 为BD 中点,又E 为PD 中点，• EF // PB , 又PB?平面 AEC , EF 平面AEC , • PB //平面 AEC. (2) •/ PD 丄平面 ABCD , AC 平面 ABCD , • PD 丄 AC ,又 PB 丄AC , PB A PD = P ,「. AC 丄平面 PBD , •/ BD 平面 PBD ,• AC 丄 BD , •四边形ABCD 为正方形.又E 为PD 的中点，• P 到平面AEC 的距离等于 D 到平面AEC 的距离，设 D 到平面AEC 的距离为h ,11由题意可知 AE = EC = 5, AC = 2 2, S ^AEC =2「2X -J 3 = ,6 由 V AEC = V E ADC 得3S231△ AEC •=尹 ADC ED ，解得 h =•••点P 到平面AEC 的距离为B 组一一能力提升练1•如图，在棱长为 1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的 动点，则下列结论正确的是 ( )A . DB 1 丄 D 1PB .平面AD 1P 丄平面A 1DB 1C .Z APD 1的最大值为 90°9. (2017唐山统考)已知四棱锥求点P 到平面AEC 的距离.D . AP + PD i 的最小值为 2； 6,cos / APDu 0,Z APD 1= 90°显然，当x = 0或x=-当 0<x<,cos / APD I <0,90 < / APD 1<180 °当* 「2时，cos / APD i >0,0 </APD I <90° 然严+乎＜ 2T 6，C ，D 均错误，故选B.4 4 2 2. (2018石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑，在鳖臑 A-BCD 中，AB 丄平面BCD ，且BD 丄CD , AB =BD = CD ,点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ,若厶PBD 的面积 解析：如图，作PQ 丄BC 于Q ,作QR 丄BD 于R ,连接PR ,则由鳖 臑的定 义知 PQ // AB , QR // CD.设 AB = BD = CD = 1,则 = x = PQ ，即 PQ = x , AC^3 1 #3解析：当点P 在A 1点时，DB 1与D 1A 1显然不垂直，A 错误；T A 1B 1丄平面ADD 1A 1,： A 1B 1 丄AD 1,又在正方形 ADD 1A 1中，A 1D 丄AD 1 ,二AD 1丄平面 A 1DB 1.又AD 1 平面AD 1P ,.••平 面AD 1P 丄平面 A 1DB 1, B 正确•正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,.・. AD 1 = A 1B = 2, BD1= ;'3，令 A1P = x ,贝U 0w x w J’2,「. D1P = ：x 2+ 1 ,AP = .：'AA 1+ A 1P 2— 2AA 1X A 1PCOS / AA 1P = ；x 2- ,2x + 1, •…/ "古 AP 2 + PD ? — AD 1 2/ —g 0 羽x — 1 ・・ cos / APD 12AP X PD 1 2AP X PD 1 2AP X PD 1 ・/APD 1的最大值大于90。
同步优化探究理数(北师大版)课件：第七章 第四节 垂直关系
解析：A项显然正确．根据面面垂直的判定，B项正确．对于 选项C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在l上， 过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n. ∵γ⊥α，a⊥m， ∴a⊥α，∴a⊥l， 同理有b⊥l，又a∩b＝P，a γ，b γ， ∴l⊥γ，故选项C正确． 对于选项D，设α∩β＝l， 则l α，但l β， 故在α内存在直线不垂直于平面β，即选项D错误． 答案：D
l⊥α，l β
⇒α
⊥β
α⊥ β α∩β＝a l⊥ a l β
⇒l⊥α
[必记结论] 1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中 任意相邻的两个面都是互相垂直的． 2．由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直 线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
[小题诊断] 1．(2018· 青岛模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不 同的平面，则能得出a⊥b的是( C ) A．a⊥α，b∥β，α⊥β C．a α，b⊥β，α∥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β D．a α，b∥β，α⊥β
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两 个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理 文字语言 判定 定理 一个平面经过另一个 平面的一条垂线 ，则 这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂 性质 定理 直，则在一个平面内 垂直于它们交线 的直 线垂直于另一个平面 图形表示 符号表示
核心考点 互动探究
题组练通
[典例1]
(2017· 高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD )
A1B1C1D1
中，E为棱CD的中点，则( A．A1E⊥DC1 C．A1E⊥BC1
B．A1E⊥BD D．A1E⊥AC
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第七章 第四节 垂直关系 Word版含解析
课时作业组——基础对点练.如图，在△中，∠＝°，为△所在平面外一点，⊥平面，则四面体中共有直角三角形个数为( )．．．．解析：由⊥平面可得△，△是直角三角形，且⊥.又∠＝°，即⊥，所以△是直角三角形，且⊥平面，又平面，所以⊥，即△为直角三角形，故四面体中共有个直角三角形．答案：．(·兰州诊断考试)设α，β，γ为不同的平面，，为不同的直线，则⊥β的一个充分条件是( )．α⊥β，α∩β＝，⊥．α∩γ＝，α⊥γ，β⊥γ．α⊥β，β⊥γ，⊥α．⊥α，⊥β，⊥α解析：不对，可能在平面β内，也可能与β平行；，不对，满足条件的和β可能相交，也可能平行；对，由⊥α，⊥β可知α∥β，结合⊥α知⊥β，故选.答案：．(·长沙市模拟)平面α过正方体-的面对角线，且平面α⊥平面，平面α∩平面＝，则∠的正切值为( )解析：连接，，正方体-中，⊥，⊥，∵∩＝，∴⊥平面，∴⊥，同理，得⊥，∵∩＝，∴⊥平面，如图，以为侧棱补作一个正方体-，使得侧面与平面共面，连接，则∥，连接，交于，则平面就是平面α，∵∥，∴⊥平面，∵平面α，∴平面α⊥平面，∴∠＝＝.故选.答案：.如图，是正方体的底面的中心，则下列直线中与垂直的是( )．．．．解析：连接(图略)，则⊥，根据正方体特征可得⊥，故⊥平面，平面，所以⊥.答案：.如图，在三棱锥中，若＝，＝，是的中点，则下列命题中正确的有(写出全部正确命题的序号)．平面⊥平面；①平面⊥平面；②平面⊥平面，且平面⊥平面；③平面⊥平面，且平面⊥平面.④解析：由＝，＝知⊥，⊥，从而⊥平面，所以平面⊥平面，且平面⊥平面，故③正确．答案：③.如图，⊥⊙所在平面，是⊙的直径，是⊙上一点，⊥，⊥，给出下列结论：①⊥；②⊥；③⊥；④⊥平面，其中正确的结论有．解析：①平面，⊥，⊥⇒⊥，故①正确；②⊥，⊥，平面⇒⊥，平面⇒⊥，故②正确；③⊥，若⊥⇒⊥平面，则∥与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．答案：①②④.如图所示，在四棱锥中，⊥底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足时，平面⊥平面.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：如图，连接，，则⊥，∵⊥底面，∴⊥.又∩＝，∴⊥平面，∴⊥，。
数学高考总复习同步优化探究文数(北师大版)练习：第七章第四节垂直关系Word版含解析
A 组 —— 基础对点练
1.如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°，P 为△ ABC 所在平面外一点，
PA⊥平面 ABC，则四面体 P ABC 中共有直角三角形个数为 ( )
A．4
B．3
C． 2
D ．1
解析： 由 PA⊥平面 ABC 可得△ PAC，△ PAB 是直角三角形，且 PA⊥
(1) 证明： PB∥平面 AEC； (2) 若 PD ＝AD＝ 2， PB⊥ AC，求点 P 到平面 AEC 的距离． 解析： (1)证明：如图，连接 BD，交 AC 于点 F ，连接 EF ，
∵底面 ABCD 为矩形，∴ F 为 BD 中点，
又 E 为 PD 中点，∴ EF ∥PB ，
又 PB 平面 AEC， EF 平面 AEC ，
∴
cos∠
APD
1＝
AP2＋ PD 2AP×
21－ PD
AD
1
2
1＝
2x2 － 2AP×
2x ＝
PD 1
2x 2x－ 1 ，
2AP× PD1
显然，当
x＝0
或
x＝
2时， 2
cos∠
APD
1＝
0，∠
APD 1＝ 90°；
当 0<x< 22时， cos∠APD 1<0,90 °<∠ APD1<180 °；
连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点．因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C⊥ BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C，所以 B1C⊥AO ，故 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB 平面 ABO，故 B1C⊥ AB. (2) 如图，作 OD⊥BC ，垂足为 D，连接 AD .作 OH ⊥AD ，垂足为 H . 由于 BC⊥ AO， BC⊥ OD，故 BC⊥平面 AOD ， 所以 OH ⊥ BC.
垂直关系的性质ppt 北师大版
.. 导. 学 固思
4
如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.
垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示: . a⊥α ,b⊥α ⇒a∥b
.. 导. 学 固思
问题2 叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写
出这个定理. 性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它
们交线的直线与另一个平面垂直.
符号表示: α ⊥β ,α ∩β =l, AB⊂β ,且AB⊥l . 于B⇒AB⊥α
第11课时
垂直关系的性 质
同步书·数学(必修2-第一章)
.. 导. 学 固思
1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.
2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定
理证明一些空间位置关系的简单问题.
.. 导. 学 固思
装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量 门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的
1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( C ).
.. 导. 学 固思
A.有一平面与 a,b 都垂直 B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直 C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行 D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交
【解析】A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a∥b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 α ,则在平面 α 内过 直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交.
2019高三数学理北师大版一轮课件：第7章 第4节 垂直关系
又 AB∩CO＝O，AB 平面 ABC，OC 平面 ABC，
∴PO⊥平面 ABC． ∵PO 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 ABC．
(2)∵OE 是△PAB 的中位线，∴OE＝32. ∵O 是 AB 中点，AC＝BC，∴OC⊥AB.
又平面 PAB⊥平面 ABC，两平面的交线为 AB，
∴BC⊥平面 PAC，从而 BC⊥PC．
因此△ABC，△PBC 也是直角三角形．]
(对应学生用书第 115 页) 线面垂直的判定与性质
(2018·合肥一检)如图 7-4-3，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形， 且 PA⊥底面 ABCD，∠ABC＝60°，点 E，F 分别为 BC，PD 的中点，PA＝ AB＝2.
D [易知 AC⊥平面 BB1D1D. ∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面 BB1D1D. 又 B1O 平面 BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故选 D.]
5．如图 7-4-2，已知 PA⊥平面 ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为 ________．
图 7-4-2
4 [∵PA⊥平面 ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC 为直角三角形． 由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝A，
2．(教材改编)设 α，β 是两个不同的平面，l，m 是两条不同的直线，且 l α，
m β.( ) A．若 l⊥β，则 α⊥β
B．若 α⊥β，则 l⊥m
C．若 l∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，则 l∥m
A [∵l⊥β，l α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故 A 正确．]
3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，
2024届新高考一轮复习北师大版 第7章 第4节 垂直关系 课件(76张)
[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)垂直于同一个平面的两个平面平行．( ) (2)如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于 平面 β.( )
(3)已知平面 α，β，γ，若 α⊥γ，β⊥γ，且 α∩β＝l，则 l⊥γ.( )
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BD A 项，如图①，a⊂α，b⊂β，且 a，b 与 l 都不垂直，则 a，b 不一定垂直，故 A 错误；B 项，如图②，a⊂α，作 b⊥l，则 b⊥α，则 β
内所有与 b 平行的直线都与 a 垂直，故 B 正确；
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C 项，如图③，a⊂α，但 a 与 l 不垂直，则 a 与 β 不垂直，故 C 错误；
(4)过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
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[对点查验]
1．设 α，β为两个不同的平面，直线 l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成
立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 依题意，由 l⊥β，l⊂α，可以推出 α⊥β；反过来，由α⊥β，l
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第七章 立体几何初步、立体几何与空间向量 第四节 垂直关系
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和 理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得 的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
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A 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，
AC⊥BD 且 DD1⊥平面 ABCD，
2022高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第七章第四节 垂直关系(52张PPT)
⇒α⊥β
α⊥β l⊂β
α∩β＝a l⊥a
⇒l⊥α
1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易 忽视． 3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而 盲目套用造成失误．
[试一试]
1．“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平
1．(2014·郑州模拟)设 α，β 分别为两个不同的平面，直线 l⊂α，
则“l⊥β”是“α⊥β”成立的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：依题意，由 l⊥β，l⊂α 可以推出 α⊥β；反过来，由 α
⊥β，l⊂α 不能推出 l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分
1．转化与化归思想——垂直关系
2．判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个 平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个 也垂直”． (4)利用面面垂直的性质． 3．判定线线垂直的方法 (1)平面几何中证明线线垂直的方法；
第四节
垂直关系
1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直，就说直线l与平面
α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
一条直线与一个平面 判定 内的 两条相交直线都 定理 垂直，则该直线与此
平面垂直
a，b⊂α a∩b＝O l⊥a
[类题通法] 解决此类问题常用的方法
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作 出判断；
高考数学 7.4垂直关系配套课件 文 北师大版
第三十三页，共69页。
【规范(guīfàn)解答】(1)EF⊥平面ABC. 证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD， 在△BCD中，∠BCD＝90°，∴BC⊥CD， 又AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC， 在△ACD中 AE =AλF(0<λ<1)， ∴EF∥CD，∴AECF⊥A平D面ABC.
第三十四页，共69页。
第十六页，共69页。
(3)将正方(zhèngfāng)形ABCD沿AC折成直二面角后，
∠DAB=_______.
【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，
BO⊥AC，故∠DOBD为O二 B面O角的2平，面角，从而∠DOB=90°.设正方
(zhèngfāng)
2
形边长为1，则
所以DB=1，
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【例3】(2012·唐山模拟)如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC， M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形. (1)求证：DM∥平面(píngmiàn)APC； (2)求证：平面(píngmiàn)ABC⊥平面(píngmiàn)APC； (3)若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D－BCM的体积.
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【例1】(1)(2012·北京模拟(mónǐ))已知如图，六棱锥P-ABCDEF的底 面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( ) (A)CD∥平面PAF (B)DF⊥平面PAF (C)CF∥平面PAB (D)CF⊥平面PAD
第二十页，共69页。
(2)(2012·南昌模拟)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，
DE垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、E两点,又PB=BC，PA=AB.
北师大七年级数学上册《垂直》课件
点到直线的距离
n 如图，过点A作l 的垂线，垂足为B点。 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
A.
B. l
C
A D E FG H B
请你观察后猜想: 线段CD,CE,CF,CG,CH 哪一条最短?并验证你 的结论.
垂线段的性质
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。
简称为：“垂线段最短”。
来，并说明根据什么
道理?
B C
在D点处开沟，依据是垂线段最短。
巩固练习
1、作一条直线m，在直线m上取一点A， 在直线m外取一点B，分别经过点A，B 用三角尺或量角器作m的垂线。
2.找出图中互相垂直的线段：
AO ⊥ CO,BO ⊥DO
D. .C .
A
.BOຫໍສະໝຸດ 3、找出图中互相垂直的线段
D A
AC ⊥ BC,AC ⊥CE,AC ⊥BE CD ⊥ BC,CD ⊥CE,CD ⊥BE AD ⊥ BC,AD ⊥CE,AD ⊥BE
可记作：l⊥m（或m ⊥ l）
B
Om
D
把互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。
（如图中的O点）。
垂线的画法
你能在方格纸画出垂线吗？有几种画 法？
n 你能借助三角尺画出垂线吗？ (一落，二靠，三移，四画)
•用直尺在方格纸上画出互相垂直的两条直线
A
B
C
H D
K
O G
F E
•用直尺在方格纸上画出互相垂直的两条直线
4.6 垂 直
忆一忆
同一平面上的两条直线有哪些位置 关系?
a
a
b
b
平行
相交
a
a
b
b
两条直线互相垂直的定义
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法一：由正方体的性质，得 A1B1⊥BC1， B1C⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1， 所以 BC1⊥平面 A1B1CD.
又 A1E 平面 A1B1CD， 所以 A1E⊥BC1.
A1B1C1D1
法二：∵A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC， BD 垂直，∴B、D 错；
(2)如图 2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面 PAB，AB 平面 PAB，
∴PC⊥AB， 又 AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面 PGC， 又 CG 平面 PGC，
∴AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边 AB 的高． 同理可证 BD，AH 为△ABC 底边上的高， 即 O 为△ABC 的垂心． 答案：(1)外 (2)垂
2．(2016·高考浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线
l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( C )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
解析：∵α3.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则 在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与 PC垂直的直线有_A_B__，__B_C__，__A_C__；与AP 垂直的直线有__A_B_____．
主干知识 自主排查
1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的 任意 直线都垂直，就说直线l与 平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
判 一条直线与一个平
定 面内的 两条相交
定 直__线__都垂直，则该
理 直线与此平面垂直
符号表示
l_⊥__a_，__l_⊥__b_
解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC； ∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC， ∴与AP垂直的直线是AB.
4．在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O， (1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心． (2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的 __________心． 解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP， 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB， 所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
1．证明线面垂直时，易忽视“面内两条直线相交”这 一条件． 2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一 平面易忽视． 3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于 交线而盲目套用造成失误．
[小题纠偏]
1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与
平面M垂直”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无
数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之
可以，所以是必要不充分条件．
2．下列说法中，错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直 于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
a∩b＝O _a___α__
⇒l⊥α
_b___α___
文字语言 两直线垂直于 性质 同一个平面， 定理 那么这两条直
线 平行
图形表示
符号表示
__ab__⊥ ⊥____αα__⇒a∥b
[必记结论] 1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b α⇒a⊥b. 2．若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
文字语言 如果两个平面互相 性 垂直，则在一个平 质 面内垂直于它们 定
_交__线__的直线垂直
理 于另一个平面
图形表示
符号表示
_αα_∩⊥__ββ_＝a l⊥a ⇒l⊥α
l β
[必记结论] 1．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体 中任意相邻的两个面都是互相垂直的． 2．由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有 直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．
解析：A 项显然正确．根据面面垂直的判定，B 项正确．对 于选项 C，设 α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面 γ 内取一点 P 不在 l 上，过 P 作直线 a，b，使 a⊥m，b⊥n. ∵γ⊥α，a⊥m，∴a⊥α，∴a⊥l，同理有 b⊥l，又 a∩b＝P， a γ，b γ，∴l⊥γ，故选项 C 正确．
2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角 ，就说 这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理 文字语言
一个平面经过另 判定 一个平面的一条 定理 _垂__线__，则这两
个平面互相垂直
图形表示
符号表示
_l_⊥__α_，__l___β_ ⇒α⊥β
对于选项 D，设 α∩β＝l，则 l α，但 l β，
故在 α 内存在直线不垂直于平面 β，即选项 D 错误． 答案：D
核心考点 互动探究
[典例 1] (2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD
中，E 为棱 CD 的中点，则( )
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
[小题诊断]
1．(2018·青岛模拟)设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个
不同的平面，则能得出 a⊥b 的是( C )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β
B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a α，b⊥β，α∥β
D．a α，b∥β，α⊥β
解析：对于C项，由α∥β，a α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥ b，故选C.
第七章 立体几体初步 第四节 垂直关系
C目录 ONTENTS
高考·导航 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业
高考·导航
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的 垂直关系的简单命题．