几何最值及路径长讲义及答案

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最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型-2024年中考数学常见几何模型及参考答案

最值模型之瓜豆模型(原理)直线轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型1、运动轨迹为直线1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。

3)确定动点轨迹的方法(重点)②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化(常用中位线、矩形对角线、全等、相似)为其他已知轨迹的线段求最值。

《解析几何》第5讲圆的最值与轨迹问题

第八章
平面解析几何
第4课时圆的最值与轨迹问题
第八章
平面解析几何
2 2 例题1.实数x,y满足x +y -4x+1=0.
(1) 求y-x的最值．
(2) 求y/x的最值．
(3)求x2+y2的最值．
栏目导引
第八章
平面解析几何
y －b (1) 形如 u＝型的最值问题， x－a 可转化为过点(a， b)和点(x， y)的直线的斜率． (2) 形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距． (3) 形如(x－a) ＋(y－b) 型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方．
栏目导引
第八章
平面解析几何
解析：圆 x2＋ y2＋ 2x－4y＋ 1＝ 0 的圆心为(－1， 2)，半径 r ＝ 2. 因为直线被截得的弦长为 4，则圆心在直线 2ax－ by＋ 2＝ 0 上，所以－ 2a－2b＋ 2＝ 0，即 a＋ b＝ 1. a＋b 2 1 1 所以 ab≤ ( ) ＝，当且仅当 a＝ b＝时取等号． 2 4 2 1 故 (ab)max＝ . 4
栏目导引
2
2
第八章
平面解析几何
例题2.已知点A(2,0)在圆x2＋y2＝4上， B(1,1)在圆内，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PQ 经过点B，求线段PQ中点的轨迹方程． (3)若∠PBQ＝90°,求线段PQ中点的轨迹方程．
栏目导引
第八章
平面解析几何
求与圆有关的轨迹常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

几何最值与路径长(讲义及答案)

OC
Dx
第 1 题图
第 2 题图
2. （2020 荆门）在平面直角坐标系中，长为 2 的线段 CD（点 D 在点 C 右侧）在 x 轴
上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接 AC，BD，则 AC+BD 的最小值为（）
A． 2 5
B． 2 10
C． 6 2
D． 3 5
3. （2019 锦州）如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=2，M 是 AD 边的中点，N 是 AB
是（）
y
A．3 C． 7
2
B． 41 2
D．4
P QC
A
OBx
12. 如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针转 60°得到 FC，连接 DF．则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是________．
A
E
B D
C
9. 如图，E，F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，且满足 AE=DF．连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，连接 DH．若正方形的边长为 2，则 DH 长度的最小值是_________．
A EF D H G
A
E F
B
C
BD
C
第 9 题图
第 10 题图
10. （2020 鄂尔多斯）如图，在等边△ABC 中，AB=6，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，
边上的动点，将△AMN 沿 MN 所在直线折叠，得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 的最
小值是________．
D
C
A1
A Q
M

立体几何中的最值问题答案

立体几何中的最值问题答案立体几何中的最值问题一、线段长度最短或截面周长最小问题例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝22AN AM +＝22)12(1++＝10(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.则MN ＝??-+120cos 222AN AM AN AM ＝21312)3(122++＝34+∵34+＜10 ∴m in MN ＝34+.例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<（2）当a 为何值时，MN 的长最小；（3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。

解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。

∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴2==BF AC ,21,21a BQ a CP ==, 即2aBQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN )20(21)22()2()21(222<<+-=+-a a a a （2）由（1）知: 2222==MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,, 22的长最小，最小值为MN(3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。

又46==BG AG ，所以由余弦定理有31464621)46()46(cos 22-=?-+=α。

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线； 1．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，2），点M 的坐标为39(1,)44m m −−−(其中m 为实数)，当PM 的长最小时，m 的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A (1，4)，B (3，2)，C (m ，－4m ＋20)，若OC 恰好平分四边形．．．OACB ．．．．的面积，求点C 的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在边AD 上，且AE ：ED ＝1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ⊥PE 交边BC 或CD 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为___________.ABDCEFPM ABDCEFPM yxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长；（2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积．变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。

几何最值问题(讲义及答案)

几何最值问题（讲义）➢ 知识点睛1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点） ②垂线段最短（已知一个定点、一条定直线） ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）2. 解决几何最值问题的主要方法是________，通过变化过程中____________的分析，利用__________、______________等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的____________进而解决问题． 3. 几何最值问题基本结构分析①利用几何变换进行转化②利用图形性质进行转化DCABONMlll➢ 精讲精练的两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是（） A ．10cmB ．5cmC ．D ．PFOABE4.如图1，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥（注意：天桥必须与街道垂直）．请按下面的要求作图．（1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？在图1中完成．（2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？在图2中完成．图2图1DCAB ONM第9题图第10题图10. 如图，点P 在第一象限，△ABP 是边长为2的等边三角形，当点A 在x 轴的正半轴上运动时，点B 随之在y 轴的正半轴上运动，则在运动过程中，点P 到原点的最大距离是_______．【参考答案】➢ 知识点睛2.转化，不变特征，几何变换、图形性质，基本结构➢精讲精练1.1+2. D3. B4.略5. B6. 47.8. 39. A10.1+。

专题三几何综合-最值及路径长.docx

教学内容：【课前回顾&错题重现】1.如图，A, B为定点、,P为直线/上一点，若点尸恰好使AP^BP最短，请画出点P的位置.提示：①分析定点（/, B）,动点（尸在直线/上动），不变特征②以/为对称轴利用轴对称进行转化③由“两点之间，线段最短”确定位置2.如图，A, E为定点，为直线/上一可以移动的线段，且长度固定，若点M恰好使曲歼临初何最短，请画出点川的位置.提示：①分析定点（/, B）,动点QM, N在/上动，且MV长度固定），不变特征②先平移EV,使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1③以/为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置3. 如图，ZAOB=60°f点P在的平分线上，（9P=10cm,卓、E, F分别是两边CU, 上的动点，当ZXPEF的周长最小时，点戸到*的距离是・提示：①分析定点（P）,动点（E在Q4上动，F在OB上动），不变特征②分别以Q4，为对称轴，将P对称过去，得到Pi，Pi③连接P*2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解尸到EF的距离.【知识点&考点讲解】1.几何最值问题的处理思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题.转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标.基本定理：两点之间，线段最短（己知两个定点）垂线段最短（己知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（己知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例:©轴对称最值模型求总+彩的最小值, 使点在线异侧求PA-PB的最大值, 使点在线同侧固定长度线段A4N在直线1上滑动，求AM+MN+BN的最小值, 需平移EN（或AM）,转化为AM + MB'解决.②折叠求最值结构求的最小值，转化为求&（+4WVC的最小值（利用4WNC为定值）.2.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②确定运动路径；A通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证.③设计方案，求出路径长.【乘胜追击(课堂巩固入1.如图，在平面直角坐标系中，RtZ^OAB的直角顶点/在X轴的正半轴上，顶点E的坐标为(3, J5),点C的坐标为(-,0),点P为斜边OE上一动点，则PA+PC的最小值为22.如图，在矩形ABCD中，^5=4, 50=8,三为CQ边的中点.若P, 0为BC边上的两动点，且PQ=2,则当______________________ 时，四边形4P0E的周长最小.3.如图，在中，ZACB=90°9 AB=5f BC=3・ P 是 SB 过上的动点(不与点召重合),将沿CP所在的直线翻折，得到△歹CP,连接则长度的最小值是____________________ ・4. 如图，在边长为2的菱形45CD 中，ZA=60°9 M 是且D 边的中点，N 是4B 边上一动点,将△&MV 沿MV 所在的直线翻折得到△ A fMN,连接4C,则4C 长度的最小值是 _______________ ・5. 如图，有一矩形纸片45CZ ）, AB=S 9 AD=179将此矩形纸片折叠，使顶点/落在EC 边的理处，折痕所在直线同时经过边AB.AD （包括端点），设=丫，则X 的取值范围是 _____________.6. 如图，在'ABC 中，ZABC=90°f 48=6, 50=8, O 为 AC 的中点，过O 作OE丄OF, OE, OF 分别交射线48, BC 于E, F,连接防，则盯长度的最小值为 ________________________________________ ・第4题图A D 第5题图9. 边EC,盯的中点，直线NG, FC相交于点当/XEFG绕点D旋转时，线段长的最小值是____________________如图，4&是OO的一条弦，ZACB=30°，点乙F分别是/C, BC的中点，直线EF与0O交于G, 7/两点.若OO的半径为7,则GE+FF的最大值为第9题图10.如图，直线/与半径为4的OO相切于点P是OO上的一个动点（不与点乂重合）,过点P作朋丄/,垂足为连接R4 •设PA=x, PB=y,则（x-y）的最大值是_______________ •【课后作业】7.如图，E, F是正方形妞5CZ）的边凡D上的两个动点，且满足AE=DF・连接CF交砂于点G,连接肛交NG于点片，连接DH,若正方形的边长为2,则长度的最小值是___________________ ・如图，△4BC,G如图，边长为2的正方形4SCQ的两条对角线交于点O,把B4与CQ分别绕点占和点C逆时针旋转相同的角度，此时正方形438 随之变成四边形A BCD.设4C, BD交于点OS 若旋转了60。

第二十三讲平面几何的定值与最值问题(含解答)-

第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.••每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,•而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,•然后再到集市的路程最短呢?(1) (2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP•′与切线MN•交于R,AR+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.•“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.•所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径R一定,求证: abcS是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=12absinC和正弦定理sincC=2R,∴c=2RsinC.∴abcS=2sincC=4sinsinR CC=4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,•某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,•这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2 如图,已知⊙O的半径R=33,A为⊙O上一点,过A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为33-3 ;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为33+3 .点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P•两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.•另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos 12∠AOB·x+(O P2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(12∠AOB)是定值.点评当x 1=x 2时,x 1+x 2为此定值,事实上此时OP 一定是直径.例2 如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=9,⊙O 与外切,且⊙O 与AB 、BC•相切.⊙O ′与AD 、CD 相切,设⊙O 的半径为x,⊙O 与⊙O ′的面积的和为S,求S•的最大值和最小值. 解析设⊙O ′的半径为y,过O 与O ′分别作CD 与BC 的垂线OH,O ′F,•垂足分别为H,F,OH 、O ′F 交于点E,则有:O ′E=8-(x+y),OE=9-(x+y) 由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2. 整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x ≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=πx+πy=π(2x-10x+25),=2π[(x-52)2+254], 故当x=52时,S min =252π; 当x=4时,S=17π.点评先由已知求出⊙O ′的半径也⊙O 的半径x 之间的关系,然后再根据面积公式写出S 与x 之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过函数的性质得解.中考真题欣赏例 (南京市中考题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,又⊙O 1切⊙O 2•的直径BE 于点C,连结PC 并延长交⊙O 2于点A,设⊙O 1,⊙O 2的半径分别为r 、R,且R ≥2r.•求证:PC ·AC 是定值.解析若放大⊙O 1,使⊙O 1切⊙O 2的直径于点O 2(如图), 显然此时有PC ·AC=PO 2·AO 2=2r ·R(定值). 再证明如图的情况:连结C O 1,PO 2,• 则PO 2•必过点O 1,•且O 1C ⊥BE,得CO 2=22121O O O C -=22R Rr -,从而BC=R+22R Rr -,EC=R-22R Rr -.所以PC ·AC=EC ·BC=2Rr,故PC ·AC 是定值. 点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般情况的证明.竞赛样题展示例1 (第十五届江苏省初中数学竞赛题)如图,正方形ABCD的边长为1,•点P为边BC 上任意一点(可与点B或点C重合),分别过点B、C、D作射线AP的垂线,•垂足分别为点B′、C′、D′.求BB′+CC′+DD′的最大值和最小值.解析∵S△DPC= S△APC =12 AP·CC′,得S 四边形BCDA= S△ABP+ S△ADP+ S△DPC= 12AP(BB′+DD′+CC′),于是BB′+CC′+DD′=2 AP.又1≤AP≤2,故2≤BB′+CC′+DD•′≤2,∴BB′+CC′+DD′的最小值为2,最大值为2.点评本题涉及垂线可考虑用面积法来求.例2 (2000年“新世纪杯”广西竞赛题)已知△ABC内接于⊙O,D是BC•或其延长线上一点,AE是△ABC外接圆的一条弦,若∠BAE=∠CAD.求证:AD.AE为定值.证明如图 (1),当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时,连结BE,则∠E=∠C,∠BAE=∠CAD,∴△ABE∽△ADC.∴AB AEAD AC=,即AD·AE=AB·AC为定值.如图 (2),当点D在BC的延长线上时,∠BAE=∠CAD.此时,∠ACD=∠AEB.∴△AEB∽△ACD,∴AB AE AD AC=即AD·AE=AB·AC为定值.综上所述,当点D在BC边上或其延长线上时,只要∠CAD=∠BAE,总有AD·AE为定值. 点评先探求定值,当AD⊥BC,AE为圆的直径时,满足∠BAE=∠CAD这一条件,•不难发现△ACD ∽△AEB,所以AD·AE=AB·AC,因为已知AB,AC均为定值.•再就一般情况分点D•在BC上,点D在BC的延长线上两种情况分别证明.全能训练A级1.已知MN是⊙O的切线,AB是⊙O的直径.求证:点A、B与MN的距离的和为定值.2.已知:⊙O与⊙O1外切于C,P是⊙O上任一点,PT与⊙O1相切于点T.求证:PC:PT是定值.3.⊙O 1与⊙O 2相交于P 、Q 两点,过P 作任一直线交⊙O 1于点E,交⊙O 2于点F.求证:∠EQF 为定值.4.以O 为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A 引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS 的最大值和最小值.5.如图,已知△ABC 的周长为2p,在AB 、AC 上分别取点M 和N,使MN•∥BC,•且MN 与△ABC 的内切圆相切.求:MN 的最值.CABMNA 级(答案)1.定长为圆的直径;2.利用特殊位置探求定值(当PC 构成直径时)是两圆的半径). 3.因∠E,∠F 为定角(大小固定)易得∠EQF 为定值.4.如图,设OA=a(定值),过O 作OB ⊥PQ,OC ⊥RS,B 、C 为垂足, 设OB=x,OC=y,0≤x ≤a,(0≤y ≤a),且x 2+y 2=a 2. 所以所以∴(PQ+RS)2=4(2-a 2+而x 2y 2=x 2(a 2-x 2)=-(x 2-22a )2+44a . 当x 2=22a 时,(x 2y 2)最大值=44a .此时;当x 2=0或x 2=a 2时,(x 2y 2)最小值=0,此时(PQ+RS )最小值=2（）. 5.设BC=a,BC 边上的高为h,内切圆半径为r. ∵△AMN ∽△ABC,2MN h r BC h -=,MN=a(1-2rh),• 由S △ABC =rp,∴r=2ABC S ahp p∆=, ∴MN=a(1-a p )=p ·a p (1-a p )≤p 2(1)2aa p p⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=4p ,当且仅当a p =1-a p ,即a=2p 时,取等号,∴MN 的最大值为4p.B级1.如图1,已知正方形ABCD的边长为3,点E在BC上,且BE=2,点P在BD上,则PE+PC的最小值为( )A.23B. 13C. 14D.15E D CAB PSQA B PM(1) (2) (3)2.用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7.作为四条边构成一个梯形,•则在所构成的梯形中,中位线长的最大值是__________.3.如图2,⊙O的半径为2,A、B两点在⊙O上,切线AQ和BQ相交于Q,P是AB•延长线上任一点,QS⊥OP于S,则OP·OS=_______.4.已知,如图3,线段AB上有任一点M,分别以AM,BM为边长作正方形AMFE•、•MBCD.正方形AMFE、MBCD的外接圆⊙O、⊙O′交于M、N两点,则直线MN的情况是( •)A.定直线B.经过定点C.一定不过定点D.以上都有可能5.如图,已知⊙O的半径为R,以⊙O上一点A为圆心,以r为半径作⊙A,•又PQ与⊙A 相切,切点为D,且交⊙O于P、Q.求证:AP·AQ为定值.6.如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点,经过点B•的一直线和两圆分别相交于点C 和D,设此两圆的半径为R 1,R 2.求证:AC:AD=R 1:R 2.B 级(答案)1.B.∵A 、C 关于BD 对称,连结AE 交BD 于P,此时PE+PC=AE 最短.2.11.5 (1)当上底为7,下底分别为14,13,9时,中位线长分别为10.5,10,8; (2)当上底为9和13时,均构不成梯形.3.连结OQ 交AB 于M,则OQ ⊥AB.连结OA,则OA ⊥AQ. ∵∠QMP=∠QSP=90°,∴S,P,•Q,M 四点共圆,故OS ·OP=OM ·OQ. 又∵OM ·OQ=OA 2=2,∴OS ·OP=2.4.B.由图可知直线MN 可看作⊙O 和⊙O ′的割线, 当M 在点A 时,直线MN 变为⊙O•′的切线, 当M 在点B 时,直线MN 变为⊙O 的切线.这两种情况是以AB•为直角边的等腰直角三角形的两直角边所在的直线,交点是第三个顶点M.M 是AB 的中点时,MN 是AB•的垂直平分线,也过第三个顶点,所以选B. 5.如图,作⊙O 的直径AB,连结AD. ∵PQ 切⊙A 于D,∴AD ⊥PQ, ∴AP ·AQ=AD ·AB.•而AD=r,AB=2R,∴AP ·AQ=2Rr 为定值.6.作AN ⊥CD,垂足为点N,连结AB,有AC.AB=AN.2R1,① AB ·AD=AN ·2R 2 .② ①÷②,得12R AC AD R ,∴AC:A D=R 1:R 2.。

初中奥数讲义_几何的定值与最值附答案

【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为．思路点拨如图，作CC ′⊥AB 于C ，DD ′⊥AB 于D ′，DQ ⊥CC ′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=21AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小，本例也可设AP=x ，则PB=x 10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指： (1)中点处、垂直位置关系等； (2)端点处、临界位置等．【例2】如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（） A ．从30°到60°变动 B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变(湖北赛区选拔赛试题)；思路点拨先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．⌒注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．(永州市竞赛题)思路点拨设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC 的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．( “宇振杯”上海市初中数学竞赛题)思路点拨顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．⌒注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值； (2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为，最小值为． (江苏省竞赛题)2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为．(湖北省黄冈市竞赛题)3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于．( “希望杯”邀请赛试题)4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．22C ．2D ．13- (湖北省荆州市中考题)5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+(贵阳市中考题)6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( ) A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定(桂林市中考题)7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ． (1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由． (2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．(加拿大数学奥林匹克试题)9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( ) A ．22+ B ．21+ C ．23+ D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．(全国初中数学联赛试题)13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，AV与DU相交于点P，BV与CU 相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．( “弘晟杯”上海市竞赛题)14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?(河南省竞赛题)15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．(北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。

专题5.4立体几何中的轨迹问题、最值问题通关

1．如图所示，正方体ABCD A B C D '-'''的棱长为1， E ， F 分别是棱AA '， CC '的中点,过直线E ， F 的平面分别与棱BB ', DD '交于M ， N ，设BM x =， ()0,1x ∈,给出以下四个命题：①四边形MENF 为平行四边形；②若四边形MENF 面积()S f x =, ()0,1x ∈，则()f x 有最小值; ③若四棱锥A MENF -的体积()V p x =， ()0,1x ∈，则()p x 是常函数；[来源: ］④若多面体ABCD MENF -的体积()V h x =， 1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数．其中假命题．．．为（）． A ． ① B． ② C． ③ D． ④ 【答案】D连接AF ， AM ， AN ,则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以M ， N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数， M , N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥C MENF '-的体积()V P x =是常函数，故③正确；对于④，多面体ABCD MENF -的体积()1122ABCD A B C D V h x V -''''===为常数函数，故④错误．综上所述，假命题为④．故选D2．已知正方体ABCD-的棱长为2，E 为棱的中点，点M 在正方形内运动，且直线AM //平面，则动点M 的轨迹长度为A ．B ．C ． 2D ． π 【答案】B3．在空间直角坐标系Oxyz 中,到x 轴和y 轴距离相等的点的轨迹为（） A ．一个平面 B ．两个平面 C ．一条直线 D ．两条直线【答案】B【解析】到x 轴和y 轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选B ．4．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A 、B 分别在x 轴， y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（）．A ． 31,31⎡⎤-+⎣⎦B ． []1,3C ． 31,2⎡⎤-⎣⎦D ． 1,31⎡⎤+⎣⎦【答案】A【解析】如图所示，故选A ．5．如图所示,在正方形1111ABCD A B C D -中， ,E F 分别为1111,B C C D 的中点，点P 是底面1111A B C D 内一点，且//AP 平面EFDB ，则1tan APA ∠的最大值是（ )A ．2． 1 C ．2 D ． 22【答案】D6．已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点,点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上,若5PM =,则PQ 长度的最小值为A ．21B ．2C ． 3515-D ． 355【答案】C7．如图，面ACD α⊥,B 为AC 的中点， 2,60,AC CBD P α=∠=为内的动点，且P 到直线BD 的距离为3则APC ∠的最大值为（ )A ． 30° B． 60° C ． 90° D． 120° 【答案】B【解析】∵P 到直线BD 的距离为3[来源:∴空间中到直线BD 的距离为3的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆,即点P 在α内的轨迹为一个椭圆， B 为椭圆中心, 3b =, 32sin60a ==︒，则1c =∴A B ，为椭圆的焦点∵椭圆上的点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大值 ∴APC ∠的最大值为60︒ 故选B.8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是平面1111A B C D 内一点,且1BM ACD 平面，则1tan DMD ∠的最大值为（）．A ．22B ．C ． 2D ． 2 【答案】D【解析】∴11A C 平面1ACD ，同理1BMD O ， BM 平面1ACD ，∴当M 在直线11A C 上时，都满足1BM ACD ，∴1111tan 222DD DMD MD ∠===是最大值．故D 选项是正确的． 9．如图所示，正方体的棱长为，,分别是棱，的中点，过直线，的平面分别与棱、交于，，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当时,四边形的面积最小; ③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中假命题的序号为（）．A．①④ B．② C．③ D．③④【答案】C②连接，∵平面，四边形的对角线是固定的，要使面积最小，只需的长度最小即可，此时为棱中点，,长度最小，对应四边形的面积最小,②正确；④连接,，,四棱锥分割成两个小三棱锥，以为底，分别以、为顶点， ∵面积是个常数，、到平面的距离是个常数, ∴四棱锥的体积为常函数,④正确．10．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中， π2BAC ∠=， 11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点, D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD EF ⊥,则线段DF 长度的取值范围为（）．A ． 5⎫⎪⎢⎣⎭B ． 325⎣⎦C ． 25⎢⎣D ． 2,3⎡⎣ 【答案】A【解析】∴当25y =时，线段DF 5当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取,即DF 长度不能等于1），故线段DF 的长度的取值范围是： 5⎫⎪⎢⎣⎭,本题选择A 选项．11．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等,则点P 到点1C 的最短距离是（ ) A ．255 B ． 22 C ． 1 D ． 63【答案】A12．如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 12AA =, 1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点．有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线;② 1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22．其中正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ,而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；∴正确命题的个数是3个。

几何最值问题常用解法初二

几何图形中常见最值问题的解法平面几何图形中的最值问题是近几年中考常见的题型，此类问题常让学生无从下手，特别是新市民子女，由于他们数学知识的短缺、题目信息采集不够、综合应用能力弱、数学思维紊乱，课本知识理解不到位等原因造成错误为此我在平时教学中注重对这类问题的归类整理，在教学中对他们进行必要的专题拓展训练，引导他们归纳、总结、获得解决这类问题的基本技能，培养他们的思维习惯.一、轴对称变换—最短路径问题1.书本原型:(1)点A 、点B 在直线l 两侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +值最小.分析根据两点之间线段最短.点P 既在直线l 上，又在线段AB 上，PA PB +值最小.解连接AB ，交直线l 于点P ，点P 就是所要求作的点.(2)点A 、点B 在直线l 同侧，在直线l 找一点P ，使PA PB +最小.分析利用轴对称的性质找一个点1B ，使得1PB PB =，因而1PA PB PA PB +=+，要使PA PB +最小，只要1PA PB +最小，只要A 、P 、1B 三点共线.解作点B 关于l 的对称点1B ，连接1AB 交l 于点，点P 就是所要求作的点.(也可以作点A 关于l 的对称点1A ，连接1A B 交l 于点P ，点P 就是所要求作的点).2.应用例1在右图中，以直线l 为x 轴，以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，点(1,2)A 、(4,1)B .(1)在x 轴上找一点P ，使PA PB +最小，请在图中画出点P ，并求出点PA PB +的最小值.分析作A 、B 两点中的一点关于x 轴的对称点，连接这个对称点与另一点的线段交x 轴于点P .PA PB +的最小值实际上就是线段1AB 的长3.∴PA PB +的最小值是3.(2)在y 轴上找一点C ，在x 轴上找一点D ，使四边形ACDB 的周长最小，则点C 的坐标为，点D 的坐标为.分析本题两个动点C 、D ,要使四边形ACDB 的周长最小，只要AC CD BD AB +++的值最小，而AB 是一个定值，只要AC CD BD ++最小.作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，则1AC A C =，1BD B D =，AC CD +11BD A C B D CD +=++，只要1A 、C 、D 、1B 共线，则11A C B D CD ++最小，从而AC CD BD ++最小.解作点A 关于y 轴的对称点1A ，作点B 关于x 轴的对称点1B ，连接11A B .交y 轴于点C ，交x 轴于点D .设直线11A B ，的解析式为y kx b =+, 点A (1,2)关于y 的对称点1(1,2)A -，点B (4,1)关于x 轴的对称点1(4,1)B -，241k b k b -+=⎧∴⎨+=-⎩，解得3/57/5k b =-⎧⎨=⎩，∴直线11A B 的解析式为37.55y x =-+∴点C 的坐标为7(0,5，点D 的坐标为7(,0)3.二、垂线段最短—最短路径问题1.书本原型在灌溉时，要把河中的水引到农田P 处，如何挖渠使渠道最短.分析根据垂线段最短，P 到直线l 最短的距离是点P 到直线l 的垂线段的长.解过点P 作直线河岸l 的垂线段，垂足为点A ，线段PA 就是最短的渠道.2.应用例3如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点(4,0)A -、(0,4)B ，⊙O 的半径为1(O 为坐标原点)，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线,PQ Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为.分析因为PQ 是⊙O 的切线，连接OQ ，则90PQO ∠=︒.由勾股定理得222PQ PO OQ =-.因为⊙O 的半径1OQ =，要使PQ 最小，只要PO 最小，从而转化为求PO 的最小值，当PO AB ⊥时，PO 最小值为2.PQ ∴.四、平面展开图—最短路径问题我们常常遇到蚂蚁从一个几何体的一个侧面上一个点，绕过侧面走到另一个点，怎样走最近的问题.通常将曲面展平，转化为两点之间线段最短、垂线段最短问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题例5如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是.分析这是一个蚂蚁爬行的最短路径问题，将圆柱的侧面展平，得到一个矩形.蚂蚁从容器外壁爬到容器内壁最短，就是蚂蚁沿圆柱侧面爬到容器顶经过某一点P ，再爬到点A 的最短路径，实际上就是在一边DE 上找一点P ，使1PA PB +最小.根据轴对称—最短路径问题的作图步骤得蚂蚁沿线段2BA 最短，根据勾股定理可得2BA 的长.解在21Rt A B B ∆中，2112A B = cm ,15BB =cm由勾股定理得，222221114425169A B A B BB =+=+= ,213A B ∴=cm.所以蚂蚁爬行的最短路线长是13cm.学生觉得难以解决的几何最值问题，我在平时的教学中注重把书本原型跟学生讲透;让学生理解书本上的原理:两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，让学生感受到数学中的化归思想、数形结合思想，让学生有章可循，有法可用.授人以鱼不如授人以渔，对于新市民子女的数学学习，主要是提高他们数学学习兴趣，学会解题技能，让他们感受到学习数学乐趣，让他们想学数学、能学数学、学好数学，从而爱上数学，真正实现《新课程标准》所倡导的理念:“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展.”。

专题07 立体几何中的最值问题(解析版)

第三篇立体几何专题07 立体几何中的最值问题常见考点考点一最大值问题典例1．如图，在ABC 中，1AC BC ==，120ACB ∠=︒，O 为ABC 的外心，PO ⊥平面ABC ，且PO =(1)求证：//BO 平面PAC ；(2)设平面PAO 面PBC l =，若点M 在线段PC （不含端点）上运动，当直线l 与平面ABM 所成角取最大值时，求二面角A BM O --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【解析】 (1)如图，连接OC ，交AB 于点D ，O 为ABC 的外心，所以OA OB OC ==，又因为1AC BC ==，所以OAC OBC ≅△△，所以1602ACO BCO ACB ∠=∠=∠=︒，故OAC 和OBC 都为等边三角形，可得1OA AC CB BO ====，即四边形OACB 为菱形，所以OB//AC ；又AC ⊂平面PAC 、OB ⊄平面PAC ，所以//BO 平面PAC ， (2)因为//BC AO ，BC ⊄平面POA ，AO ⊂平面POA ，所以//BC 平面POA ，因为BC ⊂平面PBC ，平面PAO 平面PBC l =，所以//BC l .如图，以点D 为原点，分别以DA ，DC 所在的直线为x ，y 轴，过点D 垂直于面ACBO 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,2P ⎛- ⎝⎭，10,,02O ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以31,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(3,0,0)BA =，0,1,PC ⎛=⎝⎭，312BP ⎛=- ⎝⎭.因为点M 在线段PC 不含端点）上运动，所以//PM PC ，设PM PC λ=，所以31)2BM BP PM λλ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABM 的法向量为()1111,,n x y z =，则)11111103211022n BA x nBM x y z λλ⎧⋅==⎪⎨-⋅=++-=⎪⎩可得：10x =，令12y =可得1121z λλ-⎫=⎪-⎝⎭，所以1120,2,1n λλ⎛⎫-⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以直线l 与平面ABM 所成角α的正弦值为：1111sin cos ,24n n BC n BC BCα⋅===≤，即当12λ=时直线l 与平面ABM 所成角取最大值.此时1(0,2,0)n =，所以1,022OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，324BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面OBM 的法向量为()2222,,n x y z =，则222222310223024OB n x y BM n x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令21x =，2y 2z =所以2(1,3,n =，所以12121223cos ,22n n n n nn ⋅===⨯，设二面角A BMO --的平面角为θ，则cos θ=，所以sin θ=变式1-1．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点D 在边BC 上，E 为11B C 的中点.(1)如果D 为BC 的中点，求证：平面1BA E ∥平面1C DA ；(2)设锐二面角11/B AC D --的平面角为α，CD CB λ=，1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当λ取何值时，cos α取得最大值？【答案】(1)证明见解析 (2)1λ= 【解析】【分析】（1）利用几何法证明，若要证明面面平行，只要证明其中一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面即可；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用法向量来求二面角的大小即可得解.(1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -中，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，所以1EC BD ∥，所以四边形1BDC E 为平行四边形，所以1BE DC ∥，又因为BE ⊄平面1C DA ，1DC ⊂平面1C DA ，所以BE ∥平面1C DA ，同理可证1//A E 平面1C DA ，1A EBE E =，1A E ，BE ⊂平面1BA E ，所以平面1BA E ∥平面1C DA ；(2)以A 为坐标原点，AC 方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，)B ，()0,2,0C，)1B ，()10,2,2C ，所以()3,1,0CB =-，()13,1,2AB =，()10,2,2AC =，()0,2,0AC =，设平面11AB C 的法向量为(),,m x y z =，则110,0,m AB m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,220.y z y z ++=+=⎪⎩令z =y =1x =，所以(1,3,m =，由CD CB λ=，1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得()3,2,0AD CB AC λλλ=+=-，设平面1C DA 的法向量为(),,n a b c =，10,0,n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()20,220a bb c λ+-=+=⎪⎩令c =b =2a λλ-=，所以2n λλ-⎛=⎝，由1,12λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]23,1λλ-∈--，因为锐二面角11B AC D --的平面角为()cos 0αα>，所以26cos 7m n m n λα-+⋅==⋅⨯，令26t λλ-=+，则[]3,5t ∈，故26t λλ-=-，所以cos α==令111,53t μ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()242121f μμμ=-+在11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以cos α=11,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当15μ=，此时1λ=，即点D 与点B 重合时，cos α取得最大值.变式1-2．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．(1)求证：//AM 平面SCD ；(2)求平面SCD 与平面SAB的夹角的余弦值；(3)设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求sin θ的最大值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得//AM 平面SCD. （2）利用向量法求得平面SCD 与平面SAB 所成的角的余弦值.（3）设出N 点的坐标，求得sin θ的表达式，结合二次函数的性质求得sin θ的最大值. (1)SA ⊥底面ABCD ，所以,SA A S B A A D ⊥⊥，由于AB AD ⊥，所以,,SA AB AD 两两垂直，以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(1,0,0)D ，(0,0,2)S ，(0,1,1)M ，(0,1,1)AM ∴=，(1,0,2)SD =-，(1,2,0)CD =--．设平面SCD 的法向量为(,,)n x y z =，则0SD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2020x z x y -=⎧∴⎨--=⎩，令1z =，得(2,1,1)n =-是平面SCD 的一个法向量．0AM n ⋅=，AM n ∴⊥，A ∉平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．(2)平面SAB 的一个法向量为1(1,0,0)n =，设平面SCD 与平面SAB 的夹角为ϕ，则112cos 6n n n n ϕ⋅===⨯⋅∴平面SCD 与平面SAB(3)由题可设(,22,0)(12)N x x x -≤≤，则(,23,1)MN x x =--．平面SAB 的一个法向量为1(1,0,0)n =，11sin 5nMN M n Nθ⋅∴====⋅，∴当135x =，即53x =时，sin θ变式1-3．如图，在正四棱锥S ABCD -中，点O ，E 分别是BD，BC 中点，点F 是SE 上的一点.(1)证明：OF BC ⊥；(2)若四棱锥S ABCD -的所有棱长为OF 与平面SDE 所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.(1)如图，连接SO和OE，-是正四棱锥，所以SO⊥平面ABCD，因为S ABCD⊥又因为BC⊂平面ABCD，所以SO BC⊥，因为ABCD是正方形，所以DC BC又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以OE∥DC，⊥所以OE BC⋂=，OE、SO⊂平面SOE，又因为OE SO O所以BC⊥平面SOE，⊥.因为OF⊂平面SOE，所以OF BC(2)易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为四棱锥S ABCD -的所有棱长为4BD =，2SO =，所以()0,0,0O ，()0,0,2S ，()2,0,0D -，()1,1,0E ，设()01SF SE λλ=<<，得(),,22F λλλ-，则()2,0,2SD =--，()3,1,0DE =，(),,22OF λλλ=-设平面SDE 的法向量为(),,n x y z =，则22030n SD x z n DE x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得3z x y x =-⎧⎨=-⎩，取1x =，得()1,3,1n =--，设直线OF 与平面SDE 所成角为θ，则sin cos ,11n OF n OF n OFθ⋅===⋅)01λ=<<，当82263λ-=-=⨯时，2684λλ-+取得最小值43，此时sin θ.考点二最小值问题典例2．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，1BF =，平面BFED ⊥平面ABCD .(1)求证：AD ⊥平面BDEF ；(2)点P 在线段EF 上运动，设平面P AB 与平面ADE 所成的夹角为θ，试求θ的最小值. 【答案】(1)证明见解析(2)3π【解析】【分析】（1）由已知条件可得AD BD ⊥，再由平面BFED ⊥平面ABCD ，可得DE ⊥平面ADB ，则DE AD ⊥，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由于AD BD ⊥，DE AD ⊥，DE DB ⊥，所以建立直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0EP λλ=≤≤，然后利用空间向量求解即可 (1)证明，在梯形ABCD 中，∥//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒， ∥30CDB CBD ∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒， ∥90ADB ∠=︒，∥AD BD ⊥.又∥平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE DB ⊥， ∥DE ⊥平面ADB ，∥DE AD ⊥. 又∥BD DE D ⋂=，∥AD ⊥平面BDEF . (2)由（1）可知AD BD ⊥，DE AD ⊥，DE DB ⊥.可建立直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0EP λλ=≤≤，则()0,0,0D ，()1,0,0A，()B ，()0,,1P λ，∥()AB =-，()0,BP λ=设()1,,n x y z =为平面PAB 的法向量，由1100n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得(00x y z λ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，()13,1,n λ=∥()20,1,0n =是平面ADE 的一个法向量，∥1212cos3n n n n θ⋅===∥0λ≤≤∥当λ=cos θ有最大值12，∥θ的最小值为3π变式2-1．如图，在ABC 中，1AB =，BC =4B π=，将ABC 绕边AB 翻转至ABP △，使面ABP⊥面ABC ，D 是BC 的中点.(1)求二面角P BC A --的平面角的余弦值；(2)设Q 是线段PA 上的动点，当PC 与DQ 所成角取得最小值时，求线段AQ 的长度.【答案】【解析】【分析】（1）延长BA ，过点P 作PE BA ⊥,垂足为E ，过点E 作EF BC ⊥,垂足为F ,连接PF ,则PFE ∠是二面角P BC A --的平面角，再解三角形即得解；（2）连接EC ,以E 为原点，由题得EC EB ⊥,以EB 为x 轴，EC 为y 轴，EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当λ=25时，PC 与DQ 所成的角最小，即得解. (1) 解：由题得21821cos 455,AC AC =+-⨯⨯=∴=所以cos 0BAC ∠=<，所以BAC ∠是钝角.延长BA ，过点P 作PE BA ⊥,垂足为E ，过点E 作EF BC ⊥,垂足为F ,连接PF , 则PFE ∠是二面角P BC A --的平面角.由题得cos 452PE BE ===，所以2cos 452EF =⨯=所以tanPFE ∠==cos PFE ∠=.所以二面角P BC A -- (2)解：连接EC ,以E 为原点，由题得EC EB ⊥,以EB 为x 轴，EC 为y 轴，EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(2,0,0),(1,0,0),(0,0,0),(0,2,0),B A E C 设(,,),Q x y z(1,0,2),[0,1],AQ AP λλλ→→==-∈即(1,,)(,0,2),(1,0,2)x y z Q λλλλ-=-∴-,因为(1,1,0),(,1,2),(0,2,2),D DQ PC λλ→→=--=-所以cos ,DQ PC =令2222(12)2(12)(2-5)(),[0,1],()51(51)f f λλλλλλλλ++'=∈∴=++，令2()0,[0,1],.5f λλλ'=∈∴=2[0,)5λ∈时，()0,f λ'>函数单调递增，2(,1)5λ∈时，()0f λ'<，函数单调递减.所以当λ=25时，()f λ取最大值，此时PC 与DQ 所成的角最小，2||||5AQ AP =变式2-2．如图，四棱锥S ABCD -的底面为矩形，SD ⊥底面ABCD ，设平面SAD 与平面SBC 的交线为m ．（1）证明：//m BC ，且m ⊥平面SDC ；（2）已知2SD AD DC ===，R 为m 上的点求SB 与平面RCD 所成角的余弦值的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）先由//BC AD 证明//BC 平面SAD ，再由线面平行推线线平行，可得//m BC ；由SD BC ⊥，BC DC ⊥可得BC ⊥平面SDC ，再由//m BC ，即得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面RCD 的法向量，表示SB 与平面RCD 所成角，计算最值即得解【详解】（1）由题意，四棱锥S ABCD -的底面为矩形，可知//BC AD ，又BC ⊄平面SAD ，AD ⊂平面SAD 所以//BC 平面SAD又m 为平面SAD 与平面SBC 的交线，且BC ⊂平面SBC ，故//m BC 因为SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SD BC ⊥，又BC DC ⊥，且SD DC D =，所以BC ⊥平面SDC ，又//m BC ，所以m ⊥平面SDC （2）由（1）可知，DS ，DA ，DC 两两互相垂直，以D 为坐标原点，DA ，,DC DS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -()0,0,0D ，()0,0,2S ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，因为点R 在平面SAD 内的m 上，且//m AD ，所以可设(),0,2R a ()2,2,2SB =-，()0,2,0DC =，(),0,2DR a =设平面RCD 的法向量为(),,n x y z =，则2020n DR ax z n DC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩即200ax z y +=⎧⎨=⎩可取()2,0,n a =- 设SB 与平面RCD 所成角为θ则3sin cos 233n SB n SB πθθ⋅⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭ 因为2414aa ≤+当且仅当2a =时等号成立所以sin θ≤，cos θ≥所以SB 与平面RCD变式2-3．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，四边形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，1BF =.（1）求证：BD ⊥平面AED ，AD ⊥平面BDEF ；（2）点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π.【解析】【分析】（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；（2）分别以直线CA ，CB ，CE 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，令(0EP λλ=≤≤，然后写出各点坐标，求出平面PAB 和平面ADE 的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得cos θ（为λ的函数），由函数知识可得最小值．【详解】解：（1）证明，在梯形ABCD 中，∥//AB CD ，1===AD DC CB ，120BCD ∠=︒，∥30CDB CBD ∠=∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒，∥90ADB ∠=︒，∥AD BD ⊥.∥平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ⋂平面ABCD BD =，DE ⊂平面BFED ，DE DB ⊥，又∥AD DE D ⋂=，∥BD ⊥平面ADE .又四边形BDEF 是矩形，∥ED BD ⊥，∥ED ⊥平面ABCD ，∥ED AD ⊥， ∥ED BD D =，∥AD ⊥平面BDEF .（2）由（1）可建立直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0EP λλ=≤≤，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()B ，()0,,1P λ，∥()AB =-，()0,BP λ=.设()1,,n x y z =为平面PAB 的法向量，由1100n AB n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得(00x y z λ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，取1y =，则()13,1,n λ=.∥()20,1,0n =是平面ADE 的一个法向量，∥1212cos 3n n n n θ⋅===∥0λ≤≤∥当λ=cos θ有最大值12，∥θ的最小值为3π.巩固练习练习一最大值问题1．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，点1A 在平面ABC的射影为线段AC 的中点，侧面11AAC C 是菱形，过点1,,B B D 的平面α与棱11A C 交于点E ．(1)证明：四边形1BB ED 为矩形；(2)求1CB 与平面11ABB A 所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析 (2)23【解析】【分析】(1)由已知线面平行的判定定理得到1//B B 平面11A ACC ，在运用面面平行的判定与性质得四边形1BB ED 为平行四边形．运用线面垂直判定定理可得BD ⊥平面11ACC A ，从而得出结论.(2) 以DB ，AC ，1A D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -,依题意得BD =，分别求解平面11ABB A 的法向量和1CB 的方向向量，运用线面角的向量求解方法得到答案. (1)取11A C 中点为E ，连接1B E ，DE ．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，所以11//B B A A ，因为1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ，所以1//B B 平面11A ACC ．因为1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D ⋂平面11A ACC DE =，所以1//B B DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ，平面1BB D ⋂平面ABC BD =，平面1BB D ⋂平面1111A B C B E =，所以1//BD B E ，所以四边形1BB ED 为平行四边形．在∥ABC 中，因为AB BC =，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．由题可知1A D ⊥平面ABC ，所以1A D BD ⊥，1A D AC ⊥，因为1AC A D D ⋂=，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥，所以四边形1BB ED 为矩形． (2)由（1）知DB ，AC ，1A D 两两垂直，以DB ，AC ，1A D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AD =，BD a =，在1AA D △中，12AA AD =，190A DA ∠=︒，所以1A D ，所以(0,0,0)D ，(0,1,0)A -，(1A ，(,0,0)B a ，则(1AA =，(,1,0)AB a =．因为(E ，所以(1DB DE DB a =+=，即(1B a ．因为(0,1,0)C，所以(1CB a =．设平面11ABB A 的法向量为(,,)n x y z =，则10,0,n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y ax y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩所以,.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令z a =，则y =，x =()3,,n a =-．设1CB 与平面11ABB A 所成角为θ，则111sin cos ,3n CB n CB n CB θ⋅===23=≤=，当且仅当2294a a =，即a =时等号成立．故1CB 与平面11ABB A 所成角的正弦值最大为23．2．如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，2AD =，4AB =，将ADM △沿DM 翻折，在翻折过程中A 点记为P 点．(1)从ADM △翻折至NDM 的过程中，求点P 运动的轨迹长度； (2)翻折过程中，二面角P −BC −D 的平面角为θ，求tan θ的最大值. 【答案】 (2)12【解析】【分析】（1）取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，由此可求得点P 运动的轨迹长度.（2）由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，过P 作PO EF ⊥，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤，sin PO PE αα==，,3cos OF OG αα==-，可得tan PO PGO OG ∠==k =，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值. (1)解：取DM 的中点E ，则从ADM △翻折至NDM 的过程中，点P 运动的轨迹是以点E 为圆心，AE 为半径的半圆，因为2AD =，4AB =，所以AE =P .(2)解：由（1）得，连接AN ，并延长交BC 延长线于F ，AN DM ⊥，折起后，有DM ⊥面PEN ，过P 作PO EF ⊥，则PO ⊥面DMBC ，再过点O 作OG BC ⊥，则PGO ∠就是二面角P −BC −D 的平面角θ，设(),0PEO ααπ∠=≤≤， sin PO PE αα==，,3cos OF AF AE OE OG ααα=--===-，tan PO PGO OG ∠==cos 3k k k αα=⇒+=)3k αβ+=，所以11-≤≤，解得1122k -≤≤. 所以tan θ的最大值为12.3．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =．(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)若二面角A PC D --的平面角的正切值为12，求PA 的长；(3)在（2）的条件下，若Q 为线段PC 上一点，求BQ 与面PCD 所成角为θ，求sin θ的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)4【解析】【分析】（1）如图建系，设AP a =，求出DE 、AC 、AP 的坐标，计算0DE AC ⋅=，0DE AP ⋅=，可证明DE AC ⊥，DE AP ⊥，由线面垂直的判定定理即可求证；（2）设二面角A PC D --的平面角为α，由图知α为锐角，则1tan2α=，所以cos α=，分别求出平面PCD 和平面PAC 的一个法向量，利用空间向量夹角公式列方程求出a 的值即可求解；（3）设()=2,4,4PQ PC λλλλ=-，则()22,4,44BQ BP PQ λλλ=+=--，由（2）知平面PCD 的一个法向量11,1,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用空间向量夹角公式将s sin ,co BQ n θ=表示为关于λ的函数，结合二次函数的性质即可求解.(1)因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，因为AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直，如图以A 为原点，分别以,,AB AD AP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AP a =，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,0D ，()0,0,P a ，()2,1,0E所以()2,1,0DE =-，()2,4,0AC =，()0,0,AP a =，因为221400DE AC ⋅=⨯-⨯+=，0DE AP ⋅=，所以DE AC ⊥，DE AP ⊥，即DE AC ⊥，DE AP ⊥，因为AC AP A =，所以DE ⊥平面PAC(2)由（1）知：DE ⊥平面PAC ，取平面PAC 的法向量()2,1,0DE =-，因为()2,4,PC a =-，()2,2,0CD =--，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，由240220PC n x y az CD n x y ⎧⋅=+-=⎨⋅=--=⎩，取1x =，则1y =-，2z a =-，所以21,1,n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设二面角A PC D --的平面角为α，且α为锐角，则1tan 2α=，所以cos5α=所以cos ,5DE nDE n DE n ⋅===⨯⨯整理可得：3，解得：4a =，所以PA 的长为4. (3) 由（2）知PA 的长为4，即4a =，因为Q 为线段PC 上一点，所以//PQ PC ，设()=2,4,4PQ PC λλλλ=-，所以()()()2,0,42,4,422,4,44PQ BQ BP λλλλλλ=-+-=--+=，平面PCD 的一个法向量11,1,2n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则(c sin os 2,BQ n BQ nBQ n θ==⋅=⨯=，当105299λ-=-=⨯= 所以sin θ== 综上所述：sin θ.4．如图，在直角三角形AOB 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，直角三角形AOC 可以通过AOB 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角，动点D 在斜边AB 上.(1)求证：平面COD ⊥平面AOB ；(2)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值；(3)求CD 与平面AOB 所成角的正切值的最大值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）证明BOC ∠为二面角C AO B --的平面角，然后证明CO ⊥平面AOB ，得证面面垂直；（2）取OB 中点E ．连接,CE DE ，证明异面直线AO 与CD 所成角为CDE ∠（或其补角），在EDC △中计算其正切值；（3）证明CDO ∠是CD 与平面AOB 所成角，求出OD 的最小值即O 到AB 的距离即可得结论．(1)证明：因为CO AO ⊥，BO AO ⊥，所以BOC ∠为二面角C AO B --的平面角，即90COB ∠=︒，CO BO ⊥，又AO BO O =，,AO BO ⊂平面AOB ，所以CO ⊥平面AOB ，因为CO ⊂平面COD ，所以平面COD ⊥平面AOB ；(2)解：取OB 中点E ．连接,CE DE ，如图，因为D 是AB 中点，所以//AO DE ，所以异面直线AO 与CD 所成角为CDE ∠（或其补角），由已知CO AO ⊥，BO AO ⊥，BO CO O =，,BO CO ⊂平面BOC ，所以AO ⊥平面BOC ，而CE ⊂平面BOC ，所以AO CE ⊥，所以DE CE ⊥，又4AB =，30OAB ∠=︒，所以2OB OC ==，AO =DE 1OE =，CE ==，tan CE ADE DE ∠===(3)由（1）知CO ⊥平面AOB ，所以CDO ∠是CD 与平面AOB 所成角，又OD ⊂平面AOB ，则CO DO ⊥，2tan CO CDO OD OD∠==，直角AOB 中，O 到AB 上点的距离的最小值为AB 边上的高即OA OB h AB ⨯===，所以tan CDO ∠=练习二最小值问题5．如图，ABCD 为正方形，PDCE 为直角梯形，90PDC ∠=，平面ABCD ⊥平面PDCE ，且22PD AD EC ===.（1）若PE 和DC 延长交于点F ，求证：//BF 平面PAC ；（2）若Q 为EC 边上的动点，求直线BQ 与平面PDB 所成角正弦值的最小值.【答案】（1）见解析（2【解析】【详解】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得C 为DF 中点，再根据ABFC 为平行四边形得//BF AC ，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）利用空间向量求线面角,关键求出平面法向量:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出平面法向量,根据向量数量积求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值,最后根据线面角与两向量夹角之间关系求线面角正弦值,再根据自变量取值范围求最小值.试题解析：（1）证明：在梯形PDCE 中，PD ＝2EC ，C ∴为DF 中点，CF CD AB ∴==，且AB//CF ，ABFC ∴为平行四边形，//,BF AC AC ∴⊂面PAC ，BF ⊄面PAC ，∴BF ∥平面P AC .（2）方法一：令点Q 在面PBD 上的射影为O ，QBO ∠直线BQ 与平面PDB 所成角．EC ∥PD ，所以EC 平行于平面PBD ，因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，又因为PD ∥平面ABCD ，所以PD ∥AC ，所以AC ∥平面PBD ，所以点C 到面PBD 因为EC 平行于平面PBD ，所以点Q 到PBD 的距离OQ =令()01CQ k k =≤≤，所以BQ =sin OQ QBO BQ ∠==≥= 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz ，可知平面PDB 的一个法向量为()2,2,0AC =-，()2,2,0B ，()()0,2,01Q t t ≤≤，()2,0,BQ t ∴=-，令直线BQ 与平面PDB 所成角为α，sin 8BQ ACBQ AC α⋅∴==． 6．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =，设点M 在线段EF 上运动.（1）证明：BC AM ⊥；（2）设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ，求θ的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3π. 【解析】（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC AC ⊥.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；（2）由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，由二面角的向量求解方法可表示cos θ=由二次函数的性质可求得最值.【详解】（1）证明：在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，1===AD DC CB ，60ABC ∠=︒，所以2AB =，所以2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，所以222AB AC BC =+，所以BC AC ⊥.因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE .所以BC ⊥AM ；（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤，则()0,0,0C ，)A ，()0,1,0B ，(),0,1M λ.∥()AB =，(),1,1BM λ=-. 设(),,n x y z =为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,0,y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,n λ=， ∥()1,0,0m =是平面FCB 的一个法向量，∥||cos 1n m n m θ⋅==+∥0λ≤≤∥当λ=cos θ有最大值12，θ的最小值为3π.【点睛】向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。

中考数学压轴题之几何最值及路径长(作业及答案)

1几何最值及路径长（作业）例1：如图，在矩形ABCD 中，AB=12，AD=3，E，F 分别为AB，CD 上的两个动点，则AF+FE+EC 的最小值为．【思路分析】所求目标是AF+FE+EC 的最小值，属于最值问题．分析定点、动点，寻找不变特征．A，C 为定点，E，F 为动点，且点E 在定线段AB 上动，点F 在定线段CD 上动．由定点、动点的特征判断为轴对称最值模型．作定点A 关于定直线CD 的对称点A′，作定点C 关于定直线AB 的对称点C′．根据对称可知，A′F=AF，C′E=CE，所求问题转化为求A′F+FE+C′E 的最小值，根据定理“两点之间，线段最短”，连接A′C′，线段A′C′的长度即为最小值．判断所求最值为线段A′C′的长，设计方案求解．根据勾股定理，A′C′=15，即最小值为15．例2：如图，已知AB=10，点C，D 在线段AB 上，且AC=BD=2．P 是线段CD 上的一动点，分别以AP，PB 为边在线段AB 的同侧作等边三角形AEP 和等边三角形PFB，连接EF，设EF 的中点为G．当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为．23【思路分析】分析不变特征．在点P 运动的过程中，两个等边三角形始终不变、点G 为EF 的中点不变、线段AB 的长度不变．猜测运动路径．分别选择点P 在起点C、终点D 时的对应图，结合已知图中点G 的位置，猜测路径为线段，如图1，图2．图1 图2验证运动路径．猜测运动路径是线段，且平行于AB，只需证明点G 到线段AB 的距离为定值即可，故分别过点E，F，G 作AB 的垂线，如图3，可证GH 为梯形EMNF 的中位线，GH =1(EM +FN )；2因为△APE 和△BPF 均为等边三角形，故EM +FN =3(PM +PN ) =动路径为线段．3AB ，因此GH 为定值，可确定点G 的运2图3 图4设计方案计算路径长．补全，得图形4，可知QECF 为平行四边形，则G1 为QC 中点，同理可知G2 为QD 中点，故G1G2=1CD =1(10 - 2 - 2) =3 ．2 2123422.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a 的值为．3.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=3，⊙A，⊙B 的半径分别为2 和1，P，E，F 分别是边CD，⊙A 和⊙B 上的动点，则PE+PF 的最小值是．4.如图，在Rt△AOB 中，OA=OB= 3 ，⊙O 的半径为1，点P是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ（点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为．5.如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B 落在边AD 上，折痕EF的两端分别在AB，BC 上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm，则折痕EF 的最大值是．第3 题图第4 题图第2 题图第1 题图D．2 6）C．2 3B．3 2A．31. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（6.动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=13．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A′处，折痕为PQ，当点A′ 在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q 也随之移动．若限定点P，Q 分别在AB，AD 边上移动，则点A′在BC 边上可移动的最大距离为．7.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，点A，C 分别在x 轴、y 轴上．当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离为．第7 题图第8 题图8.如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．连接EM，过M 作EM 的垂线交射线BC 于点F，连接EF．若P 是MF 的中点，则在点E 运动的过程中，点P 运动的路径长为．9.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2 的线段EF 的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E 从点A 出发，按A→B→C→D→A 的方向滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，按B→C→D→A→B 的方向滑动到点B 为止，则在这个过程中，线段EF 的中点M 经过的路径所围成的图形面积为．10.如图，以G(0，1)为圆心，2 为半径的圆与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C，D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF⊥AE 于点F．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为．11.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1 个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD∥BC，交AB 于点D，连接PQ．点P，Q 分别从点A，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0）．求在整个运动过程中线段PQ 的中点M 所经过的路径长．【参考答案】1. C2. 7 43. 34. 25. 10 1036. 47. 3+ 138. 29. 4 - π 10. 311. 22 3π5。

2018年专题10 (几何)最值问题(含详细答案)【范本模板】

专题10 几何最值问题【十二个基本问题】1．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为（)A．错误!B．11cm C．13cm D．17cm第1题第2题第3题第4题2．已知圆锥的底面半径为r＝20cm,高h＝20，15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A 出发．在侧面上爬行一周又回到A点，蚂蚁爬行的最短距离为________．3．如图,在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为(）A．2B．2.2C．2。

4D．2。

54．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值为（）A．10B．8C．5错误!D．65．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）,有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角错误!处．（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当AB＝4，BC＝错误!＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．（3)在（2）的条件下，求点错误!到最短路径的距离．6．如图，已知P为∠AOB内任意一点，且∠AOB＝30°，点P1、错误!分别在OA、OB上，求作点错误!、错误!使错误!的周长最小，连接OP，若OP＝10cm，求错误!的周长．7．如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．第7题第8题第9题8．如图，在等腰Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,BC＝错误!点D是AC边上一动点,连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为．9．如图,⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧错误!上一动点,AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是()A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!10．如图,已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与一直线相交于A(－1，0),C(2,3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m)，求使MN＋MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF ∥BD交抛物线于点F,以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能,求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．11．如图，抛物线l交x轴于点A(－3，0)、B(1,0)，交y轴于点C（0，－3）．将抛物线l 沿y轴翻折得抛物线错误!．(1)求错误!的解析式；(2）在错误!的对称轴上找出点P,使点P到点A的对称点错误!及C两点的距离差最大，并说出理由；(3)平行于x轴的一条直线交抛物线错误!于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．12．(2016﹒朝阳）小颖在学习“两点之间线段最短"查阅资料时发现：△ABC内总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．【特例】如图1，点P为等边△ABC的中心，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，从而有DE＝PC，连接PD得到PD＝P A，同时∠APB＋∠APD＝120°＋60°＝180°,∠ADP ＋∠ADE＝180°，即B、P、D、E四点共线，故P A＋PB＋PC＝PD＋PB＋DE＝BE．在△ABC 中，另取一点P′，易知点P′与三个顶点连线的夹角不相等,可证明B、P′、D′、E四点不共线，所以P′A＋P′B＋P′C＞P A＋PB＋PC,即点P到三个顶点距离之和最小．13．问题提出（1)如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a，b的式子表示）．问题探究(2）点A为线段BC外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE，找出图中与BE相等的线段,请说明理由,并直接写出线段BE长的最大值．问题解决:(3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P 为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，求线段AM长的最大值及此时点P 的坐标．②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°,BC=4错误!，若对角线BD⊥CD 于点D，请直接写出对角线AC的最大值．14．如图所示,已知抛物线y＝a(x＋3)（x－1)（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝错误!与抛物线的另一个交点为D．(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；（3）在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE．一动点Q从点B 出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒错误!个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?答案1．平面展开－－－最短路径问题解:如图所示：∵长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm．∴P A＝4＋2＋4＋2＝12（cm），QA＝5cm,∴PQ＝错误!＝13cm．故选：C．2．解：设扇形的圆心角为n，圆锥的顶为E，∵r＝20cm,h＝错误!∴由勾股定理可得母线l＝错误!＝80cm,而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π＝错误!∴n＝90°即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：AA’＝错误!＝错误!．答:蚂蚁爬行的最短距离为错误!．故答案为：错误!．3．解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴错误!＝错误!即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP,∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2。

九年级数学-旋转中的最值、路径长

第13讲旋转中的最值、路径长【板块一】旋转最值题型一运用垂线段最短求最值【例1】如图，等边△ABC 边长为6，点E 是中线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ，在点E 运动过程中，DF 的最小值为 .BA CE FD【解析】取AC 的中点G ，连接EG ，在△DCF 和△GCE 中，CE ＝CF ，∠DCF ＝∠GCE ，∴△DCF ≌△GCE （SAS ），∴DF ＝EG .根据垂线段最短，EG ⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，∵︒=︒⨯=∠306021CAD ，362121=⨯==AC AG ，∴EG 的最小值为5.132121=⨯=AG ， ∴DF 的最小值为1.5. 【例2】如图，点B （0，3），点A 为x 轴上一动点，将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得AC ，连接OC ，求OC 长的最小值.xx【解析】在x 轴正半轴上取点F ，使OF ＝OB ＝3，延长CF 交y 轴于点D ，在OB 上截取OE ＝O A .证△AFC ≌△BE A . ∴∠CF A ＝∠AEB ＝135°，得点C 在直线DF 上运动，△ODF 为等腰直角三角形，当OC ⊥DF 时OC 最小为22323=.题型二运用两边之和大于第三边求最值【例3】如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ＝5，BP ＝2，将PC 绕点C 逆时针旋转90°得线段CD ，连接BD ，当BP 绕点B 旋转时，线段BD 的最小值为 .CB PDCABPD【解析】连接AP ，∴△DCB ≌△PCA （SAS ），∴AP ＝BD ，当点P 在AB 的延长线上时，AP 的最大值＝AB ＋PB ＝25＋2，∴BD 的最大值为225+.【例4】如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝C A .若AC ＝52，点P 为BC 的中点，动点Q 满足PQ ＝3，将线段AQ 绕点A 逆时针旋转90°到线段AM ，连PM ，则线段PM 的最小值为 .CAMQ PN【解析】连接AP ，将AP 绕点A 逆时旋转90°到AN ，连接PN ，MN .易证△APQ ≌△ANM ，∴MN ＝PQ ＝3，AP ＝AN ＝522=+PC AC ，∴PN ＝2AP ＝25，325-=-≥MN PN PM ，∴PM 最小值为325-.题型三运用中线，中位线求最值【例5】如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA ，CD 分别绕点B ，C 以相同的速度同时逆时针旋转一周，四边形ABCD 的形状也随之发生改变，A 'C 与D 'B 交于点O ′，那么在旋转的过程中，求AO '的最大值.BADC OD'A'O'B ADCOD'A'O'G【解析】首先证A 'B ∥CD '，得四边形A 'BCD '为菱形，∴A 'C ⊥BD '.取BC 的中点G ，连接AG ，O ′G ，则O ′G ＝BC 21＝1，AG ＝51222=+，在△AO ′G 中，15'15+≤≤-AO ，故AO ′的最大值为15+.针对练习11.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝10，D 为线段AC 上一动点，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90°.点B 的对应点为点E ，连接AE ，求AE 长的最小值.ACBDE解：在AC 上取点F ,使CF ＝BC ＝6.在CB 上取点G ，使CG ＝CD ，可证△DEF ≌△BDG ，∴∠EFD ＝∠BGD ＝135°，∴∠AFE ＝45°，得点E 在直线FE 上运动，且AE ⊥FE 时，AE 的最小值为222610=-.2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点B 的坐标为(5，0)，点P 为线段AB 外一动点，且PA ＝2，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得PM ，求AM 长的最大值.xx解：将△APM 绕点P 顺时针旋转90°得△NPB ，连接AN ，则BN ＝AM ，△ANP 为等腰直角三角形， ∴222==PA AN ，又3=AB .∴在△ANB 中，223223+≤≤-BN ，即AM 长的最大值为223+.3.如图，边长为4的正方形ABCD 外有点E ，∠AEB ＝90°，F 为DE 的中点，连接CF .求CF 的最大值.FEDC BA解：N M A BDE FG取AB 的中点G ，过点G 作GN ⊥CD 于点N ，延长DC 至点M ，使CM ＝CD ，则MN ＝6，GN ＝4，∴GM＝又EG ＝12AB ＝2，∴在△EMG 中，EG 2，而FC ＝12EM ，故FC1，∴CF 1.【板块二】旋转图形中动点的路径与动线段的取值范围题型一旋转图形中点的运动路径【例1】在平面直角坐标系中，点C 沿某条路径运动，以点C 为旋转中心，将点A (0，4)逆时针旋转90°到点B (m ，1)，若－5≤m ≤5，求点C 运动的路径长. 【解析】如图，过点C 作MN ∥y 轴，AN ⊥MN 于点N ，BM ⊥MN 于点M ，则△CAN ≌△BCM ，AN ＝CM ，CN ＝BM ，∵AN ＝x c ，CM ＝y C －1，CN ＝4－ y C ，BM ＝x C －m ，解得x C ＝32m +，y C ＝52m +，∵－5≤m ≤5，∴－2≤m ＋3≤8，∴－1≤x C ≤4，y C ＝x C ＋1，当x C ＝－1时，C (－1，0)；当x C ＝4时，C (4，5)；点C 的运动路【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝13x －1分别交x 轴，y 轴于点B ，点A ，点M 为直线AB 上一动点，连接OM ，将线段OM 绕点M 逆时针旋转90°，点O 的对应点为点N .当点M 运动时，判断点N 的运动路线是什么图形，并说明理由.【解析】点N 在直线y ＝－12x －32上运动，理由如下：设M (m ，13m －1)，过点M 作MC ⊥OB 于点C ，过点N 作ND ⊥MC 于点D ，可证△OCM ≌△MDN ，OC ＝MD ＝m ，ND ＝CM ＝1－13m ，D (m ，－1－23m )，N (43m－1，－1－23m ），x N ＝43m －1①，y N ＝－1－23m ②，由①＋②×2得：－2－43m ＋43m －1＝x N ＋2y N ，∴x N ＋2y N ＝－3，y N ＝－12x －32·题型二旋转图形中变量的取值范围【例3】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D ，E 分别在AC ，BC 上，DE ∥AB ，CF ⊥DE 于点F ，AC ＝6，CF ＝4，G 是AE 中点.（1）如图1，直接写出FG ，BE 的数量关系和位置关系为；（2）如图2，将△CFE 绕点C 旋转，在旋转过程中，线段GF 的取值范围是 .图1ABC DEFG图2ABCEFG【解析】（1）FG ＝12BE ，且FG ⊥BE ；（2）延长EF 至点D ，使DF ＝EF ，连接AD ，易得FG ＝12AD ，在Rt △CDE 中，CD ＝由旋转得，当点D 在边AC 上时，AD 最小，最小值为AC －CD ＝6－，FG 最小＝12AD ＝3－，当点D 在边AC 延长线时，AD 最大，AD 最大值为AC ＋CD ＝6＋∴FG 最大＝12AD ＝3＋∴3－FG ≤3＋针对练习21.如图，矩形ABCD 中，BC ＝2AB ＝8.点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，连接MN ，点P 是BC 边上的动点，将PM 绕点P 顺时针方向旋转90°得PE ，当点P 从点B 运动到点C 的过程中，点E 运动的路径长为 .NMPABCDEF解：GFEDCBAPMNQ过点E 作EF ⊥BC 于点F ，是长MN ，CE 交于点G ，证△PMN ≌△EPF ，∴PF MN ＝NC ，可证 EF ＝F C .∴∠BCE ＝45°，即点E 在∠BCD 外角平分线上运动，运动径为GC ＋CQ ＝.2.如图，一副含30°角和45°角的三角板ABC 和DEF 叠E 在一起，边BC 与EF 重合，BC ＝EF ＝12cm ，点G 为边BC (EF )的中点，边FD 与AB 相交于点H ，将△DEF 绕点G 按顺时针方向旋转，旋转角度从0°到60°的变化过程中，点H 相应移动的路径长共为 .G FEDC BA解：H 1H 2H D 1E 1A B CDEF G如图，当旋转角从0°到30°时，H运动路径为HH1，当旋转角从30°到60°时，H运动路径为H1H2，所以H移动的路径长为HH1＋H1H2＝2HH1＋HH2＝15)＋12)]＝18.。