二次函数顶点坐标问题

二次函数顶点坐标问题

例4. 已知抛物线的解析式是。求：

（1）该抛物线绕x轴翻转180°所得图象的函数解析式。

（2）该抛物线绕顶点旋转180°所得图象的函数解析式。

（3）该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数解析式。

解析：（1）绕x轴翻转180°后的抛物线和原抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于x轴对称。

原抛物线可变形为，顶点（1，5）关于x轴的对称点是（1，）所以新抛物线的解析式为，即

（2）绕顶点旋转180°后的函数图象，开口方向与原抛物线相反，顶点不变。参照（1）得新抛物线解析式为，即

（3）抛物线的平移用一般式来解比较麻烦，而用顶点式则简单多了。依题意得

，即

五、求抛物线与x轴的两交点和顶点所围成三角形的面积

例5. 已知抛物线的解析式为，其图象与x轴的两交点为A，B，顶点为C。

（1）求△ABC的面积。

（2）抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积为1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）易知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）

所以AB＝2

由，得，可知

故

（2）由（1）知点C为满足条件的一个点P，在x轴的上方肯定还有另外两个点满足要求。

因△ABP面积为1，所以，即

当时，，解得

所以点P的坐标为或（2，）

六、求函数最大值，设计出最佳方案

例6. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与接受概念所用时间x（单位：min）之间满足。y值越大，表示接受能力越强。

（1）x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？

（2）第10 min时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

解析：抛物线是轴对称图形，找出抛物线的对称轴，就很容易确定其增减性。由条件知

（1）当时，学生的接受能力逐渐增强；当时，学生的接受能力逐渐降低。

（2）当时，，即学生的接受能力为59。（3）当时，y取得最大值为59.9。

所以，在第13 min时，学生的接受能力最强。