信号与系统5-2差分方程的Z变换解课件

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1
前向差分方程
查公式
考虑二阶系统：
y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k)
初始值：yzi (0), yzi (1)
两边取Z变换有：
(z2 a1z a0 )Y (z) yzi (0)z2 yzi (1)z a1yzi (0)z (b2z2 b1z b0 )F(z)
1
(z
1)( z
2)
z
1
3
z
1
z
1
3
z
2
全响应
yzs (k )
[2 3
(1)k
1 3
(2)k
] (k)
y(k)
yzi
(k)
yzs (k )
[
2 3
6(1)k
2 3
(2)k
]
(k)
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例 5.12 解 法 二
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k) yzi(1)=1, yzi(2)=3
F(z)
Y (z) Yzi (z) Yzs (z) 零输入响应
零状态响应
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系统函数
定义
H
(z)
零状态响应的z变换 激励信号的z变换
Yzs (z) F(z)
二阶系统零状态响应
Yzs (z)
b2z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
H (z)F (z)
对n阶LTI系统的系统函数
(b2z2 b1z b0 )F(z) b2 f (0)z2 b2 f (1)z b1 f (0)z
令：M (z) [ y(0) b2 f (0)]z2 [ y(1) a1y(0) b2 f (1) b1 f (0)]z
Y (z)
z2
M (z) a1z
a0
b2 z2 b1z b0 z2 a1z a0
两边取Z变换
(z2 3z 2)Y (z) yzi (0)z2 yzi (1)z 3yzi (0)z (z 3)F(z)
Y(z)
yzi (0)z2
yzi (1)z 3yzi (0)z z2 3z 2
z2
z3 3z 2
F(z)
零输入响应
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零状态响应
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例 5.12 解 法 一
系统函数求解
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例 5.12 解 法 一
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k)
初始值
按Z变换的公式所需要的是 yzi(0)和 yzi(1)，将 yzi(1)=1、 yzi(2)=3 代入原方程的齐次差分方程，并取 k=0，得 yzi(2)+3yzi(1)+2yzi(0)=0，故 yzi(0)=-3，
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前向差分方程
查公式
考虑二阶系统：
y(k 2) a1y(k 1) a0 y(k) b2 f (k 2) b1 f (k 1) b0 f (k) 初始值： y(0), y(1)
两边取Z变换有：考虑所给是系统响应初始值。故有：
(z2 a1z a0 )Y (z) y(0)z2 y(1)z a1y(0)z
零输入响应
Yzi (z)
yzi (0)z2
yzi (1)z 3yzi (0)z z2 3z 2
3z2 8z (z 1)(z 2)
5z z 1
2z z2
yzi (k) [5(1)k 2(2)k ] (k) 零状态响应
z3 z
z3
z 1 z z 1 z
Yzs (z)
z2
3z
2
z
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例 5.12
描述某离散系统的差分方程为
y(k 2) 3y(k 1) 2y(k) f (k 1) 3 f (k)
激励信号f(k)=(k)，若初始条件 yzi(1)=1, yzi(2)=3，试分别求其 零输入响应 yzi(k) 、零状态响应 yzs(k)和全响应 y(k)。
解一：按Z变换公式求解 解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按
系不数 过，h(k它y)z是s与(k系输) 统入h在无(k时关) 域，f的反(k描映)述系h，统(kH本)(z身)是z特k 对性系。统只在
复频域的描述。 h(i)z ki z k
h(i)z i
i
i
yzs (k) H (z) z k
本征信号
系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数
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Yzs (z)
H (z)F (z)
z2
z3 3z
2
z
z 1
全响应
y(k)
yzs(k) [ yzi(k)
5.4 差分方程的Z变换解
返回
移位特性
1
Z [ f (k m) (k)] zmF (z) zm f (k)zk k m
m=3时, Z [f (k-3)(k)]= z -3F(z)+ f (-1) z -2 + f (-2) z -1+ f (-3)
m=2时, Z [f (k-2)(k)]= z -2F(z)+ f (-1) z -1 + f (-2)
m1
Z [ f (k m) (k)] zmF (z) zm f (k)zk k 0
m=3时，Z [f (k+3)(k)]= z3F(z)- f (0) z 3 - f (1) z 2- f (2)z
m=2时，Z [f (k+2)(k)]= z 2F(z)- f (0) z 2 - f (1)z
H
(z)
bm zm an zn
bm1zm1 b1z b0 an1zn1 a1z a0
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系统函数包含了两层含义
系统函数与冲激响应
yzs (k) h(k) f (k)
Yzs (z) H (z)F (z)
h(k) H (z)
系统可函见数系统与函复数指可数视信为号系统来自复指数信号的加权Y(z)
yzi (0)z2 z2
yzi (1)z a1 yzi (0)z a1z a0
b2 z2 b1z b0 z2 a1z a0
F(z)
Y (z零) 输Y入zi (z响) 应Yzs (z) 其中：Yzs (z) H (z)F(z)
H
(z)
b2 z
z2 零2a状b1 z1态z响ab00应系统函数
零输入响应
按时域方法求零输入响应：特征根为 -1，-2，故有
yzi (k) C1(1)k C2 (2)k
代入初始值： yzi (1) C1 2C2 1 yzi (2) C1 4C2 3
解得：C1 5, C2 2 yzi (k) [5(1)k 2(2)k ] (k)
零状态响应