《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析

第1-2章行列式和矩阵

⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。

矩阵的运算满足以下性质

⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。

是同阶方阵，则有：

若是阶行列式，为常数，则有：

⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

若为阶方阵，则下列结论等价

可逆满秩存在阶方阵使得

⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

用初等行变换法求逆矩阵：

用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）

可逆矩阵具有以下性质：

⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。

典型例题解析

例1 设均为3阶矩阵，且，则。

解：答案：72

因为，且

所以

例2 设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。

解：答案：A

因为，所以A可进行。

关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。

关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。

例3 已知

求。

分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。

解：因为

得。

例4 设矩阵

求。

解：方法一：伴随矩阵法

可逆。

且由

得伴随矩阵

则=

方法二：初等行变换法

注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。

例4 设矩阵

求的秩。

分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。

解：

。

例5若是阶矩阵，且，试证

证明：

注意：在证明中用到了已知条件和转置行列式相等的结论。

第三章线性方程组

一、本章主要内容

主要概念：齐次线性方程组非齐次线性方程组方程组的矩阵表示系数矩阵增广矩阵一般解通解（全部解）特解基础解系自由元（自由未知量）

n维向量线性组合（线性表出）线性相关线性无关极大线性无关组向量组的秩向量空间向量空间的基和维数

主要性质：齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质

主要定理：

线性方程组的理论

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组有解的充分必要条件非齐次线性方程组解的结构

向量组线性相关性的有关定理（教材中第三章第三节）定理1、2、3及有关推论；

极大无关向量组的有关定理（教材中第三章第四节）定理1、2、3

主要方法：高斯消元法

齐次线性方程组解的情况判别 非齐次线性方程组解的情况判别 0=AX 基础解系的求法 )0(≠=B B AX 通解的求法 向量组线性相关（无关）的判别法 极大线性无关组的求法

二、本章重点：向量组相关性的概念及判别，线性方程组相容性定理，齐次线性方程组基础解系几通解的求法，非齐次线性方程组特解和全部解的求法。 三、典型例题解析

例1 向量组)2

1

(,)110(,)111(321'='='=k ααα，若向量组线性相关则k =

。

解：答案：2

因为由有关定理，向量组线性相关的充要条件是向量组的秩数小于向量组向量个数，所以 求向量组的秩，决定k 的取值，使其秩数小于3。具体解法是 ()⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20

1101

01

11

110101

1

1

211

10132

1

k k k ααα 当2=k 时，32)(321<=αααr ，故向量组线性相关。

例2 设向量组为 )1631

(,)32

1

1(,)41

21

(,)50

3

1

(4321'--='='='=αααα

求它的一个极大无关组，并判断向量组的相关性。

分析： 解：

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--=00

000062101111

62

1

62106210111113

4

5

62103123

1111)(43

21αααα 21,αα∴是向量组的一个极大无关组，42)(4321<=ααααr ，此向量组线性相关。

例3 线性方程组

⎪⎩⎪

⎨⎧=--+=+--=--+λ

4321

4321432189544331

3x x x x x x x x x x x x 当λ为何值时方程组有解，有解时解的情况如何？

分析：因为增广矩阵的秩与λ的取值有关，所以选择λ的值，使)()(B A r A r = 解

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡------=λλλ0

1764011311

17

6

4

1764011311

8

9

5

1

44313

11311)(B A 0=∴λ当时，有42)()(<==B A r A r ，方程组有解且有无穷多解。

例4 设线性方程组B AX =的增广矩阵经初等行变换后化为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡--→00

13110

21011

)(B A 求方程组的通解。

分析：将阶梯形矩阵继续化为行简化阶梯形矩阵，求出方程组的一般解，然后求特解，相应

齐次方程组的基础解系，写出方程组的通解。 解： ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎣⎡--→00

1311012101

00

13110

21011)(B A 得到方程组的一般解为

⎩⎨⎧-+=++=131

2432

431x x x x x x （其中43,x x 是自由元）

令043==x x ，得B AX =的一个特解)0011(0'-=X

再由相应齐次方程组的一般解

⎩⎨⎧+=+=432

4

3132x x x x x x （其中43,x x 是自由元）

令0,143==x x ，得0=AX 的一个解向量)0111(1'=X 令1,043==x x ，得0=AX 的另一个解向量)10

3

2

(2'=X

{}21X X 是0=AX 的一个基础解系，于是方程组的通解为

=++=22110X k X k X X )00

1

1

('-+'+)01

11(1k )10

3

2

(2'k

其中21,k k 为任意常数。