材料力学2013典型例题
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例题5 图示为一变截面圆杆ABCD.已知F1=20kN，F2=35kN F3=35kN. l1=l3=300mm，l2=400mm. d1=12mm，d2=16mm， d3=24mm. 试求：
（1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
（2） 杆的最大正应力max
（3） B截面的位移及AD杆的变形
ΔlAD ΔlAB ΔlBC ΔlCD -0.47 10-4mm
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
模量G=80GPa，DB=1°. 试求：
（1） AD杆的最大切应力;
（2）扭转角 CA
解：画扭矩图
Me 2Me
3Me
Tmax= 3Me
DCB
A
计算外力偶矩Me
(3Me 2a Me a ) 180 2.33
GIp
GIp
π
例题6 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
解：
此梁的剪力图和弯矩图.
q
（1） 求支反力
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
FS
(
x)
FRA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M(
x)
DB= CB+ DC=1°
( Mea 2Mea ) 180 1
GIp GIp
π
aa
2Me Me
2a 3Me +
Me 292kN m
（1）AD杆的最大切应力
Me 2Me
3Me
max
Tmax Wt
69.7MPa
DCB
A
aa
2a
（2）扭转角 CA
CA BA CB
2Me Me
3Me +
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段
AB
FN1 A1
176.8MPa
()
BC段 BC
FN2 74.6MPa A2
()
DC段
DC
FN 3 A3
110.5MPa
()
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa
q
x 0， M 0
A
B
x l, M 0
x
FRA
l
FRB
令 dM ( x) ql qx 0
dx 2
ql 2
得驻点x l
+
8
2
l/2
弯矩的极值
M max
M xl 2
ql 2 8
绘出弯矩图
q A
FRA x
l ql/2
+
+
l/2
由图可见，此梁在跨中截 B 面上的弯矩值为最大
FRB
M
max
103
6.37MPa F
A
Me
F
τ
T Wt
16 7000 π 0.13
35.7MPa
A
σmax σ (σ )2 τ 2 6.37 (6.37)2 35.72 39
σmin 2
2
2
2
32
1 39MPa, 2 0, 3 32MPa 1 [ ] 故安全.
例题7 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
q (6lx2 4x3 l 3 )
24EI w qx (2lx2 x3 l 3 )
24EI
A
x
FRA
B
B
l
FRB
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN ()
F1 F2 FN2 0 FN2 Βιβλιοθήκη Baidu5kN ()
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
-
50
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
20
+
FN1 =20kN （+）
FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
ql 2 8
但此截面上 FS= 0
ql/2
两支座内侧横截面上
剪力绝对值为最大
ql 2 8
FS max
ql 2
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
发生在AB段.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN 2 l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
max
A
B
ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax
w
x l 2
5ql4 384EI
例题18 直径为d=0.1m的圆杆受力如图, Me=7kN·m, F=50kN, 材
料为铸铁,[]=40MPa, 试用第一强度理论校核杆的强度.
解:危险点A的应力状态如图
Me
σ
FN A
4 50 π 0.12
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4
1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
FRA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
q
FS
(
x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
， FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
B
FRB
ql/2
M(
x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
l2
解：求支座反力 FRD = -50kN （1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III 截面的轴力并作轴力图
F1 FN1 0
FN1 20kN ()
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
FN1
F1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
FRD
FN3 FN2
（1） Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的轴力并作轴力图
（2） 杆的最大正应力max
（3） B截面的位移及AD杆的变形
ΔlAD ΔlAB ΔlBC ΔlCD -0.47 10-4mm
例题5 图示等直杆,已知直径d=40mm,a=400mm,材料的剪切弹性
模量G=80GPa，DB=1°. 试求：
（1） AD杆的最大切应力;
（2）扭转角 CA
解：画扭矩图
Me 2Me
3Me
Tmax= 3Me
DCB
A
计算外力偶矩Me
(3Me 2a Me a ) 180 2.33
GIp
GIp
π
例题6 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作
解：
此梁的剪力图和弯矩图.
q
（1） 求支反力
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
FRA
l
FRB
（2）列剪力方程和弯矩方程.
FS
(
x)
FRA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M(
x)
DB= CB+ DC=1°
( Mea 2Mea ) 180 1
GIp GIp
π
aa
2Me Me
2a 3Me +
Me 292kN m
（1）AD杆的最大切应力
Me 2Me
3Me
max
Tmax Wt
69.7MPa
DCB
A
aa
2a
（2）扭转角 CA
CA BA CB
2Me Me
3Me +
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
（2） 杆的最大正应力max
AB段
AB
FN1 A1
176.8MPa
()
BC段 BC
FN2 74.6MPa A2
()
DC段
DC
FN 3 A3
110.5MPa
()
FN1 =20kN （+） FN2 =-15kN ( - ) FN3 =- 50kN ( - )
max = 176.8MPa
q
x 0， M 0
A
B
x l, M 0
x
FRA
l
FRB
令 dM ( x) ql qx 0
dx 2
ql 2
得驻点x l
+
8
2
l/2
弯矩的极值
M max
M xl 2
ql 2 8
绘出弯矩图
q A
FRA x
l ql/2
+
+
l/2
由图可见，此梁在跨中截 B 面上的弯矩值为最大
FRB
M
max
103
6.37MPa F
A
Me
F
τ
T Wt
16 7000 π 0.13
35.7MPa
A
σmax σ (σ )2 τ 2 6.37 (6.37)2 35.72 39
σmin 2
2
2
2
32
1 39MPa, 2 0, 3 32MPa 1 [ ] 故安全.
例题7 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
q (6lx2 4x3 l 3 )
24EI w qx (2lx2 x3 l 3 )
24EI
A
x
FRA
B
B
l
FRB
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
A
B
l
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA
FRB
ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
F1 F2
FN3 FRD 0 FN3 50kN ()
F1 F2 FN2 0 FN2 Βιβλιοθήκη Baidu5kN ()
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
-
50
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
15
Ⅰ
F2
F1
B
ⅠA
l1
20
+
FN1 =20kN （+）
FN2 =-15kN （-） FN3 =- 50kN （-）
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
ql 2 8
但此截面上 FS= 0
ql/2
两支座内侧横截面上
剪力绝对值为最大
ql 2 8
FS max
ql 2
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA
FRB
F
解：（1）作出弯矩图的最大弯
A
矩为Fa； （2）求惯性矩，抗弯截面系数
发生在AB段.
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
（3） B截面的位移及AD杆的变形
Δl AB
FN1l1 EA1
2.53 10-4m
ΔlBC
FN 2 l2 EA2
1.42 10-4m
ΔlCD
FN 3 l3 EA3
1.58 10-4m
uB ΔlCD ΔlBC -0.3mm
max
A
B
ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax
w
x l 2
5ql4 384EI
例题18 直径为d=0.1m的圆杆受力如图, Me=7kN·m, F=50kN, 材
料为铸铁,[]=40MPa, 试用第一强度理论校核杆的强度.
解:危险点A的应力状态如图
Me
σ
FN A
4 50 π 0.12
B
C
2a
a
Fa
Iz
(3cm)(2cm)3 12
(1.4cm)(2cm)3 12
1.07cm4
Wz
Iz ymax
1.07cm4
1cm
1.07cm3
（3）求许可载荷
Fa Wz[σ]
Mmax Wz[σ]
F Wz[σ] 3kN a
+
φ14 φ30
20
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
FRA x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
(0 x l)
q
FS
(
x)
ql 2
qx
(0 x l)
A
剪力图为一倾斜直线
x
FRA
l
x=0
处
， FS
ql 2
x= l 处 ,
FS
ql 2
ql/2
+
绘出剪力图
B
FRB
ql/2
M(
x)
FRA
x
qx
x 2
qlx 2
qx2 2
弯矩图为一条二次抛物线
(0 x l)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
DⅢ l3
F3
C
Ⅱ
l2
F1 F2
B
A Ⅰ
l1
Ⅲ
FRD
Ⅱ
F3
DⅢ l3
C
Ⅱ
l2
解：求支座反力 FRD = -50kN （1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III 截面的轴力并作轴力图
F1 FN1 0
FN1 20kN ()
Ⅰ
F2
F1
B
A Ⅰ
l1
FN1
F1
Ⅲ
FRD
DⅢ l3
Ⅱ
F3
C
Ⅱ
l2
FRD
FN3 FN2