海明码详解

海明码是由R·hamming 在1950所提出的，它可以纠正一位差错的编码，但它的编码效率要比正反码高，现以奇偶校验码为例，

a0=a1⊕a2⊕a3⊕…⊕a n-1

其中a0是校验码，接收时可按关系式

S= a0⊕a1⊕a2⊕a3⊕…⊕a n-1

进行计算时，若S=0则无差错，若S=1则表明出错，则上面的S式子称为监督关系式，S 称为校正因子。

在奇偶校验的情况下，只有一个监督关系式和一个校正因子，其取值只有两种可能（0或1），分别表示正确和出错两种情况，而不能指出出错的位置。若有两个校正因子，则有四种可能，一种表示无错，另三种表示出错，并可以指出出错的位置。

一般来说，若信息位为k位，冗余位为r位，则数据位n=k+r，用r的监督关系式来产生r个校正因子，区分无错和在n个不同的位置的一位错，则要求满足公式

2 r≥ n+1 或 2 r≥ k+r+1

此式子称为海明公式，r叫海明距离，若k=4时则r>=3，当取r=3时，n=k+r=4+3=7

1.编码步骤

(1)根据信息位数，确定校验位数，2r≥k+r+1，其中，k为信息位数，r为校验位数。求出满足不等式的最小r，即为校验位数。

表1-2有效信息位数k与校验位位数r的对应关系

(2)计算机校验位公式。

表1-3其实可以当成一个公式来套用，如有已经编码的数据1100 1001 0111。我们只需把这些数据填充到校验公式，即可得到信息位与校验位。

表1-3 校验位公式表

填充的方法是这样的，首先看数据的最低位(即右边第1位)，最低位为1，把1填充在公式表的r0位置，接着取出数据的次低位数据(即右边第2位)，把它填充到r1位置，把右边第3位数填充到I1位置。依此类推，我们可以得到表1-4。

表1-4 校验位公式实例表

表中第2行数据为1100 001 1，这就是数据1100 1001 0111的编码信息，而表格第3行是1 011，这便是校验位。

注意：

·校验位

r n 所在位数为

2n

·信息位下标从1开始，而校验位下标从0开始。

例如：I 8 对应的第十二位12=23+22，I 76位10=23+21，I 5 对应的第九位9=23+20，一直写到I 1对应的第三位。

校验位r n 由前面位数写成2的幂之和中包含2n 的位数对应的信息位之和构成

r 38765

注意：其中“⊕ ”是异或运算，在异或运算中：

0⊕ 1=1; 1⊕ 0=1; 0⊕ 0=0; 1 ⊕1=0;

(3)求校验位。根据上面我们所说的计算公式可以求出校验位。

(4)求海明码。根据上面的表格填充后，写出海明码。

2.纠错步骤

(1)根据海明码的信息位和校验位的分布规则，找出接收到的数据的信息位以及校验位。

表1-5校验位公式表

如有已经编码的数据1100 1001 0111，则可以根据上表得到编码的信息为：1100 001 1;校验位为：1 011，详细过程在“编码步骤”已详细说明。

2)接收端对校验位进行验证

S n= r n ( 校验)⊕r n (接收)

(3)判断校正因子是否有错，并改正。

S n S n-1S n-2……S0二进制转成十进制对应的是哪位就是哪位出错，将其改正完成纠错。如1001为第九位，将第九位1变0 (或0变1) 即可。

例题1求信息1011的海明码。

解答：

我们可以按照上面所说的编码步骤进行解题：

(1)2r≥4+r+1，确定校验们为3位23≥4+3+1。

(2)列出公式表格。

7=22+21+20，6=22+21，5=22+20，3=21+20

r2=I4⊕I3⊕I2

r1= I4⊕I3⊕I1

r0= I4⊕I2⊕I1

(3)根据公式得r 2 =0，r1 =0，r0=1。过程如下：

r2=I4⊕I3⊕I2=1⊕0⊕1=0

r1= I4⊕I3⊕I1=1⊕0⊕1=0

r0= I4⊕I2⊕I1=1⊕1⊕1=1

(4)加入表格。

表1-7 对表1-6填充数据后的表格

则海明码为1010101

例题2

信息位8位的海明码，在接收到报文110010100000，判断传输是否出错，并求出发送端发送的信息位。

解答：

2r≥8+r+1，确定校验位为4位24≥4+4+1。

表1-8校验位公式表

按照上面的海明码信息位和校验位的分布情况表，对接收数据进行分解：

表1-9 对表1-8填充数据后的表格

从而得到信息位为11000100，校验位为1000。

因为12=23+22 ;11=23+21; 9=23+20;7=22+21+20; 6=22+21 ;5 =22+20;3=21+20 ;

可得发送端校验位：

r3= I8⊕I7⊕I6⊕I5;

r2= I8⊕I4⊕I3⊕I2;

r1= I7⊕I6⊕I4⊕I3⊕I1;

r0= I7⊕I5⊕I4⊕I2⊕I1。

接收端可根据以下关系验证是否出错

S3= r3⊕I8⊕I7⊕I6⊕I5;

S2= r2⊕I8⊕I4⊕I3⊕I2;

S1= r1⊕I7⊕I6⊕I4⊕I3⊕I1;

S 0= r 0⊕ I 7⊕ I 5 ⊕ I 4 ⊕ I 2⊕I 1;

注意：其中的r n 为接收端校验位。

由上面的算式得S 3 S 2 S 1 S 0=1001，将1001转成十进制是9，从而得知是原信息位第九

例题3 S

0=a 0 S 1=a 1⊕a 4⊕a 5⊕a 6

S 2=a 2⊕a 3⊕a 5⊕a 6

接收端收到的码字为：a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 0=1010100

那最多一位错的情况下发送端的发送信息位是什么?

解答：将a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0对应的数字代入上述监督关系式得：

S 0=0⊕0⊕1⊕0=1

S 1=0⊕1⊕0 S 2=1⊕0⊕0 得出S 2S 1S 00信息应为1010101。