《概率论与数理统计》课后习题答案

第一章：

10．从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.

解3813107()15

C P A C ==.

333998233310101014

()15C C C P A C C C =+-=，或

182231014

()1()115

C P A P A C =-=-=，

2833107

()30

C P A C ==

. 16．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B U 解()1()1()()0.3P AB P A B P A P B =-=--=U 因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是

()()0.6P A B P A ==U

20．设()0.7,()0.3,()0.2P A P A B P B A =-=-=，求()P AB 与()P AB . 解0.3()()()0.7()P A B P A P AB P AB =-=-=-，

所以

()0.4P AB =，故 ()0.6P AB =；

0.2()()()0.4P B P AB P B =-=-.所以 ()0.6P B =

()1()1()()()0.1P AB P A B P A P B P AB =-=--+=U

22．设AB C ⊂，试证明()()()1P A P B P C +-≤ [证] 因为AB C ⊂，所以

()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-U

故

()()()1P A P B P C +-≤. 证毕.

19．设,,A B C 是三个事件，且1()()(),()()04

P A P B P C P AB P BC =====，1

()8P AC =，

求,,A B C 至少有一个发生的概率。

解()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U 因为0()()0P ABC P AB ≤≤=，所以()0P ABC =，于是

315()488

P A B C =

-=U U 22．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.

解01,01x y ≤≤≤≤，不等式确定平面域S .

A =‘1,0.09x y xy +≤≥’则A 发生的

充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不 等式确定了S 的子域A ，故

0.90.10.9()(1)A P A x dx x

=

=--⎰的面积S 的面积

0.40.18ln30.2=-=

第二章

4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.

解设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则

345A B B B =++，

所求概率为

555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++5

1332415

133********

1686

C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B U 与()P B A -. 解()()()() 1.1()(|) 1.10.40.7P A B P A P B P AB P A P B A =+-=-=-=U

()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.

6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。

解设A =‘从乙袋中取出的是白球’，i B =‘从甲袋中取出的两球恰有i 个白球’0,1,2i =. 由全概公式

001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++

1122

3

232222555416131021025

C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=. 7．一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。

解设A =‘第二次取出的均为新球’，

i B =‘第一次取出的3个球恰有i 个新球’0,1,2,3.i =

由全概公式

00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B P B P A B =+++

3312321333

6996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅+⋅ 5280.0895915

=≈. 17．三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是111

,,534

，求他们将此密码译出的

概率.

解1设A =‘将密码译出’，i B =‘第i 个人译出’1,2,3.i = 则

1231231213()()()()()()()P A P B B B P B P B P B P B B P B B =++=++--

23123111111111()()534535434

P B B P B B B -+=++-⨯-⨯-⨯

1113

0.65345

+⨯⨯==. 35．一台仪器中装有2000个同样的元件，每个元件损坏的概率为0.0005，如果任一元件损坏，则仪器停止工作，求仪器停止工作的概率.

解考察一个元件，可视为一次贝努里试验，2000个元件为2000重贝努里试验。1np =，利用泊松逼近定理，所求概率为

20002000

1

20001

1

1()0.63216!

k k p p k e k -====≈∑∑

第三章

9．设随机变量X 的概率密度为

sin ,0,()0,c x x f x π<<⎧=⎨⎩

其他.

求：（1）常数C ；（2）使()()P X a P X a >=<成立的a .

解（1）00

1()sin cos 2f x dx c xdx c x c π

π

+∞-∞

=

==-=⎰

⎰，1

2

c =

； （2）1111()sin cos cos 2222

a

a P X a xdx x a π

π>=

=-=+⎰， 001111()sin cos cos ,2222

a a

P X a xdx x a <==-=-⎰

可见cos 0a =，2

a π

∴=

13．设电子管寿命X 的概率密度为

2100

,100,

()0,100.x x

f x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩

若一架收音机上装有三个这种管子，求（1）使用的最初150小时内，至少有两个电了管被烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏的电子管数Y 的分布列；（3）Y 的分布函数。

解Y 为在使用的最初150小时内烧坏的电子管数，~(3,)Y B p ，其中

150

21001001

(150)3

p P X dx x =≤==⎰

，

（1）所求概率为23

23

121(2)(2)(3)333P Y P Y P Y C ⎛⎫⎛⎫

≥==+==⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

727

=；