华东师大版九年级下册27.1.2圆的对称性学案

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新华东师大版九年级数学下册《27章圆 27.1 圆的认识圆的对称性》教案_0

课题:§27.1.2 《圆的对称性》教学设计(第一课时)教材分析1、地位和作用本课是华师大版九年数学第二十七章第一节第二课时的内容。

本节课是在小学学过的圆的基础上进行进一步的探究和推理，圆的对称性是圆的一个重要性质，它是探索其他性质的基础前提。

圆心角、弦、弧之间的相等关系是证明圆中线段相等，角相等，弧相等的重要依据，同时也为下一节的垂径定理提供了方法和依据。

所以这节内容很重要。

2、学情分析学生在小学已经学习了圆的一些知识，并且初中已经了解了中心对称、三角形全等等相关知识，具有一定的逻辑推理能力；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作与交流的能力。

教法、学法分析现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。

根据这一教学理念，结合本节课的内容特点，我采用启发式和讲练结合的教学方法.。

在学习本章之前，学生已经通过折纸对称、平移、旋转、推理、证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验，而学习本节充分体现了学生已有的经验的作用，同时在以前的学习中已经经历了很多合作学习的过程，所以我引导学生采用自主探究与合作探究相结合的学法。

教学目标:(一)知识与技能1.使学生知道圆是中心对称图形,并能运用其特有的性质推出在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，2.能运用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的能力，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

(二)过程与方法1.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力。

2.利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间的关系定理。

(三)情感、态度与价值观激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

教学重点:在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

教学难点:探索在同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系及应用。

2024-2025学年华师版初中数学九年级(下)教案第27章圆27.1.2圆的对称性(第2课时)

27.1 圆的认识2 圆的对称性第2课时垂径定理教学目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.教学重难点重点:理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.教学过程导入新课由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的.如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合.探究新知合作探究1.垂径定理问题情境：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?师生活动：学生独立思考并找出图中相等的线段和劣弧，教师巡视并指导.【解】相等线段: AE＝BE.相等劣弧：AC＝BC,AD＝BD.理由：连结OA,OB，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合.教师追问：你能用语言来描述我们的发现吗？师生活动：学生小组交流讨论，师生归纳，教师最后整理并板书.【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.教师追问：能不能用所学过的知识证明垂径定理？师生活动：(引发学生思考)要证明垂径定理，已知条件是什么？结论是什么？用什么方法证明?【解】已知：如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足教学反思教学反思为E .求证：AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 证明：（方法1）如图，连结OA ，OB . ∵ OA ＝OB ，CD ⊥AB ， ∴AE ＝BE.又∵ ⊙O 关于直径CD 所在直线对称，∴ A 点和B 点关于直径CD 所在直线对称，∴当圆沿着直径CD 所在直线对折时，点A 与点B 重合，AC⏜与BC ⏜重合，因此AC⏜＝BC ⏜. 同理得到AD⏜＝BD ⏜.（方法2）连结OA ，OB ，CA ，CB ，则OA =OB . 即△AOB 是等腰三角形.∵AB ⊥CD ，∴AE =BE ，∠AOD =∠BOD . 从而∠AOC=∠BOC . ∴AD⏜＝BD ⏜, AC ⏜＝BC ⏜. 【归纳总结】根据图形写出已知和求证，再构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，从而证得结论成立.推导格式∵ CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，AC⏜＝BC ⏜，AD ⏜＝BD ⏜. 定理辨析：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？① ② ③ ④ 师生活动：(引发学生思考)垂径定理具备的条件.【解】图①具备；图②不具备，因为没有垂直；图③具备；图④不具备，因为没过圆心.【归纳总结】(学生总结，老师点评)垂径定理具备的条件是过圆心且垂直，两个条件缺一不可.教学反思① ② ③ ④ 2.垂径定理的推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝教师追问：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.师生活动：学生独立思考并举反例，师生共同归纳.【归纳总结】圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直. 一条直线满足下面五个条件中的两个条件，即可推出其他三个.①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）； ④平分弦所对优弧；⑤平分弦所对劣弧.【新知应用】例1 如图，⊙O 的弦AB ＝8 cm ，直径CE ⊥AB 于点D ，DC ＝2 cm ，求半径OC 的长.师生活动：学生尝试解决，教师引导.求OC ，即求半径，可在Rt △AOD 中利用勾股定理求得.【解】如图，连结OA . ∵ CE ⊥AB 于点D ，∴14cm 2AD AB ==.设OC ＝x cm ，则OD ＝（x -2）cm.教学反思根据勾股定理，得222OA AD OD +＝.222)2(4-+=x x ，解得x ＝5. 即半径OC 的长为5 cm.【归纳总结】在圆中解决有关弦长、半径等问题，常常需要作垂直于弦的直径或半径，连结弦的端点与圆心作半径，这样就可以把垂径定理与勾股定理结合起来，得到圆的半径r 、弦心距d 、弦长a 的一半之间的关系式：2222a r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【拓展延伸】例2 已知⊙O 的半径为13，弦AB ＝24，弦CD ＝10，AB ∥CD ，求这两条平行弦AB ，CD 之间的距离.师生活动：(引发学生思考)要求两条平行弦AB ，CD 之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理和勾股定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解】分两种情况讨论：（1）当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图①，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，连结OC ，OA .由题意可知，OA ＝OC ＝13.∵ AB ∥CD ，OF ⊥CD ，∴OE ⊥AB . 又∵ AB ＝24，CD ＝10，∴ AE ＝12 AB ＝12，CF ＝12CD ＝5，∴ OE ＝22OA AE -＝5，OF ＝22OC CF -＝12， ∴ EF ＝OF -OE ＝7.（2）当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图②，过点O 作OF ⊥CD 于点F ，反向延长OF 交AB 于点E ，连结OC ，OA .同(1)可得，OE ＝5，OF ＝12，∴EF ＝OF+OE ＝17. 综上，两条平行弦AB 与CD 之间的距离为7或17.① ②【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距（圆心到弦的距离），利用勾股定理和垂径定理求解即可.练一练已知⊙O 的直径是50 cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm ，求弦AB 与CD 之间的距离.师生活动：（学生尝试画图，教师引导）当弦的位置不能确定时，要进行分类讨论.答案：8cm 或22cm例3 一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB 为0.6米，求此时的水深(即阴影部分弓形的高).教学反思师生活动：学生先审题，可以小组讨论，教师引导学生思考，要求此时的水深，即阴影部分弓形的高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解】如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连结OB .根据垂径定理，得点C 是AB 的中点，点D 是AB ︵的中点，则BC ＝12AB ＝0.3米.由题意，知OD ＝OB ＝0.5米，在Rt △OBC 中，由勾股定理，得OC＝0.4米，所以CD ＝OD -OC ＝0.1米，即此时的水深为0.1米.【归纳总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决.例4 有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB ＝60 m ，水面到拱顶距离CD ＝18 m ，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5 m 时需要采取紧急措施，当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施?请说明理由.师生活动：(引发学生思考)求当水面宽MN ＝32 m 时是否需要采取紧急措施，即求此时水面到拱顶的距离为多少.怎样求出这个距离？【解】不需要采取紧急措施.理由如下：如图，设圆心为O ，连结OM ，OA ，OD ，OD 与MN ，AB 分别交于点E ，C .设OA ＝R m.由题意知，在Rt △AOC 中，AC ＝12AB ＝30 m ，CD ＝18 m ，由勾股定理，得222OA AC OC +＝，R 2＝302+(R -18)2，解得R ＝34.在Rt △MOE 中，ME ＝12MN ＝16 m ，∴ OE30（m ）， ∴ DE ＝OD -OE ＝4 m.∵ 4＞3.5，∴ 不需要采取紧急措施.【归纳总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解.【拓展归纳】（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法在圆中有关弦长a ，半径r ，弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.教学反思（2）弓形中重要数量关系：弦长a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：222,2a d h r r d ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭.课堂练习1.判断下列说法的正误.(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . （） (2)平分弦的直线必垂直于弦 . （） (3)弦的垂直平分线是圆的直径 . （） (4)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （） (5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （） 2.下列说法中正确的是( )A.在同一个圆中最长的弦只有一条B.垂直于弦的直径必平分弦C.平分弦的直径必垂直于弦D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴3.⊙O 的弦AB 垂直于半径OC ，垂足为D ，则下列结论中错误的是( )A.∠AOD ＝∠BODB.AD ＝BDC.OD ＝DCD.AC BC =4.半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP ＝4，则过点P 的最长弦的长是10，最短弦的长是 .5.已知⊙O 中，弦AB ＝8 cm ，圆心到AB 的距离为3 cm ，则此圆的半径为 .6.⊙O 的直径AB ＝20 cm, ∠BAC ＝30°，则弦AC ＝ .7.如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，则弦AB 的长是多少？第7题图8.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的半径OB ＝10 cm ，水面宽AB ＝ 16 cm.求截面圆心O 到水面的距离.教学反思第8题图 9.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ，点O 是CD 的圆心，其中CD ＝600 m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为点F ，EF ＝90 m ，求这段弯路的半径.第9题图参考答案1.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√2.B3.C4.65.5 cm6.7.解：如图，连结OA .由题意可知，OA ＝OC ＝5，则OD ＝OC -CD ＝5-1＝4.∵ OC ⊥AB ，∴ ∠ODA ＝90°，∴ AD ＝OA 2－OD 2＝3.又∵ AB 为⊙O 的弦，∴AB ＝2AD ＝6.第7题答图8.解：如图，过点O 作OC ⊥AB 于点C .∵ OC ⊥AB ，AB ＝16 cm ，∴ ∠OCB ＝90°，BC ＝12AB ＝8 cm.又∵ OB ＝10 cm ，∴ OC 6 cm ，即截面圆心O 到水面的距离为6 cm.第8题答图9.解：如图，连结OC .设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R -90) m. ∵ OE ⊥CD ，CD ＝600 m ，∴ ∠OFC ＝90°，CF ＝12CD ＝300 m. 在Rt △OFC 中，根据勾股定理，得OC 2＝CF 2+OF 2，即R 2＝3002+(R -90)2，解得R ＝545.即这段弯路的半径为545 m.教学反思第9题答图课堂小结1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 2. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 布置作业教材第40页练习第1，2题. 第45页习题27.1第3题板书设计27.1 圆的认识 2 圆的对称性（第2课时垂径定理）1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 推导格式∵ CD 是直径，CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE ，,AC BC AD BD ==. 2.垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；推导格式,.CD AB CD AE BE AC BC AB AD BD ⊥⎧⎧⎪⎪⎪−−→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩，是直径，＝，＝不是直径＝平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 推导格式.CD CD AB AC BC AE BE AD BD ⎧⎪⊥⎧⎪⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩是直径，，＝，＝＝ 3.方法：将垂径定理与勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题，经常需要添加辅助线——半径、过圆心作弦的垂线.。

2023九年级数学下册第27章圆27.1圆的认识2圆的对称性第2课时垂径定理教案(新版)华东师大版

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习圆的认识和垂径定理内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确圆的认识和垂径定理教学目标和重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保圆的认识和垂径定理教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习圆的认识和垂径定理的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
3. 给定一个圆，请写出至少三种方法来确定该圆的半径长度。
4. 假设一个圆的直径为14cm，求该圆的半径长度。
5. 在一个圆形草坪上，有一棵大树，树的根部到草坪中心的距离为7m。求大树的树干截面圆的半径长度。
答案：
1. 圆的认识是指理解和描述圆的基本属性和特点，如圆的形状、直径和半径等。垂径定理是指圆的直径垂直于通过圆心的任意直线。
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入圆的认识和垂径定理学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的圆的基本概念，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对圆的基本概念的掌握情况，为圆的认识和垂径定理新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解圆的认识和垂径定理知识点，结合实例帮助学生理解。
举例：讲解垂径定理时，可以以一个圆为例，引导学生观察并发现圆中垂直直径的性质，进而得出垂径定理。然后，给出一些实际问题，如圆的半径长度计算、圆的直径长度计算等，让学生运用垂径定理解决问题。
（2）圆的对称性质的掌握：学生需要了解圆的对称性质，并能够应用于实际问题中。教师在教学过程中应重点讲解圆的对称性质，并通过实例让学生学会运用这些性质解决问题。
在学生的学习效果方面，我看到大多数学生能够理解和运用圆的认识和垂径定理，但也有少数学生对这些概念的理解还不是很清晰。我会在今后的教学中，更加关注这部分学生，帮助他们克服学习困难，提高他们的学习效果。

新华东师大版九年级数学下册《27章圆 27.1 圆的认识圆的对称性》教案_15

28.1.2圆的轴对称性教学目标:1、记忆垂经定理。

2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。

教学重点：运用垂经定理。

教学设计：1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学生兴趣。

2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、归纳、引出命题、证明命题、形成定理。

充分体验探索过程。

3、“1题”是定理证明。

让学生能将定理文字表达转化成数学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。

4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个要素。

“练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求，“知二求二”。

5、学生完成本节小结，教师补充小结。

6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导入提出问题。

让学生的兴趣疑问得以解决。

7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。

过程和方法：教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。

情感、态度、价值观：了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。

教学过程：〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。

风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。

为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。

这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。

一复习提问：〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？〔生〕圆是轴对称图形。

过圆心的直线都是它的对称轴。

有无数条轴对称轴。

二观察对折〔师〕如图（1）直径CD 与弦AB 是什么位置关系？〔生〕垂直弦AB 。

初中数学华师大版九年级下册《2712圆的对称性》教学设计

华师版数学九年级下册27.1.2圆的对称性教学设计活动探究：自学教材第37至第38页，找出并理解。

（小组讨论，3min）（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？我们已探索发现圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心。

试一试将图27.1.3中的扇形着色部分绕点，逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形你能发现什么？如图27.1.4，扇形AOB 旋转到扇形A'OB'的位置,我们可以发现在旋转过程中∠AOB= ∠A'OB'，AB=A'B '=由于圆心角∠AOB 或弧AB 或弦AB 确定了扇形AOB 的大小。

所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。

弧、弦与圆心角的关系定理由于圆心角∠AOB 或弧AB 或弦AB 确定了扇形AOB 的大小。

在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．同样，也可以得到：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

如图，在⊙O 中，AC=BD ，145∠=︒,求∠2的大小。

图 23.1.5我们已探索发现圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

由此我们可以如图 27.1.6那样，十分简捷地将一个圆2等分、4 等分、8 等分。

试试看，你还可以将圆几等分？活动探究：自学教材第39至第40页，找出并理解。

（小组讨论，3min ）（1）如图27.1.7，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为点P ，再将纸片沿着直径CD 对折，分别比较AP 与BP ，AC 与BC ，你能发现什么结论？小组讨论，最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案。

九年级数学(华东师大版)下册教学设计：27

3.教师总结：圆具有轴对称性，这意味着圆沿某条直线折叠后，两部分完全重合。今天我们将学习圆的对称性质及其应用。
（二）讲授新知（500字）
1.教师引导学生回顾已学的圆的基本概念，如半径、直径、圆周等。
2.介绍圆的对称性质，特别是对称轴的概念。通过动画演示，让学生直观地理解对称轴的特点。
3.讲解圆周角定理：圆的直径所对应的圆周角是直角。通过几何图形的绘制和证明，使学生理解并掌握该定理。
3.创新实践题鼓励团队合作，充分发挥每个人的特长，提高解决问题的能力；
4.作业提交时，请确保书写工整，解答清晰，以便教师批阅和反馈。
4.指出圆的对称性质在生活中的应用，如设计图案、优化路线等。
（三）学生小组讨论（500字）
1.教师将学生分成若干小组，每组讨论以下问题：
a.圆的对称轴有哪些特点？
b.圆周角定理的证明过程是怎样的？
c.圆的对称性在实际生活中有哪些应用？
2.学生在小组内分享自己的观点，共同探讨解决问题的方法。
3.教师巡回指导，参与学生的讨论，给予提示和建议。
3.培养学生勇于探索、善于合作的精神，使学生认识到合作的重要性，学会与人共事；
4.培养学生将数学知识应用于实际的意识，使学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的社会责任感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的几何知识和空间想象能力，对圆的基本概念和性质有了初步的了解。在此基础上，他们对圆的对称性有一定的认识，但可能对对称轴的概念和圆周角定理的理解不够深入。因此，在本节课的教学中，应关注以下几点：
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的探究欲望，引导学生运用圆的对称性进行问题的分析和解答；
4.利用实际案例，引导学生将圆的对称性应用于生活实际，培养学生的实践能力和创新意识。

九年级数学下册27_1_2圆的对称性教案新版华东师大版

27.1.2圆的对称性教学内容：讲义P37~40教学目标：一、探讨并把握垂径定理；二、探讨并把握圆心角定理；3、能够应用垂径定理进行圆中的计算；教学重难点重点：探讨并把握垂径定理和圆心角定理；难点：能够运用垂径定理进行圆中的计算；教学预备：课件教学方式：教学法教学进程一、学习圆的旋转对称性（一）学习试一试一、学组学习。

（4人一组）二、班级展现展现你发觉的规律。

3、教师总结（二）圆心角定理在同一圆中，若是圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；圆心角定理的推论：在同一个圆中，若是弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

（三）学习例1（四）练习讲义P39页第一、2题。

二、学习垂径定理（一）学习圆的对称性圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

碰运气，你还能够将圆多少等分？（二）学习P39的试一试一、小组合作学习二、班级展现展现你的发觉。

3、教师总结（二）证明垂径定理（三）垂径定理及推论一、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分这条弦所对的两条弧。

二、推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，而且平分这条弦所对的两条弧；推论2：平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。

四、补充例题已知AB 和CD 都是⊙O 中的弦，且AB ∥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径为5cm.求AB 与CD 之间的距离。

解：分两种情形（1）AB 与CD 在圆心的同旁，如以下图所示： E OAB C D F作OF ⊥CD ，交CD 于点F ，交AB 于点E 。

在RT △AOE 中，OA ＝5cm ，AE ＝EB ＝4cm ，那么OE=3cm ；在RT △COF 中，OC ＝5cm ，CF ＝FD ＝3cm ，那么OF ＝4cm ；EF ＝OF －OE ＝4cm －3cm ＝1cm 。

（2）AB 与CD 在圆心的两旁，如以下图所示：同理能够示出OE ＝3cm ，OF ＝4cm ，那么EF ＝3cm+4cm ＝7cm ；答：AB 与CD 之间的距离为1cm 或7cm 。

华东师大版数学九年级下册-27.1.2 圆的轴对称性教案 .doc

圆的轴对称性教学目标:1、记忆垂经定理。

2、运用垂经定理，构造直角三角形，运用勾股定理，学会弦心距d 半径r 弦a 弓形高h之间的互求。

教学重点：运用垂经定理。

教学设计：1、通过情景导入提出问题——探讨赵州桥构造，来激发学生兴趣。

2、让学生动手实验观察：直径垂直弦圆地对折，从而猜想、归纳、引出命题、证明命题、形成定理。

充分体验探索过程。

3、“1题”是定理证明。

让学生能将定理文字表达转化成数学表达、能分清题设和结论、能画出图形、能证明。

4、“练习2”让学生熟悉垂经定理：分清题设、结论、5个要素。

“练习3—6”让学生学会运用垂经定理计算、学会“弦“知二求二”。

心距d 半径r 弦a 弓形高h”之间的互求，5、学生完成本节小结，教师补充小结。

6、“练习7”让学生运用所学的垂经定理知识解决情景导入提出问题。

让学生的兴趣疑问得以解决。

7、“练习8、学生作业”让学生学会运用垂经定理证明。

过程和方法：教师引导，学生自主学习与小组合作探究相结合的方法。

情感、态度、价值观：了解赵州桥的知识，知道我国古代劳动人民的聪明才干以及数学知识博大精深。

教学过程：〔情境导入〕1300多年前，我国隋代建造的赵州桥，桥拱是圆弧形。

风风雨雨、饱经沧桑一千多年，赵州桥毅然保持它的雄姿。

为什么赵州桥能能存在这么长时间呢？原因之一就是它的构造是石拱形。

这一节我们首先学习圆的知识，然后运用所学知识探讨一下赵州桥构造。

一复习提问：〔师〕1、什么是轴对称图形？我们在前面学过哪些轴对称图形？〔生〕常见轴对称图形有等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形等。

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

〔师〕2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？对称轴是什么？圆有几条对称轴？〔生〕圆是轴对称图形。

过圆心的直线都是它的对称轴。

有无数条轴对称轴。

二观察对折〔师〕如图（1）直径CD 与弦AB 是什么位置关系？〔生〕垂直弦AB 。

九年级数学下册 27.1.2 圆的对称性教学设计 (新版)华

圆的对称性教学目标知识与技能1.通过动手操作，了解圆心角的概念，理解圆的中心对称性.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．数学思考与问题解决1.通过旋转、观察、探索圆中圆心角、弧、弦之间的关系，应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法.2.在探索关系定理和它的推论中，感受类比的数学方法，在运用中感悟转化与化归的数学思想，获得分析和解决问题的一些方法. 情感与态度积极观察、发现、探究数学问题，激发对数学的好奇心和求知欲. 重点难点重点理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的三个关系定理，并能应用这些定理理解相关问题. 难点圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索及其应用. 教学设计活动1：动手操作，得出性质及概念1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O '.2.将⊙O 绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？3.在⊙O 中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角.教师提出圆心角的概念. 如图1所示，∠AOB 的顶点在圆心,像这样角叫做圆心角．4.判断图2中的角是否是圆心角，说明理由.活动2：继续操作，探索定理及推论1.在⊙O '中,作与圆心角∠AOB 相等的圆心角∠'''B O A ，连接AB 、''B A ，将两张纸片叠在一起，使⊙O 与 ⊙O '重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合,在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流.2.学生会出现多对等量关系，老师给予鼓励，然后，教师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.· · · 图2 BOA图13.在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？4.综合2、3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来.5.分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？6.定理拓展：教师引导学生类比定理独立用类似的方法进行探究.(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．设计意图：让学生通过动手操作，发现圆的旋转不变性，同时以问题引起学生思考，进行探究，发现关系定理，培养学生的分析能力和解题能力。

华师版九年级数学下册27.1.2 第1课时圆的对称性教案与反思

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出自杜甫的《春夜喜雨》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。

出自杜甫的《春夜喜雨》原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！令公桃李满天下，何用堂前更种花。

出自白居易的《奉和令公绿野堂种花》1．理解圆的旋转不变性；(重点)2．掌握圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；(重点)3．能应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题．(难点)一、情境导入我们知道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心．将图中的扇形AOB(阴影部分)绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？二、合作探究探究点一：圆的对称性下列说法中，不确的是（）A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形B．圆的每一条直径都是它的对称轴C．圆有无数条称轴D．圆的对称中心是它的圆心解析：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；B．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；C．圆有无数条对称轴，正确；D．圆的对称中心是它的圆心，正确．故选B．方法总结：由圆的概念以及轴对称和中心对称的意义易得圆既是轴对称图形，也是中心称图形．是轴对称图形时，过圆心的每一条直线都是它的对称轴；是中心对称图形时，对称中心是它的圆心.注意：圆对称性包括旋转不变性，轴对称性和中心对称性.圆的对称轴是直径所在的直线而不是直径.探究点二：圆心角、弧弦之间的关系【类型一】利用圆心角、弧、弦之间的关系证明线段相等如图，M 为⊙O 上一点，＝MB ︵，MD ⊥OA 于点D ，ME ⊥OB 于点E ，求证：MD ＝ME .解析：连接O .根据等弧对等圆角，则∠MO ＝∠MOE ，再由角平分线的性质，得出MD ＝ME .证明：连接MO .∵ MA ︵＝MB ︵，∴∠MOD ＝∠MOE ，又∵MD ⊥OA 于点D ，ME ⊥OB于点E ，∴MD ＝ME .方法总结：圆心角、弧弦之间等关系的定理可以用来明线段相等．本题考查了等弧对等圆心角，以及角平分线的性质．【类型二】利用心角、弧、弦之间的关证明弧相等如图，在⊙O 中，AB 、CD 是直径，CE ∥AB 且交圆于点E ，求证：BD ︵＝BE ︵.解析：首先连接OE ，由CE ∥AB ，可证得∠DOB ＝∠C ，∠BO ＝∠E ，然后由OC ＝OE ，可得∠C ＝∠E ，继而证得∠DOB ＝∠BOE ，则可证得BD ︵＝BE ︵.证明：如图，连接OE .∵CE ∥AB ，∴∠DOB ＝∠C ，∠BOE ＝∠E .∵OC ＝OE ，∴∠C ＝∠E ，∴∠DOB ＝∠BOE ，∴BD ︵＝BE ︵.方法总结：此类题主要运用了圆心角与弧的关系以及平行线的性质．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．【类型三】综合运用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝36°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 于点E .求AD ︵、DE ︵的度数．解析：连接CD .由直角三角形的性质求出∠A 的度数，再根据等腰三角形及三角形内角和定理分别求出∠ACD 及∠DCE 的度数，由圆心角、弧、弦的关系即可得出AD ︵、DE ︵的度数．解：如图，连接CD .∵△ABC 是直角三角形，∠B ＝36°，∴∠A ＝90°－36°＝54°.∵AC ＝DC ，∴∠ADC ＝∠A ＝54°，∴∠ACD ＝180°－∠A －∠ADC ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－72°＝18°.∵∠ACD 、∠BCD 分别是AD ︵、DE ︵所对的圆心角，∴AD ︵的度数为72°，DE ︵的度数为18°.方法总结：解决本题的关键是根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形．三、板书设计圆的对称性1. 圆的对称性2．①圆心角、弧、弦之间的关系②应用圆心角、弧、弦之间的关系解决问题本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验数学的生活性、趣味性.【素材积累】不停地工作，即使慢，也一定会获得成功。

九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性2导学案无答案新版华东师大版word格式

【温故互查】
导学过程
复备栏
1.圆是什么对称图形？
2.在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦有怎样的关系？【设问导读】
如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB，垂足为 P，再将
纸片沿着直径 CD 对折，比较 AP 与 PB，与的大小，你能发现什么结论？
已知，在⊙O 中，CD 是直径， AB 是弦，CD⊥AB,垂足为 P, 求证：AP=BP, = , = 证明：连结 CA、CB、OA、OB,则
年级
九
学习内容
学习目标
学习重点
学科
Байду номын сангаас
圆的认识
数学
课型
新授授课人
圆的认识--圆的对称性
1、利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。 2、能运用垂径定理及其推论解决问题。
3、培养善于从实验中获取知识的科学的方法。
利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。
学习难点
能运用垂径定理及其推论解决问题。
总结：以上每个定理都包含哪几个关系： ①
，②
③
，④
，⑤
这 5 个关系由其中任意 2 个关系，即可得出另外 3 个关系。
【自学检测】
1．判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（）
（2）平分弦的直线垂直于弦．（）（3）平分弦的直径垂直于弦．（）（4）弦的垂直平分线必定经过圆心。（） 2.如图，在⊙O 中，⊙O 的半径长为 5cm，OC⊥AB 于 C，OC=3cm，求弦 AB 的长．
【巩固训练】 4、如图，若⊙O 的半径为 5，弦 AB 长为 8，求拱高 CD．
【拓展延伸】这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么办法？

新华东师大版九年级数学下册《27章圆 27.1 圆的认识圆的对称性》教案_20

垂径定理教学目标【教学目标】1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。

2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。

3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。

1、注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．2、利用典型图形进行圆的对称性的教学圆的性质的教学，要抓住圆具有轴对称性、旋转不变性这个关键。

通过教学，应使学生对圆的对称性有较深的理解。

关于对称性，课本涉及到的问题有：两个定理：“垂径定理”（如图1、2）、“圆心角、弧、弦（弦心距）关系定理”（如图3、4）。

在对称性的认识的教学中，必须加深学生对以下几个图形的认识：切实掌握圆的基本性质是学生学习圆入门的关键，因此，对相应的两个定理“垂径定理”、“圆心角、弧、弦（弦心距）关系定理”的学习应该作为这一部分教学的一个重点。

教学中要注意把问题化归，构造相应的图形。

必须让学生理解以下图形以及它所隐含的数量关系：检查是否这两种情况已能代表定理所含的全部情况，从而引出第三种情况如图9所示。

使学生自己证明后，证明内容与前两种情况不全一样。

这样，再指明普通归纳法的含义及要求，突出强调当一个定理所含情况不止一种，且各种情况的证法又不全一样时，必须逐个地证明，不能以某一种的证明代替全部的证明。

同时，在这里，教材实际上出现了两种数学思想方法：（1）从特殊到一般的思想；（2）分类讨论的思想方法。

（4）注意建立知识联系，用动态的观点学习重要定理新课程要求在数学教学中，“应当有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学知识的联系，感受数学知识的整体性”。

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磁涧一中九年级数学优学案
27．1．2圆的对称性
【学习目标】（宋体四号加粗左对齐）
1、知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，
2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。

【学习重点】
由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。

【学习难点】
运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。

【自主学习】
自读课本37页---38页的内容，完成下列问题：
1、如图，扇形AOB 旋转到扇形A’OB’位置，在旋转过程中，
∠AOB=∠______，AB _____，AB=______.
2、在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，
所对的弦______. 3、同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角________，所对的弦______.
4、在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角__________，圆心角所对的弧______.
【合作探究】
1、如图，在⊙O 中，AB=CD ，∠1=54°，求∠2的度数。

2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠B ＝70°.求∠A 度数．
图
28.1.4
3、如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度数。

【归纳总结】
本节课我们学到了:
1、圆不仅是______对称图形，而且还是____对称图形。

2、圆的对称性：
（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧__________，所对的弦__________。

（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角_____________，所对的弦___________。

（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角____________，所对的弧____________。

【当堂检测】
1、若弦AB等于⊙O的半径，则弦AB所对的圆心角的度数是（）．A．30°B．60°C．90°D．120°
2、下列图形中，对称轴最多的是（）
A．正方形B．矩形C．等边三角形D．圆
3、如图3所示，A、B、C、D是圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°
则∠D＝_______．
4、如图4，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，求∠AOD的度数?
【拓展延伸】
1、在⊙O 中，2AB CD ，则弦AB 与2CD 的大小关系为（）
A ．A
B ＞2CD B ．AB ＝2CD
C ．AB ＜2C
D D 无法确定
2、如图，在⊙O 中，=AC ，∠ACB=60O,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC
AB。