拓扑学教案8

拓扑学教案8

第三章 几种特殊类型的拓扑空间

说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。

在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。

本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。

§ 3-1 第一与第二可数公理

基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。

定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。

解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。

定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。

定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。 例1 （1C 空间的例子）

结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。

解释：因为，设(,)x X d ∈，记

1

{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n 为半径1

n

的球形邻域） 则x B 为x 的邻域族。

设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。即X 是1C 空间。

例2 （非1C 空间的例子）

结论：设X 为不可数无穷集，{C

C A

A τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，

(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。

解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），C

x U 是可数集。

利用反证法。现设x V 是点x 处的可数局部基，由于对X 中每一个异于x 的点y ，有{}C

y 是x 的邻域（因为，{}y 是X 的可数集），故必存在y x V ∈V 使得{}C

y V y ⊂，即{}C

y y V ⊂。于是，异于x 的全体{}C

y x =，有

{}x x

C

C C

y

x

y x

U x V

U

≠∈⊂

⊂

V

在上式中，左侧{}C

x 是不可数集，而右侧是可数个可数集的并，仍是可数集，而不可能有

“可数集⊃不可数集”

故而是矛盾的，即说明x V 的可数局部基假设是错误的，即X 不满足1C 公理。

例3 （2C 空间的例子） 结论：实数空间R 是2C 空间。

解释：令B 为所有以有理数为端点的开区间构成的集族，可知B 是可数族，并且可以证明B 是

R 的基（留给同学自己证明）。故R 满足第二可数公理。

例4 （非2C 空间的例子）

结论：设X 为不可数无穷集，(,)X τ是离散拓扑空间，则(,)X τ不是2C 空间。

解释：设 (,)X τ是离散拓扑空间，X 为不可数无穷集。可知，所有单点集{}x 都属于τ。 又由于单点集不能表示成异于自身的其他τ中成员的并，故单点集必属于基B 中成员。 由于X 为不可数无穷集，则单点集不是可数的。即，(,)X τ不是2C 空间。 定理1 2C 空间一定也是1C 空间。

事实上，若X 有可数拓扑基B ，则任意点x 有可数局部基{,}B B x B ∈∈B 。 分析： X 是2C ⇒X 是1C ； 反之，X 是1C ⇒X 是2C

X 不是1C ⇒X 不是2C ； 反之，X 不是2C ⇒X 不是1C

例如，任一离散空间X （X 是不可数集），对于每一x X ∈，单点集{}x 就是x 处的局部基（只含{}x 的一个成员，则是可数的），所以满足第一可数性公理；

又由例4知，X 不满足第二可数性公理。

定理2 可分的度量空间是2C 空间。（注释：若X 存在可数稠密子集，称X 是可分的） 证明： 若(,)X d 是可分的度量空间，A 是它的一个可数稠密子集，记 1

{(,),B a a A n n

=∈B 为自然数}

则B 是一个可数的开集族。因为a A ∈可数，1N n ∈可数，故1(,)a n

可数。下面证明B 是(,)X d 的拓扑基。

提示：只要证明X 上的任何开集U 及x U ∈，总存在a A ∈（可数稠密集）和自然数n ，使得1(,)x B a U n

∈⊂。（如右图所示）

取0ε>，使得(,)B a U ε⊂，取2

n ε

>，a A ∈，使得1

(,)d x a n

<

，则1(,)x B a n

∈。

若1()(,)y y x B a n ≠∈，则1(,)d a y n <

，由三角不等式，有2

(,)d x y n

ε<<，从而(,)y B x ε∈（说明：1

(,)B a n

不仅是x 的局部基，而且是其中任何点的局部基，即是X 的基成员）。于是

1(,)(,)B a B x U n

ε⊂⊂ 而1(,)B a n

∈B ，即B 是X 的可数基。

定义4 设:f X Y →为拓扑空间X 到Y 中的映射。如果X 中每一开集（闭集）在f 下的象都是Y 中的开集（闭集），则称f 为开映射（闭映射）。

注释：f 是开映射，意味着1f -是连续的。

定理3 设X ，Y 为拓扑空间，:f X Y →为在上的连续开映射。若X 是1C （或2C ）空间，则Y 也是1C （或2C ）空间。

证明略。定理说明：可数性公理是拓扑不变性质。 问 题：在上的连续开映射，是同胚吗？

（缺少一一对应，同胚是开映射，反之不然）

定理4 1C （或2C ）空间的子空间仍是1C （或2C ）空间。

定理4 若12,,,n X X X 是1C （或2C ）空间，则12n X X X ⨯⨯⨯ 也是1C （或2C ）空间。

上述几个定理均不证明，只做解释：

定理4 称为可遗传性；定理5称为可乘性。

有上述定理，我们自然会得出如下结论：

“n 维欧氏空间n E 的任一子空间均满足第一和第二可数公理” 因为，1E 是2C 空间，由定理1知也是1C 空间； 又由定理5，111n E E E E =⨯⨯⨯ 也是2C 空间（1C 空间）；再由定理4，故有此结论。

●（以下为重要结论） 下面的讨论可以看出，在1C 空间中的序列性质与微积分（实分析）中序列的性质有较多相似之处。

定理6 设X 为拓扑空间，且在点x X ∈处有可数局部基，则点x 有可数局部基12{,,}V V 满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。

证明： 设点x 的可数局部基为12{,,}U U ，令

12,

1,2,i i V U U U i =⋂⋂⋂=

显然，12{,,}V V 是x 的可数邻域族，且满足12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。

下面仅需证明它是x 的局部基。

因为，对于x 的任一邻域U ，由于12{,,}U U 是x 的局部基，故存在j U U ⊂。于是

12j j j V U U U U U =⋂⋂⋂⊂⊂

即j V U ⊂，故12{,,}V V 是x 的局部基。

定理7 设A 是1C 空间X 的子集，则点x X ∈为A 的聚点{}A x ⇔-中有序列收敛于x 。

证明：

（⇐充分性） 设序列{}i i N x ∈在{}A x -中，且lim i i

x x =。由序列收敛的定义有，若U 是x 的

任一邻域，则存在n N ∈，使得当i n >时，所有的i x U ∈（且{}i x A x ∈-）。于是({})U A x ⋂-≠∅，