湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

湖南省长沙市2014届高三二模理科数学试卷（带解析）
1．已知复数z 满足
11z
i z
+=-（i 为虚数单位），则z 的值为（ ） A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得，1z i zi +=-，11i z i -+=
=
+(1)(1)
(1)(1)
i i i i -+--+i =． 考点：复数的运算.
2．设随机变量X ～N(2，32
)，若P(X ≤c)＝P(X>c)，则c 等于（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 【解析】
试题分析：由正态曲线的对称性，得x c =是对称轴，故2c =． 考点：正态分布. 3．二项式6
(x
的展开式中常数项为（ ） A ．－15 B ．15 C ．－20 D ．20 【答案】B 【解析】
试题分析：二项展开式的通项为6
16
(k
k
k k T C x
-+=3626(1)k k k
C x -=-，令3602k -=，
得4k =，故常数项为4
615C =．
考点：二项式定理.
4．设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则q
⌝是p ⌝
的（ ）
A ．充分且必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分且非必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知得，,p q q p ≠>Þ，故,p q q p ⌝⌝⌝⌝≠＞Þ，所以q ⌝是p ⌝
的充分
非必要条件．
考点：1、交集和并集的概念；2、充分必要条件.
5．已知集合}{
22
(,)1,(,)()94x y M x y N x y y k x b ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭
，若k R ∃∈，使得M N =∅成立，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．[]3,3-
B ．(,3)(3,)-∞-+∞
C ．[]2,2-
D ．(,2)(2,)-∞-+∞
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得，直线()y k x b =-过点,0b （）
，故当[]3,3∈-b 时，k R ∀∈，M N ≠∅，则(,3)(3,)-∞-∞∈+b 时，k R ∃∈，使得M N =∅成立，选B ．
考点：直线和椭圆的位置关系.
6．函数sin()(0)y x ωϕϕ=+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A,B 是图象与
x
轴的交点，若cos 5
APB ∠=-
，则ω的值为（ ）
A ．
4π B ．3π C ．2
π
D ．π 【答案】C 【解析】
试题分析：过点P 作PE ⊥
x 轴，垂足为E ，则在Rt APE ∆中，14tan 4
PAE T T ∠=
=；在Rt BPE
∆中，
14
tan 34
PBE T ∠=
=
，故
t a n A P B P A E P
B
E
∠=-
∠+∠t a n t a
n 1t a n t
a
P A E P B P A E P B ∠+∠=--∠⋅∠216316
T T =--
，又cos 5APB ∠=-
sin 5
APB ∠=tan 2APB ∠=-，2
162316T T =-，解得24T π
ω
==
，所以2
π
ω=
．
考点：1、三角函数的周期性；2、诱导公式.
7．设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≥≤≥，则z ＝x －3y 的最大值为（ ）
A ．4-
B ．4
C ．3
D ．3- 【答案】B 【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为133
z
x -y=
，要使得z ，只需直线133
z
x -y=的纵截距最小，即过点(2,2)C --时，z 取到最大值，最大值为max 264z =-+=．
考点：线性规划.
8．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为DC 的中点，AE 与BD 相交于F ，则FD DE ⋅ 的值是（
） A ．
32 B ．3 C ．3
2
- D ．3
-
【答案】C 【解析】
试题分析：因为//BA DE ，故
12D E D F A B B F ==，即133
DF BD ==，所以FD DE ⋅33cos
324
π
=
A
32
=-．
考点：向量的数量积.
9．若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ） A ．12对 B ．18对 C ．24 对 D ．30对 【答案】C 【解析】
A'
A
试题分析：与'
A D 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',D C A
B ，'',A
C
D B ；与'
AD
所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'
B C 所成的角为60的异面直线有四对，即：'',DC A B ，'',A BD C ；与'
BC 所成的角为60的异面直线有四对，即：'
'
,D C AB ，''
,AC D B ；与'
A B 所成的角为60的异面直线有两对，即：''
,AC D B ；与
'AB 所成的角为60的异面直线有两对，即：'',A BD C ；与'D C 所成的角为60的异面直
线有两对，即：'
'
,A BD C ;与'
DC 所成的角为60的异面直线有两对，即：''
,AC D B ,综上所述：“黄金异面直线对”共有24对． 考点：异面直线.
10．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间(0,1)内任取两个实数p,q ，且p ≠q ，不等式
(1)(1)
1f p f q p q +-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[15,)+∞
B ．](,15-∞
C ．](12,30
D ．](12,15- 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得，(1)(1)1(1)(1)
f p f q p q +-+>+-+，且1,1(1,2)p q ++∈，等价于函数
2()ln(1)f x a x x =+-在区间(1,2)上任意两点连线的割线斜率大于1，等价于函数在区间
(1,2)的切线斜率大于1恒成立．
'()21a f x x x =
-+，即211
a x x ->+恒成立，变形为2
231a x x >++，因为2231
15x x ++<，故15a ≥．
考点：1、导数的几何意义；2、二次函数的最大值.
11．（选修4－1：几何证明选讲）如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B,C 两点，
1PA PB ==，则PAB ∠=_________.
【答案】030 【解析】
试题分析:因为PA 是圆O 的切线，由切割线定理得，2
=PA PB PC ⋅，则2
==3PA PC PB
，故
2BC =.连接OA ，则PA OA ⊥，在Rt PAO ∆中，tan POA ∠=060POA ∠=，
所以0
30PCA ∠=，又因为PAB ∠ =PCA ∠，所以PAB ∠=0
30．
考点：1、圆的切割线定理；2、圆的弦切角定理；3、圆的切线的性质. 12．不等式43x x a -+-≤有实数解的充要条件是_____. 【答案】1a ≥． 【解析】
试题分析：记()43f x x x =-+-，则不等式43x x a -+-≤有实数解等价于
min ()f x a ≤，因为434(3)x x x x -+-≥---1=，故1a ≥
考点：绝对值三角不等式.
13．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3
()
x t t y =-=⎧⎪⎨
⎪⎩为参数. 以直角坐标系xOy 中
的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为2430COS ρρθ-+=，则圆心C 到直线l 距离为______.
【答案】d =【解析】
试题分析：直线l 0y -+=，圆C 的直角坐标方程为22
x +y -4x+3=0，
配方得，2
21y +=(x-2)，故圆心C 到直线l 距离为d =
考点：1、直线的参数方程；2、圆的极坐标方程；3、点到直线的距离公式. 14．设点P 是双曲线
222
2
1(0,0)x y a b a b =>>-
与圆x 2+y 2=a 2+b 2
在第一象限的交点，其中F 1,F 2
分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为______.[来
【解析】
试题分析：由已知得，12F F 是圆2
2
2
2
x y a b +=+的直径，故12PF PF ⊥，由勾股定理得，
22
2124PF PF c +=，又122PF PF =，所以2PF =
，1PF =，又212P F P F a -
=，故
2a =，所以c e a ==．
考点：1、双曲线的标准方程和圆的标准方程；2、勾股定理；3、双曲线的定义.
15．已知数列{}n a 中，11121n n a a a n +==+-,，若利用如图所示的程序框图进行运算，则输出n 的值为 .
【答案】11n =． 【解析】
试题分析：程序在执行过程中，,n S 的值依次为1,1n S ==；2,3n S ==；3,18n S ==；
4,30n S ==；
5,57n S ==；6,11n S ==；7,236n S ==；8,484n S ==；9,987n S ==；10,2001n S ==；11,2014n S =>，故输出的11n =
考点：程序框图．
16．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足
1
1
2
a b c
+
=
，则称a 、 b 、c 是调和的；若
满a + c = 2b 足，则称a 、b 、c 是等差的.若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好
集”.若集合{}
2014,M x x x Z =∈≤，集合{},,P a b c M =⊆.则 （1）“好集” P 中的元素最大值为 ； （2）“好集” P 的个数为 . 【答案】（1）2012；（2）1006 【解析】
试题分析：因为若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则
112a
b
c
+
=
且a + c =
2b ，则2,4a b c b =-=，故满足条件的“好集”为形如{}2,,4b b b -(b 0)≠的形式，则
201442014b -≤≤，解得503503b -≤≤，且b 0≠，符合条件的ｂ的值可取1006个，
故“好集” P 的个数为1006个，且P 中元素的最大值为2012．
考点：推理.
17．已知函数22()(sin cos )f x x x x =++. （1）求函数f (x)的最小正周期；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，且满足2cos 2a C c b +=，求f(B)的取值范围．
【答案】（1）π；（2）1(B)3f < 【解析】
试题分析：（1）利用正弦的二倍角公式和降幂公式，将函数()f x 的解析式化为
()sin()f x A x b ωφ=++是形式，再利用2T π
ω
=
求周期；（2）三角形问题中，涉及边角混
合的代数式或方程，应考虑边角转化，或转化为角的关系式，或转化为边的关系式处理．本题利用余弦定理，将2cos 2a C c b +=变形为222b c a bc +-=，从而可求出3
A π
=，从而
可求得203
B π
<<
，进而确定f(B)的取值范围．
（1）由已知得，1cos 2()12sin cos 2
x
f x x x -=++1sin 2x x =+
2sin(2)13x π=-+，故最小正周期为22
T π
π==．
（2）由2cos 2a C c b +=得，222
222a b c a c b ab +-⋅+=，即222b c a bc +-=，所以
2221cos 22b c a A bc +-==，得3A π=，故203B π<<，233B ππ
π-<-<，故
s i n (2)23
B π
-
<-≤，故1(B)3f <≤． 考点：1、正弦的二倍角公式；2、正弦的降幂公式；3、余弦定理.
18．在如图所示的几何体中，AE ⊥平面ABC ，CD ∥AE ，F 是BE 的中点，
1AC BC ==，90,22ACB AE CD ∠===．
（1）证明：DF ∥平面ABC ；
（2）求二面角A BD E --的大小的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）
1
3
【解析】 试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需证明直线和平面内的一条直线平行，取AB 中点G ，连接FG ，则//FG AE ，且1=
2FG AE ，由已知得，//CD AB 且1
=2
CD AE ，故//CD FG ，
则四边形DFGC 是平行四边形，可证明//DF CG ，进而证明DF ∥平面ABC ，或可通过建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点的坐标，证明直线DF 的方向向量垂直于
平面ABC 的法向量即可；（2）先求半平面ABD 和BDE 的法向量的夹角的余弦值，再观察二面角A BD E --是锐二面角还是钝二面角，来决定二面角A BD E --的大小的余弦值的正负，从而求解．
（1）因为ABC EA 平面⊥，CD ∥AE ，所以⊥CD 平面ABC ． 故以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,1)D ， (1,0,2)E ， 11(,,1)22
F ．
所以11(,,0)22
DF =，
因为平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =， 所以0DF m ⋅=，
又因为DF Ë平面ABC ，所以//DF 平面ABC ． 6分
（2）由（1）知，(0,1,1)BD =-，(1,1,0)AB =-，(1,1,2)BE =-．
设1111(,, )n x y z =是平面ABD 的一个法向量，由110,0n BD n AB ⎧
⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 得 11110
y z x y -+=⎧⎨
-+=⎩，取11x =，得111y z ==，则1(1,1,1)n = 设2222(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，由220,
n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得 222220
20
y z x y z -+=⎧⎨
-+=⎩，取21x =-，则221y z ==，则2(1,1,1)n =- 设二面角A BD E --的大小为θ，则2
1211
c
o s 3
n n n n θ⋅==⋅，故二面角A BD E --的大小的
余弦值为
13
．
考点：1、直线和平面平行的判断；2、二面角的求法.
19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
23
，
中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为00(01)P P <<，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品． （1）张三选择方案甲抽奖，李四选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，若X ≤3的概率为7
9
，求0P ； （2）若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 【答案】（1）01
3
P =
；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，依题意，两人累计得分的可能值为0,2,3,5，故事件“X 3≤”的对立事件为“X 5=”，所以所求事件的概率()1()5P A P X ＝－＝；（2）因为每次抽奖中奖与否互不影响，且对方案甲或方案乙而言，中奖的概率不变，故对于张三、李四两人抽奖可看成两次独立重复试验，其中奖次数服从二项分布，设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则X 1～
2B 23⎛⎫
⎪⎝⎭
，X 2～B ()02,P ，则累计得分的期望为E(2X 1)，E(3X 2)，从而比较大小即可. （1）由已知得，张三中奖的概率为2
3
，李四中奖的概率为0P ，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“X＝5”，
因为()5P X ＝＝23×0P ，所以()1()5P A P X ＝－＝＝1－2
3
×0P =79，所以013P = . 6分
（2）设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1)， 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2)． 由已知可得，X 1～2B 23⎛⎫
⎪⎝⎭
，X 2～B ()02,P ，
所以E(X 1)＝2×
23＝4
3
，E(X 2)＝2×0P ， 从而E(2X 1)＝2E(X 1)＝8
3，E(3X 2)＝3E(X 2)＝60P .
若2)(3)E E X >1（2X ，即0863P >，所以04
09P <<；
若2)(3)E E X <1（2X ，即0863P <，所以04
19
P <<；
若2)(3)E E X =1（2X ，即0863P =，所以04
9
P =． 综上所述：当04
09
P <<
时，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当0419P <<时，他们都选择方案乙进行抽奖时，累计得分的数学期望较大；当04
9
P =时，他们都选择方案甲或乙进行抽奖时，累计得分的数学期望相等. 12分 考点：1、对立事件；2、二项分布的期望.
20．某地一渔场的水质受到了污染．渔场的工作人员对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为(*)m m N ∈个单位的药剂后，经过x 天该药剂在水中释
放的浓度y （毫克/升）满足y=mf(x)，其中log (4),05
()6
,52x x f x x x +<≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩
】，当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）时称为有效净化．．．．；当药剂在水中释放的浓度不低于6（毫克/升）且不高于18（毫克/升）时称为最佳净化．．．．
. （1）如果投放的药剂质量为m=6，试问渔场的水质达到有效净化．．．．一共可持续几天? （2）如果投放的药剂质量为m ，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化．．．．，试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. 【答案】（1）8天；（2）[6,9]
【解析】 试题分析：（1）由已知得，经过x 天该药剂在水中释放的浓度 y=mf(x)是关于自变量x 的分段函数，渔场的水质达到有效净化，只需6y ≥，当m=6时，()1f x ⇔≥，相当于知道函数值的取值范围，求自变量x 的取值范围，即可持续的天数确定；（2）由题意知，为了使在8天（从投放药剂算起包括第8天）之内的渔场的水质达到最佳净化，只需在这8天内的每一天均有6()18,m 0mf x ≤≤>恒成立即可，转化为求分段函数求值域问题，使其含于[6,18]即可.
（1）由题设：投放的药剂质量为6m =，渔场的水质达到有效净化．．．．6()6f x ⇔≥ ()1f x ⇔≥
305
log (4)1x x <≤⎧⇔⎨+≥⎩或56
12
x x >⎧⎪⎨≥⎪-⎩ 05x ⇔<≤或58x <≤，即：08x <≤，
所以如果投放的药剂质量为6m =，自来水达到有效净化．．．．
一共可持续8天 . 6分 （2）由题设：x (0,8]∀∈，6()18,m 0mf x ≤≤>，∵3log (4),05
()6,52
x x f x x x +<≤⎧⎪
=⎨>⎪-⎩，
∴x (0,5],6()18mf x ∀∈≤≤，且x (5,8],6()18mf x ∀∈≤≤，
∴3log 46218
m m ≥⎧⎨
≤⎩且6
218m m ≥⎧⎨≤⎩，所以69m ≤≤，投放的药剂质量m 的取值范围为[6,9]． 考点：分段函数.
21．已知A 、B 为抛物线C ：y 2
= 4x 上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限l 1、l 2分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为l 1、l 2的交点.
（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程； （2）设C 、D 为直线l 1、l 2与直线x = 4的交点，求PCD 面积的最小值. 【答案】（1）1x =-；（2
）9
【解析】
试题分析：（1）设2
11()4
y A y ，， 2
22()4y B y ，
（120y y >>），1l 方程为2111()4y y y k x -=-，与抛物线方程联立，利用直线1l 与抛物线y 2
= 4x 相切，故0∆=，求11
2
k y =
，故切线1l 的方程11212y x y y =
+。

同理可求得切线2l 方程为22212
y x y y =+，联立得交点1212(
)42
y y y y P +，，再注意到已知条件直线AB 过抛物线C 的焦点F ，故表示直线AB 的方程为211124()4
y y y x y y -=-+，将抛物线焦点(10)F ，
代入，得12y y 4=-，从而发现点P 横坐标为1-，故点P 在定直线1x =-上；（2）列PCD 面积关于某个变量的函数关系式，再求函数最小值即可，由已知得，11
8
(4,)2
y C y +
，2
28(4,
)2
y D y +，故1212121212(16)()8181(
)()222y y y y CD y y y y y y --=+-+=，又高为1244
y y
-，故三角形PCD 的面积为1212
1212
(16)()1
4242PCD y y y y y y S y y --=
-⋅△，再求最小值即可． （1）设2
11()4
y A y ，， 222()4y B y ，
（120y y >>）. 易知1l 斜率存在，设为1k ，则1l 方程为2
111()4
y y y k x -=-.
由2
1112()44y y y k x y x ⎧-=-⎪⎨
⎪=⎩
得，221111440k y y y k y -+-= ① 由直线1l 与抛物线C 相切，知2
1111164(4)0k y k y =--=△.
于是，112k y =
，1l 方程为11212
y x y y =+. 同理，2l 方程为2221
2
y x y y =
+. 联立1l 、2l 方程可得点P 坐标为1212
()42
y y y y P +， ， ∵ 1222
1212
444
AB
y y k y y y y -==+-，AB 方程为
211124()4y y y x y y -=-+， AB 过抛物线C 的焦点(10)F ，
. ∴21112124
(1),y y 44
y y y y -=-=-+，∴12P y y x 14==-，点P 在定直线1x =-上.
（2）由（1）知，,C D 的坐标分别为118(4,
)2y C y +，228(4,)2
y D y + ∴1212121212
(16)()8181
(
)()222y y y y CD y y y y y y --=+-+=. ∴ 1212
1212
(16)()1
4242PCD y y y y y y S y y --=
-⋅△. 设212y y t =-（0t >），12y y m -=，
由2222121212()()440y y y y y y m t +=-+=-≥知，2m t ≥，当且仅当120y y +=时等号成立. ∴ 22222222
222
1(16)(16)2(16)(16)424216168PCD
t t m m t t t t S t t t t
--⋅+⋅++=+⋅=≥=-△. 设22(16)()8t f t t +=，则2222222
2(16)2(16)(316)(16)
()88t t t t t t f t t t +⋅⋅-+-+'==
. ∴
0t <<
()0f t '<
；t >时，()0f t '>.()f t
在区间0⎛ ⎝
⎦上为减函数；
在区间⎫
+∞⎪⎪⎣⎭
上为增函数.∴
t =时，()f t
. ∴ 当120y y +=，1216
3
y y =-
，
即
1y =
2y =时，PCD △. 13分
考点：1、直线和抛物线的位置关系；2、函数的最小值. 22．设函数3()(1)n n f x x x =-在上的最大值为n a （
）．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求证：对任何正整数n (n ≥2)，都有2
1
(3)n a n +≤
成立；
（3）设数列{}n a 的前n 项和为S n ，求证：对任意正整数n ，都有91
256
n S ≤
成立． 【答案】（1）3
27(3)n
n n n a n +=+；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）先求得'12()(1)[(3)]n f x x x n n x -=--+，令'()0n f x =，
得1x =或3
n
x n =+，因为要考虑根与定义域
的位置关系，故需讨论n 的取值．当1n =时，
1
34
n n =+，此时'()0n f x <，函数单调递减；当2n ≥时，
1
(,1)34
n n ∈+，将定义域分段，并考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象，进而求最大值，从而求得{}n a ；（2）由（1）得
3
27(3)n n n n a n +=
+，将所求证不等式等价变形为，3(n 3)(1)27n
n ++≥，再利用二项式定理证明；（3）由（2）得，22
2
2711
1
25656(3)n S n <++++
+，再将不等式放缩为可求和的数列
问题处理．
（1）13212()(1)3(1)(1)[(1)3]n n n n f x nx x x x x x n x x --'=---=---
12(1)[(3)]n x x n n x -=--+，
当1[,1]4x ∈时，由'()0n f x =知1x =或3
n
x n =+， 当1n =时，则134n n =+，1
[,1]4
x ∈时，'()0n f x <，3()(1)n n f x x x =-在1[,1]4上单调递
减，
所以3
31141113()(1)4444
a f ==⨯-=
当2n ≥时，
1(,1)34n n ∈+，1[,)43n x n ∈+时，'()0n f x >，(,1)3
n x n ∈+时，'
()0n f x <， ∴()n f x 在3n
x n =+处取得最大值，即33327()()33(3)n n n n n n a n n n +==
+++， 综上所述，3
27(3)
n
n n n a n +=+. （2）当2n ≥时，要证32
271(3)(n 3)
n n n n +≤++，只需证明3(n 3)(1)27n
n ++≥ ∵11223333(1)1()()+()n n n
n n n C C C n n n n +=+++…
2(n 1)991912544(1)4(1)22224
n n n -≥+⋅=+-≥+-=
∴3
25
(n 3)(1)5274n
n
++≥⨯
>,所以，当n 2≥时，都有21(3)
n a n +≤成立． （3）当n 1=时，结论显然成立； 当2n ≥时，由（II ）知23427
256
n n S a a a a =
+++++
222
27111
25656(3)n <
+++++ 27111111()()()256455623n n <+-+-++-++ 27191
2564256
<+=
． 所以，对任意正整数n ，都有91
256
n S <
成立． 13分 考点：1、利用导数求函数的最值；2、二项式定理；3、放缩法．。