《随机信号处理》研究生大作业 苏州大学
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解：(a)对表达式 u (n) u (n 1) 0.5u (n 2) v(n) 进行 Z 变换，可得传递函数为
H( z ) 1 ， 因此可知二阶自回归过程 u ( n) 的全部极点都位于 z 平面上 1 z 0.5 z 2
1
的单位圆内，所以该过程渐近平稳。又因为 v ( n ) 是均值为零，方差为 0.5 的白噪 声过程，所以可以得到 u ( n) 的均值为 0。 (b)根据表达式列出如下 Yule-Walker 方程：
3
2(计算)：某二阶跟踪系统的状态空间方程为 E[e 2 (n)]
0 1 x( n 1) x( n ) v1 ( n ) 1 1 y ( n ) [1 0]x( n ) v2 ( n )
过程噪声 v1(n)是均值为 0、相关矩阵等于单位矩阵 I 的白噪声，测量 噪声 v2(n)是均值为 0、方差为 1 的白噪声。 (1)写出上述两个方程中 x(n)左边矩阵的名称； (2)写出上述系统的卡尔曼滤波器递归计算过程。
研究生学位课程
《随机信号处理》
课程大作业
姓 名： 学 号： 20185228xxx
专 业： 电子与通信工程
完成日期： 2019 年 1 月 12 日
1
说
明
1. 本大作业包含三部分内容：两道计算题，一道编程题； 2. 计算题中的文字，采用 word 输入，字体小四号；计算题中的 公式，采用 Mathtype 编写，字体为 12 磅； 3. 编程题需要在本 word 文档中提供源程序和实验结果； 4. 本作业需独立完成， 不得抄袭， 否则按违规处理本部分成绩。 世界上没有两片完全相同的树叶，因此，世界上也不存在不 同的同学会写出完全相同的作业、编出完全相同的程序(或者 使用了完全相同的变量名和程序结构)； 5. 每位同学需要提交一份纸质报告和一份电子文档 ( 电子文档 命名格式：学号-姓名)； 6. 纸质文档和电子文档交到电子楼 302 室张宁宁或宗玉莲同学 处。提交时需要在表格上亲笔签名确认，不得代签； 7. 纸质版和电子文档提交的截止期限为 2019 年 1 月 14 日 20 点。
R(0) R(1) R(2) 1 0.5 R(0) 1.2 R(1) R(0) R(1) 1 0 解得 R(1) 0.8 因此 2 R(0) 0 R(2) R(1) R(0) 0.5 0 R(2) 0.2
则反射系数 1 =
R(1)
02
R(2)+R(1)a1,1 R(2)+R(1)( 1 ) 2 ，2= 0.5 3 12 (1 12 )R(0)
2 2 2 =(1- 2 2 ) 12 =0.5 = ， 2 = 2 (c) 由(b)可以得到 1 = 12 =(1- 12 ) 0 3
Q 2 (n)=1
ˆ (n | 当知道 K (n, n-1) 、 x
n 1
) 以及观测值 y ( n) 进行以下递归计算过程：
-1
G (n)=F(n 1, n)K (n, n-1)CH (n) C( n)K ( n, n-1)C H ( n)+Q 2 ( n) 0 1 1 1 = K (n, n-1) [1 0]K ( n, n-1) +1 1 1 0 0
0 1 1 1 为 F(n 1, n) ， 解： (1)上面第一式中的矩阵 表示从 n 时刻到 n 1时刻系统的
转移函数。上面第二式中的矩阵 [1 0] 为 C(n) ，是测量矩阵。
0 1 (2)由题目可以得到以下几个条件： F(n 1, n)= ， C(n)=[1 0] ， Q1 (n)=I ， 1 1
a5,5 0.2426
p取值分别为3、4、5时的功率谱曲线如下所示：
6
承诺：本人已认真阅读上述说明，保证该作业由本人独立完成。 签名：
2
1(计算题)：考虑一个二阶自回归过程 u (n) ，其表达式如下
u (n) u (n 1) 0.5u (n 2) v(n)
其中， v ( n ) 是均值为零，方差为 0.5 的白噪声过程。 (a)求 u (n) 的均值。 (b)求反射系数 1 和 2 。 (c)求平均预测误差功率 P1 和 P2 。
答：源程序如下： u=[101,82,66,35,31,7,20,92,154,125,85,68,38,23,10,24,83,132,131,118,90,67,60,47,4 1,21,16,6,4,7,14,34,45,43,48,42,28,10,8,2,0,1,5,12,14,35,46,41,30,24,16,7,4,2,8,17,36 ,50,62,67,71,48,28,8,13,57,122,138,103,86,63,37,24,11,15,40,62,98,124,96,66,64,54, 39,21,7,4,23,55,94,96,77,59,44,47,30,16,7,37,74]; p=5; len=length(u); ef=zeros(p+1,len+1); eb=zeros(p+1,len+1); fc=zeros(1,p+1); ef(1,:)=[0,u]; eb(1,:)=[0,u]; fc(1)=2*sum(u.^2); a=zeros(p,p); for k=1:p rk=2*(sum(ef(k,k+2:len+1).*(eb(k,k+1:len))))/sum(ef(k,k+2:len+1).^2+eb(k,k+1 :len).^2); for i=1:k-1 a(k,i)=a(k-1,i)-rk*a(k-1,k-i); end a(k,k)=-rk; for i=1:len ef(k+1,i+1)=ef(k,i+1)-rk*eb(k,i); eb(k+1,i+1)=-rk*ef(k,i+1)+eb(k,i); end fc(k+1)=(1-rk.^2)*fc(k); end for pj=3:5
5
s=[1,a(pj,:)]; Sxx=fc(pj)./(abs(fft(s,1024)).^2); Pw=10*log10(Sxx); w=(0:len-1)/len; f=0:1/1023:1; M=length(f); figure(pj-2); plot(f(1:M/2),Pw(1,1:M/2)); grid(); ylim([30 75]) ylabel('10log(Suu(w))') xlabel('归一化频率') title(['Burg算法功率谱 p=',num2str(pj)]) end 该AR模型的参数为 a1,1 0.9288 、 a2,1 1.4952 、 a2,2 0.6098 、 a3,1 1.7457 、
4
3(编程)：对某随机信号进行观察，得到如下一组数据： u=[101,82,66,35,31,7,20,92,154,125,85,68,38,23,10,24,83,132,131,118, 90,67,60,47,41,21,16,6,4,7,14,34,45,43,48,42,28,10,8,2,0,1,5,12,14,35,4 6,41,30,24,16,7,4,2,8,17,36,50,62,67,71,48,28,8,13,57,122,138,103,86,6 3,37,24,11,15,40,62,98,124,96,66,64,54,39,21,7,4,23,55,94,96,77,59,44, 47,30,16,7,37,74] 对该数据建立一个AR模型， 编写用Burg算法求解该AR模型的参数 程序，并画出p取值分别为3、4、5时的功率谱曲线。
a3,2 1.2240 、 a3,3 0.4108 、 a4,1 1.7392 、 a4,2 1.2045 、 a4,3 0.3831 、
a4， 4 0.0159 、 a5,1 1.7353 、 a5,2 1.2975 、 a5,3 0.6753 、 a5,4 0.4060 、
-1
ˆ (n | (n) = y(n) C(n)x
ˆ (n+1| x
n 1
ˆ (n | )=y(n) [1 0]x
n 1
)
)+G ( n) ( n)
n
ˆ (n | ) = F(n 1, n) x
n 1
Fra Baidu bibliotek
0 1 ˆ (n | )+G ( n) ( n) x 1 1
n 1
1 1 1 K (n)=K (n, n-1) F(n, n 1)G ( n)C( n)K ( n, n-1) K ( n, n-1) G ( n) K ( n, n-1) 1 0 0 0 1 0 1 K (n 1, n)=F(n 1, n)K (n)F H (n 1, n) Q1 (n)= K ( n) I 1 1 1 1
H( z ) 1 ， 因此可知二阶自回归过程 u ( n) 的全部极点都位于 z 平面上 1 z 0.5 z 2
1
的单位圆内，所以该过程渐近平稳。又因为 v ( n ) 是均值为零，方差为 0.5 的白噪 声过程，所以可以得到 u ( n) 的均值为 0。 (b)根据表达式列出如下 Yule-Walker 方程：
3
2(计算)：某二阶跟踪系统的状态空间方程为 E[e 2 (n)]
0 1 x( n 1) x( n ) v1 ( n ) 1 1 y ( n ) [1 0]x( n ) v2 ( n )
过程噪声 v1(n)是均值为 0、相关矩阵等于单位矩阵 I 的白噪声，测量 噪声 v2(n)是均值为 0、方差为 1 的白噪声。 (1)写出上述两个方程中 x(n)左边矩阵的名称； (2)写出上述系统的卡尔曼滤波器递归计算过程。
研究生学位课程
《随机信号处理》
课程大作业
姓 名： 学 号： 20185228xxx
专 业： 电子与通信工程
完成日期： 2019 年 1 月 12 日
1
说
明
1. 本大作业包含三部分内容：两道计算题，一道编程题； 2. 计算题中的文字，采用 word 输入，字体小四号；计算题中的 公式，采用 Mathtype 编写，字体为 12 磅； 3. 编程题需要在本 word 文档中提供源程序和实验结果； 4. 本作业需独立完成， 不得抄袭， 否则按违规处理本部分成绩。 世界上没有两片完全相同的树叶，因此，世界上也不存在不 同的同学会写出完全相同的作业、编出完全相同的程序(或者 使用了完全相同的变量名和程序结构)； 5. 每位同学需要提交一份纸质报告和一份电子文档 ( 电子文档 命名格式：学号-姓名)； 6. 纸质文档和电子文档交到电子楼 302 室张宁宁或宗玉莲同学 处。提交时需要在表格上亲笔签名确认，不得代签； 7. 纸质版和电子文档提交的截止期限为 2019 年 1 月 14 日 20 点。
R(0) R(1) R(2) 1 0.5 R(0) 1.2 R(1) R(0) R(1) 1 0 解得 R(1) 0.8 因此 2 R(0) 0 R(2) R(1) R(0) 0.5 0 R(2) 0.2
则反射系数 1 =
R(1)
02
R(2)+R(1)a1,1 R(2)+R(1)( 1 ) 2 ，2= 0.5 3 12 (1 12 )R(0)
2 2 2 =(1- 2 2 ) 12 =0.5 = ， 2 = 2 (c) 由(b)可以得到 1 = 12 =(1- 12 ) 0 3
Q 2 (n)=1
ˆ (n | 当知道 K (n, n-1) 、 x
n 1
) 以及观测值 y ( n) 进行以下递归计算过程：
-1
G (n)=F(n 1, n)K (n, n-1)CH (n) C( n)K ( n, n-1)C H ( n)+Q 2 ( n) 0 1 1 1 = K (n, n-1) [1 0]K ( n, n-1) +1 1 1 0 0
0 1 1 1 为 F(n 1, n) ， 解： (1)上面第一式中的矩阵 表示从 n 时刻到 n 1时刻系统的
转移函数。上面第二式中的矩阵 [1 0] 为 C(n) ，是测量矩阵。
0 1 (2)由题目可以得到以下几个条件： F(n 1, n)= ， C(n)=[1 0] ， Q1 (n)=I ， 1 1
a5,5 0.2426
p取值分别为3、4、5时的功率谱曲线如下所示：
6
承诺：本人已认真阅读上述说明，保证该作业由本人独立完成。 签名：
2
1(计算题)：考虑一个二阶自回归过程 u (n) ，其表达式如下
u (n) u (n 1) 0.5u (n 2) v(n)
其中， v ( n ) 是均值为零，方差为 0.5 的白噪声过程。 (a)求 u (n) 的均值。 (b)求反射系数 1 和 2 。 (c)求平均预测误差功率 P1 和 P2 。
答：源程序如下： u=[101,82,66,35,31,7,20,92,154,125,85,68,38,23,10,24,83,132,131,118,90,67,60,47,4 1,21,16,6,4,7,14,34,45,43,48,42,28,10,8,2,0,1,5,12,14,35,46,41,30,24,16,7,4,2,8,17,36 ,50,62,67,71,48,28,8,13,57,122,138,103,86,63,37,24,11,15,40,62,98,124,96,66,64,54, 39,21,7,4,23,55,94,96,77,59,44,47,30,16,7,37,74]; p=5; len=length(u); ef=zeros(p+1,len+1); eb=zeros(p+1,len+1); fc=zeros(1,p+1); ef(1,:)=[0,u]; eb(1,:)=[0,u]; fc(1)=2*sum(u.^2); a=zeros(p,p); for k=1:p rk=2*(sum(ef(k,k+2:len+1).*(eb(k,k+1:len))))/sum(ef(k,k+2:len+1).^2+eb(k,k+1 :len).^2); for i=1:k-1 a(k,i)=a(k-1,i)-rk*a(k-1,k-i); end a(k,k)=-rk; for i=1:len ef(k+1,i+1)=ef(k,i+1)-rk*eb(k,i); eb(k+1,i+1)=-rk*ef(k,i+1)+eb(k,i); end fc(k+1)=(1-rk.^2)*fc(k); end for pj=3:5
5
s=[1,a(pj,:)]; Sxx=fc(pj)./(abs(fft(s,1024)).^2); Pw=10*log10(Sxx); w=(0:len-1)/len; f=0:1/1023:1; M=length(f); figure(pj-2); plot(f(1:M/2),Pw(1,1:M/2)); grid(); ylim([30 75]) ylabel('10log(Suu(w))') xlabel('归一化频率') title(['Burg算法功率谱 p=',num2str(pj)]) end 该AR模型的参数为 a1,1 0.9288 、 a2,1 1.4952 、 a2,2 0.6098 、 a3,1 1.7457 、
4
3(编程)：对某随机信号进行观察，得到如下一组数据： u=[101,82,66,35,31,7,20,92,154,125,85,68,38,23,10,24,83,132,131,118, 90,67,60,47,41,21,16,6,4,7,14,34,45,43,48,42,28,10,8,2,0,1,5,12,14,35,4 6,41,30,24,16,7,4,2,8,17,36,50,62,67,71,48,28,8,13,57,122,138,103,86,6 3,37,24,11,15,40,62,98,124,96,66,64,54,39,21,7,4,23,55,94,96,77,59,44, 47,30,16,7,37,74] 对该数据建立一个AR模型， 编写用Burg算法求解该AR模型的参数 程序，并画出p取值分别为3、4、5时的功率谱曲线。
a3,2 1.2240 、 a3,3 0.4108 、 a4,1 1.7392 、 a4,2 1.2045 、 a4,3 0.3831 、
a4， 4 0.0159 、 a5,1 1.7353 、 a5,2 1.2975 、 a5,3 0.6753 、 a5,4 0.4060 、
-1
ˆ (n | (n) = y(n) C(n)x
ˆ (n+1| x
n 1
ˆ (n | )=y(n) [1 0]x
n 1
)
)+G ( n) ( n)
n
ˆ (n | ) = F(n 1, n) x
n 1
Fra Baidu bibliotek
0 1 ˆ (n | )+G ( n) ( n) x 1 1
n 1
1 1 1 K (n)=K (n, n-1) F(n, n 1)G ( n)C( n)K ( n, n-1) K ( n, n-1) G ( n) K ( n, n-1) 1 0 0 0 1 0 1 K (n 1, n)=F(n 1, n)K (n)F H (n 1, n) Q1 (n)= K ( n) I 1 1 1 1