参数方程的概念
参数方程及其应用
参数方程及其应用参数方程是数学中一种常用的描述曲线的方法，通过引入参数来表示曲线上的点的坐标。
参数方程的优势在于它可以描述一些复杂的曲线，例如椭圆、双曲线和螺旋线等。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在不同领域中的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程由一组函数构成，这些函数分别表示曲线上的点的x坐标和y坐标。
通常用t作为参数，通过给定t的取值范围，我们可以确定曲线上的点。
例如，对于平面上的一条曲线，它的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
通过选择不同的函数形式，我们可以得到各种不同的曲线。
二、参数方程的应用1. 几何学中的参数方程参数方程在几何学中有广泛的应用。
例如，椭圆可以用参数方程表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
通过改变参数t的取值范围，我们可以获得椭圆上的所有点。
另一个例子是螺旋线，它可以通过以下参数方程描述：x = a*cos(t)y = a*sin(t)z = b*t通过改变参数t的取值范围，我们可以得到一条在三维空间中逐渐升高的螺旋线。
2. 物理学中的参数方程参数方程在物理学中也有广泛的应用。
例如，质点在自由落体过程中的运动可以用参数方程描述：x = v0*cos(θ)*ty = v0*sin(θ)*t - (1/2)*g*t^2其中v0表示起始速度，θ表示抛射角度，g表示重力加速度。
通过给定不同的初始条件，我们可以得到不同情况下的自由落体轨迹。
3. 工程学中的参数方程参数方程在工程学中也有一些应用。
例如，在航空领域中，飞机的航迹可以用参数方程表示：x = v*cos(α)*ty = v*s in(α)*tz = h其中v表示飞机的速度，α表示飞机的航向角，t表示时间，h表示飞机的高度。
通过改变参数的取值，我们可以获得飞机在空中飞行的轨迹。
4. 计算机图形学中的参数方程参数方程在计算机图形学中也有广泛的应用。
高三数学参数方程知识点
高三数学参数方程知识点数学是一门抽象而又具有普适性的学科，它的应用广泛，对于高三学生来说，数学的学习变得更加重要和密集。
本文将着重介绍高三数学中的参数方程知识点，帮助学生全面理解并有效记忆这一概念。
一、参数方程的定义与特点参数方程是指用一个参数表示所有的自变量和因变量之间的函数关系。
通常用t作为参数，表示自变量的取值范围。
在参数方程中，将自变量和因变量用参数表示，使得函数的自变量和因变量之间的关系更为灵活。
二、参数方程的表示方法参数方程的表示方法有多种形式，常见的有向量表示法和分量表示法。
1. 向量表示法在向量表示法中，自变量和因变量都用向量表示。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可表示为：P(t) = (x(t), y(t))其中，x(t)和y(t)分别表示点P的x坐标和y坐标，t为参数。
2. 分量表示法在分量表示法中，将自变量和因变量都分别表示为关于参数t的函数。
例如，对于平面上的一个点P，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，f(t)和g(t)分别表示x和y的函数，t为参数。
三、参数方程应用领域参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在曲线的研究中起到重要作用。
下面分别介绍参数方程在平面曲线和空间曲线中的应用。
1. 平面曲线参数方程在平面曲线中的应用非常广泛，常见的曲线方程如圆、椭圆、抛物线、双曲线等都可以用参数方程表示。
通过参数方程，可以对曲线的形状和性质进行更深入的研究。
例如，对于圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = a*sin(t)其中，a为半径，t为参数。
通过改变参数t的取值范围，可以绘制出一条圆的完整轨迹。
2. 空间曲线参数方程在空间曲线的研究中也起到重要作用，例如，直线、曲线、螺旋线等都可以通过参数方程来表示。
通过参数方程，可以描述物体在空间中的运动轨迹，从而研究物体的运动方式和变化规律。
四、参数方程的解法当给定一个参数方程时，我们需要求解参数方程对应的曲线方程或图形。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结参数方程是解决数学问题的一种有效方法，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
参数方程的基本概念和相关知识点对于学习者来说是非常重要的，下面将对参数方程的相关知识点进行总结和介绍。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是用参数表示的一组方程，通常用来描述曲线、曲面等几何图形。
在平面直角坐标系中，参数方程通常表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y分别是t的函数。
参数方程的引入可以将曲线或曲面的方程化简为一组关于参数的函数，从而更方便地进行分析和计算。
二、参数方程与常规方程的关系。
参数方程与常规方程之间存在着一定的对应关系。
对于平面曲线来说，常规方程通常是y=f(x)的形式，而参数方程则是x=g(t)，y=h(t)的形式。
通过参数方程可以将常规方程中的x和y表示为参数t的函数，从而更方便地进行曲线的研究和分析。
三、参数方程的应用。
参数方程在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性；在物理学中，参数方程常用来描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
四、参数方程的性质。
参数方程具有一些特殊的性质，例如参数方程可以描述一些常规方程无法描述的曲线或曲面，参数方程可以简化一些复杂的数学问题，参数方程可以更直观地描述一些几何图形的特性等。
参数方程的这些性质使其在实际问题中具有重要的应用价值。
五、参数方程的求解方法。
对于给定的曲线或曲面，可以通过参数方程来描述其形状和特性。
参数方程的求解方法通常包括参数的选取、参数方程的建立、参数方程的化简等步骤。
通过适当选择参数，并建立相应的参数方程，可以更方便地对曲线或曲面进行分析和计算。
六、参数方程的实际应用举例。
参数方程在实际问题中有着丰富的应用，例如在物理学中，可以利用参数方程描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，可以利用参数方程描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
参数方程的概念
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ） （1） x2+y2 = (3+cosθ)2+(2+sinθ)2
=14+4 sinθ +6cosθ=14+2
sin(θ +ψ). 13
(其中tan ψ =3/2)
∴ x2+y2 的最大值为14+2 13 ，最小值为14- 2 13 。 (2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+
5 5 3 2 如果圆上点Q所对应的坐标是 , , 则点Q对应 2 2 2 的参数 等于 3
x 2 cos 2.选择题：参数方程 ( 为参数)表示的曲线是 A y 2sin A.圆心在原点, 半径为2的圆 B.圆心不在原点, 但半径为2的圆 C.不是圆 D.以上都有可能
x 3t 已知曲线C的参数方程是2 y 2t 1 (1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
高三参数方程知识点
高三参数方程知识点高三学生在学习数学的过程中，会接触到各种不同的知识点和概念。
其中，参数方程是高三数学学习中的一个重要内容。
本文将详细介绍高三参数方程的相关知识点，帮助同学们更好地理解和掌握该知识。
一、参数方程的概念参数方程是指以一个或多个参数表示的函数关系，其中参数的取值范围可以是任意的。
一般来说，参数方程可以将曲线或曲面上的点表示为参数的函数。
二、参数方程的表示方法1. 一元一次方程组参数方程最简单的形式是一元一次方程组。
例如，对于平面上的曲线，可以用两个一元一次方程来表示。
常见的一元一次方程组形式为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。
2. 二元一次方程组在三维空间中，参数方程可以用二元一次方程组表示。
形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y和z是曲面上的点的坐标，u和v是参数。
三、参数方程的应用参数方程在几何图形的描述和计算中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 曲线的参数方程参数方程可以描述各种曲线，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
通过参数方程，我们可以很方便地计算曲线上的点的坐标，进而绘制曲线。
2. 曲线的长度和曲率参数方程在计算曲线的长度和曲率时非常有用。
通过确定参数的取值范围，并计算相邻点的距离，我们可以求得曲线的长度。
此外，通过求导数和二阶导数，我们还可以计算曲线的曲率和曲率半径等重要指标。
3. 曲面的参数方程参数方程可以用于描述各种曲面，如球面、圆柱、圆锥和双曲面等。
通过参数方程，我们可以计算曲面上的点的坐标，进而绘制出复杂的三维图形。
四、参数方程的特点和优势参数方程具有一些独特的特点和优势，使其在数学领域得到广泛应用：1. 灵活性：参数方程中的参数可以取任意实数值，因此可以描述各种不同的几何图形。
2. 简洁性：用参数方程表示几何图形时，通常可以用更简洁的形式表示，较少出现复杂的运算和方程。
高中数学参数方程知识点大全
高中数学参数方程知识点大全一、参数方程的定义和基本概念参数方程是指用一个或多个参数表示一个点在平面或空间上的坐标，一般形式为x=f(t)，y=g(t)或x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)等形式。
1. 参数的取值范围参数的取值范围是指t,u,v等参数的取值范围，有些问题中可能要求特定的参数取值范围，例如0≤t≤1。
2. 参数方程的解析式参数方程的解析式是指将参数方程中的参数用其他变量（如x,y,z）表示出来的式子，通常要具体分析题目所求的内容，才能得到具体的解析式。
二、参数方程表示的图形及其性质参数方程表示的图形是指用参数方程所描述的点的集合，常见的有平面曲线、空间曲线和曲面。
1. 平面曲线的参数方程平面曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程一般形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，t∈[a,b]，其中a,b为常数。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程一般形式为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，u,v∈D，其中D为平面区域。
三、参数方程在计算机绘制图形中的应用在计算机绘制图形中，参数方程可以方便地表示出各种曲线和曲面，并通过计算机程序实现绘制，除此之外还可以进行各种变换和操作。
1. 坐标变换坐标变换是指通过参数方程的变换操作实现图形的变形、旋转、平移等操作。
2. 光照模拟通过参数方程计算表面法向量、光照强度和光照颜色，实现真实的光照模拟。
3. 碰撞检测通过参数方程计算图形的表面或体积信息，实现碰撞检测的功能，以及物体的相交等计算。
四、参数方程的求导1. 参数方程的一阶导数参数方程的一阶导数是指对参数t求导数得到的结果，常用来表示曲线的斜率和切线方向。
2. 参数方程的二阶导数参数方程的二阶导数是指对参数t进行二次求导得到的结果，常用来表示曲线的曲率和弧度的变化率。
五、参数方程的应用示例1. 斜抛运动斜抛运动的轨迹可以用参数方程表示，通过求解初始速度、角度等参数可以得到斜抛运动的轨迹方程，从而计算两点之间的距离和时间等参数。
参数方程的概念
参数方程的概念
参数方程是一种用参数表示变量的二元函数方程。
通常用符号
t表示参数，把x和y分别表示为t的函数，即x=f(t)，y=g(t)，这样得到的方程称为参数方程。
参数方程描述的是一个动力学系统中的轨迹，它可以用于描述曲线、曲面、空间曲线等。
参数方程与直角坐标系方程等价，但通常更适合用于表示非函数、参数化曲线等问题。
参数方程的优点在于它能够描述各种不规则的曲线，例如圆锥曲线、螺旋线、椭圆等。
另外，在计算机图形学中，参数方程也被广泛应用于构建复杂的三维曲线和曲面模型。
对于参数方程，一般需要注意的是其定义域和值域。
定义域即参数t的取值范围，它可以是实数集合，也可以是一个有限的
区间。
值域则是曲线或曲面上所有点的坐标集合。
在求解参数方程时，一般需要使用微积分和向量代数等数学工具。
需要注意的是，参数方程不一定是唯一的，一个曲线或曲面可以有多个不同的参数方程来描述。
另外，在一些应用场合中，也常常需要将参数方程转化为直角坐标系方程，这需要涉及到参数消元和解方程等技巧。
参数方程总结知识点
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。
参数方程的知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程的知识点总结参数方程是表示曲线或曲面的一种方法，它以一或多个变量作为参数来描述曲线或曲面上的点的位置。
参数方程有广泛的应用，包括几何、物理、工程等领域。
下面是对参数方程的知识点的总结。
1. 参数方程的基本概念：参数方程是用参数表示自变量与函数值之间关系的方程。
对于平面上的曲线，一般使用参数t来表示点的位置。
对于三维空间中的曲线或曲面，一般使用参数u和v来表示点的位置。
参数方程中的参数范围可以是实数集，也可以是一个有限区间，取决于具体的问题。
2. 参数方程与直角坐标系的转换：参数方程可以通过参数与直角坐标系中的点坐标之间的关系来进行转换。
对于二维平面上的参数方程，通过改变参数t，可以得到一系列点的坐标。
对于三维空间中的参数方程，通过改变参数u和v，可以得到一系列点的坐标。
3. 参数方程表示的曲线的性质：参数方程可以用来描述曲线的形状、方向等性质。
曲线的方向可以通过参数的变化来决定，当参数递增时，曲线的方向也随之递增。
曲线上任意一点的切线斜率可以通过参数方程对应点处导数计算得到。
4. 参数方程的举例：参数方程可以表示各种各样的曲线和曲面，例如直线、圆等。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
对于直线，通常可以使用参数方程表示为x = at + b，y = ct + d。
对于圆，可以使用参数方程表示为x = r * cos(t)，y = r * sin(t)。
5. 参数方程在几何中的应用：参数方程可以用来表示平面上的曲线、曲面等几何图形。
参数方程可以用来计算曲线的弧长、曲面的面积等几何量。
参数方程可以用来求解曲线与直线或曲线与曲线之间的交点。
6. 参数方程在物理中的应用：参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
参数方程可以用来描述物体的速度、加速度等物理量。
参数方程可以用来求解物体在空间中的位置、速度和加速度等问题。
7. 参数方程在工程中的应用：参数方程可以用来描述工程中的曲线和曲面，例如机械零件的形状等。
理解参数方程的概念
理解参数方程的概念参数方程是描述动态变化的一种数学表达方式。
与普通方程不同，参数方程的变量不仅仅是自变量，还包括一个或多个参数。
在这篇文章中，我将介绍参数方程的概念、应用和解析方法，帮助读者全面理解参数方程。
一、参数方程的定义参数方程是指通过参数描述的函数关系。
通常情况下，参数方程由一系列关联的函数组成，这些函数以参数作为输入，同时输出一组关联的变量值。
例如，一个二维平面上的点(x, y)的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别是点的水平和垂直坐标，t是参数。
通过不同的参数取值，可以得到一系列与参数t相关联的点。
参数方程的主要特点是能够描述动态变化和复杂的曲线轨迹。
二、参数方程的应用参数方程在物理学、几何学和工程学等领域有着广泛的应用。
其中，描述粒子运动的运动学方程、空间曲线的方程以及随时间变化的变量关系等都可以用参数方程来表达。
1. 运动学方程在物理学中，粒子的运动通常由速度和加速度来描述。
而速度和加速度往往是时间的函数，因此可以采用参数方程来描述。
例如，一个质点在空间中运动的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中x、y和z分别是质点的三个坐标，t是变化的时间。
通过给定的参数t取值，可以求得质点在不同时间点的位置，从而描述质点的运动轨迹。
2. 几何学方程几何学中，参数方程广泛应用于曲线和曲面的描述。
例如，圆的参数方程可以表示为：x = rcos(t)y = rsin(t)其中r是圆的半径，t是角度参数。
通过不同的参数t取值，可以得到圆上的一系列点，从而描述完整的圆形。
3. 随时间变化的变量关系参数方程还可以用来描述随时间变化的变量关系。
例如，一个物体的温度随时间的变化可以表示为：T = f(t)其中T是物体的温度，t是时间参数。
通过不同的时间t取值，可以得到物体在不同时间点的温度变化情况。
三、参数方程的解析方法解析参数方程可以帮助我们更好地理解参数方程所描述的曲线或者变量关系。
参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。
参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。
本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。
设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。
那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。
曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。
二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。
设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。
由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。
三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。
3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。
四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。
可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。
2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。
例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。
高三关于参数方程的知识点
高三关于参数方程的知识点参数方程是解决平面几何问题中一种常见的数学工具，它通过引入参数变量来描述曲线的运动轨迹或者点的位置。
在高三数学学习中，参数方程是一个重要的知识点，下面将详细介绍参数方程相关的内容。
一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数变量表示出曲线上每个点的坐标，常见的参数变量有t、θ等。
一条曲线的参数方程一般为：x = f(t)，y =g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。
通过给定不同的参数值，就可以确定曲线上的各个点的坐标。
二、平面曲线的参数方程表示1. 直线的参数方程直线的参数方程常常选择一个点作为起点，然后给出直线的方向向量，并以参数t确定直线上其他点的位置。
设直线过点P(x₁,y₁)，方向向量为v(a, b)，则直线的参数方程可以表示为：x = x₁+ at， y = y₁ + bt，其中t为参数。
2. 圆的参数方程对于圆，其参数方程可以通过将x和y表示为两个函数的关系得到。
设圆的圆心为(h, k)，半径为r，则圆的参数方程可以表示为：x = h + rcos(t)， y = k + rsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程与圆类似，只是在计算x和y的时候引入了椭圆的长轴和短轴。
设椭圆的中心为(h, k)，半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆的参数方程可以表示为：x = h + acos(t)，y = k + bsin(t)，其中t为参数，t的取值范围通常为[0, 2π)。
4. 抛物线的参数方程抛物线的参数方程可以通过将x表示为关于y的函数得到。
常见的抛物线方程为y = ax² + bx + c，通过解这个方程得到x与y之间的关系，可以得到抛物线的参数方程。
三、参数方程在几何问题中的应用参数方程在解决几何问题中具有广泛的应用，例如曲线的切线和曲率、曲线的长度、曲线的弧长等。
1. 曲线的切线和曲率通过参数方程，可以求出曲线上任一点处的切线方程和曲率。
参数方程的概念
参数方程的概念
参数方程，又称参数表达式或参数式，是一种描述曲线或曲面的数学
工具。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过给定参数的取值来确定点的
位置，从而描绘出曲线或曲面的形状。
参数方程在微积分，物理学，工程
学等领域经常被使用。
一维参数方程描述曲线在平面上的位置，通常记作：x=x(t)，y=y(t)，其中x和y是平面上的点的坐标，t是参数，表示曲线上的各个点。
二维
参数方程描述曲面在三维空间中的位置，通常记作：x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)，其中x，y，z是空间中的点的坐标，u和v是两个参数，表示
曲面上的各个点。
参数方程也可以用于描述物体在空间中的运动。
例如，一个物体在直
线上做匀速运动，可以使用参数方程x = x0 + vt来描述其位置，其中
x0是初始位置，v是速度，t是时间。
类似地，可以使用参数方程描述物
体在曲线上或曲面上的运动。
这在物理学和机械工程中有着广泛的应用。
在数学中，参数方程也经常用于求解方程组。
通过将未知数表示成参
数的函数，可以将方程组转化为参数方程的形式，从而简化求解过程。
参
数方程还可以用于求解微分方程和积分方程等复杂的数学问题。
总之，参数方程是一种灵活而强大的数学工具，可以描述曲线和曲面
的形状，解决各种数学问题，实现各种应用。
它在数学，物理学，工程学
和计算机科学等领域都有广泛的应用。
参数方程大题知识点总结
参数方程大题知识点总结一、概念1、参数方程的定义参数方程是用参数表示的两个变量的关系式。
当x和y都用自变量t表示时，称其为参数方程。
一般地，设x=f(t)，y=g(t)，称(f(t)，g(t))为参数方程。
2、参数的取值范围参数t的取值范围通常是一段区间[a，b]。
当参数t在[a，b]上变动时，对应的点(x，y)也在相应的区域内运动。
二、性质1、参数方程的可导性如果f(t)和g(t)都在区间(a，b)内可导，那么曲线y=f(t)，y=g(t)也是可导的。
曲线的切线方向由dy/dt和dx/dt来确定。
2、参数方程的周期性如果f(t)和g(t)都是以T为周期的周期函数，那么曲线上的各点沿曲线运动的轨迹形状是不变的，只是在任一周期内移动位置。
三、图形表示1、参数曲线的方程由参数方程得出的曲线称为参数曲线。
通常来说，参数曲线可以通过参数t的取值范围得到曲线的轨迹。
2、参数曲线的特点根据参数t的不同取值，曲线上的点的位置会不断变化。
通过改变参数t的取值范围和步长，可以描绘出曲线的特点和形状。
四、常见参数曲线1、抛物线当参数方程为x=t，y=t²时，得到抛物线y=x²，为t的二次函数。
参数取值范围可以控制抛物线的开口方向和大小。
2、圆当参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)时，得到一个以坐标原点为中心的单位圆。
通过改变参数t的取值范围，可以获得不同半径的圆。
3、双曲线当参数方程为x=cosh(t)，y=sinh(t)时，得到双曲线。
参数的取值范围决定了双曲线的形状。
五、参数方程与直角坐标系方程的转化1、从参数到直角坐标系当已知参数方程x=f(t)，y=g(t)时，可以将参数t表示成x的函数或y的函数，从而得到用直角坐标系方程表示的函数。
2、从直角坐标系到参数方程当已知直角坐标系方程y=f(x)时，可以通过反函数的方法得到参数方程x=t，y=f(t)。
3、从直角坐标系到参数方程组当已知直角坐标系方程组F(x，y)=0时，可以通过参数形式的显式参数方程给出直角坐标系方程组的参数方程组。
高考参数方程归纳总结
高考参数方程归纳总结一、参数方程的基本概念参数方程是指使用参数表示自变量和因变量之间的关系。
在数学中，参数方程常用于描述曲线、曲面或其他几何体的运动和变化规律。
在高考中，参数方程也是一道经典的考题类型，要求考生对参数方程的性质和特点进行分析和应用。
二、常见的参数方程类型1. 二维平面曲线的参数方程二维平面曲线的参数方程常用于描述平面上的曲线轨迹。
常见的参数方程类型有：- 抛物线的参数方程：x = t, y = at²- 圆的参数方程：x = rcos(t), y = rsin(t)- 椭圆的参数方程：x = acos(t), y = bsin(t)- 双曲线的参数方程：x = asec(t), y = btan(t)2. 三维空间曲线的参数方程三维空间曲线的参数方程常用于描述空间中的曲线轨迹。
常见的参数方程类型有：- 直线的参数方程：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct- 空间曲线的参数方程：x = f(t), y = g(t), z = h(t)3. 二维平面曲面的参数方程二维平面曲面的参数方程常用于描述平面上的曲面形状。
常见的参数方程类型有：- 圆柱面的参数方程：x = acos(t), y = asin(t), z = bt- 双曲抛物面的参数方程：x = at, y = bt², z = ct4. 三维空间曲面的参数方程三维空间曲面的参数方程常用于描述空间中的曲面形状。
常见的参数方程类型有：- 球面的参数方程：x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ- 椭球面的参数方程：x = a sinφcosθ, y = b sinφsinθ, z = c cosφ- 椭圆抛物面的参数方程：x = at², y = bt, z = ct三、参数方程的性质和应用1. 曲线的方向性在参数方程中，通过参数的增加方向可以确定曲线的运动方向。
参数方程的基本概念及其应用
参数方程的基本概念及其应用参数方程是解决数学问题中常用的一种表达方式，它以参数的形式描述了变量之间的关系。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在数学和物理等领域的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常情况下，我们用字母t作为参数，并将函数的自变量和因变量用t来表示。
一个简单的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示函数的自变量和因变量，f(t)和g(t)分别表示x和y关于t的函数表达式。
通过给参数t不同的取值，我们可以得到一系列(x, y)的值，这些值构成了这个函数的图像。
参数方程的优点在于它能够描述一些图形在不同坐标系下的变化规律。
例如，对于一条曲线，在直角坐标系下可能很难用一个简单的函数表达式来描述，但在参数方程下，我们可以通过调整参数的取值来改变曲线的形状和位置。
二、参数方程的应用1. 几何学应用在几何学中，参数方程常用于描述曲线、曲面和体积等几何对象。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程来表示其每个点的坐标。
通过调整参数的值，我们可以绘制出曲线的图像，并研究其性质和变化规律。
此外，参数方程也可以用于描述曲面和体积。
通过给参数不同的取值范围，我们可以生成各种形状的曲面和体积，并对其进行分析和计算。
2. 物理学应用在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹和物理量之间的关系。
例如，对于抛体运动，我们可以用参数方程来表示物体在不同时间下的位置坐标。
通过调整参数的取值，我们可以研究物体的运动规律，并计算其速度、加速度等物理量。
参数方程还可以用于描述电路中的电流、电压和电阻之间的关系，通过调整参数的取值，我们可以研究电路的特性和响应。
3. 经济学应用在经济学中，参数方程用于描述经济模型中各个变量之间的关系。
例如，经济增长模型可以用参数方程来表示产出、消费和投资之间的关系。
通过调整参数的取值，我们可以研究经济增长的趋势和变化规律。
数学参数方程知识点总结_会计基础知识点总结
数学参数方程知识点总结_会计基础知识点总结一、参数方程的概念参数方程是一种用参数表示自变量和因变量的关系的方程，通常表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t称为参数，x和y分别是自变量和因变量。
参数方程可以将曲线的运动、轨迹等复杂的问题简化为参数的变化规律，进而求解。
二、参数方程与直角坐标系的关系1. 参数方程转化为直角坐标系的关系当已知参数方程x=f(t)，y=g(t)时，可以将参数方程转化为直角坐标系的形式。
通常可以通过解方程组来得到x和y的关系，从而将参数方程转化为直角坐标系的形式。
2. 直角坐标系转化为参数方程的关系反之，已知直角坐标系上的曲线方程，也可以将其转化为参数方程的形式。
通常可以通过代入参数的方法得到参数方程的形式。
三、参数方程的图像参数方程表示的是曲线上点的坐标与参数的关系，通常通过给定参数的范围，可以得到曲线的轨迹。
在直角坐标系中，可以通过参数的变化，绘制出曲线的图像。
四、参数方程的应用参数方程在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。
例如在物理运动学中，可以通过参数方程描述物体在空间中的轨迹；在工程中，可以通过参数方程描述复杂曲线的形状。
在计算机图形学中，参数方程可以用来描述曲线和曲面，方便计算机进行图形的绘制。
五、参数方程的求解1. 已知曲线方程求参数方程当已知曲线的方程，需要求解其对应的参数方程时，可以通过参数代换的方法得到参数方程的形式。
2. 已知参数方程求曲线方程当已知参数方程，需要求解其对应的曲线方程时，可以通过消去参数的方法得到曲线方程的形式。
参数方程是一种重要的数学工具，可以用来描述曲线的运动、轨迹等问题，具有广泛的应用价值。
会计基础知识点总结：一、会计的基本概念1. 会计的定义：会计是一门以货币为主要计量单位，以经济活动为研究对象，以表达、记录、分析和监督经济活动为主要任务的学科。
2. 会计的目的：主要目的是通过会计核算，为经济管理及决策提供信息。
3. 会计的职能：主要包括核算、监督、决策和信息提供等职能。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程被广泛应用于描述曲线、曲面以及其他几何图形。
本文将对数学参数方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是由参数 t 的函数组成的向量函数，通常用 (x(t), y(t)) 表示。
其中 x(t) 和 y(t) 分别是关于参数 t 的函数，描述了曲线上点的位置随参数 t 变化的轨迹。
参数方程可以描述直线、圆、椭圆、双曲线等各种曲线。
二、参数方程与直角坐标系的关系。
参数方程描述的曲线通常是在平面直角坐标系中的曲线，通过参数 t 的取值，我们可以得到曲线上的点的坐标 (x, y)。
参数方程和直角坐标系的转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
三、参数方程的应用。
1. 参数方程在物理学中的应用。
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹。
例如，抛体运动、圆周运动等都可以通过参数方程进行描述，这对于研究物体的运动规律具有重要意义。
2. 参数方程在工程学中的应用。
在工程学中，参数方程也有着重要的应用价值。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以描述曲线和曲面的形状，用于建模和渲染。
在机械设计中，参数方程也可以描述各种复杂的曲线轨迹，用于设计和制造。
四、参数方程的性质和特点。
1. 参数方程可以描述一些直角坐标系下无法简单表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程可以描述一些复杂的曲线轨迹，如螺旋线、阿基米德螺线等。
3. 参数方程可以方便地描述曲线上的点的运动规律，对于研究曲线的性质和特点有着重要的意义。
五、参数方程的求解和应用技巧。
1. 求解参数方程通常需要用到代数、几何、微积分等知识，需要灵活运用各种数学方法进行分析和计算。
2. 在应用参数方程进行实际问题求解时，需要根据具体情况选择合适的参数化方法，灵活运用参数方程的性质和特点进行分析和推导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线的参数方程1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y 两个变量；参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．1．下列方程中可以看作参数方程的是( )A ．x －y －t ＝0B ．x 2＋y 2－2ax －9＝0C.⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝t 2y ＝2t －1 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝cos θ解析：选D.对于A ：虽然含有参数t ，但它表示的是直线系方程，直接给出了x ，y 之间的关系，是普通方程；对于B ：虽然含有参数a ，但它表示的图象方程也是普通方程；对于C ：x 2＝t 2不能把x 表示成参数t 的函数，也不是参数方程，只有D 选项满足参数方程的定义．2．点M (2，y 0)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t 2－1，(t 为参数)上，则y 0＝________．解析：将M (2，y 0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t y 0＝t 2－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1y 0＝0.答案：03．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，判断点A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6.参数方程的概念已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t y ＝2t 2＋1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，1)，M 2(5，4)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M 3(6，a )在曲线C 上，求a 的值．[解] (1)把点M 1的坐标(0，1)代入方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝3t ，1＝2t 2＋1. 解得：t ＝0.所以点M 1在曲线C 上． 同理：可知点M 2不在曲线C 上．(2)因为点M 3(6，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＝3t ，a ＝2t 2＋1. 解得：t ＝2，a ＝9.所以a ＝9.(1)满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上．(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1.曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，所以曲线C 与y 轴的交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)2．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．(1)判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； (2)若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：(1)把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上． 把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上．(2)令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.求曲线的参数方程如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[解] 法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q .如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP . 取OB ＝t ，t 为参数，(0<t <a )． 因为|OA |＝a 2－t 2， 所以|BQ |＝a 2－t 2.所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋a 2－t 2y ＝t，(t 为参数，0<t <a )． 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0<θ<π2)，则∠ABO ＝π2－θ. 在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝a sin θ. 在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. 所以点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a (sin θ＋cos θ)，y ＝a sin θ.(θ为参数，0<θ<π2)．求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60rad/s ，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，又θ＝π60·t ，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t .(t 为参数)．1．对参数方程概念的理解(1)曲线的参数方程中含有三个变量，并且以方程组的形式出现，其中x ，y 表示点的坐标，参数t 为中间变量，起着间接联系x ，y 桥梁的作用．(2)参数方程中，x ，y 都是关于参数t 的函数．反之，如果x ，y 虽然都能用t 表示，但不都能表示成t 的函数，它就不是参数方程．(3)曲线上任一点与满足参数方程的有序数对(x ，y )是一一对应关系．从数学的角度看，曲线上的任一点M 的坐标(x ，y )由t 唯一确定．当t 在允许值范围内连续变化时，x ，y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹．(4)在表达参数方程时，必须指明参数的取值范围，参数的取值范围不同，所表示的曲线可能不同．2．求曲线的参数方程(1)曲线的参数方程不是唯一的．同一条曲线由于所选取的参数不同，其参数方程的形式往往也不同．反之，形式不同的参数方程它们表示的曲线可以是相同的．(2)求曲线的参数方程，关键是选取参数．通常要结合实际问题和曲线形状选取时间、线段长度、方位角、旋转角等具有明确的物理意义或几何意义的量为参数，这样做有利于应用参数方程解决问题，当然也可以任意选取一个没有明确的实际意义的量为参数．(3)引入参数的同时，必须明确参数的取值范围．1．下列方程可以作为x 轴的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3t ＋1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝0 D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1y ＝0 解析：选D.选项A 表示x 轴上以(1，0)为端点向右的射线；选项B 表示的是y 轴；选项C 表示x 轴上以(0，0)和(2，0)为端点的线段；只有选项D 可以作为x 轴的参数方程．2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12解析：选C.当θ＝π6时，x ＝32，y ＝32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，(θ为参数)所表示的曲线上．3．已知点M (2，－2)在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝－2，(t 为参数)上，则其对应的参数t 的值为________．解析：由t ＋1t＝2解得t ＝1.答案：14．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)，M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．解：(1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，所以t ＝0. 即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)因为点M (2，a )在曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. 所以t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.[A 基础达标]1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝5sin θ(0≤θ<2π)，则参数θ＝5π3所对应的点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，52D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫532，52解析：选A.θ＝5π3时，x ＝5×cos 5π3＝52，y ＝5×sin 5π3＝－532，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－532，故选A.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)表示的曲线是( )A ．直线B ．线段C ．圆D ．半圆解析：选C.因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以普通方程为x 2＋y 2＝1.故选C.3．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．1解析：选B.根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中得⎩⎪⎨⎪⎧4＝t 2，a ＝2t⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.故选B.4．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最小值是( )A ．4B ．25C ．36D ．6解析：选A.因为(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2＝26＋10sin(θ－φ)(且tan φ＝34)．所以当sin(θ－φ)＝－1时，有最小值4，故选A.5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2ty ＝tC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝－tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2t y ＝－t解析：选A.设(x ，y )为所求轨迹上任一点．由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得：(x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t y ＝t.6．若x ＝t －1(t 为参数)，则直线x ＋y －1＝0的参数方程是____________． 解析：将x ＝t －1代入x ＋y －1＝0得y ＝2－t ，所以直线x ＋y －1＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2－t ，(t 为参数)7．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<2π)．下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)，其中在曲线上的点是________．解析：将A 点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故A 点在曲线上．答案：A (1，3)8．下列各参数方程与方程xy ＝1表示相同曲线的序号是________．①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝－t 2；②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin ty ＝1sin t ；③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t.解析：普通方程中，x ，y 均为不等于0的实数，而①②③中x 的取值依次为：[0，＋∞)，[－1，1]，[－1，1]，故①②③均不正确；而④中，x ∈R ，y ∈R ，且xy ＝1，故④正确．答案：④9．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0得：(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.这就是所求的轨迹方程．10.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ， 由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ， y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θy ＝2a tan θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.[B 能力提升]11．已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________． 解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)12．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为____________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .所以参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t y ＝1＋12t(t 为参数)13．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数，且t ∈R)中，若f (t )和g (t )都是奇函数，请判断该曲线所对应函数的奇偶性．解：设(x ，y )是参数方程曲线上的任意一点，则存在参数t 使得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，所以－x ＝－f (t )，－y ＝－g (t )． 又f (t )、g (t )均为奇函数， 所以－x ＝f (－t )，－y ＝g (－t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝f (－t )－y ＝g (－t )，即点(－x ，－y )也在曲线上，所以该曲线的图象关于原点对称． 所以该曲线对应的函数为奇函数．14．(选做题)试确定过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦的中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)．设中点P (x ，y )，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0.所以y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2kk 2＋4. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4.这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．。