复变函数练习题习题

复变函数练习题习题 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

习题

1．计算下列积分，其中积分闭路取正向.

（1）3|1|1

1z dz z -=-⎰ 解：

2

3|1|1

|1|12

1

1/(1)

111

212

3

z z z dz z z dz z z i z z i

ππ-=-==++=--=++=⎰⎰

（4）44||1

(2)z dz z z =-⎰ 解：

4

444||1

||140

71/(2)

(2)21 3!(2)120

3(02)

5 16

z z z dz z dz z z z i z i i

πππ===-=-'''⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

-=⋅-=

⎰⎰

（6）41||2

sin ()n z zdz

z i +=-⎰ 解：

[](4)

41||2

sin 2sin ()(4)!2 sin (4)!2 sin (4)!2 sh1

(4)!

n n z i z z i

zdz i z z i n i

z n i

i

n n ππππ

+====-==-=⎰

（8）

43||2

(1)(2)(16)z dz

z z z =

-++⎰

解：被积函数41

(1)(2)(16)z z z -++有6个奇点，只有1z =在圆||3/2z =的内部，于是函数41

(2)(16)z z ++在闭圆域

||3/2z ≤上解析，则由Cauchy 积分公式得

4

433

||||2

2

4

1

1/(2)(16)

(1)(2)(16)1

1

2(2)(16)2 51

z z z dz

z z dz z z z z i z z i

ππ=

=

=++=

-++-=++=

⎰⎰

4.用Cauchy 积分公式计算函数

()/z

f z e z =沿正向圆周||1z =的积分

值，然后利用圆周||1z =的参数方程()i z e θ

πθπ=-≤≤证明下面积

分

cos 0

cos(sin ).e d π

θθθπ=⎰

（1）解：函数()/z

f z e z =的奇点0z =在积分路径||1z =的内

部，而函数

z

e

在闭区域

||1z ≤上解析，于是由Cauchy 积分公式得

||122.

z z

z z e dz i e

i z ππ====⎰

（2）证明：圆周

||1z =的参数方程为()i z e θ

πθπ=-≤≤，在

它上有(),i z ie θ

θ'=于是

||1cos sin cos cos cos cos cos 2 [cos(sin )sin(sin )] [sin(sin )cos(sin )] sin(sin )cos(sin )i z

e i i z i e e ie i dz d z e

e id e

i id e

ie

d e

d i e

d θ

θ

π

θππ

θθ

π

πθ

π

πθ

θ

ππ

π

θ

θ

π

π

πθθ

θθθθθθ

θθθθ

=-+-----====+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

比较等式两边的虚部得

cos cos(sin )2e

d π

θπθθπ-

=⎰

又

cos 0

cos cos 0

cos()

cos 0

cos

cos 0

cos

cos

cos(sin ) cos(sin )cos(sin )cos(sin())()cos(sin ) cos(sin )cos(sin ) cos(sin )cos(sin )e d e d e

d e

d e d e d e d e d e d π

θππ

θ

θ

πωθ

π

ωθπ

π

ωθ

ππωθ

θθ

θθθθ

ωωθθ

ωωθθ

ωωθ--=--=+=

--+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰0

cos 0

2cos(sin )e d π

π

θθ

θθ

=⎰⎰

所以

cos 0

cos(sin ).e

d π

θ

θθπ=⎰

7.由下面所给调和函数求解析函数

().f z u iv =+

（2）

(cos sin ),(0)0;x

u e x y y y f =-= 解：对u 求偏导数有

(cos sin cos ),

(sin sin cos ),x

x x

y u e x y y y y u e y x y y y '=-+'=-++