命题否定的一个易错点

命题的否定中的一个易错点

在高二数学选修2-1中，我们学习了命题，其中对于命题的否定这一知识点，同学们处理的方式有所欠缺，有的是对命题的否定和否命题之间的区别把握不准，还有就是对命题的否定不全面，从而导致结果有所偏差。本文主要对于命题的否定中存在的一个易错点，和大家分享下，希望引起同学们的注意。 首先，让我们来看一道逻辑用语中的习题：

例：设函数()a

x ax x f --=259的定义域为A ，若命题p ：A q A ∈∈5:3与命题有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围。

对于这道题目，同学给出了两种解法。

解法1：由题意可知，q p ,两个命题一真一假。

（1） 若p 真q 假，则需满足

Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧><<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥--a a a a a

a a a 1255945301259504593或 （2） 若p 假q 真，则需满足

()125,453,591255945301259504593⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤><⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥--<--a a a a a a a a 或 解法2：由题意可知，q p ,两个命题一真一假

命题p 等价于{}453<≤a a ，命题q 等价于⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<≤12559a a （1） 若p 真q 假，则需满足

Φ∈⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≥<<≤a a a a 12559453或 （2） 若p 假q 真，则需满足

[)125,453,591255

9453⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥

综上所述，[).125,453,59⋃⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∈a 乍一看，两种解法都好像没有问题，为什么最终结果却不一样？我们可以肯定，至少有一个解法是错误的，那么，到底那种解法是错的？又错在哪里呢？ 让我们来分析一下上述两种解法的思路，看能否从中找到破绽，通过仔细观察，不难发现，两种解法的本质区别在于：解法1中对命题的否定是直接改变命题中的不等式的符号方向得到的，而解法2中，对命题的否定是先求出原命题所满足的范围，然后将范围进行否定，从而得到否定形式所表示的范围。也就是说，两种解法在求命题的否定形式所表示的范围时采取了不同的方式：一种是先写写出否定形式，再求范围，另一种是先求范围，再对范围进行否定，从理论上讲，这两种方法都是对的，可为什么出现了上述不同的两种结果呢？

经过进一步的对比研究发现，其实解法1中对含不等式命题的否定不全面，

从而导致了最终结果相差一个数字“45”。解法1中，命题p 等价于04593≥--a

a ，而它的否定形式被写成04593<--a

a 。这个写法是有问题的，我们不妨从两个不等式所表示的范围来分析一下，

,45304593<≤⇔≥--a a a 45304593><⇔<--a a a

a 或， 而我们知道，原命题与它的否定形式是对立的，也就是说，它们所表示的范围的并集应该是全集，而上述两种范围的并集并非全集，正好缺一个数字“45”，看来我们已经找到了错误的根源。

现在我们需要解决的问题应该就是，如何正确的对命题04593:≥--a

a p 进行否定？其实，命题p 包含了两层含义：一是分式a a --4593有意义，二是04593≥--a

a 成立。因此，对于这个命题的否定应该是04593<--a

a 或者分式a a --4593无意义，即04593<--a

a 或9=a ，那么现在我们重新用解法1的思路进行求解。 解法3：由题意可知，q p ,两个命题一真一假。

（1） 若p 真q 假，则需满足

Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧=<--≥--a a a a a a

a a a 1255945312501259504593或或

（2） 若p 假q 真，则需满足

[)125,453,59125594530125954504593⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥<⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≥--=<--a a a a a a a a a 或或 综上所述，[).125,453,59⋃⎪⎭

⎫⎢⎣⎡∈a 事实上，这个问题可以归结为含分式不等式的命题的否定，其实这个命题的否定中的一个误区，对于这类问题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以采取解法2的思路，先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定，这应该是比较的解决方法。这只是在命题的否定中的一个问题，当然还有其他需要注意的地方，希望同学们要多归纳总结。