概率论2016_经济应用数学三()

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2016考研数学三真题及答案解析

（C） A + AT 与 B + BT 相似. 解析：∵ A 与 B 相似 ∴存在可逆矩阵 P ，使得 B P1AP
（D） A A1 与 B B1 相似.
故 BT PT AT (P1)T (PT )1 1 AT (PT )1 ∴ AT 与 BT 相似（A）正确
又 B1 P1 A1P ，故 B1 与 A1 相似，（B）正确
则（）
（A） T1 T2 T3
（B） T3 T1 T2
（C） T2 T3 T1
（D） T2 T1 T3 解析：如图所示，
D1 D4 D5 D6 ， D2 D5 D6 ， D3 D4 D5 ，由于被积函数 3 x y 在 D1 上为
正，所以 T2 T1 ，T3 T1 ，又因为 3 x y 在 D4 上显然大于 D6 上对应 x 处的值，所以 T2 T3 ，
x
f
y
ex (x y) ex (x y)2
ex
ex x y
f
应选（D）.
（3）设 Ti 3 x ydxdy (i 1, 2, 3) 其中 D1 ( x, y) 0 x 1, 0 y 1
Di
D2 (x, y) 0 x 1, 0 y x
D3 ( x, y) 0 x 1, x2 y 1
解析：因 P( A | B) 1 ，则 p( AB) 1 ，则 P(B) P( AB) 0 ，则 P(B A) 0 . 从而 P(B)
P(B | A) 0 .
又 P(B | A) P(B | A) 1 ，则 P(B | A) 1 ，故选 A.
（8）设随机变量 X 与Y 相互独立，且 X ~ N (1, 2),Y ~ N (1, 4) ，则 D( XY ) =( )

2016数三考研真题

2016数三考研真题2016年的数学三科考研真题对于考研学子来说是非常重要的一场考试。

本文将会对2016年数学三科考研真题进行分析和解答，帮助考生更好地理解和应对这次考试。

第一道题目：解析：这道题目是一个典型的微积分问题，要求求出函数f(x)的导数。

根据题目给出的条件，f(x) = ∫[0,x] g(t) dt，其中g(x) = ∫[0,1] 2xy dx。

根据微积分的基本原理，如果要求出f(x)的导数，可以利用牛顿-莱布尼兹公式。

根据该公式，f(x)的导数等于g(x)的函数值。

根据题目给出的条件，计算g(x):g(x) = ∫[0,1] 2xy dx= 2∫[0,1] xy dx= 2 * x * ∫[0,1] y dx= 2 * x * y * [0,1]= 2 * x * y将g(x)的表达式带入f(x)的表达式中，得到：f(x) = ∫[0,x] g(t) dt= ∫[0,x] 2 * t * y dt= 2 * y * ∫[0,x] t dt= 2 * y * (t^2 / 2) | [0,x]= y * x^2因此，f(x)的导数为f'(x) = 2 * y * x。

答案为B。

第二道题目：解析：这道题目是一个概率统计的问题，要求计算随机变量X的期望和方差。

根据题目给出的条件，X是满足分布函数F(x)的连续型随机变量。

我们先来计算随机变量X的期望E(X)：E(X) = ∫[-∞,+∞] x f(x) dx根据题目给出的条件，得到：∫[-∞,+∞] (x - 1) f(x) dx = 0将x - 1拆分为x和-1两部分，得到：∫[-∞,+∞] xf(x) dx - ∫[-∞,+∞] f(x) dx = 0根据随机变量的概率密度函数与分布函数的关系，有：f(x) = dF(x) / dx将概率密度函数带入上式中，得到：∫[-∞,+∞] x (dF(x) / dx) dx - ∫[-∞,+∞] (dF(x) / dx) dx = 0根据微积分的基本原理，可以得到：xdF(x) - ∫[-∞,+∞] dF(x) = 0对上式进行积分，得到：xF(x)|[-∞,+∞] - [F(x)|[-∞,+∞] = 0根据题目给出的条件，分布函数在正负无穷处的值分别为0和1，得到：0 - 0 = 0因此，随机变量X的期望为E(X) = 1。

数学三2016年真题及答案

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2 2 2
为 1, 2 ，则（
）
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 【答案】（C）【解析】考虑特殊值法，当 a 0 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 ，
n sin n
i 1
i
i
0
x sin xdx sin 1 cos 1
(11)设函数 f ( u, v ) 可微， z z ( x, y ) 有方程 ( x 1) z y 2 x 2 f ( x z , y ) 确定，则
dz
0 ,1
____ ．
【答案】 dz 0,1 dx 2dy 【解析】 ( x 1) x y 2 x 2 f ( x z , y ) 两边分别关于 x , y 求导得
x 0 1 1
【解析】 lim cos 2 x 2 x sin x x 4
x 0
lim e
x 0
cos 2 x 2 x sin x 1 x4
1
lim e
x 0
x3 4 x 2 24 x 4 2 x x 1o( x 4 ) 3! 2 4! x4
x
x 0
2
t 2 dt t 2 x 2 dt
x

1

x
1 0
2
t 2 dt x 2 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1

1 3
4 3 1 x x2 3 3
2 1 x 3 4 x 3 x 2 1 3 3 则 f x 4 x3 x 2 1 3 3 1 x2 3 2 x 2 4 x 2 x f ' x 2 4 x 2 x 2 x

2016年考研数学三真题(第563套)

2016年考研数学三真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设方程y x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠=.则线性方程组T A X B =的解是___________.(5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ___________.(A) 100(,)dy f x y dx ⎰(B)1(,)dy f x y dx ⎰(C) 1100(,)dx f x y dy ⎰⎰ (D)1(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是___________.(A) 若21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑都收敛,则21()n n n u v ∞=+∑收敛(B) 1n n n u v ∞=∑收敛,则21nn u ∞=∑与21n n v ∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1n n u ∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥=,则级数1n n v ∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则______-_____.(A) 1()n A A A -**= (B) 1()n A A A +**= (C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα和1,,m ββ,若存在两组不全为零的数1,,mλλ 和1,,mk k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,则___________.(A) 1,,m αα和1,,m ββ都线性相关(B) 1,,m αα和1,,m ββ都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是___________.(A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+ (D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x x x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z zp y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算20(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()T AP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.参考答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】：()1ln dxx y +(2)【答案】：C(3)【答案】：0ca≥(或20ax c =),b 任意 (4)【答案】：()1000T ,,,(5)【答案】：(4.412,5.588)二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】：(D) (2)【答案】：(A) (5)【答案】：(B)三、(本题满分6分)【解析】(1) 由于()g x 有二阶连续导数,故当0x ≠时,()f x 也具有二阶连续导数,此时,()f x '可直接计算,且()f x '连续；当0x =时,需用导数的定义求(0)f '.当0x ≠时, 22[()]()()()(1)().x x xx g x e g x e xg x g x x e f x x x---''+-+-++'== 当0x =时,由导数定义及洛必达法则,有2000()()()(0)1(0)lim lim lim 222x x x x x x g x e g x e g x e g f x x ---→→→'''''-+--'==洛洛. 所以 2()()(1),0,()(0)1,0.2xxg x g x x e x x f x g x -'⎧-++≠⎪⎪'=⎨''-⎪=⎪⎩(2) ()f x '在0x =点的连续性要用定义来判定.因为在0x =处,有200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x-→→'-++'= 0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂.在方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法. 【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以 20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰ 而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+, 故原式ln 2=. 方法2: 220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x x x x x xdxdx e dx e e e e d e e e+∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c ⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分) 【解析】令yz x=,则dy dz z x dx dx=+. 当0x >时,原方程化为dz z x z dx +=-dxx =-,其通解为1ln(ln z x C =-+ 或Cz x=. 代回原变量,得通解(0)y C x +=>.当0x <时,原方程的解与0x >时相同,理由如下:令t x =-,于是0t >,而且dy dy dx dydt dx dt dx =⋅=-===从而有通解(0)y C t +=>,即(0)y C x =<.综合得,方程的通解为y C +=.注：由于未给定自变量x 的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yz x=后得x =从而,应当分别对0x >和0x <求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,003113110011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于T A A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而2010*********A ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形T y y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为2010*********A ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式2310000100(1)(9)00540045E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即1234000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)T α=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]1234100001000000,,,Pββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣,则1221119TP A P P A P-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,即211()()19T TAP AP P A P⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,tk k k k使得1122()()()0,t tk k k kββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,tααα是0AX=的解,知0(1,2,,)iA i tα==,用A左乘上式的两边,有12()0tk k k k Aβ++++=.(2)由于0Aβ≠,故12tk k k k++++=.对(1)重新分组为121122()0t t tk k k k k k kβααα++++++++=.(3) 把(2)代入(3)得1122t tk k kααα+++=.由于12,,,tααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0tk k k===.代入(2)式得:0k=.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+ 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B .由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.XX Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,200()()(1)lim ()lim xx x xg x g x x e f x x -→→'-++'= 0()()()(1)lim 2x xx g x xg x g x e x e x--→''''+-+-+=0()(0)1lim (0)22x x g x e g f -→''''--'===. 而()f x '在0x ≠处是连续函数,所以()f x '在(,)-∞+∞上为连续函数.四、(本题满分6分) 【解析】由()z f u =可得(),()z u z u f u f u x x y y∂∂∂∂''==∂∂∂∂. 在方程()()xy u u p t dt ϕ=+⎰两边分别对,x y 求偏导数,得()(),()().u u u u u p x u p y x x y yϕϕ∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂ 所以()(),1()1()u p x u p y x u y u ϕϕ∂∂-==''∂-∂-. 于是 ()()()()()()()01()1()z z p x p y p x p y p y p x f u x y u u ϕϕ⎡⎤∂∂'+=-=⎢⎥''∂∂--⎣⎦.五、(本题满分6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类不同的函数相乘,应该用分部积分法.【解析】方法1:因为21(1)111x x x x x xe x dxdx xd e e e e-----=-++++⎰⎰⎰分部积分1(1)1111ln(1),1x x x x x x x x x e x dx d e e e e e x e C e---=-=-+++++=-+++⎰⎰所以 20lim ln(1)ln 2.(1)1x x x x x x xe xe dx e e e -+∞-→+∞⎡⎤=-++⎢⎥++⎣⎦⎰ 而 lim ln(1)lim ln (1)11x x x x xxx x x xe xe e e e e e -→+∞→+∞⎡⎤⎧⎫⎡⎤-+=-+⎨⎬⎢⎥⎣⎦++⎣⎦⎩⎭lim ln(1)1x x xx xe x e e -→+∞⎧⎫=--+⎨⎬+⎩⎭lim001xx xe →+∞-=-=+, 故原式ln 2=. 方法2: 220001(1)(1)1x x x x x xe xe dx dx xd e e e-+∞+∞+∞-==-+++⎰⎰⎰0000011111(1)ln(1)ln 2.1xx x x x x x xxdx dx e dx e e e e d e e e +∞-+∞+∞+∞-+∞+∞---=-+==++++=-+=-+=+⎰⎰⎰⎰六、(本题满分5分)【分析】由结论可知,若令()()x xf x ϕ=,则()()()x f x xf x ϕ''=+.因此,只需证明()x ϕ在[0,1]内某一区间上满足罗尔定理的条件.【解析】令()()x xf x ϕ=,由积分中值定理可知,存在1(0,)2η∈,使112201()()()2xf x dx x dx ϕϕη==⎰⎰,由已知条件,有1201(1)2()2()(),2f xf x dx ϕηϕη==⋅=⎰于是(1)(1)(),f ϕϕη==且()x ϕ在(,1)η上可导,故由罗尔定理可知,存在(,1)(0,1),ξη∈⊂使得()0,ϕξ'=即()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)【分析】利用函数的单调性的判定,如果在x 的某个区间上导函数()0f x '≥,则函数()f x 单调递增,反之递减.【解析】(1)设售出商品的销售额为R ,则()()22(),().ab c p b aR pQ p c R p p b p b -+'==-=++ 令0,R '=得00p b ==>.当0p <<时,0R '>,所以随单价p 的增加,相应销售额R 也将增加.当p >时,有0R '<,所以随单价p 的增加,相应销售额R 将减少.(2)由(1)可知,当p =时,销售额R 取得最大值,最大销售额为2maxR b c⎡⎤⎫⎥==⎪⎪⎥⎭⎥⎦.八、(本题满分6分)【解析】令yzx=,则dy dzz xdx dx=+.当0x>时,原方程化为dzz x zdx+=-dxx=-,其通解为1ln(lnz x C=-+或Czx=.代回原变量,得通解(0)y C x+=>.当0x<时,原方程的解与0x>时相同,理由如下:令t x=-,于是0t>,而且dy dy dx dydt dx dt dx=⋅=-===从而有通解(0)y C t+=>,即(0)y C x=<.综合得,方程的通解为y C+=.注：由于未给定自变量x的取值范围,因而在本题求解过程中,引入新未知函数yzx=后得x=从而,应当分别对0x>和0x<求解,在类似的问题中,这一点应当牢记.九、(本题满分8分)【分析】本题的(1)是考查特征值的基本概念,而(2)是把实对称矩阵合同于对角矩阵的问题转化成二次型求标准形的问题,用二次型的理论与方法来处理矩阵中的问题. 【解析】(1)因为3λ=是A 的特征值,故31001300313138(2)0,003113110011y E A y y ------==⋅=-=-----所以2y =.(2)由于T A A =,要2()()T T AP AP P A P ==Λ,而21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是对称矩阵,故可构造二次型2T x A x ,将其化为标准形T y y Λ.即有2A 与Λ合同.亦即2T P A P =Λ.方法一：配方法.由于 22222123434558T x A x x x x x x x =++++22222212334444222212344816165()55255495(),55x x x x x x x x x x x x x =+++++-=++++那么,令1122334444,,,,5y x y x y x x y x ===+=即经坐标变换1122334410000100,400150001x y x y x y x y⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 有 222221234955T x A x y y y y =+++.所以,取 10000100400150001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有211()()595T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二：正交变换法.二次型22222123434558T x A x x x x x x x =++++对应的矩阵为21000010000540045A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其特征多项式2310000100(1)(9)00540045E A λλλλλλλ---==------.2A 的特征值12341,1,1,9λλλλ====.由21()0E A x λ-=,即1234000000000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦,和24()0E A x λ-=,即12348000080000044000440x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,分别求得对应1,2,31λ=的线性无关特征向量123(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)T T T ααα===-,和49λ=的特征向量4(0,0,1,1)T α=.对123,,ααα用施密特正交化方法得123,,βββ,再将4α单位化为4β,其中：1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),,T T T Tββββ====. 取正交矩阵[]123410000100000,,,P ββββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢==⎢⎢⎢⎢⎣, 则 1221119T P A P P A P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 即 211()()19T T AP AP P A P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦.十、(本题满分8分)【解析】证法1： (定义法)若有一组数12,,,,,t k k k k 使得1122()()()0,t t k k k k ββαβαβα+++++++= (1)则因12,,,t ααα是0AX =的解,知0(1,2,,)i A i t α==,用A 左乘上式的两边,有12()0t k k k k A β++++=.(2)由于0A β≠,故120t k k k k ++++=. 对(1)重新分组为121122()0t t t k k k k k k k βααα++++++++=. (3) 把(2)代入(3)得 11220t t k k k ααα+++=. 由于12,,,t ααα是基础解系,它们线性无关,故必有120,0,,0t k k k ===.代入(2)式得:0k =.因此向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.证法2： (用秩)经初等变换向量组的秩不变.把第一列的-1倍分别加至其余各列,有()()1212,,,,,,,,.t t ββαβαβαβααα+++→因此 ()()1212,,,,,,,,.t t r r ββαβαβαβααα+++=由于12,,,t ααα是基础解系,它们是线性无关的,秩()12,,,t r t ααα=,又β必不能由12,,,t ααα线性表出(否则0A β=),故()12,,,,1t r t αααβ=+.所以 ()12,,,, 1.t r t ββαβαβα+++=+ 即向量组12,,,,t ββαβαβα+++线性无关.十一、(本题满分7分)【解析】设一周5个工作日内发生故障的天数为X ,则X 服从二项分布即(5,0.2)B .由二项分布的概率计算公式,有{}500.80.32768,P X ==={}14510.80.20.4096,P X C ==⋅= {}232520.80.20.2048,P X C ==⋅={}{}{}{}310120.05792.P X P X P X P X ≥=-=-=-==设一周内所获利润Y (万元),则Y 是X 的函数,且10,0,5,1,()0,2,2,3.XX Y f X X X =⎧⎪=⎪==⎨=⎪⎪-≥⎩若若若若由离散型随机变量数学期望计算公式,100.3276850.409620.05792 5.20896EY =⨯+⨯-⨯=(万元).十二、(本题满分6分)【解析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设事件1A =“方程有实根”,2A =“方程有重根”,则{}221404B A B C C ⎧⎫=-≥=≤⎨⎬⎩⎭.用列举法求有利于i A 的样本点个数(1,2i =),具体做法见下表:有利于的意思就是使不等式24B C ≤尽可能的成立,则需要B 越大越好,C 越小越好.当B 取遍1,2,3,4,5,6时,统计C 可能出现的点数有多少种.由古典型概率计算公式得到11246619(),3636p P A ++++===2111().3618q P A +===十三、(本题满分6分)【解析】依题意,12,,,n X X X 独立同分布,可见22212,,,n X X X 也独立同分布.由(1,2,3,4)k k EX a k ==及方差计算公式,有224222242222242211,(),111,().i i i i n n n in i i i EX a DX EX EX a a EZ EX a DZ DX a a n n n====-=-====-∑∑ 因此,根据中心极限定理n U =的极限分布是标准正态分布,即当n 充分大时,n Z 近似服从参数为2422(,)a a a n-的正态分布.。

考研数学三概率论04-15年真题

(A)
[ (D)
2
]
uα .
2
(B)
u
1α 2.Fra bibliotek(C)
u 1α .
2
u1α .
2 2 2
（06， 2 4 分）设随机变量 X 服从正态分布 N 1 , 1 且 P X 1 1 P Y 2 1 ,则必有 (A)

,随机变量 Y 服从正态分布 N , ,
计算有关随机事件的概率．
六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩
2 分布 t 分布
F 分布分位数正态总体的常用抽样分布
考试要求 1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为
B(n, p) 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 P( ) 及其应用．
3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布． 4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 U (a, b) 、正态
2 分布 N ( , ) 、指数分布及其应用，其中参数为 ( 0) 的指数分布 E ( ) 的概率
1 （2）求 Z 的概率密度 f Z ( z ) 。 X 0} ； 2
9 （08，4 分）设随机变量 X , Y 独立同分布，且 X 的分布函数为 F ( x) ，则Z m a x { X ,Y} 的分布函数为 [ ]
A
F 2 ( x)
B
F ( x) F ( y )
C
1 [1 F ( x)]2
间断点个数为 [ ] （A）0 (B)1 (C)2 (D)3 11（09， 11分）袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白球，现有放回的从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑、白球的个数。 ①

2016年考研数学三真题解析

2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以 0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x xb x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4) 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X Λ和 2,,21n Y Y Y Λ分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).[ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可. 【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算. (16) (本题满分8分) 求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d .)23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤ba b a dx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xa dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可. 【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而⎰⎰⎰⎰-=-==bab aba babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有 0)(≤-⎰badx x G ，即0)(≤⎰ba dx x xF .因此⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10.当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x Λ的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) Λ+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，Λ+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642Λ+⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x e y xdx xdx +⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, Tβ)3,3,1(-=,试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a .(Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解：ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为 211)11(αaαa β+-=． (Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000).(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111ΛM M M ΛΛb b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) ο1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λΛM M M M ΛΛ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12Λ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b bn A E λ)1()1()1(1ΛM M M ΛΛ→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n ΛM M M ΛΛ →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------0000111111111111ΛΛM M M M ΛΛn n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------0000111111111111ΛΛM M MM ΛΛn n n→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111ΛΛM M M M ΛΛn n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001ΛΛM M M MΛΛ解得Tξ)1,,1,1,1(1Λ=，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 Tk ξk )1,,1,1,1(1Λ= (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λΛM M M ΛΛ2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111ΛM M M ΛΛ 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2Λ-=，T ξ)0,,1,0,1(3Λ-=，T n ξ)1,,0,0,1(,-=ΛΛ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++Λ3322 (n k k k ,,,32Λ是不全为零的常数)．ο2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-ΛM M M ΛΛ,特征值为11===n λλΛ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) ο1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP Λ=，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(11Oο2 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61 则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ， 41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βnni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他ΛΛ当),,2,1(1n i x i Λ=>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni ixββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixn1ln ˆβ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21Λ, 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i nnn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他ΛΛ当),,2,1(n i αx i Λ=>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m in{ˆ21n x x x αΛ=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X αΛ=．。

2016年考研数三真题

2016年考研数三真题在2016年的考研数学三真题中，共有五道题目。

以下将逐一介绍并解答这些题目。

题目一：如图所示，圆O的周长等于圆I、II、III和IV四个圆的面积和。

若圆III与圆II内切，圆IV内切圆O，并且圆外有一点P，使得P到圆O的距离是其到圆I的距离的4倍。

求圆III的半径与圆II的半径之比。

解答：设圆O的半径为R，圆I的半径为r1，圆II的半径为r2，圆III的半径为r3。

根据题意可得：2πR = π(r1^2 + r2^2 + r3^2 + R^2)由此可得：2R = r1^2 + r2^2 + r3^2 + R^2又根据题意可得：4R = r1^2 + 4r2^2 + r3^2将上式代入下式可得圆III的半径与圆II的半径之比：r3/r2 = (4R - r1^2 - r2^2)/(r1^2 + 4r2^2 + R^2 - r1^2 - r2^2) = (4R -r1^2 - r2^2)/(3r2^2 + R^2)题目二：已知复数z满足|z+4+4i| ≤ 5，且Im(z^2) = 8。

求z的实部与虚部之和。

解答：设z = x + yi，其中x为实部，y为虚部。

根据题意可得：|(x + 4) + (y + 4i)| ≤ 5根据复数绝对值的定义和性质，可得：√[(x + 4)^2 + (y + 4)^2] ≤ 5展开化简后可得：x^2 + y^2 - 7x - 8y + 8 ≤ 0由于Im(z^2) = 8，可得：2xy = 8代入上式并整理整理方程组可得：x^2 + y^2 - 7x - 8y + 8 ≤ 0xy = 4解方程组得到x和y的值，然后求解x+y即可得到结果。

题目三：设X为第n个素数，Y为小于等于n的所有正整数中的互质数的个数。

求2016!的质因数X和Y的值。

解答：首先确定X的值。

根据题意，X为第n个素数，即为第2016个素数。

利用素数的定义和判断方法，通过筛选法可以找出第2016个素数的值为X。

2016年考研数学三试题解析(完整版)

2016年考研数学（三)试题及解析（完整版）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y )≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ](10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3).(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ](11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.(21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111 b b b b b b A .(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布. (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2016年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x a e xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x x x b x a e x x x x ，得b = -4.因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f'-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x . 【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2. (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P e1.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.【详解】由于21λDX =, X 的分布函数为⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=.【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型. (6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X E n j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==. 【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点. (C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ]【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元x u 1=，可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 00u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令x u 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ]【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ，当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim1>+∞→nn n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性.【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim1>+∞→nn n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散. (4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ；另外，0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得. 【详解】由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. 【分析】先通分化为“00”型极限，再利用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】xx xx x x x x x x 2222202220sin cos sin lim )cos sin 1(lim -=-→→ =346)4(21lim 64cos 1lim 44sin 212lim 2sin 41lim 22020304220==-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x . 【评注】本题属于求未定式极限的基本题型，对于“0”型极限，应充分利用等价无穷小替换来简化计算.(16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域(如图).【分析】首先，将积分区域D 分为大圆}4|),{(221≤+=y x y x D 减去小圆}1)1(|),{(222≤++=y x y x D ，再利用对称性与极坐标计算即可.【详解】令}1)1(|),{(},4|),{(222221≤++=≤+=y x y x D y x y x D ，由对称性，0=⎰⎰Dyd σ.⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+=+21222222D D Dd y x d y x d y x σσσ⎰⎰⎰⎰--=θπππθθcos 20223220220dr r d dr r d . )23(916932316-=-=ππ所以，)23(916)(22-=++⎰⎰πσDd y y x . 【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型，对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算. (17) (本题满分8分)设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤bab adx x xg dx x xf )()(.【分析】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=x a dt t F x G )()(，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F (x ) = f (x ) - g (x )，⎰=xadt t F x G )()(，由题设G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，G (a ) = G (b ) = 0，)()(x F x G ='.从而 ⎰⎰⎰⎰-=-==bababa babadx x G dx x G x xG x xdG dx x xF )()()()()(，由于 G (x ) ≥ 0，x ∈ [a , b ]，故有0)(≤-⎰ba dx x G ，即 0)(≤⎰b adx x xF .因此 ⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法. (18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加. 【分析】由于d E > 0，所以dP dQ Q P E d =；由Q = PQ 及dPdQQ P E d =可推导 )1(d E Q dPdR-=. 【详解】(I) PPdP dQ Q P E d -==20. (II) 由R = PQ ，得)1()1(d E Q dPdQ Q P Q dP dQ P Q dP dR -=+=+=. 又由120=-=PPE d ，得P = 10. 当10 < P < 20时，d E > 1，于是0<dPdR，故当10 < P < 20时，降低价格反而使收益增加.【评注】当d E > 0时，需求量对价格的弹性公式为dPdQQ P dP dQ Q P E d -==. 利用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式：Qdp E dR d )1(-=，Q E dpdRd )1(-=，p E dQ dR d )11(-=， d E EpER-=1(收益对价格的弹性). (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.【分析】对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.【详解】(I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ，易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰-22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，2002年考过类似的题. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.【分析】将β可否由321,,ααα线性表示的问题转化为线性方程组βαk αk αk =++332211是否有解的问题即易求解. 【详解】设有数,,,321k k k 使得βαk αk αk =++332211. (*) 记),,(321αααA =. 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+-=323032221111),(b a a b a βA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111b a b a . (Ⅰ) 当0=a 时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→10001001111),(b βA . 可知),()(βA r A r ≠. 故方程组(*)无解, β不能由321,,ααα线性表示. (Ⅱ) 当0≠a , 且b a ≠时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0100101011001a a 3),()(==βA r A r , 方程组(*)有唯一解： ak 111-=, a k 12=, 03=k ．此时β可由321,,ααα唯一地线性表示, 其表示式为211)11(αaαa β+-=．(Ⅲ) 当0≠=b a 时, 对矩阵),(βA 施以初等行变换, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000101111),(b a b a βA ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000111011001a a ， 2),()(==βA r A r , 方程组(*)有无穷多解，其全部解为 a k 111-=, c ak +=12, c k =3，其中c 为任意常数． β 可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 其表示式为321)1()11(αc αc aαa β+++-=．【评注】本题属于常规题型, 曾考过两次(1991, 2000). (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b b b b b b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特征值和特征向量的计算问题, 通常可由求解特征方程0||=-A E λ和齐次线性方程组0)(=-x A E λ来解决.【详解】 (Ⅰ) 1当0≠b 时，111||---------=-λbbb λb b b λA E λ＝1)]1(][)1(1[------n b λb n λ ,得A 的特征值为b n λ)1(11-+=，b λλn -===12 ．对b n λ)1(11-+=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=-b n b b b b n bb b b n A E λ)1()1()1(1→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------)1(111)1(111)1(n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------------0000111111111111 n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------0000111111111111n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000001111n n n n n →⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000110010101001解得T ξ)1,,1,1,1(1 =，所以A 的属于1λ的全部特征向量为 T k ξk )1,,1,1,1(1 = (k 为任意不为零的常数)．对b λ-=12，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-b b b b b b b b b A E λ 2→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111 得基础解系为T ξ)0,,0,1,1(2 -=，T ξ)0,,1,0,1(3 -=，T n ξ)1,,0,0,1(,-= ．故A 的属于2λ的全部特征向量为n n ξk ξk ξk +++ 3322 (n k k k ,,,32 是不全为零的常数)．2 当0=b 时，n λλλλA E λ)1(1010001||-=---=-,特征值为11===n λλ ，任意非零列向量均为特征向量．(Ⅱ) 1当0≠b 时，A 有n 个线性无关的特征向量，令),,,(21n ξξξP =，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-b b b n AP P 11)1(112 当0=b 时，E A =，对任意可逆矩阵P , 均有E AP P =-1．【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=A B P , 21)|(=B A P , 令⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.【分析】本题的关键是求出),(Y X 的概率分布，于是只要将二维随机变量),(Y X 的各取值对转化为随机事件A 和B 表示即可．【详解】 (Ⅰ) 因为 121)|()()(==A B P A P AB P ，于是 61)|()()(==B A P AB P B P ，则有 121)(}1,1{====AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， 121)()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P ， 32)]()()([1)(1)(}0,0{=-+-=⋃-=⋅===AB P B P A P B A P B A P Y X P ， ( 或 32121611211}0,0{=---===Y X P )，即),(Y X 的概率分布为：YX0 1 0 132 12161 121(Ⅱ) 方法一：因为 41)(==A P EX ，61)(==B P EY ，121)(=XY E ， 41)(2==A P EX ，61)(2==B P EY ，163)(22=-=EX EX DX ，165)(22=-=EY EY DY ，241)(),(=-=EXEY XY E Y X Cov ，所以X 与Y 的相关系数 1515151),(==⋅=DYDX Y X Cov ρXY ．方法二： X, Y 的概率分布分别为X 0 1 Y 0 1P 43 41 P 65 61则61,41==EY EX ，163=DX ，DY=365, E(XY)=121,故 241)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ，从而.1515),(=⋅=DYDX Y X Cov XY ρ(Ⅲ) Z 的可能取值为：0，1，2 ．32}0,0{}0{=====Y X P Z P ，41}1,0{}0,1{}1{===+====Y X P Y X P Z P ， 121}1,1{}2{=====Y X P Z P ，即Z 的概率分布为：Z0 1 2P3241 121 【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】当1=α时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+，，，101,),(1x x x ββx f β(Ⅰ) 由于⎰⎰+∞++∞∞--=⋅==11,1);(ββdx x βx dx βx xf EX β 令X ββ=-1, 解得 1-=X X β, 所以, 参数β的矩估计量为 1-=X Xβ.(Ⅱ) 对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=+⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i βn ni n i x x x x βαx f βL 1121.,0),,,2,1(1,)();()(其他当),,2,1(1n i x i =>时, 0)(>βL , 取对数得 ∑=+-=ni i x ββn βL 1ln )1(ln )(ln ,对β求导数，得∑=-=ni i x βn βd βL d 1ln )]([ln ，令0ln )]([ln 1=-=∑=ni i x βn βd βL d ，解得 ∑==ni ixnβ1ln ，于是β的最大似然估计量为∑==ni ixnβ1ln ˆ．( Ⅲ) 当2=β时, X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=，，，αx αx x αβx f 0,2),(32对于总体X 的样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为∏=⎪⎩⎪⎨⎧=>==ni i n nn i n i αx x x x ααx f βL 13212.,0),,,2,1(,)(2);()(其他当),,2,1(n i αx i =>时, α越大，)(αL 越大, 即α的最大似然估计值为},,,m i n {ˆ21n x x x α=, 于是α的最大似然估计量为},,,m in{ˆ21n X X X α ．。

数3--16真题答案

2016年考研数学（三）试题答案速查一、选择题（1）B （2）D （3）B （4）A （5）C （6）C （7）A （8）C 二、填空题（9）6 （10）sin1cos1− （11）d 2d x y −+ （12）12(1)3e − （13）432234λλλλ++++ （14）29三、解答题（15）13e .（16）（Ⅰ）120010Q p =−.（Ⅱ）边际收益为80(万元),其经济学意义是需求量每提高一件,收益增加80万元．（17）242,01,()2, 1.x x x f x x x ⎧−<'=⎨>⎩11()24f =为()f x 的最小值.（18）()e e 2x xf x −+=−.（19）收敛域为[]1,1−,(1)ln(1)(1)ln(1),(1,1),()2ln 2, 1.x x x x x S x x +++−−∈−⎧=⎨ =±⎩（20）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）011210k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ,其中k 为任意实数.（21）（Ⅰ）9999989910010099221222221222000⎛⎫−+−−⎪=−+−− ⎪ ⎪⎝⎭A . （Ⅱ）99100112(22)(22)=−+−βαα，99100212(12)(12)=−+−βαα，9899312(22)(22)=−+−βαα.（22）（Ⅰ）3,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.（Ⅱ）U 与X 不独立.（Ⅲ）233220,0,3,01,2()132(1)(1),12,221, 2.Z z z z z F z z z z z <⎧⎪⎪−<⎪=⎨⎪+−−−<⎪⎪⎩（23）（Ⅰ）899,0,()0,.T t t f t θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（Ⅱ）109a =. 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】B ．【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点．根据极值的充分条件知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点，因此从图形可知函数()f x 有 2 个极值点．根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导数为0 的点或二阶导数不存在的点，根据拐点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线()y f x =有3个拐点，故选 B ．（2）【答案】D ．【解答】()2e (1)x x x y f x y −−'=−，()2e xy f x y '=−，所以x y f f f ''+=．（3）【答案】B ．【解答】由题目可知，三个积分被积函数相同，积分区域不同．又由被积函数不易直接计算，所以采用做差的方法进行比较．先比较1T 和2T ，在1T 较2T 多出的积分区域上，被积函数小于零，所以1T 小于2T ．同理，可知1T 大于3T ，故选B ．（4）【答案】A ．【解答】由题目可得，11sin())n n n n k n k ∞∞∞===+=+=∑()1111n nn n n n+++，由正项级数的比较判别法得，该级数绝对收敛．（5）【答案】C ．【解答】由A 与B 相似可知，存在可逆矩阵P 使得1−=P AP B ，则由1T T ()−=P AP B ，即T T T 1T ()−=P A P B ，得T A 相似于T B ．由111()−−−=P AP B ，即111−−−=P A P B ，得1−A 相似于1−B ．由111111()−−−−−−+=+=+P A A P P AP P A P B B ，得1−+A A 相似于1−+B B . 可知选项A,B,D 正确．故选项为C ．（6）【答案】C ．【解答】不妨设二次型矩阵为A ，则111111aa aλλλλ−−−−=−−−−−−E A 111111(2)11(2)01011001a a a a a a λλλλλλ−−−−=−−−−=−−−+−−−+()2(2)1a a λλ=−−−+.所以，特征值分别为：2a +和1a −（二重），已知正负惯性指数分别为1和2，故20a +>，10a −<，由此可得答案为C ．（7）【答案】A . 【解答】根据条件得()()P AB P B =，()()1()()11()1()()P AB P A B P A B P B A P A P A P A −====−−．（8）【答案】C ．【解答】因为,X Y 独立，则22222()()()()D XY E XY EXY EX EY EXEY =−=− ()()()()()22214DX EX DY EY EXEY =++−=．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】6.【解答】因为0001()sin 2()2lim lim 233x x x f x x xf x x x→→→===，所以0lim ()6x f x →=．（10）【答案】sin1cos1−. 【解答】2112lim(sin 2sin sin )n nn n n n n→∞+++1011lim sin sin sin1cos1n n i i ix xdx n nn →∞====−∑⎰. （11）【答案】(0,1)d d 2d z x y =−+．【解答】方程22(1)(,)x z y x f x z y +−=−两边分别关于,x y 求导得21(1)2(,)(,)(1)x x z x z xf x z y x f x z y z '''++=−+−−， 212(1)2(,)()(,)y y x z y x f x z y z f x z y ⎡⎤''''+−=−−+−⎣⎦，将0,1,1x y z ===代入得，(0,1)d d 2d z x y =−+．（12）【答案】12(1)3e−. 【解答】222112220012e d d 2e d d 2d e d (1)3e y y y y D D x x y x x y y x x −−−===−⎰⎰⎰⎰⎰⎰．（13）【答案】432234λλλλ++++. 【解答】4143210010100010=01+4110++2+3+400132+101432+1λλλλλλλλλλλλλλ+−−−−−⨯−=−−（-）．（14）【答案】29. 【解答】由题目可知，每个球被取到的概率均为13．要使第4次取球时，三种颜色的球恰被取到，则需要前三次取了2种颜色的球，第四次才取到第三种颜色的球，并且每次取球是独立的，所以，221331112()23339P A C C ⎛⎫=⨯⋅= ⎪⎝⎭．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：利用泰勒展开计算()444ln(cos22sin )cos22sin 11limlimlim cos 22sin e e x x x x x x x x xx x x x x x →→++−→+==2434444440(2)(2)2112()()1()12!4!3!33limlim 3e ee x x x x x x x o x x x o x x x →→−++−+−−+===.（16）（本题满分10分）（Ⅰ）由弹性的计算公式d d p Q Q p η=可知d d 120p Q pQ p p−=−．由此可得d d 120Q pQ p =−两边同时积分可得ln ln(120)Q p C =−+，解方程可得(120)Q C p =−．由条件该商品的最大需求量为1200可知，(0)1200Q =，解得10C =−．故10(120)120010Q p p =−−=−．（Ⅱ）由收益函数(120010)R Qp p p ==−．可知边际收益函数：d d d 1(120020)()2120d d d 10R R p p p Q p Q ==−−=−．解得100p =万元时边际收益为，100d 80d p RQ==，其经济学意义是该商品的需求量每提高1件，收益增加80万元．（17）（本题满分10分）解：当01x <时,1222232041()()d ()d 33xxf x x t t t x t x x −+−=−+⎰⎰, 当1x >时,2221()()d 3xf x x t t x =−=−⎰,则 ()32241,01,331, 1.3x x x f x x x ⎧−+<⎪⎪=⎨⎪−>⎪⎩所以 ()242,01,2,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧−<<⎪'==⎨⎪>⎩令()0f x '=,可得12x =为驻点,且为极小值点,11()24f =,所以最小值为14.（18）（本题满分10分）解：令u x t =−，则()()()()00d d d xxxf x t t f u u f u u −=−=⎰⎰⎰.代入方程可得，()d ()d ()d e 1xx xx f u u x f t t tf t t −=−+−⎰⎰⎰，两边同时求导可得，0()()d e xx f x f t t −=−⎰，①由于()f x 连续，可知()d xf t t ⎰可导，从而()f x 也可导．故对①式两边再求导可得，()()e xf x f x −'=+. ②在①式两边令0x =可得，(0)1f =−.解一阶线性微分方程②，得e e ()2x xf x −+=−．（19）（本题满分10分）解：212422(2)()lim li (23)(1)(21)m ()n n n n n nx n n x n n u x x u x +→+∞→∞+++++==，故当21x <，()()220121n n x n n +∞=++∑绝对收敛；当21x =时，01()(1)(21)n n n u x n n ∞∞===++∑∑，收敛.故收敛域为[]1,1−．令()()22()121n n x S x n n +∞==++∑，[]1,1x ∈−，所以，()210()221n n x S x n +∞='=+∑，2202()21nn S x x x ∞=''==−∑.积分可得，202()d (0)1xS x t S t ''=+−⎰，由(0)0S '=，得1()lnln(1)ln(1)1xS x x x x+'==+−−−，再积分可得 01()(0)ln d (1)ln(1)(1)ln(1)1x tS x S t x x x x t+=+=+++−−−⎰.易知，()()220()121n n x S x n n +∞==++∑的收敛半径为1，且当1,1x x ==−时，11(1)lim ()2ln 2,(1)lim ()2ln 2x x S S x S S x −+→→−==−==. 所以级数收敛且收敛域为[1,1]−. 因此，()(1)ln(1)(1)ln(1)S x x x x x =+++−−，(1,1)x ∈−．综上，(1)ln(1)(1)ln(1),(1,1),()2ln 2, 1.x x x x x S x x +++−−∈−⎧=⎨=±⎩（20）（本题满分11分）（Ⅰ）解：利用初等变换211101111(,)10101121111220022a a a aa a a a a a −−⎛⎫⎛⎫⎪⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−−−⎝⎭⎝⎭A β，由方程组=Ax β无解，可知()(,)r r ≠A A β，所以，220,20a a a −=−≠，解得，0a =．（Ⅱ）当0a =时，TT 3221222,22222−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A A A β.由T T32211001(,)2222011222220000−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A A A β，得T =A Ax 0的基础解系为01,1⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭ηT T=A Ax A β的一个特解为120⎛⎫⎪− ⎪ ⎪⎝⎭,因此，方程组T T=A Ax A β的通解为011210k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ,其中k 为任意实数．（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由(1)(2)0−=++=λλλλE A ，得A 的特征值为1230,1,2,λλλ==−=−故A 相似于012⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭Λ．当10λ=时，由(0)−=E A x 0，解得A 的属于特征值10λ=的特征向量为132;2⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭γ当21λ=−时，由()−−=E A x 0，解得A 的属于特征值21λ=−的特征向量为211;0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭γ当32λ=−时，由(2)−−=E A x 0，解得A 的属于特征值32λ=−的特征向量为312.0⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭γ设123311(,,)212200⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P γγγ，由1012−⎛⎫ ⎪==− ⎪ ⎪−⎝⎭P AP Λ，可得1−=A P ΛP ，99991−=AP ΛP ，对于311212200⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，利用初等变换，可求出110022121112−⎛⎫ ⎪ ⎪=−− ⎪ ⎪− ⎪⎝⎭P ，故999919910031102212121220021112−⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==−−− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭− ⎪⎝⎭A P ΛP99999810010099221222221222000⎛⎫−+−−⎪=−+−− ⎪ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）23210099=⇒==⇒⇒=B BA B BBA BA B BA ，由于123(,,)=B ααα，100123(,,)=Bβββ，故，9999989910010099123123123221222(,,)(,,)(,,)221222000⎛⎫−+−−⎪==−+−− ⎪ ⎪⎝⎭βββαααA ααα，因此， 99100112(22)(22)=−++−+βαα，99100212(12)(12)=−+−βαα，9899312(22)(22)=−+−βαα.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）区域D的面积121())d 3s D x x ==⎰，因为(,)f x y 服从区域D 上的均匀分布，所以23,(,)0,x y f x y ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他.．（Ⅱ）因为212011111,==0,=,d 3d 22224x x P U XP U X P X Y X x y ⎧⎫⎧⎫⎧⎫>==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎰⎰． 11()(0)()22P U P U P X Y ===>=，212011d 228x P X x y ⎧⎫≤==−⎨⎬⎩⎭⎰．因为，1111,2222P UX P U P X ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≠⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，故U 与X 不独立．（Ⅲ）()()F z P Z z ={0}{0}{1}{1}P U X z U P U P U X z U P U =+==++=={,0}{,1}{0}{1}{0}{1}P U X z U P U X z U P U P U P U P U +=+===+==={,}{1,}P X z X Y P X z X Y =>++，又①当0z <时，()()()0Z F z P P =∅+∅=；②当01z <时，()2233(),()d 3d 2zxZ xF z P X z X Y P x y z z =>+∅==−⎰⎰； ③当12z <时，()()31220113(),1,d 2(1)(1)222z Z x F z P X Y P X z X Y x y z z −=Ω>++=+=+−−−⎰④当2z 时，()1Z F z =.所以，233220,0,3,01,2()132(1)(1),12,221, 2.z z z z F z z z z z <⎧⎪⎪−<⎪=⎨⎪+−−−<⎪⎪⎩（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）根据题意，123,,X X X 独立同分布，T 的分布函数为123(){max{,,}}T F t P X X X t =()31231231{,,}{}{}{}{}P X t X t X t P X t P X t P X t P X t ===.当0t <时，()0T F t =；当0t θ<<时， 3293903()d t T x t F t x θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰；当tθ时，()1T F t =.所以899,0,()0,.T t t f t θθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（Ⅱ）8999()d 10t E aT aET a tt a θθθ===⎰，根据题意，9()10E aT a θθ==，即109a =．。

数三概率论

数三概率论数三概率论是概率论中的一种重要方法，它在实际应用中具有广泛的应用。

本文将从概率论的角度介绍数三概率论的基本概念、原理和应用。

我们来了解一下数三概率论的基本概念。

数三概率论是一种基于概率的统计方法，它是以数学为基础，通过对事件发生的可能性进行定量分析，并给出相应的概率值。

数三概率论的核心思想是通过对事件进行数学建模，从而进行概率分析和预测。

在数三概率论中，我们首先需要确定一个事件空间，即所有可能发生的事件的集合。

然后，我们需要确定事件发生的概率分布，即每个事件发生的可能性大小。

概率分布可以通过实验、统计数据或者理论推导来确定。

数三概率论中的一个重要概念是概率。

概率是一个介于0和1之间的实数，表示一个事件发生的可能性大小。

概率越接近1，表示事件发生的可能性越大；概率越接近0，表示事件发生的可能性越小。

数三概率论中还有一个重要的概念是条件概率。

条件概率是指在给定其他事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。

条件概率可以用来描述事件之间的依赖关系，从而对事件进行更精确的概率分析。

数三概率论的原理主要包括加法原理和乘法原理。

加法原理指的是两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之和减去它们同时发生的概率。

乘法原理指的是两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。

数三概率论在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在金融领域，数三概率论可以用来对股票、期货等金融产品的价格进行预测和风险评估。

在医学领域，数三概率论可以用来对疾病的发生和传播进行概率分析和预测。

在工程领域，数三概率论可以用来对工程结构的可靠性和安全性进行评估。

数三概率论还可以用来解决一些实际生活中的问题。

例如，我们可以利用数三概率论来计算在某个城市中发生交通事故的概率，从而采取相应的交通安全措施。

我们还可以利用数三概率论来评估某个广告活动的成功概率，从而指导广告策划工作。

总结起来，数三概率论是一种重要的概率论方法，通过对事件发生的可能性进行定量分析，可以在实际应用中起到重要的作用。

2016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题解析

2016年全国硕士研究生招生考试数学（三）试题解析戴又发（1）设函数)(x f y =在),(+∞-∞内连续，其导函数的图象如图所示，则（A ）函数)(x f 有2个极值点，曲线)(x f y =有2个拐点（B ）函数)(x f 有2个极值点，曲线)(x f y =有3个拐点（C ）函数)(x f 有3个极值点，曲线)(x f y =有1个拐点（D ）函数)(x f 有3个极值点，曲线)(x f y =有2个拐点解析：由导函数的图象得知导函数有3个不同零点，其中有一个是导函数图象与x 轴的切点，不是函数)(x f 的极值点，所以函数)(x f 有2个极值点；又因为导函数有2个极值点，当然是曲线)(x f y =的拐点；另外，导函数的图象还有1个间断点，导函数在该点左右两侧同号，而函数在该点处连续，所以该点也是曲线)(x f y =的1个拐点．故选（B ）（A ）函数0='-'y x f f—（B ）函数0='+'y x f f （C ）函数f f f y x ='-' （D ）函数f f f y x ='+'（A ）321J J J << （B ）213J J J << （C ）132J J J << （D ）312J J J <<解析：在平面坐标系中，312,,D D D 所表示的区域分别为：所以213J J J <<，故选（B ）—（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与k 有关所以由正项级数的比较判别法，知该级数绝对收敛．故选（A ）（5）设A ,B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（A ）TA 与TB 相似（B ）1-A 与1-B 相似（C ）T A A +与T B B +相似（D ）1-+A A 与1-+B B 相似解析：由A 与B 相似的定义，存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1．对于（A ），因为T T B AP P =-)(1得T T T T B P A P =-1)(，所以T A 与T B 相似；对于（B ），因为111)(---=B AP P 得111---=B P A P ，所以1-A 与1-B 相似；对于（D ），因为111111)(------+=+=+B B P A P AP P P A A P，所以1-+A A 与1-+B B 相似．故选（C ）—（6）设二次型313221232221321222)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=的正负惯性指数分别为1,2，则（A ）1>a （B ）2-<a （C ）12<<-a （D ）1=a 或2-=a 解析：考虑用特殊值法．当0=a时，313221321222),,(x x x x x x x x x f ++=，其矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011101110，由此求得特征值为1,1,2--，满足正惯性指数为1, 负惯性指数为2，即0=a 成立．故选（C ）（C）1)(=B A P Y故选（A ）—（8）设随机变量X 与Y 互相独立，且)2,1(~N X，)4,1(~N Y ，则=)(XY D（A ）6 （B ）8 （C ）14 （D ）15解析：由随机变量X 与Y 互相独立，则22222)()]([)()(EY EX EY EX XY E XY E XY D ⋅-⋅=-=222)(])([])([EY EX EY DY EX DX ⋅-+⋅+=14)11()14()12(222=⋅-+⋅+=．故选（C ）所以6)(lim=→x f x ，答案6⎰⎰⎰+-=-==11010cos 01cos cos sin xdx x x x xd xdx x 1cos 1sin 1sin 1cos -=+-=，答案1cos 1sin -（11）设函数),(v u f 可微，)(x z z =由方程),()1(22y z x f x y z x -=-+确定，则解析：由),()1(22y z x f x y zx -=-+有1,0==y x 时1=z ，dyy z x f x dz dx y z x f x y z x xf ydy zdx dz x v u ),())(,(),(22)1(22-'+--'+-=-++将1,0==y x ，1=z 代入，得dy dx dz 2+-=．答案dy dx 2+-=⎰⎰-dxdy ex Dy 22⎰⎰-1222yy dx ex dy43243)2(23422++++=++++=λλλλλλλλ．答案： 432234++++λλλλ（14）设袋中有红、白、黑球各一个，从中有放回的取球，每次取一个，直到三种颜色的解析：若最后一次取到黑球后停止，则前三次只能取到红色球和白色球，且两种颜色都有．（16）（本题满分10分）设某商品最大需求量为1200件，该商品的需求函数)(p Q Q =，（Ⅰ）求需求函数的表达式；（Ⅱ）求100=p 万元时的边际收益，并说明其经济意义．两边积分，得C ln )p ln(Qln +-=120，即)p (C Q 120-=因为最大需求量为1200件，所以12000=)(Q ，解得10-=C故p )p (Q10120012010-=--=．（Ⅱ）收益2101200p p Qp R-==，边际收益为其经济意义是：需求量每提高１件，能增加收益８０万元．小值．所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<-<<----≤='12102401241222x ,x x ,x x x ,x x x ,x )x (f )x (f 为偶函数，在),[+∞0上，10<<x ，0<')(x f ；1>x ，0>')(x f ；（18）（本题满分10分）设函数)(x f 连续，且满足1)()()(0-+-=--⎰⎰x xxe dt tf t x dt t x f ，求)(x f ．解析：令t x u -=，则du u f u d u fdt t x f xxx)()()()(⎰⎰⎰=-=-0于是有10-+-=-⎰⎰⎰x x xxe dt tf t dt t f x du u f )()()(，两边对x 求导，xxe dt tf x f --=⎰)()(0，10-=)(f ，再两边对x 求导，x e x f x f -+=')()(，再两边积分)ln()()ln()()(x x x x x S --+++=1111即其收敛域为],[11-，所以],[),ln()()ln()()(111111-∈--+++=x x x x x x S ．（20）（本题满分11分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=11101111a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2210a β，且方程组β=Ax 无解．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求方程组βT TA Ax A =的通解．—由0=a 时，),()(β≠A r A r 而2=a 时，),()(β=A r A r ，所以0=a ．（Ⅱ）当0=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222222223A A T ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221βTA ，所以，方程组βTT A Ax A =的通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=021110k x ，k 为任意实数．（21）（本题满分11分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000032110A ．（Ⅰ）求99A ；（Ⅱ）设3阶矩阵),,(321ααα=B满足BA B =2,记),,(321100βββ=B ，将321,,βββ分别表示为321,,ααα的线性组合．A 的特征值为2,1,0321-=-==λλλ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=Λ210~A ．分别就01=λ、12-=λ、23-=λ，求得矩阵A 属于1λ、2λ、3λ特征向量分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231γ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112γ；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0213γ．—设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002212113P ，可知1-Λ=P P A ，于是19999-Λ=P P A ．所以=Λ=-19999P P A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002212113⎝⎛--99210⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---+-=00022212222212299100100989999．（Ⅱ）因为),,(321ααα=B ，由BA B =2,可得223BA BAA A B B===，3224BA A B B ==，……， 99100BA B =，所以，9932199321100),,(),,(A BA Bαααβββ===⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+---+-=000222122222122),,(99100100989999321ααα．于是，21001991)22()22(ααβ+-++-=；21001992)21()21(ααβ-+-=；2991983)22()22(ααβ-+-=．（22）（本题满分11分）设二维随机变量),(Y X 在区域（Ⅰ）写出),(Y X 的概率密度；（Ⅱ）问U 与X 是否相互独立？并说明理由；（Ⅲ）求X U Z+=的分布函数)(z F ．解析：（Ⅰ）先计算二维随机变量),(Y X 所在区域的面积，而),(Y X 在D 上服从均匀分布，所以),(Y X 的概率密度为所以U 与X 不相互独立．（Ⅲ）由}{)(z X U P z F ≤+=},1{},{Y X z X P Y X z X P ≤≤++>≤=．），（∞+∈0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令),,max (321X X X T =．（Ⅰ）求T 的概率密度；（Ⅱ）确定a ，使θ=)(aT E ．解析：（Ⅰ）因为321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，显然互相独立，于是T 的分布函数为}),,{m ax ()(321t X X X P t F T ≤=}{1t X P ≤=}{2t X P ≤}{3t X P ≤31}){(t X P ≤=．当0<t时，0)(=t F T ；当θ≥t时，1)(=tF T ；。

16年数三概率论解析

16年数三概率论解析（实用版）目录1.16 年数三概率论解析概述2.解析一：条件概率与独立事件3.解析二：离散型随机变量及其分布律4.解析三：连续型随机变量及其概率密度5.解析四：中心极限定理6.总结与建议正文【16 年数三概率论解析概述】本文主要针对 2016 年数学三的数三概率论部分进行解析。

数三概率论是数学三中的一个重要组成部分，主要涉及到条件概率与独立事件、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、中心极限定理等内容。

【解析一：条件概率与独立事件】条件概率是指在某些条件下，事件发生的概率。

独立事件则是指两个事件之间互不影响，相互独立。

在数三概率论中，条件概率与独立事件是基本概念，需要掌握其定义、性质以及计算方法。

【解析二：离散型随机变量及其分布律】离散型随机变量是指其取值是有限个或者可数无穷个的随机变量。

离散型随机变量的分布律是指其取某个值的概率。

在数三概率论中，要求掌握离散型随机变量的定义、性质以及分布律的求法。

【解析三：连续型随机变量及其概率密度】连续型随机变量是指其取值是连续的随机变量。

连续型随机变量的概率密度是指其取某个值的概率密度。

在数三概率论中，要求掌握连续型随机变量的定义、性质以及概率密度的求法。

【解析四：中心极限定理】中心极限定理是指在一定条件下，多个独立的随机变量的平均值的分布趋近于正态分布。

在数三概率论中，要求掌握中心极限定理的定义、性质以及其应用。

【总结与建议】总的来说，2016 年数学三的概率论部分主要考察了条件概率与独立事件、离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度、中心极限定理等基本概念和性质。

对于考生来说，需要掌握这些知识点的定义、性质以及计算方法，并能熟练运用到实际题目中。

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''=（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d _____.z =（4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES =二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< . [ ]（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在(C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ ] （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ ]（10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ]（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ ]（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［］（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ ]三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. （16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）.(Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. （19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .（20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. （21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ)求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ)Cov(,)X Y ； (Ⅲ)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. （23）（本题满分13分）设总体X 的概率密度为其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数.（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计2006年考研数学（三）真题解析二、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭【分析】将其对数恒等化ln eNN =求解.【详解】()(1)111ln lim (1)ln 1lim lim eennn n n n n n n n n n -→∞-++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→∞→∞+⎛⎫== ⎪⎝⎭，而数列{}(1)n -有界，1lim ln 0n n n →∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1lim(1)ln 0nn n n →∞+⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故 ()101lim e 1nn n n -→∞+⎛⎫==⎪⎝⎭.（2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''=【分析】利用复合函数求导即可. 【详解】由题设知，()()ef x f x '=，两边对x 求导得()()()2e()ef x f x f x f x '''==，两边再对x 求导得 ()()23()2e()2ef x f x f x f x ''''==，又()21f =，故 ()323(2)2e2e f f '''==.（3）设函数()f u 可微,且()102f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2d 4d 2d .z x y =-【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84z f x y xx ∂'=-⋅=∂，()22(1,2)(1,2)(4)22z f x y y y∂'=-⋅-=-∂，所以 ()()()1,21,21,2d d d 4d 2d z z z x y x y xy⎡⎤∂∂=+=-⎢⎥∂∂⎣⎦. 方法二：对()224z f x y=-微分得()222222d (4)d(4)(4)8d 2d z f x y x y f x y x x y y ''=--=--，故 ()()1,2d (0)8d 2d 4d 2d z f x y x y '=-=-. （4）设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B 2 .【分析】将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有于是有 4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.（5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=19. 【分析】利用X Y 与的独立性及分布计算. 【详解】由题设知，X Y 与具有相同的概率密度1,3()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 0 其他.则 {}{}{}max ,11,1P X Y P X Y ≤=≤≤{}{}11P X P Y =≤≤{}()2120111d 39P X x ⎛⎫=≤== ⎪⎝⎭⎰. 【评注】本题属几何概型，也可如下计算，如下图：则 {}{}{}1max ,11,19S P X Y P X Y S ≤=≤≤==阴. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2xn f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则22.ES =【分析】利用样本方差的性质2ES DX =即可. 【详解】因为()d e d 02xx EX xf x x x +∞+∞--∞-∞===⎰⎰， 002e 2e d 2e 2xx xx x +∞-+∞--+∞=-+=-=⎰，所以 ()22202DX EX EX =-=-=，又因2S 是DX 的无偏估计量，所以 22ES DX ==.二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .[ Ａ ]【分析】题设条件有明显的几何意义，用图示法求解.【详解】由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).（8）设函数()f x 在0x =处连续，且()22lim1h f h h→=，则(A) ()()000f f -'=且存在 (B) ()()010f f -'=且存在 (C) ()()000f f +'=且存在 (D)()()010f f +'=且存在 [ C ] 【分析】从()22lim1h f h h→=入手计算(0)f ，利用导数的左右导数定义判定(0),(0)f f -+''的存在性. 【详解】由()22lim1h f h h→=知，()20lim 0h f h →=.又因为()f x 在0x =处连续，则()2(0)lim ()lim 0x h f f x f h→→===.令2t h =，则()()22(0)1limlim (0)h t f h f t f f h t++→→-'===.所以(0)f +'存在，故本题选（C ）. （9）若级数1nn a∞=∑收敛，则级数(A)1nn a∞=∑收敛 . （B ）1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛. (D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. [ Ｄ ] 【分析】可以通过举反例及级数的性质来判定. 【详解】由1n n a ∞=∑收敛知11n n a ∞+=∑收敛，所以级数112n n n a a ∞+=+∑收敛，故应选(Ｄ). 或利用排除法：取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ａ），（Ｂ）；取1(1)nn a n=-，则可排除选项（Ｃ）.故（Ｄ）项正确. （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-.（Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ Ｂ ] 【分析】利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可.【详解】由于12()()y x y x -是对应齐次线性微分方程()0y P x y '+=的非零解，所以它的通解是[]12()()Y C y x y x =-，故原方程的通解为[]1112()()()()y y x Y y x C y x y x =+=+-，故应选(Ｂ).【评注】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：*y y Y =+.其中*y 是所给一阶线性微分方程的特解，Y 是对应齐次微分方程的通解.（11）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ Ｄ ]【分析】利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠），若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）. （12）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是(A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关. [ A ]【分析】本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定. 【详解】记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).（13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）TC P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［Ｂ］【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 【详解】由题设可得11011011011010,010********1001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.（14）设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且则必有(A) 12σσ< (B) 12σσ>(C) 12μμ< (D) 12μμ> [ A ] 【分析】利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得.【详解】由题设可得12112211X Y P P μμσσσσ⎧-⎫⎧-⎫<><⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则 12112121σσ⎛⎫⎛⎫Φ->Φ-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1211σσ⎛⎫⎛⎫Φ>Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 其中()x Φ是标准正态分布的分布函数. 又()x Φ是单调不减函数，则1211σσ>，即12σσ<.故选(A).三、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分7分）设()1sin,,0,01arctan xy y yf x y x y xy xπ-=->>+,求 (Ⅰ) ()()lim ,y g x f x y →+∞=；(Ⅱ) ()0lim x g x +→. 【分析】第(Ⅰ)问求极限时注意将x 作为常量求解，此问中含,0∞⋅∞∞型未定式极限；第(Ⅱ)问需利用第(Ⅰ)问的结果，含∞-∞未定式极限.【详解】(Ⅰ) ()()1sin lim ,lim 1arctan y y x y y y g x f x y xy x π→+∞→∞⎛⎫- ⎪⎪==-+⎪ ⎪⎝⎭sin 11111lim 1arctan arctan y x yxy x x x x y ππ→∞⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪⎪-=-=-⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ) ()200011arctan lim lim lim arctan arctan x x x x x x x g x x x x xππ+++→→→--+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ （通分）（16）（本题满分7分）计算二重积分2d d Dy xy x y -⎰⎰，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域.【分析】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可.【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于x 的一次函数，“先x后y ”积分较容易，所以（17）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.【分析】利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函数的单调性证明. 【详解】令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=.又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时），故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（18）（本题满分8分）在xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点()1,0M ，其上任意点()(),0P x y x ≠处的切线斜率与直线OP 的斜率之差等于ax （常数>0a ）. (Ⅰ) 求L 的方程；(Ⅱ) 当L 与直线y ax =所围成平面图形的面积为83时，确定a 的值. 【分析】(Ⅰ)利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；(Ⅱ)利用定积分计算平面图形的面积，确定参数. 【详解】(Ⅰ) 设曲线L 的方程为()y f x =，则由题设可得 y y ax x '-=，这是一阶线性微分方程，其中1(),()P x Q x ax x=-=，代入通解公式得 ()11d d 2e e d x x x x y ax x C x ax C ax Cx -⎛⎫⎰⎰=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰，又(1)0f =，所以C a =-.故曲线L 的方程为 2y ax ax =-(0)x ≠.(Ⅱ) L 与直线y ax =（>0a ）所围成平面图形如右图所示. 所以 ()220482d 33ax x x a =-==⎰，故2a =.（19）（本题满分10分）求幂级数()()1211121n n n x n n -+∞=--∑的收敛域及和函数()s x .【分析】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数.【详解】记121(1)()(21)n n n x u x n n -+-=-，则2321121(1)()(1)(21)lim lim (1)()(21)n n n n n n n nx u x n n xx u x n n ++-+→∞→∞-++==--. 所以当21,1x x <<即时，所给幂级数收敛；当1x >时，所给幂级数发散；当1x =±时，所给幂级数为1(1)(1),(21)(21)n nn n n n -----，均收敛，故所给幂级数的收敛域为[]1,1-在()1,1-内，()12112111(1)(1)()22()(21)(21)2n n n nn n x x s x x xs x n n n n -+-∞∞==--===--∑∑，而 12112211211(1)1(),()(1)211n n n n n n x s x s x x n x --∞∞--==-'''==-=-+∑∑，所以 1112001()(0)()d d arctan 1xxs x s s t t t x t''''-===+⎰⎰，又1(0)0s '=，于是 1()arctan s x x '=.同理()20201arctan d arctan ln 112xx t t t t x x x t =-=-++⎰，又 1(0)0s =，所以 ()211()arctan ln 12s x x x x =-+.故 ()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+.()1,1x ∈-.由于所给幂级数在1x =±处都收敛，且()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+在1x =± 处都连续，所以()s x 在1x =±成立，即()22()2arctan ln 1s x x x x x =-+，[]1,1x ∈-. （20）（本题满分13分）设4维向量组()()()TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a ααα=+=+=+()T44,4,4,4a α=+，问a 为何值时1234,,,αααα线性相关当1234,,,αααα线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数a ；用初等变换求极大线性无关组.【详解】记以1234,,,αααα为列向量的矩阵为A ，则312341234(10)12341234aa A a a a a++==+++.于是当0,010A a a ===-即或时，1234,,,αααα线性相关.当0a =时，显然1α是一个极大线性无关组，且2131412,3,4αααααα===；当10a =-时，9234183412741236A -⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，由于此时A 有三阶非零行列式9231834000127--=-≠-，所以123,,ααα为极大线性无关组，且123441230αααααααα+++==---，即.（21）（本题满分13分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ；（Ⅲ）求A 及632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中E 为3阶单位矩阵.【分析】由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q ；由TQ AQ =Λ可得到A 和632A E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为 1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交. 取 11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.再将12,,αββ单位化，得121231211136212,,036111236ββαηηηαββ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪====== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令 []123,,Q ηηη=，则1T QQ -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （Ⅲ）由(Ⅱ)知 T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以T1111113623333111121210011136666011111111036222A QQ ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=Λ=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 6666633223333022203322E ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭⎝⎭，则666T 333222A E Q EQ E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（22）（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩　其他，令()2,,Y X F x y =为二维随机变量(,)X Y 的分布函数. (Ⅰ) 求Y 的概率密度()Y f y ； (Ⅱ) Cov(,)X Y ； (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【分析】求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算.【详解】（I ）设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =；2) 当01y ≤<时， ()2()()Y F y P X y P y X y =<=-<<0113d d 244y y x x y -=+=⎰⎰. 3) 当14y ≤<时，()2()()1Y F y P X y P X y =<=-<<101111d d 2442y x x y -=+=+⎰⎰.4) 当4y ≥，()1Y F y =. 所以3,0181()(),1480,Y Y y y f y F y y y⎧<<⎪⎪⎪'==≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他. （II ） 22232Cov(,)Cov(,)()()X Y X X E X EX X EX EX EXEX ==--=-，而 02101d d 244x x EX x x -=+=⎰⎰，22022105d d 246x x EX x x -=+=⎰⎰，33023107d d 248x x EX x x -=+=⎰⎰，所以 7152Cov(,)8463X Y =-⋅=. (Ⅲ) 1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭211,4,422P X Y P X X ⎛⎫⎛⎫=≤-≤=≤-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12111d 24x --==⎰. 2016年考研各科目专用题库复习和考试软件说明：本人已于2015年顺利通过了考研。

概率论2016_经济应用数学三()

2066- 经济应用数学三（概率论）单项选择题1．设A，B 为随机事件，则（）。

A.AB.BC.ABD.φ答案：A2．设A，B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（）。

A.P(A∪B)=P(B)B.P(AB)=P(B)C.P(B|A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)答案：B3．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。

A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球答案：D4．设对于随机事件A、B、C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,且P(AB)=P(BC)=0，则三个事件A、B、C, 至少发生一个的概率为（）。

A.3/8B.5/8C.3/4D.5/4答案：B5．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。

A.P(A B)=P(C)B.P(A)+P(B)-P(C)≤1C.P(A)+P(B)-P(C)≥1D.P(A)+P(B)≤P(C)答案：B6．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。

A.p2(1-p)3B.4p(1-p)3C.5p2(1-p)3D.4p2(1-p)3答案：D7．设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（）。

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)C.与互不相容D.与相容答案：B8．设某人向一个目标射击, 每次击中目标的概率为0.8 , 现独立射击3次, 则3次中恰好有2次击中目标的概率是（）。

答案：A9．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。

A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件答案：D10．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A-B)=（）。

答案：A11．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.2，P(A-B)=（）。

答案：C12．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。

16年数三概率论解析

16年数三概率论解析2016年的数学三概率论解析是高考数学考试中的一道题目。

这道题目主要涉及概率论的知识，考察考生对概率计算和条件概率的理解和运用能力。

下面我将从多个角度对这道题目进行全面解析。

首先，我们来看题目的具体内容，假设A、B、C三个事件满足P(A∩B∩C)=0，且P(A∪B∪C)=1，已知P(A)=0.6，P(A∩B)=0.3，P(A∩C)=0.2，求P(B∩C)。

我们可以通过条件概率的性质来解决这道题目。

根据条件概率的定义，我们知道P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，而P(A∩C)表示事件A和事件C同时发生的概率。

题目中已经给出了P(A∩B)和P(A∩C)的值，分别为0.3和0.2。

我们可以利用这些信息来求解P(B∩C)。

首先，我们可以利用概率的加法原理求解P(A∪B∪C)。

根据题目中已知条件，P(A∪B∪C)=1，而P(A)=0.6。

根据概率的加法原理，我们可以得到P(B∪C)=P(A∪B∪C)-P(A)=1-0.6=0.4。

接下来，我们可以利用条件概率的性质来求解P(B∩C)。

根据条件概率的定义，我们知道P(B∩C)=P(B|A∪C)×P(A∪C)，其中P(B|A∪C)表示在事件A∪C发生的条件下事件B发生的概率。

根据概率的乘法定理，我们可以将P(B|A∪C)表示为P(B∩A∪C)/P(A∪C)。

由于题目中已知P(A∩B∩C)=0，我们可以得到P(B∩A∪C)=P(A∪C)-P(A∩B∩C)=P(A∪C)=0.4。

将这些值代入公式中，我们可以得到P(B∩C)=0.4/0.4=1。

因此，根据题目中给出的条件，我们可以得出结论，P(B∩C)=1。

综上所述，这道题目的解析涉及了概率论中的条件概率和概率的加法原理的运用。

通过正确理解题目中的条件，并运用相应的概率计算公式，我们可以得出最终的答案P(B∩C)=1。

这道题目考察了考生对概率论知识的理解和运用能力，同时也要求考生具备一定的计算能力和逻辑推理能力。

2066《经济应用数学三(概率论)》期末复习题参考答案

四川省2015年12月高等教育自考复习题经济应用数学三（概率论）》试题答案及评分参考（课程代码：2066）一、单项选择题（每小题2分，本题共42分。

每小题只有一个选项符合题意，请选择正确答案。

）1．D2．B3．C4．C5．B6．B7．D8．B9．C 10．D11．B12．B13．A14．D15．B16．B17．A 18．C19．A20．A21．D22．B23．A24．D25．B 26．C27．A28．B29．B30．A31．D32．C33．C 34．C35．C36．C37．B38．D39．C40．A41．A 42．C二、填空题（每小题3分，本题共12分。

）1．答案：0.62．答案：3．答案：4．答案：5．答案：6．答案：0.0967．答案：8．答案：5三、计算题（每小题10分，本题共20分。

）1．答案：解：由全概率公式可得, 该厂产品的合格率为于是，次品率为又设表示“有放回取5件，最多取到一件次品”，由于抽样是有放回的，是5重贝努里概型。

则2．答案：解：设X的分布参数为λ，由题意知，可见显然，Y = min(X, 2)对于y ＜ 0 , 有F(y) = P (Y≤y) = 0对于y ≥ 2 , 有F(y) = P {Y ≤ y }= P {min(X, 2) ≤ y} = 1对于0 ≤ y= P( X≤y } =于是，Y的分布函数为3．答案：解：（1）设A表示“取到1个次品”，则而样本点总数故（2）设B表示“取到3个次品”，则而样本点总数故4．答案：解（2）由，可得，即查表可得：。

四、应用题（每小题10分，本题共10分。

）1．答案：解：由已知得(a1是一阶原点矩)2．答案：解：∵似然估计取对数似然方程为五、证明题（每小题8分，本题共16分。

）1．答案：证明：由已知得：严格单调，其反函数的导数为2．答案：证明：P(B∣A)= ==1-。

3．答案：证明：由协方差的定义及数学期望的性质，得4．答案：证明: 因为独立，所以，则有:PA、=P(A-AB)=PA、-PA、PB、=PA、[1-PB、]=PA、PB、故 A也相互独立。

2016年考研数学三真题及答案

2016年考研数学三真题及答案【篇一：2016考研数学三真题(word版)】答题纸指定位置上。

（1）设函数y?f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则（）a.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点b.函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点c.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点d.函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点ex（2）已知函数f(x,y)?，则（） x?ya.fx??fy??0b.fx??fy??0c.fx???fy???fd.fx???fy???f（3）设jk?di(i?1,2,3)，其中d1??(x,y)0?x?1,0?y?1?，d2?(x,y)0?x?1,0?y?d3??(x,y)0?x?1,x2?y?1?则（）a.j1?j2?j3b.j3?j1?j2c.j2?j3?j1d.j2?j1?j3（4）级数为??n?1?（） n?k)（k为常数）a.绝对收敛b.条件收敛c.发散d.收敛性与k有关（5）设a,b是可逆矩阵，且a与b相似，则下列结论错误的是（） a.a与b相似1我们不鼓励考试期间核对答案，请在考试完毕后再看解析！ ttb.a与b相似c.a?a与b?b相似d.a?a与b?b相似222（6）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指数分别?1?1tt?1?1为1,2，则（）a.a?1b.a??2c.?2?a?1d.a?1或a??2（7）设a,b为两个随机变量，且0?p(a)?1,0?p(b)?1，如果p(ab)?1，则（） a.p(ba)?1 b.p(ab)?0c.p(a?b)?1d.p(ba)?1（8）设随机变量x与y相互独立，且x~n(1,2),y~n(1,4)，则d(xy)=（）a.6b.8c.14d.15二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2016考研数三真题答案

2016考研数三真题答案2016年考研数学三真题答案是考生们备考过程中非常关注的一个问题。

考研数学三作为考试科目中的一项，对于数学基础和解题能力的要求相对较高。

因此，掌握2016年考研数学三真题答案对于备考者来说是非常重要的。

首先，我们来看一下2016年考研数学三真题的整体情况。

这一年的数学三试卷分为两个部分，分别是选择题和非选择题。

选择题占据了试卷的大部分，其中包括了单选题和多选题。

非选择题则是开放性的问题，需要考生们进行详细的解答。

整个试卷的难度较大，对于考生们的数学基础和解题能力提出了较高的要求。

接下来，我们来分析一下2016年考研数学三真题中的选择题部分。

选择题是考生们备考过程中需要重点关注的部分。

在这一部分中，考生们需要根据题目给出的条件和要求，选择正确的答案。

这对于考生们的逻辑思维和解题能力有着很高的要求。

因此，备考过程中，考生们需要通过大量的练习来提高自己的解题能力，熟悉各种题型和解题方法。

在2016年考研数学三真题的选择题部分中，有一道题目是关于概率统计的。

这道题目考察了考生们对于概率分布和期望的理解和应用能力。

在解答这道题目时，考生们需要运用到一些概率统计的知识和技巧，例如概率分布的计算和期望的求解。

通过解答这道题目，考生们可以加深对于概率统计知识的理解，并且提高解题能力。

除了选择题部分，2016年考研数学三真题中的非选择题部分也是备考者需要重点关注的部分。

在这一部分中，考生们需要根据题目给出的条件和要求，进行详细的解答。

这对于考生们的数学推理和分析能力提出了较高的要求。

因此，备考过程中，考生们需要通过大量的练习来提高自己的解题能力，熟悉各种题型和解题方法。

在2016年考研数学三真题的非选择题部分中，有一道题目是关于微分方程的。

这道题目考察了考生们对于微分方程的理解和应用能力。

在解答这道题目时，考生们需要运用到一些微分方程的知识和技巧，例如常微分方程的求解和特解的求取。

通过解答这道题目，考生们可以加深对于微分方程知识的理解，并且提高解题能力。

16年数三概率论解析

16年数三概率论解析
【最新版】
目录
1.解析 16 年数三概率论题目的背景和重要性
2.详细解析题目的内容和解题思路
3.总结 16 年数三概率论题目的解题技巧和方法
正文
【1】解析 16 年数三概率论题目的背景和重要性
16 年数三概率论题目是当年全国硕士研究生入学统一考试数学三的一道重要试题，它对于考生的逻辑思维能力和概率论知识掌握程度有很高的要求。

此题不仅考察了考生对概率论基础知识的掌握，还考察了他们对概率论在实际问题中的应用能力的理解。

因此，对这道题目的解析具有很大的参考价值。

【2】详细解析题目的内容和解题思路
16 年数三概率论题目是关于一个袋子里装有若干个红球和白球，每次从中随机抽取一个球，抽到红球和白球的概率分别是多少的问题。

题目要求考生根据概率论的相关知识，求出抽到红球和白球的概率，并进一步求出袋子里红球和白球的数量。

在解题过程中，首先需要明确的是，抽到红球和白球的概率和为 1。

然后，根据题目给出的条件，列出方程组，并解方程组，得到红球和白球的数量。

最后，将红球和白球的数量代入概率公式，求出抽到红球和白球的概率。

【3】总结 16 年数三概率论题目的解题技巧和方法
通过对 16 年数三概率论题目的解析，我们可以总结出以下解题技巧和方法：
1.明确题目要求的概率和为 1，这是概率论题目的基本要求。

2.根据题目给出的条件，列出方程组，并解方程组，得到红球和白球的数量。

3.将红球和白球的数量代入概率公式，求出抽到红球和白球的概率。

4.在解题过程中，要灵活运用概率论的知识，注意将理论知识与实际问题相结合。

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答案：
?某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的概率。
答案：解：假设：A={订日报}，B={订晚报}，C=A+B
由已知P（A）=0.5，P（B）=0.65，P（C）=0.85
所以P(AB)=P（A）+P（B）-P(A+B)=0.5+0.65-0.85=0.3
A.取到2只红球
B.取到1只红球
C.没有取到白球
D.至少取到1只红球
答案：D
4．设对于随机事件A、B、C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,且P(AB)=P(BC)=0，则三个事件A、B、C,至少发生一个的概率为（）。
A.3/8
B.5/8
C.3/4
D.5/4
答案：B
5．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
答案：解：
即数学成绩优秀的学生占全体学生人数的15.87％。
已知随机向量(X,Y)的联合概率分布为
（1）求(X,Y)的边缘分布；（2）判断X与Y是否独立；(3)P(X＞Y)
答案：解：
(1)依题意，可得如下联合分布表：
（2）
不独立。
(3)P(X>Y)=P(X=1,Y=-1)+P(X=1,Y=0)=0.1+0.2=0.3
A.P(AB)=P(C)
B.P(A)+P(B)-P(C)≤1
C.P(A)+P(B)-P(C)≥1
D.P(A)+P(B)≤P(C)
答案：B
6．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
A.p2(1-p)3
B.4p(1-p)3
C.5p2(1-p)3
D.4p2(1-p)3
即同时订这两种报纸的住户的概率为0.3。
两人独立射击,甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.7,求目标被击中的概率。
答案：解：
设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，C表示“目标被击中”。
则
甲.乙进行独立射击
抽样表明某市新生儿体重X(单位：公斤)近似地服正态分布N(3,4),求新生儿体重超过4公斤的概率。（Φ(0.5=0.6915)
设(X,Y)的联合密度为（1）求边缘密度PX(x)和PY(x)；（2）判断X与Y是否相互独立。
答案：
设系统由100个相互独立的部件组成,运行期间每个部件损坏的概率为0.1,至少有85个部件是完好时系统才能正常工作。用中心极限定理求系统正常工作的概率。(Φ(1.67)=0.9525)
答案：解：
设X为运行期间部件完好个数,则X服从二项分布B(100,0.9)
A.X、Y相互独立
B.X、Y不独立
C.X、Y相关
D.X、Y不相关
答案：D
34．设X1,X2,…,Xn是n个相互独立同分布的随机变量，EXi=u，DXi=4(i=1,2,…,n)，则对于 ?（）。
A.
B.
C.
D.
答案：C
35．设X服从泊松分布，且E(X2)-6=0，则P{X=0}=（）。
A.e-1
B.1
C.
D.
答案：C
20．设随机变量x的密度函数为，则C=(????)。
A.0
B.
C.1
D.
答案：C
21．设随机变量X的概率密度为p(x)，y=-x，则Y的概率密度为（）。
A.-p(y)
B.1-p(-y)
C.p(-y)
D.p(y)
答案：C
22．设随机变量X的密度函数为p(x),满足p(-x)=p(x)，X的分布函数为F(x)，则对任意实数α>0，有（）。
B.e-2
C.e-3
D.
答案：B
36．设X?服从二项分布B(n,p)，则下列正确的是（）。。
A.E(2X-1)=2np
B.D(2X-1)=4np(1-p)+1
C.E(2X+1)=4np+1
D.D(2X-1)=4np(1-p)
答案：D
37．对随机变量X来说，如果E(X)≠D(X)，则可断定X不服从（）。
由中心极限定理,得系统正常工作的概率为
若盒中有5个球，其中2个白球3个黑球,现从中任意取3个球，设随机变量X为取得白球的个数。求：（1）随机变量X的分布；(2)数学期望EX,方差DX。
答案：解：
(1)设随机变量X表示白球的个数,则X的取值为0,1,2
由题意得
对敌人阵地进行100次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4，标准差是1.5。求100次炮击中有370至430颗炮弹命中目标的概率。(Φ(2)=0.9772)
答案：解：设表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有
，Eχi=4，Dχi=1.52，（i=1,2,...100)设100次炮击命中目标的炮弹数，
则，
因为χ1,χ2,...χ100相互独立，同分布，则由中心极限定理知，近似服从正态分布N(400,100×1.52)，
于是P{370≤X≤430}=2Φ（30/15）-1=2×0.9772-1=0.9554
A.一定不相关
B.一定独立
C.一定不独立
D.不一定独立
答案：D
25．设随机变量X与Y相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀分布的有（）。
A.X2
B.X+Y
C.(X，Y)
D.X-Y
答案：C
26．设随机变量X与Y相互独立,且X在区间（0,1）上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，则（X,Y）的联合密度函数为（）。
答案：解：已知～
=
= 。
设随机变量X服从参数为λ=2的指数分布。(1)求数学期望E(-2X+6)；（2）求随机变量Y=3X的密度函数PY(y)。
答案：
某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量X，且X服从N(300,252)。求：(1)这样的电池寿命在250小时以上的概率；(2)使电池寿命在(300-a,300+a)内的概率不小于0.9的常数a。(Φ(2)=0.97725,Φ(1.64)=0.95)
答案：解：(1)设A表示“产品检验合格”B表示“产品合格”
则由全概率公式有
即任一产品被检验员检验合格的概率为0.78；
(2)根据题意由贝叶斯公式有
即若一产品通过了检验，则该产品确为合格品的概率为0.99。
?一箱产品共100件,其中次品个数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收。（1）求通过验收的概率；（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率
B.E(XY)=EX·EY
C.D(X+Y)=DX+DY
D.D(XY)=DX·DY
答案：A
?40．设X服从参数为λ的指数分布e(λ)，则（）。
A.
B.
C.
D.
答案：C
计算题
设某产品的合格率为80%。检验员在检验时合格品被认为合格的概率为97%，次品被认为合格的概率为2%。（1）求任取一产品被检验员检验合格的概率；（2）若一产品通过了检验，求该产品确为合格品的概率。
A.样本空间
B.必然事件
C.不可能事件
D.随机事件
答案：D
10．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A-B)=（）。
答案：A
11．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.2，P(A-B)=（）。
答案：C
12．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。
答案：解：
设随机变量X服从均匀分布U[2,4],随机变量Y服从指数分布е(2)，且X与Y相互独立。求：（1）(X,Y)的联合概率密度；(2)D(X-2Y)。
答案：解：
(1)随机变量 ,
又随机变量 ,
且与相互独立
的联合密度为
（2）随机变量 ,
??又随机变量 , ?
设某校一年级学生期末数学成绩X近似服从正态分布N(75,100),如果85分以上为优秀,则数学成绩优秀的学生占全体学生人数的百分之几?Φ(1)=0.8413
P{X=2}=1/2×1/2×1/2=1/8
答案：解：
由题意知新生儿体重X近似地服正态分布N(3,4),则P{X＞4}=1-P{X≤4}=1-Φ((4-3)/2)=1-Φ(0.5)=1-0.6915=0.3085
新生儿体重超过4公斤的概率为0.3085。
设打一次电话所用时间X（分钟）服从参数为1/10的指数分布，如果某人刚好在你前面走进公用电话亭，求你等待时间在10分钟到20分钟之间的概率。
A.二项分布
B.指数分布
C.泊松分布
D.正态分布
答案：C
38．若随机变量Y是X的线性函数，Y=αX+b(α>0)且随机变量X存在数学期望与方差，则X与Y的相关系数ρxy=（）。
A.α
B.α2
C.0
D.1
答案：D
39．设随机变量X,Y的期望与方差都存在,则下列各式中成立的是（）。
A.E(X+Y)=EX+EY
2066-经济应用数学三（概率论）
单项选择题
1．设A，B为随机事件，则（）。
A.A
B.B
C.AB
D.φ
答案：A
2．设A，B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（）。
A.P(A∪B)=P(B)
B.P(AB)=P(B)
C.P(B|A)=P(B)
D.P(B-A)=P(B)-P(A)
答案：B
3．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则 =（）。

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