线性代数案例

线性代数

案例

Cayler-Hamilton 定理

【实验目的】

1．理解特征多项式的概念

2．掌握Cayler-Hamilton 定理 【实验要求】掌握生成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令 【实验内容】

Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为

1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f

则有()0,f A =亦即

11210

n n n n a A a A a A a E -+++

++=

假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满足Cayler-Hamilton 定理。 【实验方案】

Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产生一定的误差，而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差，从而得出错误的结论。

在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。例如，下面给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。

()1111,1,2,...,,,2,...,k

k k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n

--⎧=-=⎪⎨

⎪==+=⎩

该算法首先给出一个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特

征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。该算法可以直接由下面的Matlab 语句编写一个(

)1poly 函数实现：

Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A);

if nc==nr % 给出若为方阵，则用Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)];

for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;

end

elseif (nr==1 \ nc==1) % 给出为向量时，构造矩阵

A=A(isfinite(A));n=length(A) ; % 出去非数或无界的特征根

c=[1 zeros(1,n)];

for j=1:n

c(2:(j+1))=c(2:(j+1))-A(j).*c(1:j);

end

else % 参数有误则给出错误信息

error (’Argument must be a vector or a square matrix.’)

end.

【实验过程】

>> A = vander([1 2 3 4 5 6 7]);

运行结果：

A =

1 1 1 1 1 1 1

64 32 16 8 4 2 1

729 243 81 27 9 3 1

4096 1024 256 64 16 4 1

15625 3125 625 125 25 5 1

46656 7776 1296 216 36 6 1

117649 16807 2401 343 49 7 1

>> A

运行结果：

aa1 =

1.0e+009 *

0.0000 -0.0000 -0.0002 0.0287 1.1589 -6.2505 -2.4223 0.0249

如调用新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。

>> aa1=poly1(A);b1=polyvalm(aa1,A);norm(B1)

运行结果：

ans =

可见，由此得出的B矩阵就会完全等于0，故该矩阵满足Cayley-Hamilton定理。

小行星轨道问题

【实验目的】

1. 掌握线性方程组求解

2. 加深对正交变换的理解

3. 掌握Matlab 软件中的ezplot 、zplot 命令的区别和适用范围 【实验要求】

掌握绘制隐函数曲线ezplot 命令和彗星状轨迹图comet 命令 【实验内容】

天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。在五个不同的时间点对小行星作了观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下:

221234522210a x a xy a y a x a y +++++=

试确定椭圆的方程并在轨道的平面内以太阳为原点绘出椭圆曲线。并应用坐标平移变换和正交变换将上例题中的二次曲线方程化为标准方程，绘椭圆轨道图，完成小行星运行的动态模拟。

【实验方案】

（1）二次曲线方程中有五个待定系数：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 。将观察所得的五个点坐标数据(,)j j x y ，(1,2,

,5)j =代入二次曲线方程得到关于1a ，2a ，3a ，

4a ，5a 的线性方程组

221121131415122

1222232425222

1323333435322

142443444542215

25535455522212221222122212221

a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧++++=-⎪++++=-⎪⎪++++=-⎨⎪++++=-⎪⎪++++=-⎩ 求解该方程组得椭圆方程的系数：[

1

a ，

2

a ，

3

a ，

4

a ，

5

a ] 。

（2）将椭圆的一般方程写成矩阵形式

[][]41

2345210a a a x x

y x y a a a y ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

通过变量变换（平移变换和旋转变换）化为椭圆标准方程。首先化去一次项，然后将二次型化为标准型。为了用平移变换消去一次项，令0x x ξ=+，0y y η=+（0x ，0y 待定），代入方程整理，得

[][][]041

21

2343450220x a a a a a F a

a a a a y ξξηξηξηη⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 其中，22102003040502221F a x a x y a y a x a y =+++++。要化简消去一次项，只须选择0x ，0y 使满足二阶线性方程组

041

234500x a a a a a a y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎣⎦ 将0x ，0y 代入椭圆的一般方程，得

[]1

23

40a a F a

a ξξηη⎡⎤⎡⎤

+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦ 令1

23

4a a C a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

求出特征值12,λλ极其对应的特征向量12,αα。可以取与12,αα等价的正交单位向量12,ββ。构造正交矩阵[]12,Q ββ=，利用正交变换

u Q v ξη⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦