21.1一元二次方程(第一课时)课件.ppt
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一元二次方程ppt课件
教法学法
教材分析
学情分析 教学目标 重点难点
教法学法 教学步骤 教学过程 板书设计
学法：
已有知识
观察 合作 分析 思考 运用 自主探究 自我建构
新学知识
教法：
启发探究式 小组合作交流 多媒体辅助教学
教学步骤
教材分析
学情分析 教学目标 重点难点 教法学法
教学步骤 教学过程 板书设计
创设情境 导入新课 对比探究 归纳新知 小试牛刀 当堂反馈 运用新知 解决问题 限时训练 自检自查 课堂小结 回归目标
分式方程
一元二次方程
再认识
实际问题
二 次 函 数 知 识
学情分析
学情分析
知识与技能
整式乘法
一元一次方程的概念 和实际应用 二元一次方程组的概念 和实际应用 分式方程的概念和实 际应用
情感与素养
较为活泼，对新事物好奇心强 具备一定的数学表达能力 学生的学习迁移能力有待提高 数学抽象概括能力有待提高
教学目标
教材分析 学情分析 教学目标 重点难点 教法学法 教学步骤
教学过程
板书设计
(1) 了解一元二次方程的概念及其一般形式，并会判断一元二次方程的 二次项系数、一次项系数和常数项；
(2) 引导学生分析实际问题中的数量关系，类比一元一次方程的概念， 学生自己抽象出一元二次方程的概念；
(3) 对概念中的关键词进行辨析，解决辨析题巩固一元二次方程的概念；
教材分析 学情分析 教学目标 重点难点 教法学法 教学步骤
教学过程 板书设计
二、对比探究——归纳新知
说设计
Q1：你能否将所列方程进行化简整理？
① x2+10x-900=0 ② x2-75x+350=0 ③ x2-x-56=0
21.1一元二次方程-完整版课件PPT
21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
21.1.1一元二次方程第1节ppt(共36张)
第30页，共36页。
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
课内练习
1.下列(xiàliè)方程中是一元二次方程的为( C )
（A）、x2+3x= 2
x2
（B）、2(X-1)+3x=2
（C）、x2=2+3x
（D）、x2+x3-4=0
第31页，共36页。
把一元二次方程（x-√5 ）（x+√5 ）+（2x-1）2 =0 化为一般形式(xíngshì)，正确的是（A ）
③未知数的最高次数是2。
一元二次 方程是刻 画现实世 界的一种 数学模型
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。
第5页，共36页。
例1：判断(pànduàn)下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
第36页，共36页。
第17页，共36页。
3 4x x 2 25 43x 2 x 1 8x 3
3 4xx 2 25
一般(yībān) 式：
二次项系数为4，一次项系数8，常数项－25.
4 3x 2x 1 8x 3
一般式： 3x2 7x 1 0.
二次项系数为3，一次项系数－7，常数项1.
第18页，共36页。
第16页，共36页。
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式， 并写出其中(qízhōng)的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
3x2－3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般 形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
21.1一元二次方程的概念课件
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
（2）
3．思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程
x2－75x＋350=0 和 x2 － x=56. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区分在 哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）等号两边都是整式 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
36(50－2x)＝3600,
整理得：
x2－75x＋350=0 （1）
2．问题二 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般情势为
ax2 bx c 0 (a≠0），
一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念
二、 一元二次方程的概念 等式两边都是整式，只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二 次方程. 通常可写成如下的一般情势：
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；
bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做常数项。
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
场.
即
（2）
3．思考、讨论 问题1和问题2分别归结为解方程
x2－75x＋350=0 和 x2 － x=56. 显然，这两个方程都不是一元一次方程. 那么这两个方程与一元一次方程的区分在 哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）等号两边都是整式 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
36(50－2x)＝3600,
整理得：
x2－75x＋350=0 （1）
2．问题二 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多 少个队参加比赛?
分析: 全部比赛共 4×7=28场
是2的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般情势为
ax2 bx c 0 (a≠0），
一元二次方程的项及系数
3.一元二次方程的解的概念
二、 一元二次方程的概念 等式两边都是整式，只含有一个未知数，
并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二 次方程. 通常可写成如下的一般情势：
ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)。 其中
ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；
bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数，
c 叫做常数项。
例1：判断下列方程是否为一元二次方程？
B mx2＋x－m2＝0
C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
练习巩固
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k ≠3 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
人教版九年级数学上册精品教学课件21.1一元二次方程
为_______．
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩 形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四
分之三 . 求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中π
取3）.
150cm
解：设由于圆的半径为xcm，
则它的面积为 3x2 cm2.
根据题意有，
200 150 3x 2 200 150
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
32-2x
(20-x)(32-2x)=570
20-x 20 32
观察与思考
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个
方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同
特点呢？
x2 75x 350 0 ① x2 x 56 0 ② x2-36x＋35=0 ③
程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,
系数是-8；常数项是-10.
注意 系数和项均包含前面的符号.
视频：一元二次方程一般式
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫
21一元二次方程1课件
因所为以：x左=-边1是=方右程边的解。 当x=0时，左边=02 -2=-2 右边=0
因为：左边≠右边
所以x=0不是方程的解。
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等 的未知数的值叫一元二次方程的解或根。
17
练一练
1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2-3x+2=0
(x1=1 x2=2 x3=3)
（2） ? 2x2 ? 5x ? 3 ? 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 ? 5x ? 2. ? 3x2 ? 5x ? 2 ? 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
? （4） 2x ? 1?3?x ? 2?? 3. ? 6x2 ? 4x? 3x? 2 ? 3,
? 6x2 ? x? 5 ? 0.
2001
2002
2003 年份
5
4、一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积为 750cm3.请列出关于 x的方程.
30
x
x
单位：cm
15
15x（30-2x）÷2=750
x2-
15x+50=0
6
观察所列方程
（1） x2+5x=150. (2) x 2 ? 3 x ? 4
(3)6700 ? 13400 x ? 6700 x2 ? 9200
的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
3x2=5x-1
3x25x+1=0
(x+2)(x -1)=6 x2+x-8=0
二次项 系数
3
1
一次项 系数
-5
常数项
1
1 -8
4-7x2=0
因为：左边≠右边
所以x=0不是方程的解。
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等 的未知数的值叫一元二次方程的解或根。
17
练一练
1、判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：
（1）x2-3x+2=0
(x1=1 x2=2 x3=3)
（2） ? 2x2 ? 5x ? 3 ? 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 ? 5x ? 2. ? 3x2 ? 5x ? 2 ? 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
? （4） 2x ? 1?3?x ? 2?? 3. ? 6x2 ? 4x? 3x? 2 ? 3,
? 6x2 ? x? 5 ? 0.
2001
2002
2003 年份
5
4、一个包装盒的表面展开图如图，包装盒的容积为 750cm3.请列出关于 x的方程.
30
x
x
单位：cm
15
15x（30-2x）÷2=750
x2-
15x+50=0
6
观察所列方程
（1） x2+5x=150. (2) x 2 ? 3 x ? 4
(3)6700 ? 13400 x ? 6700 x2 ? 9200
的二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
3x2=5x-1
3x25x+1=0
(x+2)(x -1)=6 x2+x-8=0
二次项 系数
3
1
一次项 系数
-5
常数项
1
1 -8
4-7x2=0
人教九年级数学上册《一元二次方程》课件(共13张PPT)
B．4 个
C．5 个
解析：①③④⑦是一元二次方程．
D．6 个
2．当 m 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
知识点 2 一元二次方程的一般形式 【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号． 解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
证明：∵关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的 二次项系数与常数项之和等于一次项系数，
∴a＋c＝b. ∴当 x＝－1 时，ax2＋bx＋c＝a－b＋c＝b－b＝0， ∴－1 必是该方程的一个根．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善 于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
初中数学教学课件：21.1 一元二次方程(人教版九年级上)
k=1.
第十一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
跟踪训练
1．你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗？
（1） x2 360（2） 4x2 9.0
【解析】根据平方根的定义得方程（1）的根为x=±6，方程
（2）的根为x=± .
2．有人解这样一个方程
3 2 (x5)x (1 )7
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2=8，你的看法如何？
【解析】上述解法是错误的，将 x1、x2 代入原方程等式两 边不相等，因此它们并不是原方程的解.
第十二页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1. 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0
是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数、 常数项分别是什么?
【解析】当a-1≠0，即a ≠1时，方程(a-1)x2-bx+c=0
第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程
第一页，编辑于星期日：三点 五十五分。
1.将实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，形
成对一元二次方程的感性认识. 2.理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程. 3.知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次
方程整理成一般形式，能写出一般形式中一元二次方 程的二次项系数、一次项系数和常数项.
【解析】选A.依题意可列方程
B. 3000x2 5000 D.
3 0 0 0 (1 x ) 3 0 0 0 (1 x )2 5 0 0 0
. 3000(1x)25000
第十六页，编辑于星期日：三点 五十五分。
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.一元二次方程的特征：只有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2.
21-1 一元二次方程课件人教版九年级数学上册
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒 底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm, 根据方盒的底面积为3600cm2,得
（100－2x) (50－2x)=3600
化简，得 x2 75x 350 0 ①
x
该方程中未知数的个数 和最高次数各是多少？
探索新知
吃得苦中苦，方为人上人
思考： 方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的
x2 60x 200 0 4x2 120x 200 0
x2 x 56 0
a x2 bx c 0 a 0
a、b、c 可以取任何实数吗？
新知探究
吃得苦中苦，方为人上人
上面问题中“为什么规定a≠0？”
若a=0，则二次项ax2的系数为0，二次项不存在。 那么，方程就不是一元二次方程了。
2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3） x2 4 (x 2)2
新知探究
吃得苦中苦，方为人上人
观察下列三个一元二次方程，找出它们的共同点和不同点？ 并尝试用字母表示出一元二次方程的一般形式。
a= 5 b= 0 c= -9 .
(4) 2x2 1 3x
a= 2 b= -3 c= 1 .
2x2 3x 1 0
小结： 先化一般式，注意系数的负号以及一次项系数或者
常数项为0的情况
1.关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝9x＋5化为一般形式后不含一次项， 吃得苦中苦，方为人上人
则m的值为( )
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
一元二次方程(第一课时)课件
一元二次方程(第一课 时)ppt课件
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
分享一些相关的在线资源，供学生进一步学习。
二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
本PPT课件将介绍一元二次方程的基本概念和解题方法，以及优化题的应用。 通过丰富的内容和精彩的图像，使学生能够轻松理解和掌握这个重要的数学 知识点。
引言
本节课将要介绍一元二次方程的定义和例子，并确定本堂课的学习目标。
一元二次方程的概念和公式
一元二次方程的定义
什么是一元二次方程？通过 实例来解释。
二次方程的标准形式和 一般形式
标准形式和一般形式的区别 是什么？如何转换？
解一元二次方程的公式
学习如何利用公式解一元二 次方程。
解一元二次方程的四种方法
1
直接公式法
使用直接公式解一元二次方程的骤和技巧。
2
完全平方公式法
通过完全平方公式解一元二次方程。
3
公式法
利用一元二次方程的公式进行求解。
4
图像法
推荐一些有关一元二次方程的优秀书籍和教材。
在线资源
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二次函数及其图像分 析
学习如何分析二次函数图像以 解决优化问题。
求最值的思想和方法
通过思考和运用数学方法，找 到优化问题的最值。
小结
本堂课的主要内容回顾
总结本课所学的重点知识和技巧。
下节课预告
预告下节课将学习的内容和目标。
学习到的知识点总结
总结一元二次方程的基本概念和解题方法。
参考资料
书籍和教材
通过分析二次函数图像来解一元二次方程。
解题方法和技巧
1 变形思路
如何巧妙变形一元二次方程，找到解题的突破口。
2 整理形式
整理一元二次方程的形式，使解题更加简单明了。
3 注意二次方程的根性质
21.1.1一元二次方程(一)PPT课件
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 ax2 bx的形c 式0,我们把
ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
2.一元二次方程的一般形式中“＝”的左边最多 三项、其中一次项、常数项可以不出现、但二次 项必须存在、而且左边通常按x的降幂排列：特别 注意的是“＝”的右边必须整理成0。
例题3 例题讲解
• 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条 件下此方程为一元二次方程？在什么条 件下此方程为一元一次方程？
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与 全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一 段的长x；
解：设其中的较短一段为x，则另较长 一段为（1－x）
例题2
将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一 元二次方程的一般形式，并写出二次项 系数、一次项系数及常数项。
解：去括号，得
3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得
3x2-7x+1=0
一元二次方程ppt课件
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
考
点 ■考点一 一元二次方程的定义
清
单
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次
解
定义
读
数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程；②“一元”：只
含有一个未知数；③“二次”：未知数的最高次数是 2.三者缺一不可 最高次数是 2
是
D 左边=22=4，右边=4×2-3=5，左边≠右边
不是
［答案］ C 方法点拨 通过代入法可以判断一个数是不是方程的解，代入之后看方 程左右两边得到的结果是否相等进而判断.
21.1 一元二次方程
考
点 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程 清
单
审题（理解题目的含义）→找等量关系（通过已知量、未知量来找等量
题 型
思路点拨 根据一元二次方程和一元一次方程的概念，对照解决问题.
突
题型解法 判断一个方程是一元一次方程还是一元二次方程的时候，关键要
破 考虑两点，一是未知数的最高次数，二是最高次项的系数是否为 0.
21.1 一元二次方程
重
难 ■题型二 利用一元二次方程的根求未知字母的值
题
型
例 2 ［黑龙江中考］已知 2+
重要警示 a≠0 是一元二次方程一般形式的重要条件，不可丢掉.
21.1 一元二次方程
考
点
典例 2 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系
清 单
数、一次项系数和常数项.
解
（1）2x2=1-3x； （2）5x（x-2）=4x2-3x．
读
［解题思路］
原式
去分母、去括号 移项、合并同类项
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一.复习 1.什么叫方程？我们学过那些方程？ 含有未知数的等式叫方程
2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
学习目标 1.理解一元二次方程的概念，
根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念 解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概 念，并能解决相关问题
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
求m。 分析：一根为2即x＝2,只需把x＝2代入
原方程。
思考:
• 你能否说出下列方程的解 （根） ?
析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
可列得方程
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
5x2＋10x－2.2=0.
（2）
x2 2x 4 0 x2 75x 350 0
?
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少
米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x)
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
随堂练习
1.当m＝
时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
有解x＝0
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 0 的根?
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3.
1 2
x2
7
5 . 2x2=5y
4. 6x2=x 6. -x2=0
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
x2 x 56 0 5x2＋10x－2.2=0.
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不 能含有未知数）; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程（必须满足三个特征）
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为
3600(1c0m02,得2x)(50 2x) 3600
3600
100㎝
50㎝
即
x2 75x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但 习惯上都把二次项地系数化为正整数。
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56 0
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年
年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
1 x2
10x二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过
整理，都可以化为 ax2 bx c 的0 形式,我们把
ax2 bx c (a0,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0
2.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为1的整式方程 3.什么叫分式方程？ 分母中含有未知数的方程
学习目标 1.理解一元二次方程的概念，
根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念 解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概 念，并能解决相关问题
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的 值就叫方程的解。只含有一个未知 数的方程的解也叫做根
例4 已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，
求m。 分析：一根为2即x＝2,只需把x＝2代入
原方程。
思考:
• 你能否说出下列方程的解 （根） ?
析：设这两年的年平均增长率为x，
去年年底的图书数是5万册，
则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；
明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，
即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.
可列得方程
5（1＋x）2 = 7.2,
整理可得
5x2＋10x－2.2=0.
（2）
x2 2x 4 0 x2 75x 350 0
?
问题(1) 要设计一座高2m的人体雕像,使它的 上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部
与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少
米?
A
分析: 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 2-x
应有如下关系:
C
AC BC 即 BC2 2AC
x
BC 2
设雕像下部高xm,于是得方程
B
x2 2(2 x)
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
随堂练习
1.当m＝
时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
有解x＝0
2.下面哪些数是方程 x2 x 6 0 的根?
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3.
1 2
x2
7
5 . 2x2=5y
4. 6x2=x 6. -x2=0
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
x2 x 56 0 5x2＋10x－2.2=0.
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不 能含有未知数）; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程（必须满足三个特征）
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1）3x 2 5y 3
• （2）x 2 4
• （3）x 2 1 x2
x 1
?
• （4）x 2 4 (x 2)2
下列方程那些是一元二次方程？
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它 们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） (x 3)(3x 4) (x 2)2
2）（x-2）(x+3)=8
3) 2x 2 2 3x
例题例讲题解讲解
• [例３]方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在 什么条件下此方程为一元二次方程？在 什么条件下此方程为一元一次方程？
为 (50-2x)cm .
x
根据方盒的底面积为
3600(1c0m02,得2x)(50 2x) 3600
3600
100㎝
50㎝
即
x2 75x 350 0
问题(3) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队 之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程 计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀 请多少个队参加比赛?
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
• [例2] 将下列方程化为一般形式， 并分别指出它们的二次项、一次项 和常数项及它们的系数：
3x(x 1) 5(x 2)
（1）一元二次方程地一般形式不是唯一地，但 习惯上都把二次项地系数化为正整数。
（2）一元二次方程地二次项、二次项系数、一次项、一次 项系数、常数项等都是针对一般形式而言的。
分析: 全部比赛共 4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共
1 x(x 1) 28 2
场.
即
x2 x 56 0
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年
年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
1 x2
10x二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经过
整理，都可以化为 ax2 bx c 的0 形式,我们把
ax2 bx c (a0,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方
程的一般形式。 想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
解：当a≠2时是一元二次方程；当a ＝2，b≠0时是一元一次方程；
.选择题 1.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次 方程则m的值为＿＿＿ A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1
2.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0