工程力学 第6章 弹性静力学基本概念
静力学中的弹性力与弹簧常数
静力学中的弹性力与弹簧常数在我们的日常生活和工程领域中，静力学的知识无处不在。
而弹性力和弹簧常数作为静力学中的重要概念，对于理解物体的形变和受力情况起着关键作用。
首先，让我们来了解一下什么是弹性力。
简单来说，弹性力就是当物体发生弹性形变时，物体内部企图恢复原状而产生的一种力。
想象一下，你拉伸一根弹簧，弹簧会“反抗”你的拉伸，试图收缩回去，这个时候它对你施加的力就是弹性力。
弹性力的大小与物体的形变程度密切相关。
形变越大，弹性力通常也就越大。
但是，这种关系并不是简单的线性关系，而是遵循一定的规律。
接下来，我们引入弹簧常数这个重要的概念。
弹簧常数，也称为劲度系数，它是用来描述弹簧“硬度”或者“弹性性能”的一个物理量。
用符号“k”表示。
对于一个特定的弹簧，弹簧常数是一个固定的值。
它的数值越大，意味着弹簧越“硬”，在相同的形变下产生的弹性力也就越大；反之，弹簧常数越小，弹簧越“软”，相同形变下产生的弹性力就越小。
那弹簧常数是怎么确定的呢？这通常需要通过实验来测量。
我们可以给弹簧施加不同大小的力，测量出对应的形变，然后通过数据处理和计算得出弹簧常数。
在实际应用中，弹性力和弹簧常数有着广泛的用途。
比如在汽车的悬挂系统中，弹簧起到了缓冲和减震的作用。
不同类型的汽车，其悬挂系统中的弹簧常数是经过精心设计和选择的。
如果弹簧常数过大，汽车在行驶过程中会感觉过于颠簸；而如果弹簧常数过小，汽车的稳定性和操控性就会受到影响。
再比如，在机械制造中，许多零部件都会涉及到弹性形变和弹性力。
例如，一些精密仪器中的弹簧装置，需要准确控制弹簧常数来保证仪器的精度和可靠性。
另外，在建筑结构中，弹性力和弹簧常数也不容忽视。
比如桥梁的设计，需要考虑到桥梁在车辆荷载作用下的弹性形变，以及支撑结构中的弹性力分布，以确保桥梁的安全和稳定。
为了更深入地理解弹性力和弹簧常数，我们来看一个具体的例子。
假设有一根弹簧，其弹簧常数为 50 N/m。
当我们将这根弹簧拉长 02 米时，根据胡克定律（F ＝ kx，其中 F 表示弹性力，k 表示弹簧常数，x表示形变），可以计算出此时弹簧产生的弹性力为 50 × 02 ＝ 10 牛。
工程力学知识点详细总结
工程力学知识点详细总结工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，它是工程学的基础学科之一。
在工程实践中，我们经常需要对结构物体的力学特性进行分析和计算，以保证结构的安全可靠。
因此，工程力学的理论和方法在工程设计和施工中起着不可替代的作用。
本文以静力学、动力学和固体力学为主要内容，详细总结了工程力学的相关知识点。
一、静力学1.力的概念和分类力是引起物体产生加速度的原因，根据力的性质和来源可以将力分为接触力和场力。
接触力是通过物体的静止接触面传递的力，包括摩擦力、正压力和剪切力等；场力是由物体之间的相互作用所产生的力，包括重力、电磁力和引力等。
2.受力分析受力分析是研究物体受力情况的一种分析方法，通过分析物体受力的大小、方向和作用点，可以确定物体的平衡条件和受力状态。
在受力分析中，可以应用力矩平衡、受力图和自由体图等方法来分析物体的受力情况。
3.力的合成和分解力的合成和分解是将若干个力按照一定规律合成为一个合力，或者将一个力分解为若干个分力的方法。
通过力的合成和分解，可以简化受力分析的过程，求解物体的受力情况。
4.平衡条件平衡是指物体处于静止状态或匀速直线运动状态。
根据平衡的要求，可以得出物体的平衡条件，包括受力平衡和力矩平衡。
在分析物体的平衡条件时，可以应用力的合成和分解、力矩平衡等方法进行求解。
5.杆件受力分析杆件受力分析是研究杆件受力情况的一种分析方法，通过分析杆件受力的大小、方向和作用点，可以确定杆件的受力状态。
在杆件受力分析中，可以应用正压力、拉力和剪力等概念进行求解。
6.梁的受力分析梁是一种常见的结构构件，受到外部加载作用时会产生弯曲变形。
梁的受力分析是研究梁受力情况的一种分析方法，通过分析梁受到的弯矩和剪力的分布规律，可以确定梁的受力状态。
在梁的受力分析中，可以应用梁的静力平衡和弯矩方程等方法进行求解。
7.静力学原理静力学原理是研究物体力学特性的基本原理，包括牛顿定律、平衡条件和力的合成分解定理等。
《工程力学》静力学的基本概念
a)Βιβλιοθήκη b)图1-4a)
b)
图1-5
1.2.2 加减平衡力系公理
1.1.2质点的概念
在静力学中随着问题的不同，除了将实际物体抽象为刚体外，还可以将物体 抽象为另外一种理想模型，即质点。所谓质点，是指具有一定质量而形状与大小 可以忽略不计的物体。当我们研究物体整体运动时，它的大小和形状不影响我们 研究问题的性质，可将该物体简化为质点。
1.1.3力的概念和性质
在静力学的范畴内，力可定义为：力是物体间的相互机械作用，这种作用将引 起物体机械运动状态发生改变。
1.1静力学基本概念
1.1.1刚体的概念
静力学分析研究的对象主要是刚体。所谓刚体是指受力作用时大小和形状 保持不变的物体，也就是刚体受力作用时，其内部任意两点间的距离永远保持不 变。这是一个理想化的力学模型，实际中是不存在的。实际物体在力的作用下， 都会产生不同程度的变形。但在一般情况下，工程上的结构构件和机械零件的变 形都是很微小的，这种微小的变形对构件的受力平衡影响甚微，可以忽略不计， 所以可以将结构构件和机械零件抽象为刚体。
1.1.4力系及其分类
力系是指作用在同一物体上的一组力。对同一物体作用效应相同的两个力 系，彼此称为等效力系。将一个复杂力系用作用效果相同的简单力系或一个力来 代替，这一过程称为力系的简化。若一个力与一个力系等效，则此力称为该力系 的合力。
力系按其作用线的分布情况可以分为以下几种： 1.平面力系： 力系中各力的作用线都在同一平面内，该力系称为平面力系。平面力系又可 分为： 平面汇交力系，即各力的作用线汇交于一点的平面力系。 平面平行力系，即各力的作用线都相互平行的平面力系。 平面任意力系，即各力的作用线既不汇交于一点，又不相互平行的平面力 系。 2.空间力系 力系中各力的作用线不在同一平面内，该力系称为空间力系。空间力系又可 分为： 空间汇交力系，即各力的作用线汇交于一点的空间力系。 空间平行力系，即各力的作用线都相互平行的空间力系。空间任意力系，即 各力的作用线既不汇交于同一点，又不相互平行的空间力系。
弹性力学基本概念
弹性力学基本概念弹性力学是力学的一个分支领域，研究材料在受力时的弹性变形和恢复变形的行为规律。
本文将介绍弹性力学的基本概念，包括应力、应变、胡克定律和杨氏模量等。
一、应力和应变在弹性力学中，应力和应变是两个基本的物理量，用来描述物体在受力时的变形情况。
应力是单位面积上的力，通常用希腊字母σ表示。
应力可以分为正应力和剪应力两种。
正应力是指垂直于受力面的力，它可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
正应力的单位是帕斯卡（Pa），1Pa等于1牛顿/平方米。
剪应力是指平行于受力面的力，它也可以通过力的大小和受力面的面积计算得到。
剪应力的单位也是帕斯卡（Pa）。
应变是物体由于受力而发生的变形程度，通常用希腊字母ε表示。
应变可以分为线性应变和剪切应变两种。
线性应变是指物体在受力下发生的长度变化与原长度之比。
线性应变的计算公式为：ε = ΔL / L，其中ΔL表示长度变化，L表示原长度。
剪切应变是指物体在受到剪应力时，各层之间相对位置的变化。
剪切应变的计算公式为：γ = Δx / h，其中Δx表示位置变化，h表示物体的厚度。
二、胡克定律胡克定律是弹性力学的基本定律之一，描述了材料的应力和应变之间的关系。
胡克定律可以用公式表示为：σ = Eε，其中σ表示应力，E表示杨氏模量，ε表示应变。
杨氏模量是衡量材料硬度和刚度的重要物理量，表示单位应力下材料的单位应变。
杨氏模量的单位是帕斯卡（Pa）。
胡克定律表明，当材料处于弹性变形状态时，应力和应变之间成正比。
杨氏模量越大，材料的刚度越高，抵抗变形的能力也越强。
三、弹性常数除了杨氏模量，弹性力学还有其他一些描述材料力学性质的常数。
泊松比是描述材料在受到正应力时，在垂直方向上的应变情况的比值。
泊松比的计算公式为：ν = -ε_2 / ε_1，其中ε_1表示垂直方向上的线性应变，ε_2表示平行方向上的线性应变。
弹性体模量是描述材料在受力时的刚度的物理量，定义为单位体积的材料在受力时所发生的应变与应力之比。
弹性力学基本概念
面力是作用于物体表面上的外力体力是作用于物体体积内的外力应力单位截面积上的内力切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的形变就是物体形状的改变。
通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致）圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界）圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件应力求解考虑的条件1体力为常量2全部边界上均为应力边界条件3弹性体为单连体应力分量和剪切力必然与弹性常数无关，由此可得应力解法与模型材料无关；平面应力与平面应变问题可互换；求应力分量=平衡微分方程=非齐次特解+齐次通解按应力函数求解，Φ应当满足的条件是1相容方程式2应力边界条件式。
静力学基本概念.
二力杆
B
A
B
A
F
F
BA
BA
C F
BA
C
F
G
A
F
BA
公理二 加减平衡力系公理
在作用于刚体的任意力系中，加上或减去平衡力系，并不 改变原力系对刚体作用效应。
推论一 力的可传性原理
作用于刚体上的力可以沿其作用线移至刚体内任意一点， 而不改变该力对刚体的效应。
如图所示，以FR表示力F1和力F2的合力，则可以表示为： FR=F1+F2。
F
F R
2
O
F
1
即作用于物体上同一点两个力的合力等于这两个力的矢量合。
力的三角形法则
b
F
2
c F
R
O F
1
obc称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
FR=F1+F2。
推论二 三力平衡汇交定理
刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平 衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。
平面平行力系
指两个力(系)对物体的作用效果完全相同。
平衡力系(Equilibrium force system )
力系作用下使物体平衡的力系。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
合力与分力
若一个力与一个力系等效。
平面一般力系
则这个力称为该力系的合力，而力系中的各个力称
为该合力的一个分力。
第二节 静力学公理
公理一 二力平衡公理
作用于同一刚体上的两个力成平衡的必要与充分条件： 力的大小相等，方向相反，作用在同一直线上。 可以表示为：F=-F/ 或 F+F/=0
工程力学基础知识
工程力学基础知识工程力学是一门物理学科，它研究物体在受力时的运动和变形规律。
它是现代工程学、物理学、材料学等各领域中不可或缺的基础课程。
本文将围绕工程力学的基础知识展开介绍。
一、力的概念和分类在力学中，力是指使物体运动或发生变形的原因。
力的单位是牛顿（N）。
力的分类包括接触力和非接触力两类。
接触力是指两个物体接触表面之间的力，如摩擦力、弹性力、接触冲击力等；非接触力是指物体之间的作用力，如引力、磁力、电力等。
二、物体静力学静力学是指研究物体处于平衡状态下的规律。
当物体处于平衡状态时，合外力的矢量和为零，物体与支撑面的接触力的矢量和也为零。
静力学的内容主要包括平衡条件、受力分析、力的合成和分解等。
三、杆件受力分析杆件是指长条状的物体，如桥梁、钢筋、木棒等。
在实际工程中，杆件通常会受到某种形式的力作用，如张力、压力、弯矩等。
杆件受力分析是指研究杆件内部受到的各种力对其内部应力状态的影响。
杆件受力分析的方法包括图解法、解析法、数值模拟法等。
四、刚体运动学和动力学刚体是指不会因受力而发生形状变化的物体。
刚体运动学和动力学分别研究刚体的运动和运动状态。
在刚体运动学中，研究刚体运动的几何方面，如位置、速度、加速度等；在刚体动力学中，研究刚体运动所受到的力和加速度之间的关系。
五、弹性力学基础知识弹性力学是研究物体在受到一定力作用后，具有弹性变形特性的状态的力学。
弹性力学的基础知识包括胡克定律、杨氏模量、泊松比等。
胡克定律是指单位长度的弹性形变量与施加在物体上的引力成正比；杨氏模量是指单位面积受到的引力与单位形变量成正比；泊松比是指物体横向形变与纵向形变之比。
结语以上是工程力学的基础知识，它们都是现代工程学的基础。
工程力学的知识涉及面广，需要学生在学习中注重理论与实践的结合，多做题、多实践，才能将知识转化为实际能力。
弹性力学ppt课件
弹性力学ppt课件•弹性力学基本概念与原理•弹性力学分析方法与技巧目录•一维问题分析与实例讲解•二维问题分析与实例讲解•三维问题分析与实例讲解•弹性力学在工程领域应用探讨01弹性力学基本概念与原理弹性力学定义及研究对象定义弹性力学是研究弹性体在外力作用下产生变形和内力分布规律的科学。
研究对象弹性体，即在外力作用下能够发生变形，当外力去除后又能恢复原状的物体。
弹性体基本假设与约束条件基本假设连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
单位面积上的内力，表示物体内部的受力状态。
应力物体在外力作用下产生的变形程度，表示物体的变形状态。
应变物体上某一点在外力作用下的位置变化。
位移应力与应变之间存在线性关系，位移是应变的积分。
关系应力、应变及位移关系虎克定律及其适用范围虎克定律在弹性限度内，物体的应力与应变成正比，即σ=Eε，其中σ为应力，ε为应变，E为弹性模量。
适用范围适用于大多数金属材料在常温、静载条件下的力学行为。
对于非金属材料、高温或动载条件下的情况，需考虑其他因素或修正虎克定律。
02弹性力学分析方法与技巧0102建立弹性力学基本方程根据问题的具体条件和假设，建立平衡方程、几何方程和物理方程。
选择适当的坐标系和坐标…针对问题的特点，选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或柱坐标系，并进行必要的坐标系转换。
求解基本方程采用分离变量法、积分变换法、复变函数法等方法求解基本方程，得到位移、应力和应变的解析表达式。
确定边界条件和初始条件根据问题的实际情况，确定位移边界条件、应力边界条件以及初始条件。
验证解析解的正确性通过与其他方法（如数值法、实验法）的结果进行比较，验证解析解的正确性和有效性。
030405解析法求解思路及步骤将连续体离散化为有限个单元，通过节点连接各单元，建立单元刚度矩阵和整体刚度矩阵，求解节点位移和单元应力。
【工程力学 课后习题及答案全解】第6章弹性静力学的基本概念习题解
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习题6-1图 习题6-3图 习题6-4图 习题6-2图 工程力学（1）习题全解
第6章 弹性静力学的基本概念
6－1 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M 。
关于固定端处横截面A －A 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。
正确答案是 C 。
6－2 图示直杆ACB 在两端A 、B 处固定。
关于其两端的约束力有四种答案。
试分析哪一种答案最合理。
正确答案是 D 。
6－3 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M ，力偶作用面与杆的对称面一致。
关于杆中点处截面A －A 在杆变形后的位置（图中A-A 为变形前位置，A A ′−′和A A ′′−′′分别为截面左边和右边变形后的位置），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。
正确答案是 C 。
6－4 等截面直杆，其支承和受力如图所示。
关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。
正确答案是 C 。
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力学静力学的基本概念
力学静力学的基本概念力学静力学是力学的一个重要分支，研究物体静止时的力学问题。
在静力学中，主要涉及到物体的平衡状态、力的合成与分解、杆的平衡和条件等内容。
下面将介绍力学静力学的基本概念。
一、平衡状态平衡状态是指物体受到的合力与合力矩均为零的状态。
一个物体处于平衡状态时，可以分为静止平衡和动态平衡两种情况。
静止平衡是指物体静止不动，不受外力的作用；动态平衡是指物体以匀速直线运动或者旋转运动，合力和合力矩仍然为零。
二、力的合成与分解力的合成是指将多个力合成为一个合力的过程。
在静力学中，可以应用力的三角法则或者力的多边法则来求解力的合成。
力的分解是指将一个力分解为两个或多个力的过程。
力的分解可以用于分析物体的受力情况，找出合力和合力矩的作用方向和大小。
三、力的平衡条件力的平衡条件包括力的三角形法则和力的多边形法则。
力的三角形法则指的是如果三个力作用于同一点，那么它们必须满足力的三角形法则，即三个力的合力等于零。
力的多边形法则指的是如果多个力作用于同一点，那么它们必须满足力的多边形法则，即多个力的合力等于零。
四、杆的平衡在力学静力学中，经常会涉及到杆的平衡问题。
杆的平衡主要是指杆受到的力和力矩的平衡。
对于一根平衡杆，合力和合力矩必须为零。
合力为零可以保证杆的平衡，而合力矩为零可以保证杆不发生旋转。
五、条件条件是指力学静力学中的一些约束条件。
在研究物体平衡时，常常会考虑到各种约束条件。
常见的约束条件包括杆被固定在一个点上（如支点）、杆的两端受到约束力等。
这些约束条件会影响物体的平衡状态，需要在求解时加以考虑。
总结：力学静力学是力学中的一个重要分支，研究物体静止时的力学问题。
在静力学中，主要涉及到平衡状态、力的合成与分解、杆的平衡和条件等内容。
以上介绍了力学静力学的基本概念和相关知识点。
力学静力学的研究可以帮助我们更好地理解物体的平衡条件和受力情况，对于解决实际问题具有重要意义。
机械工程基础知识点汇总
机械工程基础知识点汇总一、工程力学基础。
1. 静力学基本概念。
- 力：物体间的相互机械作用，使物体的运动状态发生改变（外效应）或使物体发生变形（内效应）。
力的三要素为大小、方向和作用点。
- 刚体：在力的作用下，大小和形状都不变的物体。
这是静力学研究的理想化模型。
- 平衡：物体相对于惯性参考系（如地球）保持静止或作匀速直线运动的状态。
2. 静力学公理。
- 二力平衡公理：作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是：这两个力大小相等、方向相反且作用在同一直线上。
- 加减平衡力系公理：在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。
- 力的平行四边形公理：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示。
- 作用力与反作用力公理：两物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿同一条直线，且分别作用在这两个物体上。
3. 受力分析与受力图。
- 约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
常见约束类型有柔索约束（只能承受拉力，约束反力沿柔索背离被约束物体）、光滑面约束（约束反力垂直于接触面指向被约束物体）、铰链约束（分为固定铰链和活动铰链，固定铰链约束反力方向一般未知，用两个正交分力表示；活动铰链约束反力垂直于支承面）等。
- 受力图：将研究对象从与其相联系的周围物体中分离出来，画出它所受的全部主动力和约束反力的简图。
4. 平面力系的合成与平衡。
- 平面汇交力系：合成方法有几何法（力多边形法则）和解析法（根据力在坐标轴上的投影计算合力）。
平衡条件为∑ F_x=0和∑ F_y=0。
- 平面力偶系：力偶是由大小相等、方向相反且不共线的两个平行力组成的力系。
力偶只能使物体产生转动效应，力偶矩M = Fd（F为力偶中的力，d为两力作用线之间的垂直距离）。
平面力偶系的合成结果为一个合力偶，平衡条件为∑ M = 0。
工程力学-第六章
6.1.3 自然坐标法
例 6-1 已知点 M 的运动方程为 x 2t ， y t2 ，式中 x 和 y 的单位为 m，t 的单位为 s。试求动点的
运动轨迹，以及当 t 1s 时切向加速度、法向加速度和轨迹的曲率半径。 解：由题目中给出的点的运动方程，消去 t 即可得到点的运动轨迹方程为 x2 4 y (x 0 ，y 0)
等于 dv ，其方向与 Δt→0 时 Δv 的极限方向一致。在国际单位制中，加速度的单位是 m/s2。 dt
6.1.2 直角坐标法
1．点的运动方程
如图所示，设动点 M 相对于一参考直角坐标系 Oxyz 运动，点 M 在空间的位置由它的坐标值 x，y，z
x f1(t)
唯一确定。当点运动时，坐标值
6.1.1 矢量法
2．点的速度
位移 Δr 与对应时间间隔 Δt 的比值，表示点在 Δt 内运动的平均快慢和方向，称为点在该时间间
隔内的平均速度，用 v*表示，即 v* r t
平均速度是一个矢量，其大小等于 r ，方向与位移 r 的方向相同。当 Δt→0 时，点 M′趋近于 t
M，而平均速度 v*趋近于一个极限值，此极限值称为动点 M 在瞬时 t 的瞬时速度，简称速度，用 v 表
6.1.2 直角坐标法
2．点的速度
另一方面，以 vx，vy，vz 表示动点速度 v 在直角坐标轴上的投影，则 v 可表示为 v vxi vy j vzk
对比上述两式，有 vx x ，vy y ，vz z
所以，点的速度在直角坐标系中的投影等于动点对应的坐标对时间的一阶导数。
速度 v 的大小和方向可由它的这三个投影完全确定，速度 v 的大小为 v vx2 vy2 vZ2
第六章
点的运动学和刚体基本运动
工程力学中的力的弹性问题
工程力学中的力的弹性问题力的弹性问题在工程力学中起着至关重要的作用。
力的弹性是指在物体受到外力作用时，物体发生弹性变形后，恢复到原始形状的能力。
本文将介绍工程力学中的力的弹性问题，并探讨其中的应用。
一、力的弹性概述力是工程力学中的基本概念，它是物体相互作用或作用于物体上的作用，具有大小、方向和作用点。
当物体受到外力作用时，会发生应力和应变。
应力是力对物体单位面积的作用，应变是物体由于受到力的作用而发生的变形。
力的弹性是指物体在力作用下发生弹性变形后，去除外力后恢复到初始状态的能力。
二、杨氏模量和胡克定律杨氏模量是用来描述物体弹性性质的重要参数。
它定义为单位面积受力所产生的单位应变。
杨氏模量反映了物体抵抗弹性变形的能力，数值越大，物体越难变形，具有较高的弹性。
胡克定律是力的弹性问题中重要的定律之一，它描述了弹性体在小应力下的弹性变形规律，即应力与应变成正比。
胡克定律为力的弹性问题的求解提供了基本方程。
三、力的弹性应用力的弹性问题在实际工程中有着广泛的应用。
其中一个典型的例子是弹簧的使用。
弹簧可以将外力转化为弹性变形，从而实现吸收冲击、减振和缓冲的功能。
弹簧的弹性特性需要根据具体需求进行设计和选择，以达到所需的效果。
另一个应用是在建筑中的柱子和梁。
在建筑结构设计中，需要考虑材料的弹性特性，以确保结构的稳定和安全。
力的弹性问题在航空航天、汽车工程、电子设备等领域也有着重要的应用。
四、力的弹性问题的解决方法解决力的弹性问题可以采用多种方法，其中一种常见的方法是使用有限元分析。
有限元分析是一种数值计算方法，可以将复杂的力学问题离散化为简单的子问题，通过求解各个子问题的解，最终得到整个系统的解。
有限元分析在工程力学中的力的弹性问题求解中得到了广泛的应用。
除了有限元分析，解决力的弹性问题还可以使用解析方法、实验方法等。
五、力的弹性问题的意义和挑战力的弹性问题的研究对于工程实践和学术研究都具有重要的意义。
准确预测和控制物体在外力作用下的弹性变形是工程设计和制造的基础。
工程力学静力学总结
工程力学静力学总结工程力学静力学是物理学的一个重要分支，主要研究物体在力的作用下的平衡和稳定性能。
静力学研究的内容包括力的分析、力的平衡、以及物体在力的作用下的变形和位移等。
下面是对工程力学静力学的总结。
1.基本概念静力学的基本概念包括力、力的方向、力的作用点、力的大小和方向、力的平行四边形法则等。
这些概念是理解静力学的基础。
2.静力学公理静力学中有几个公理是用来描述力的基本性质和关系的，包括力的平行四边形法则、等效替代法则、作用与反作用法则等。
这些公理是静力学的基础，也是工程实践中常用的基本原理。
3.力的分类和计算在静力学中，力可以根据不同的标准进行分类，例如根据力的作用效果可以分为拉力、压力、支持力、摩擦力等，根据力的方向可以分为水平力、垂直力、斜向力等。
同时，力的大小和方向也需要通过一定的方式进行计算和测量。
4.力的平衡在静力学中，如果一个物体受到多个力的作用，那么这些力需要满足一定的平衡条件才能使物体保持静止状态或匀速直线运动状态。
力的平衡条件可以通过一定的计算和测量得出，包括合力大小、合力方向等。
5.物体变形和位移在静力学中，物体在受到力的作用后会发生变形和位移，这些变化的大小和方向也需要进行计算和测量。
同时，物体的刚度和稳定性也是需要考虑的因素，这些因素会影响到工程实践中的安全性和可靠性。
6.重心和稳定性重心是物体所受重力作用线的交点，对物体的稳定性有着重要影响。
重心位置可以通过一定的计算得出，而在工程实践中，需要采取一定的措施来提高物体的稳定性和安全性，例如增加支撑面、降低重心等。
7.弹性力学弹性力学是静力学中的一个重要分支，主要研究物体在力的作用下产生的变形以及物体内部应力和应变的关系。
弹性力学的研究方法包括实验、理论分析和数值模拟等，其在工程中的应用广泛，如材料科学、结构工程等领域。
8.静力学的应用静力学在工程实践中有着广泛的应用，例如建筑结构分析、桥梁设计、机械设计等。
在应用过程中，需要根据实际情况进行合理的简化和分析，以便得到符合实际的结果。
工程力学-弹性静力学概念
球墨铸铁的 显微组织
关于材料的基本假定
JC NUAA COLLEGE
普通钢材的 显微组织
关于材料的基本假定
均匀连续性假定
JC NUAA COLLEGE
均 匀 连 续 性 假 定 (homogenization and continuity assumption)—假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个 空间。 从微观结构看，材料的粒子当然不是处处连续分布的，但从 统计学的角度看，只要所考察的物体之几何尺寸足够大，而且 所考察的物体中的每一“点”都是宏观上的点，则可以认为物 体的全部体积内材料是均匀、连续分布的。根据这一假定，物 体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐标的连续函数， 从 而有利于建立相应的数学模型。
关于材料的基本假定
JC NUAA COLLEGE
小变形假定
关于材料的基本假定
小变形假定
JC NUAA COLLEGE
小变形假定(assumption of small deformation)—假定物体在外 力作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是很小的。 根据这一假定，当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去 变形的影响，因而可以直接应用工程静力学方法。 不难发现，在工程静力学中，实际上已经采用了上述关于小 变形的假定。因为实际物体都是可变形物体，所谓刚体便是实 际物体在变形很小时的理想化，即忽略了变形对平衡和运动规 律的影响，从这个意义上讲，在材料力学中，当讨论绝大部分 平衡问题时，仍将沿用刚体概念，而在其它场合，必须代之以 变形体的概念。此外，以后的分析中还会发现，小变形假定在 分析变形几何关系等问题时将使问题大力简化。
杆件横截面上的应力 正应变与剪应变 线弹性材料的应力－应变关系 杆件受力与变形的基本形 结论与讨论
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第6章 弹性静力学的基本概念 刚体静力学研究力系的等效、简化与力系的平衡，并且应用这些基本概念和理论，分析、确定物体的受力。
刚体静力学的模型是质点和质点系以及刚体和刚体系。
弹性静力学则主要研究变形体受力后发生的变形，以及由于变形而产生的附加内力。
分析方法上，弹性静力学与理论力学刚体静力学也不完全相同。
建立在实验基础上的假定、简化计算，是弹性静力学分析方法的主要特点。
本章介绍弹性静力学的基本概念、研究方法以及弹性静力学对于工程设计的重要意义。
§6-1 弹性静力学概述 §6-2 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 ６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 §6-3 弹性体受力与变形特征 §6-4 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 ６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 §6-5 正应变与切应变 §6-6 线弹性材料的物性关系 §6-7工程结构与构件 §6-8 杆件变形的基本形式 §6-9 结论与讨论 ６－９－１ 关于刚体静力学模型与弹性静力学模型 ６－９－２ 关于弹性体受力与变形特点 ６－９－３ 关于刚体静力学概念与原理在弹性静力学中的 可用性与限制性 习 题 本章正文 返回总目录第6章 弹性静力学的基本概念 §６—１ 弹性静力学概述 弹性静力学(elastic statics)又称材料力学(strength of materials)，其研究内容分属于两个学科。
第一个学科是固体力学(solid mechanics)，即研究物体在外力作用下的应力、变形和能量，统称为应力分析(stress analysis)。
但是，弹性静力学所研究的仅限于杆、轴、梁等物体，其几何特征是纵向尺寸远大于横向尺寸，这类物体统称为杆或杆件（bars或rods）。
大多数工程结构的构件或机器的零部件都可以简化为杆件。
第二个学科是材料科学(materials science )中的材料的力学行为（behaviours of materials），即研究材料在外力和温度作用下所表现出的力学性能(mechanical properties)和失效（failure）行为。
但是，弹性静力学所研究的仅限于材料的宏观力学行为，不涉及材料的微观机理。
以上两方面的结合使弹性静力学成为工程设计（engineering design）的重要组成部分，即设计出杆状构件或零部件的合理形状和尺寸，以保证它们具有足够的强度（strength）、刚度（stiffness）和稳定性（stability）。
强度是指构件或零部件具有的一种能力：在确定的外力作用下，不发生破裂或过量塑性变形的能力；刚度是指构件或零部件具有的另一种能力：在确定的外力作用下，其弹性变形或位移不超过工程允许范围的能力；稳定性是指构件或零部件在某些受力形式（例如轴向压力）下具有的能力：在这些受力形式下，构件或零部件的平衡形式不会发生突然转变的能力。
工程设计的任务之一就是保证结构和构件具有足够的强度刚度和稳定性。
例如，各种桥的桥面结构，采取什么形式才能保证不发生破坏，也不发生过大的弹性变形，即不仅保证桥梁具有足够的强度，而且具有足够的刚度，同时还要具有重量轻、节省材料等优点。
又如，建筑施工的脚手架不仅需要有足够的强度和刚度，而且还要保证有足够的稳定性，否则在施工过程中会由于局部杆件或整体结构的不稳定性而导致整个脚手架的倾覆与坍塌，造成人民生命和国家财产的巨大损失。
此外，各种大型水利设施、核反应堆容器、计算机硬盘驱动器以及航空航天器及其发射装置等等也都有大量的强度、刚度和稳定性问题。
§６—２ 弹性体及其理想化 ６－２－１ 各向同性与各向异性弹性体 弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能，称为各向同性（isotropy），这类弹性体称为各向同性弹性体（elastic body with isotropy）。
弹性体若在不同方向上具有不同的物理和力学性能，则称为各向异性（anisotropy），这类弹性体称为各向异性弹性体（elastic body with anisotropy）。
实际物体属于哪一类弹性体，取决于组成物体的材料。
大多数工程材料虽然微观上不是各向同性的，例如金属材料，其单个晶粒呈结晶各向异性（anisotropy of crystallographic），但当它们形成多晶聚集体的金属时，呈随机取向，因而在宏观上表现为各向同性。
有些材料，例如某些纤维织物增强复合材料(参见本书第II卷第25章“新材料的弹性静力学问题”)，既不是完全各向同性，也非完全各向异性，其板材在板所在平面内两个相互正交的方向，具有相同的力学和物理性能，这种性能称为正交各向异性（orthotropy）。
６－２－２ 各向同性弹性体的均匀连续性 实际材料的微观结构并不是处处都是均匀连续的，但是，当所考察的物体几何尺度足够大，而且所考察的物体上的点都是宏观尺度上的点，则可以认为所考察的物体的全部体积内，材料在各处是均匀、连续分布的。
这实际上是一种理想化（idealization）,称为均匀连续性假定(homogenization and continuity assumption)。
根据这一假定，物体内因受力和变形而产生的内力和位移都将是连续的，因而可以表示为各点坐标的连续函数，从而有利于建立相应的数学模型。
§6—3 弹性体受力与变形特征上一章已经介绍了弹性体受力后，由于变形，其内部将产生相互作用的内力。
而且在一般情形下，截面上的内力组成一非均匀分布力系。
由于整体平衡的要求，对于截开的每一部分也必须是平衡的。
因此，作用在每一部分上的外力必须与截面上分布内力相平衡，组成平衡力系。
这是弹性体受力、变形的第一个特征。
这表明，弹性体由变形引起的内力不能是任意的。
图6－1 弹性体变形后各相邻部分之间的相互关系在外力作用下，弹性体的变形应使弹性体各相邻部分，既不能断开，也不能发生重叠的现象，图6－1中为从一弹性体中取出的两相邻部分的三种变形状况，其中图6－1a、b上所示的两种情形是不正确的，只有图6一1c中所示的情形是正确的。
这表明，弹性体受力后发生的变形也不是任意的，而必须满足协调(compatibility)一致的要求。
这是弹性体受力、变形的第二个特征。
此外，弹性体受力后发生的变形还与物性有关，这表明，受力与变形之间存在确定的关系，称为物性关系。
§６－４ 应力及其与内力分量之间的关系 ６－４－１ 分布内力集度－应力 一般情形下的横截面上的附加分布内力，总可以分解为两种：作用线垂直于截面的；作用线位于横截面内的。
分布内力在一点的集度，称为应力(stresses)。
作用线垂直于截面的应力称为正应力(normal stress)，用希腊字母σ 表示；作用线位于截面内的应力称为切应力或剪应力(shrearing stress)，用希腊字母τ表示。
应力的单位记号为Pa 或MPa ，工程上多用MPa 。
６－４－２ 应力与内力分量之间的关系 截面上应力与其作用的微面积乘积，称为应力作用点的内力。
通过积分可以建立微内力与内力分量之间的关系。
例如，正应力与其作用的微面积乘积的积分组成横截面上的轴力：x A F A N d ＝∫σ (6－1) 其中d A 为微面积； A 为横截面面积；A d σ为微面积上的内力。
应力与其他内力分量的关系式，将在以后相关章节中介绍。
§６－５ 正应变与切应变 如果将弹性体看作由许多微单元体(简称微元体或微元)所组成，弹性体整体的变形则是所有微元体变形累加的结果。
而单元体的变形则与作用在其上的应力有关。
图6－2 正应变与切应变围绕受力弹性体中的任意点截取微元体（通常为正六面体），一般情形下微元体的各个面上均有应力作用。
下面考察两种最简单的情形，分别如图6－2a 、b 所示。
对于正应力作用下的微元体(图6－2a)，沿着正应力方向和垂直于正应力方向将产生伸长和缩短，这种变形称为线变形。
描写弹性体在各点处线变形程度的量，称为正应变或线应变（normal strain ），用εx 表示。
根据微元体变形前、后x 方向长度d x 的相对改变量，有 xu x d d ＝ε (6－2) 式中d x 为变形前微元体在正应力作用方向的长度；d u 为微元体变形后相距d x 的两截面沿正应力方向的相对位移；εx 的下标x 表示应变方向。
切应力作用下的微元体将发生剪切变形，剪切变形程度用微元体直角的改变量度量。
微元直角改变量称为切应变或剪应变（shearing strain ），用γ表示。
在图6—2b 中，βαγ＋＝。
γ的单位为rad 。
关于正应力和正应变的正负号，一般约定：拉应变为正；压应变为负。
产生拉应变的应力(拉应力)为正；产生压应变的应力(压应力)为负。
关于切应力和切应变的正负号将在以后介绍。
§６－６ 线弹性材料的物性关系 对于工程中常用材料，实验结果表明：若在弹性范围内加载（应力小于某一极限值），对于只承受单方向正应力或承受切应力的微元体，正应力与正应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系：E E x x xx σεεσ＝或＝ (6－3) G G x x x x τγγτ＝或＝ (6－4) 上述二式统称为胡克定律（Hooke law ）。
式中，E 和G 为与材料有关的弹性常数：E 称为弹性模量（modulus of elasticity ）或杨氏模量（Young modulus ）; G 称为切变模量（shear modulus ）式（6－3）和（6－4）即为描述线弹性材料物性关系的方程。
所谓线弹性材料是指弹性范围内加载时应力一应变满足线性关系的材料。
§６－７工程结构与构件 根据空间三个方向的几何特性，弹性体大致可分为：杆、板、壳、体四大类。
(1) 杆－空间一个方向的尺度远大于其他两个方向的尺度，这种弹性体称为杆或杆件。
（2）板－空间一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且各处曲率均为零，这种弹性体称为板（plate ）。
（3）壳－空间一个方向的尺度远小于其他两个方向的尺度，且至少有一个方向的曲率不为零，这种弹性体称为壳（shell ）。
（4）体－空间三个方向具有相同量级的尺度，这种弹性体称为体（body ）。
工程结构是工程中各种结构的统称，包括：机械结构、土木结构、水利与水电结构、火电站与核电站结构、核反应堆结构、航空航天结构、化工结构以及电器、电子元件结构，等等。
工程结构的组成部分统称为结构构件（element of structure ），简称为构件（element ），包括各种零件、部件、元件、器件等等。