山东省自学考试复变函数与积分变换强化实践习题及答案
复变函数与积分变换习题解答
练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。
（1）i ii i 524321----； 解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。
1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。
（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。
证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。
山东省自学考试复变函数与积分变换强化实践习题及答案
第一篇第1章1.已知1313222z i -==-，求||z ，Argz 。
2.已知112i z +=，23z i =-，求12z z 及12zz 。
3.设1z 、2z 是两个复数。
求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。
4.证明：函数22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩在原点不连续。
5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数）第2章1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。
2.解方程13z e i =+3.求cos(1)i -4.设3w z =确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z 平面上，并且3(2)2w -=-（这是边界上岸点对应的函数值），试求()w z 的值。
5.设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。
第3章1.计算256z c e dzz z ++⎰其中C 为单位圆周|z|=12.求积分220(281)az z dz π++⎰3.已知：22u x xy y =+-，()1f i i =-+求解析函数()f z u iv =+4.计算积分331(1)(1)C dzz z -+⎰,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周(2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周第4章1．将函数)2()1(1)(--=z z z f 在0z =点展开为洛朗(Laurent)级数．2．讨论级数10()n n n z z ∞+=-∑的敛散性3．求下列级数的和函数. (1)11(1)n nn nz ∞-=-⋅∑ (2)20(1)(2)!nnn z n ∞=-⋅∑ 4．用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径.第5章1. 计算积分2||252(1)z z dz z z =--⎰2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数3．z z z zz d )1(sin 2||22⎰=- 4． ()()()10cd i 13zz z z +--⎰c :|z |=2取正向．第6章1．求一映射，将半带形域0,22><<-y x ππ映射为单位圆域.2．求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象. 3．求把区域{:||1,Im 0}D z z z =>>映射到单位圆内部的共形映射第二篇第1章1．证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有⎰+∞⋅=0d sin )()(ωωωt b t f 其中()⎰+∞⋅=tdt sin π2)(ωωt f b 当f (t )为偶函数时，则有⎰+∞⋅=0cos )()(ωωtd w a t f 其中⎰+∞⋅=02tdt c f(t))(ωωπos a2． 求下列函数的傅里叶变换(1)()tf t e -=(2)2()t f t t e-=⋅3.已知函数()f t 的傅里叶变换()00F()=π()(),ωδωωδωω++-求()f t4.设函数f (t )的傅里叶变换()F ω，a 为一常数. 证明1[()]().f at F a a ωω⎛⎫=⎪⎝⎭第2章1．用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y2.求下列函数的拉普拉斯变换 （1）2,01()1,120,2t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)cos ,0π()0,πt t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩3. 计算下列函数的卷积 （1）e t t * （2）sin sin at at *作业答案第一篇第1章1.解：2213||()()122z =+=32arctan 2,0,1,2,12Argz k k π-=+=±±……2.解：4112i i z eπ+==6232iz i eπ-=-=所以64121222i iiz z e e e πππ-==54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-=== 3.证明：2121212||()()z z =-z -z z -z22121221||||z z z z z z =+--22121212||||z z z z z z =+--221212||||2Re()z z z z =+- 4．证明：22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩当点z x yi =+沿y kx =趋于0z =时，()1k f z k→+ 故当k 取不同值时，()f z 趋于不同的数∴()f z 在原点处不连续5．证明：设直线方程的一般形式为0az az c ++=（a ，b ，c 均为实常数，a ，b 不全为零） 因为：,22z z z zx y +-==代入化简得： 11()()022a bi z a bi z c -+++= 令1()02a bi α-=≠得z z c αα+=反之，设有方程z z c αα+=（复数0α≠，c 是常数） 用z x iy =+代入上式，且令1()2a bi α=+化简即得第2章1.解：因32(,)3u x y x xy =-，23(,)3v x y x y y =-而22(,)33x u x y x y =-，(,)6y u x y xy =-(,)6x v x y xy =，22(,)33y v x y x y =-由于(,),(,),(,),(,)x y x y u x y u x y v x y v x y 这四个偏导数在z 平面上处处连续，且满足C-R 方程。
山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及问题详解
山东大学高等教育自学考试强化实践能力培养考核《复变函数与积分变换》教学考试大纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一）课程的性质、地位与任务本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分内容。
复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。
解析函数是复变函数研究的中心内容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。
积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。
本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些积分方程，微分方程以及计算积分。
通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。
要学好本课程必须具备高等数学的基础。
(二)课程的基本要求通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关内容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课程奠定良好的基础。
（三）本课程与有关课程的联系本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中的有关知识掌握好，进行必要的复习。
本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。
要切实掌握本课程的主要内容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。
二、课程内容和考核要求第一篇复变函数第一章复数(一）学习目的与要求本章的学习目的与要求是:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。
20xx年4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析试卷及答案解析真题.doc
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯精品自学考 料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯全国 2018 年 4 月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码： 02199一、单项选择题 (本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分 )在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设 z=3+4i, ，则 Re z 2=( )A ．-7B ． 9C ． 16D ．25 2．下列复数中，使等式1=-z 成立的是 ()zA ． z=e 2i B ． z=eii3 iD ． z= e 4C ． z= e 23．设 0<t ≤ 2 , 则下列方程中表示圆周的是 ()A ． z=(1+i)tB ． z=e it +2iC ． z=t+iD ． z=2cost+i3sintt4．下列区域为有界单连通区域的是 ()A ． 0<|z-i|<1B ． 0<Imz<C ． |z-3|+|z+3|<123D ． 0<argz<45．若 f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则 f (z)=()A ．u iuB ．v vxyyix C ． ui v D ． v ivxxyxA , z 06．设 f(z)=e z 1 z 在整个复平面上解析，则常数A=()z , 0A ． 0B ． e -1C ． 1D ． e7．设 f(z)=ax+y+i(bx+y) 是解析函数，则实常数 a,b 为 ()A ． a=-1,b=1B ． a=1, b=11C． a=-1,b=-1 D ． a=1,b=-18．设 z 为复数，则e-iz=()A ． cosz+isinzB ． sinz+icoszC． cosz-isinz D ． sinz-icosz9．设 f(z) 和 g(z)在有向光滑曲线 C 上连续，则下列式子错误的是()．．A ．g( z)f ( z)dz g( z) f ( z)dzC zB ． f (z)dz f (z)dz, 其中 C－为C 的反向曲线C CC．( f ( z) g(z))dz f ( z)dz g(z)dzC C CD ．3f (z)dz 3 f (z)dzC C10．设 C 为从 -I 到 I 的左半单位圆周，则| z | dz ( )CA ． iB ． 2iC． -i D ． -2i11．设 C 为正向圆周 |z|=2, 则下列积分值不为 0 的是 ( )．．A ．z dzB ．z3coszdzC z 1 CC．sin z dz D ．e z dzC z C z 312．设 D 是单连通区域， C 是 D 内的正向简单闭曲线，则对 D 内的任意解析函数f(z) 恒有( )A ． f(z)= 1 f ( ) d , z 在 C 的外部2 i C z1 f ( )d ， z 在 C 的内部， n≥ 2B ． f (n)(z)=i C ( z) n 12n! f ( )d ，z 在 C 的内部， n≥ 2C． f (n)(z)=i C ( z) n2n! f ( )d ，z在C的内部，n≥2D ． f (n)(z)=i C ( z) n 1213．复数列的极限lim e in 是 ( )n nA ． 1+iB ．C．1D．0214． z=i 是 f(z)= 1 的 ( )( z 2 1) 2A ．一阶极点B．二阶极点C．本性奇点D．解析点15．映射 w=2z+z 2在点 z0=1+i 处的伸缩率为 ( )A ． 2 5 B．3 5C． 2 2 D． 5 2二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 2 分，共10 分)16． arg(1+i)= .17．设 z=x+iy, 则曲线 |z-1|=1 的直角坐标方程为.18．设 f(z)=ze z, 则f (z) .D ,则 F (z) =19．设函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，且 F(z)= f ( ) d , 其中 z,0 .z120． Res e z, 0 = .三、计算题 (本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分)21．求方程 cosz=5 在复平面上的全部解 .22．讨论函数 w=xy-x+iy 2的可导性，并在可导点处求其导数.23．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算 I=ze3dz .C (z 2) 324．设 C 为从 0 到 1+2i 的直线段，计算积分I= Rezdz .C25． (1)将函数1在点 z=-1 处展开为泰勒级数；z(2)利用以上结果，将函数f(z)= 1在点 z=-1 处展开为泰勒级数 . z226．求函数 f(z)= 1 的全部孤立奇点 . 若为极点，则指出其阶数 .1) 2 (e z(z 1)27．将函数 f(z)= 1 在圆环域 1<|z|<2 内展开为罗朗级数 .1)(z 2)(ze2 z28．设 f(z)= z5 .(1)计算 Res[f(z),0]3(2) 利用以上结果，计算积分I=f (z)dz , 其中 C 为正向圆周 |z|=1.C四、综合题 (下列 3 小题中， 29 题必做， 30、 31 题中选做一题。
山东建筑大学复变函数与积分变换A(07-08-01)答案
一、选择题（4分×6＝24分）CDACCB二、填空题（4分×4＝16分）1.2. 03.__1_ 42π三、计算题（6分×8＝48分）1. 计算解: =----------------------------------------------------------------------------------2分22ii keπππ⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎭⎝⎭==-----------------------------------------------------4分cos sin22iππππ⎛⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---------------------------6分2. 利用高阶导数公式计算积分()341zzdzz=-⎰ ,积分曲线取正向.解:()()()213222!1zzz iI dz zzπ====-⎰ --------------------------------------------4分=---------------------------------------------------------------------------------6分3. 利用柯西积分公式计算32sin241zze zdzz z=⎛⎫+⎪++⎝⎭⎰ ,积分曲线取正向.解: 两个奇点-1,-4 其中-4在曲线外边,所以---------------------------------------------2分3322sin22411zz ze zdz dzz z z==⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰-----------------------------------------4分4iπ=----------------------------------------------------------6分4. 已知调和函数22u x xy=-,求()f z u iv=+解: 222u vf i y i xx x∂∂'=+=-+∂∂-------------------------------------------------------2分()2222i x iy iz=++=+---------------------------------------------------------4分所以2222iz dz iz z C+=++⎰,则()22f z iz z C=++-----------------------------6分5. 将函数()()112z z--在环域2z<<+∞内展开为洛朗级数解: 在2z<<+∞环域上, ()()()1111212f zz z z z==---------------------------2分21111111111z z z z z z ⎛⎫=-=-+++ ⎪-⎝⎭- 221111221221z z z z z z ⎛⎫=-=-+++ ⎪-⎝⎭- ----------------------------------------------4分 所以()234137f z z z z=+++ -----------------------------------------------------------6分 6. 留用留数定理计算()220sin 0x x dx a x a +∞>+⎰解: 函数()22z f z z a =+在上半平面有一级极点ai ,故 ()222R e ,ix iz x e dx i s R z e ai x a π+∞-∞⎡⎤=⎣⎦+⎰22aae i i e ππ--==----------------------------------------------------------2分 ()22sin x xf x x a =+为偶函数,所以22220sin 1R e 2ix x x x dx e dx x a x a +∞+∞-∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰⎰----------4分 而原积分12a I e π-==---------------------------------------------------------------------------6分 7.()() 0 0,0, 0t t f t et ββ-<⎧=>⎨≥⎩求傅氏变换 解:()F ω()j t f t edt ω+∞--∞=⎰ ---------------------------------------------------------------------2分0t j t e e dt βω+∞--=⎰()0j t e dt ωβ+∞-+=⎰()()0j t e j ωβωβ+∞-+⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦--------------------------4分 ()01j ωβ-=-+22j βωβω-=+----------------------------------------------------------6分8.()()sin f t kt k =求正弦函数的拉氏变换为实数解:[sin ]L kt 0sin st kte dt +∞-=⎰------------------------------------------------------------------2分()220sin cos st e s kt k kt s k +∞-=-⋅-⋅+------------------------------------------4分 22ks k =+(Re()0)s >----------------------------------------------------------6分四、证明题（6分×2＝12分）1证明拉普拉斯变换得微分性质.()()()0L f t sF s f '=-⎡⎤⎣⎦证明:()()0st L f t f t e dt +∞-''=⎡⎤⎣⎦⎰---------------------------------------------------------------------2分()()00st st f t e s f t e dt +∞+∞--=+⎰-------------------------------------------------------------------------4分()()0(Re())sL f t f s c =->⎡⎤⎣⎦()()0sF s f =-------------------------------------------------6分2、若在1z <内，()f z 解析，并且1()1f z z ≤-， 则()(0)(1)!n f e n <+证: 因 ()1||1!()(0)d 2πi n n n z n n f z f z z +=+=⎰-----------------------------------------------------------------2分故11||1||1!|(0)||d |2π||z (n)n n z n n f z z -+=+≤⎰11111!n 2π2π()n+1n n n nn n +-++≤------------------------------------------------------------------4分1(1)!1e(1)!n n n n ⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭ ----------------6分。
山东省自学考试强化复变函数与积分变换实践习题及问题详解
大学高等教育自学考试强化实践能力培养考核《复变函数与积分变换》教学考试大纲一、课程性质及课程设置的目的和要求(一）课程的性质、地位与任务本课程是全国高等自学考试工科类各专业的一门重要的基础理论课，它包含复变函数与积分变换两部分容。
复变函数是研究复自变量复值函数的分析课程，在某些方面它是微积分学的推广，独立成为一门课程则是因为它有其自身的研究対象及独特的处理方法。
解析函数是复变函数研究的中心容，留数的计算及其应用以及保角映射是复变函数特有的问题。
积分变换有时也称为运算微积，是通过积分运算把一个函数转变为另一个更为简单的且易于处理的函数。
本课程介绍傅里叶变换和拉普拉斯变换，可以应用它们求解某些积分方程，微分方程以及计算积分。
通过本课程的学习，为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程奠定必要的基础。
要学好本课程必须具备高等数学的基础。
(二)课程的基本要求通过对本课程的学习，要求考生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识(对积分变换未作要求的专业考生可不学积分变换部分),切实掌握有关容的基本概念、基本理论和基本方法，并具有比较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力，同时注意培养抽象思维能力与一定的逻辑推理能力，从而为学习后继课程奠定良好的基础。
（三）本课程与有关课程的联系本课程与高等数学有密切的联系，如导数、积分、级数和微分方程等,要学好本课程，必须把高等数学中的有关知识掌握好，进行必要的复习。
本课程是一门重要的基础课，它与工程力学、电工技术、电子技术和自动控制等课程的联系十分密切，因此在学习时。
要切实掌握本课程的主要容，这对以后的学习将会带来很大的帮助。
二、课程容和考核要求第一篇复变函数第一章复数(一）学习目的与要求本章的学习目的与要:深刻理解复数的概念;熟悉复数的多种表示法，复数的四则运算及开方运算；理解复数运算的几何意义；理解区域、单连域、多连域和简单曲线等概念；掌握用复变数的方程来表示常用曲线以及用不等式表示区域。
高等教育自学考试-复变函数与积分变换试题与答案-课程代码
全国2010年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( )A.不连续B.可导C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( )A.f (z )=x 2-y 2+i 2xyB.f (z )=x -iyC.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy 4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰C z z d ||=( ) A.2πiB.0C.1D.2 5.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-C z z z )2(d =( ) A.-πiB.0C.πiD.2πi 6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-C izi z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i7.z =0是3sin z z的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.z z sin B.2)1(1-z z C.z 1e D.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=() A.-2 B.-1C.1D.210.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________.12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰C z 3d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-C i z e 2dz=______________.15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰C z cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________.三、计算题（本大题共8小题，共52分）17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分）18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分) 21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分)23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-C z z z 2)2(e d z .(7分) 24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰C z1sin d z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数与积分变换习题答案
复变函数与积分变换习题答案习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+,所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 222222x y kxu v x y x y x y ==-=-+++ v ku =-故1w z=将y kx =映成直线v ku =-.2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,.20.u x y v x y u v y =-=+-=-<所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0=. 解：设z =x +i y , x >0, 0i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -====+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222,u vy x u v u v==++ 因为0221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z =将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆⼼、12为半径的圆)3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转⾓，问w =z 2将经过点z =i 且平⾏于实轴正向的曲线的切线⽅向映成w 平⾯上哪⼀个⽅向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转⾓arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平⾏实轴正向的向量映成w 平⾯上过点-1，且⽅向垂直向上的向量.如图所⽰.→4. ⼀个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转⾓的不变性？映射w =z 2在z 平⾯上每⼀点都具有这个性质吗？答：⼀个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域06. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d+=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 1a bb acd c d-+-==+--+ 因为(1)a z c dw cz d ++-=+,即(1)(1)1a z c z w cz d++++=+,由11→代⼊上式，得22a ca d c d+=?=+. 因此11(1)(1)d cd cd c w z z cz d z +++=+=+?++ 令dq c =，得 1(1)(1)/()(1)(1)11(1)(1)/()2(1)(1)1w z q z q z q z a w z q z q z q z +++++++===?-+++---- 其中a 为复数.反之也成⽴，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=?--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d+=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满⾜什么条件？解：若az b w cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c=-映成w =∞. ⽽dz c=-落在单位圆周|z |=1,所以1d c -=,|c |=|d |.故系数应满⾜ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作⽤下，下列集合的像. (1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0. 解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代⼊得. 22222i 1(1i )12i i 1111y y y yw y y y y ----+===+?++++ 写成参数⽅程为2211y u y -+=+， 221yv y =+, y -∞<<+∞. 消去y 得，像曲线⽅程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是⼀圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代⼊得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数⽅程.354cos u θ=+ 4sin 54cos u θθ=+ 02πθ≤≤ 消去θ得，像曲线⽅程为⼀阿波罗斯圆.即22254()()33u v -+=(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-?<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+.即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出⼀个将右半平⾯Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换. 解：设映射将右半平⾯z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞，所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=?-其中k 为常数.⼜因为00z z w k z z -=?-,⽽虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则i 00||1e ()z z w k k k z z θθ-=?==?=∈-R故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=?>-.10. 映射e 1i z w zαα-=?-?将||1z <映射成||1w <,实数?的⼏何意义显什么？解：因为2i i 22(1)()()1||()e e (1)(1)z z w z z z ?αααααα-----'=?=?-?- 从⽽2i i 2221||1()e e (1||)1||w ?αααα-'=?=?-- 所以i 2arg ()arg e arg (1||)w ?αα?'=-?-= 故?表⽰i e 1z w zθαα-=?-在单位圆α处的旋转⾓arg ()w α'.11. 求将上半平⾯Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满⾜条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f.解：将上半平⾯Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的⼀般分式线性映射为w =k z z αα-?-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，⼜由arg (i)0f '=,即i 22i()e (i)f z z θ'=?+,πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以ii iz w z -=?+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f ,得k α联⽴解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满⾜条件： (1) f (12)=0, f (-1)=1. (2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ?'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为i e1z w zθαα-=-?, |α|<1.(1) 由f (12)=0，知12α=.⼜由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--?=-=?=-?=+.故12221112zz z w z --=-?=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，⼜i 254e (2)z w z θ-'=?- i 11224π()earg ()32f f θθ''=?==，于是π21i 2221e ()i 12zz z w z--==?--. (3) 先求=()z ξ?，使z =a 0ξ→=，arg ()a ?θ'=,且|z |<1映成|ξ|<1. 则可知 i =()=e 1z a z a zθξ?-?-?再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1. 先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则=()=1w aw a wξψ--?.因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z aa w a zθ--?-?-?.13. 求将顶点在0，1，i 的三⾓形式的部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三⾓形的部的分式线性映射.解：直接⽤交⽐不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1--2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i- 4z(i 1)(1i)w z -=--+.14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射. 解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交⽐不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z=-.讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.⼜w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平⾯上的曲线221124x y ??-+= ??映射到w 平⾯上的什么曲线？解：略.16. 映射w =e z将下列区域映为什么图形. (1) 直线⽹Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤; (3) 半带形区域Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1）令z =x +i y , Re(z )=C 1, z =C 1+i y 1i =e e Cyw ??, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ??故=e zw 将直线Re(z )映成圆周1e Cρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ?=.（2）令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e ee e ,z x yx y w y αβ+==?<<故=e zw 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的⾓为βα-的⾓形区域. （3）令z =x +i y ，x >0，0 i =e e e (0,0)e 1,0arg z x yx w x y w αα=?><<<故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,01, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平⾯除去线段-1w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再⽤分式线性映射. 1211i 1w w w +=-?-将|w 1|<1映为上半平⾯Im(w 2)>0, 然后⽤幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平⾯，最后⽤分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平⾯. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ++--?- ? ?----=====+++?? ++-?++ ? ?--.18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππIm()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：⽤1e zw =将区域映为有割痕(0,1)的右半平⾯Re(w 1)>0；再⽤1211ln1w w w +=-将半平⾯映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；⼜⽤3w =⾯；再⽤43ln w w =将区域映为半带形00；最后⽤42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-.19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平⾯Im(w )>0的映射. 解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域00保形映射为∞平⾯上的什么区域. 解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0w =将区域映为单位圆的上半圆部|w 2|<1,Im(w 2)>0. （3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平⾯Im(w )<0.。
4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
复变函数与积分变换练习题带答案(1)
f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .
复变函数与积分变换 全套 课后答案
1 π
k 0,1
i π π ∴ z1 6 4 cos i sin 6 4 e 8 8 8 πi 9 9 z2 6 4 cos π i sin π 6 4 e 8 ． 8 8 1 1 9
9.设 z e
3 2 2 2 2 x x 2 y 2 2 xy 2 y x y 2x y i
x3 3xy 2 3x 2 y y 3 i
∴ Re z 3 x 3 3xy 2 ,
Im z 3 3x 2 y y 3 ．
z w z 2 Re z w w z w z 2 Re z w w
zw zw 2 z w
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
并给出最后一个等式的几何解释． 证明： z w z 2 Re z w w 在上面第五题的证明已经证明了． 下面证 z w z 2 Re z w w ． ∵ z w z w z w z w z w
2 i 3 2i 2 i 3 2i 2 i 3 2i 4 7i
④解：
1 i 1 i 2 2 2 2
1 i 1 i 1 i 2 2 2 4、证明：当且仅当 z z 时，z 才是实数．
z z z w w z w w z zw z w w z w
≤
2
2
2
2
2 Re z w
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试卷及答案详解
20XX年（上）高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试卷及答案详解第一部分选择题一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设z=1+2i，则Imz3= ( )A．－2 B．1C．8 D．142．z=(1+cost)+i(2+sint)，0≤t＜2－n所表示的曲线为( )A．直线B．双曲线C．抛物线D．圆3. In（－1）为( )A．无定义的B．0C．πi D．(2k +1)πi(k为整数)4．设z=z+iy，则(1+i)z2的实部为( )A．x2－y2+2xy B．x2－y2－2xyC．x2+y2+2xy D．x2+y2－2xy5．设z=z+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3－3x2y，则f(z)的实部u可取为( )A．x3－3xy2B．3xy2－x3C．3x2y－y3D．3y3－3x36．设C为正向圆周|z|=1，A. OB. 1C. πiD. 2πi7．设C为从－i到i的直线段，A. iB. 2iC. －iD. －2i8．设C为正向圆周|z|=1，A．2πi·sinl B．－2πiC．0 D．2πi9．A．－1 B．0C．1 D．不存在10.以z=0为本性奇点的函数是A．sinz/z B．1/[z(z－1)]C．(1－cosz)/z2D．sin(1/z)11．f(z)=1/e z－1在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为A．πi B．2πiC．πD．2π12．A.OB. 1/10!C. 1D. 10!13．设函数，则Res[f(z)，－i]=A．0 B．－ie/4C．ie/4 D．e/414.把点z=l，i，－1分别映射为点w=∞，－1，0的分式线性映射为A．w=(z－1)/(z+1) B．w=i(z+1)/(1－z)C．w=(z+1)/(1－z) D．w=i(z－1)/(z+1)15.w=e z把带形区域0＜Imz＜2π映射成形平面上的A．上半复平面B．整个复平面C．割去负实轴及原点的复平面D．割去正实轴及原点的复平面第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模.幅角。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )].则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件.则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=.求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数.且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．⎰=-2||)1(z z z dz2．⎰-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ .ππk arctg 22ln 32+-2.3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 0 7.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域9.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ⎰∞+-0)(dt e t f st二、解：∵y ux x v ∂∂-=-=∂∂ xuy y v ∂∂==∂∂∴c xy u += （5分）c xy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z i xyi y x i y x i xy z f -=+--=--=（2分）三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π 01=z 12=z（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π 33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126⨯⨯i π=i 63π-四、1．解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221 （3分） z 1=0z 2=1]11[2+-=i π=0（2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π-五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i （2分） 六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（3分） ∴结论成立 （2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i（2分）七、解：∵⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX（3分）S （2）-（1）：∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y tt -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ； ③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（ ）条件。
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。
山东大学自学考试作业答案(复变函数)
第一章复变函数第二章解析函数1、.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性解：设f(z)=u+iv, 其中u=x³-3xy, v=3yx²-y³由可导条件需满足: 柯西-黎曼条件，即∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x而∂u/∂x=6x²+3y, ∂u/∂y=-3x,∂v/∂x=6xy, ∂v/∂y=3x²-3y²若要满足柯西-黎曼条件，需要6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy即x²+y²+y=0，y=1/2,所以f(z)在直线x²+y²+y=0，y=1/2,上可导，而由解析的定义，f(z)在整个复平面上处处不解析。
3、求cos(1-i)解：cos(1-i)={e^[i(1-i)]+e^[-i(1-i)]}/2=[e^(1+i)+e^(-1-i)]/2=(1/2)e^(1+i) + (1/2)e^(-1-i)=(e/2)(cos1+isin1) + [1/(2e)](cos1-isin1)第三章复变函数的积分3、已知u=x^2+xy-y^2，，f(i)=-1+i.求f(z)=u+iv解：设f(z)=u+iv为解析函数，则由Cauchy-Riemann方程知∂v/∂x=-∂u/∂y=-x+2y；∂v/∂y=∂u/∂x=2x+y。
v=-x^2/2+2xy+y^2/2+C，C为常数。
f(z)=u+iv=x^2+xy-y^2+i(-x^2/2+2xy+y^2/2+C)=(1-i/2)(x^2+2ixy-y^2)+iC=(1-i/2)(x+iy)^2+iC=(1-i/2)z^2+iC，f(i)=-1+i代入，得C=1/2，f(z)=(1-i/2)z^2+i/2学习复变函数与积分变换的心得这个学期我自学了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同自学的概率统计一样也是自考课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。
7月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析试卷及答案解析
1全国2018年7月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共30分)1.已知方程(1+2i)z=4+3i ，则z 为( )。
A. 2+iB. -2+iC. 2-iD. -2-i2.方程Re(z+2)=1所代表的曲线是( )。
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线3.复数z=-(cos 3π+isin 3π)的三角形式是( )。
A. (cos 32π+isin 32π) B. (cos 3π+isin 3π) C. (cos 32π+isin 32π-) D. (cos 3π-+isin 3π-)4.设z=cos(π+5i)，则Rez 等于( )。
A. 2e e 55+-- B. 2e e 55+- C. 2e e 55-- D. 05.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是( )。
A. u,v 在点z 0处有偏导数B. u,v 在点z 0处可微C. u,v 在点z 0处满足C-R 条件D. u,v 在点z 0处可微，且满足C -R 条件6.复数e 3-2i 所对应的点( )。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.设函数f(z)和g(z)均在点z 0处解析，且f(z 0)=g(z 0)=0,g '(z 0)≠0，则)z (g )z (f lim 0z z →等于()。
A. 0 B. )z (g )z (f 00''2 C. 200)]z (g [)z (f '' D. 不存在8.设C ：｜z+3｜=1的正向，则dz i z dz c ⎰-等于( )。
A. 1B. 0C. 2πiD. 12πi 9.级数=∑∞=1n in e是( )。
A. 收敛B. 发散C. 绝对收敛D. 条件收敛10.设C ：｜z ｜=1的正向，则⎰c dz z z cos =( )。
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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第一篇第1章1.已知1313222z i -==-，求||z ，Argz 。
2.已知112i z +=，23z i =-，求12z z 及12zz 。
3.设1z 、2z 是两个复数。
求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。
4.证明：函数22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩在原点不连续。
5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数）第2章1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。
2.解方程13z e i =+3.求cos(1)i -4.设3w z =确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z 平面上，并且3(2)2w -=-（这是边界上岸点对应的函数值），试求()w z 的值。
5.设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。
第3章1.计算256z c e dzz z ++⎰其中C 为单位圆周|z|=12.求积分220(281)az z dz π++⎰3.已知：22u x xy y =+-，()1f i i =-+求解析函数()f z u iv =+4.计算积分331(1)(1)C dzz z -+⎰ ,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周(2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周第4章1．将函数)2()1(1)(--=z z z f 在0z =点展开为洛朗(Laurent)级数．2．讨论级数10()n n n z z ∞+=-∑的敛散性3．求下列级数的和函数. (1)11(1)n nn nz ∞-=-⋅∑ (2)20(1)(2)!nnn z n ∞=-⋅∑ 4．用直接法将函数ln(1e )z -+在0z =点处展开为泰勒级数,(到4z 项),并指出其收敛半径.第5章1. 计算积分2||252(1)z z dz z z =--⎰2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数3．z z z zz d )1(sin 2||22⎰=- 4． ()()()10cd i 13zz z z +--⎰ c :|z |=2取正向．第6章1．求一映射，将半带形域0,22><<-y x ππ映射为单位圆域.2．求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象. 3．求把区域{:||1,Im 0}D z z z =>>映射到单位圆内部的共形映射第二篇第1章1．证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有⎰+∞⋅=0d sin )()(ωωωt b t f 其中()⎰+∞⋅=tdt sin π2)(ωωt f b 当f (t )为偶函数时，则有⎰+∞⋅=0cos )()(ωωtd w a t f 其中⎰+∞⋅=02tdt c f(t))(ωωπos a2． 求下列函数的傅里叶变换(1)()tf t e -=(2)2()t f t t e-=⋅3.已知函数()f t 的傅里叶变换()00F()=π()(),ωδωωδωω++-求()f t4.设函数f (t )的傅里叶变换()F ω，a 为一常数. 证明1[()]().f at F a a ωω⎛⎫=⎪⎝⎭第2章1．用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y2.求下列函数的拉普拉斯变换 （1）2,01()1,120,2t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩(2)cos ,0π()0,πt t f t t ≤<⎧=⎨≥⎩3. 计算下列函数的卷积 （1）e t t * （2）sin sin at at *作业答案第一篇第1章1.解：2213||()()122z =+=32arctan 2,0,1,2,12Argz k k π-=+=±±……2.解：4112i i z eπ+==6232iz i eπ-=-=所以64121222i iiz z e e e πππ-==54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-=== 3.证明：2121212||()()z z =-z -z z -z22121221||||z z z z z z =+--22121212||||z z z z z z =+--221212||||2Re()z z z z =+- 4．证明：22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩当点z x yi =+沿y kx =趋于0z =时，()1k f z k→+ 故当k 取不同值时，()f z 趋于不同的数∴()f z 在原点处不连续5．证明：设直线方程的一般形式为0az az c ++=（a ，b ，c 均为实常数，a ，b 不全为零） 因为：,22z z z zx y +-==代入化简得： 11()()022a bi z a bi z c -+++= 令1()02a bi α-=≠得z z c αα+=反之，设有方程z z c αα+=（复数0α≠，c 是常数） 用z x iy =+代入上式，且令1()2a bi α=+化简即得第2章1.解：因32(,)3u x y x xy =-，23(,)3v x y x y y =-而22(,)33x u x y x y =-，(,)6y u x y xy =-(,)6x v x y xy =，22(,)33y v x y x y =-由于(,),(,),(,),(,)x y x y u x y u x y v x y v x y 这四个偏导数在z 平面上处处连续，且满足C-R 方程。
由定理知，f(z)在z 平面上处处可微且解析 2．解：(13)z Ln i =+ln 2(arg(13)2)i i k π=+++ln 2(2)(0,1,23i k k ππ=++=±±……）3．解：(1)(1)cos(1)2i i i i e e i ---+-=112i i e e +--+=11()cos1()sin122e e e e i --+-=+4．解：设i z re θ=，则3(),0,1,2k w r z k ==这里,,()||0z G r z z πθπ∈-<<=>且必 （1） 由一定条件定k ：Z=-2时，(2)2,2r θπ-=-=（） 要 233322k ieππ+-=，则必有k=1（2） 求()w i 的值因()1,()2r i i πθ==则54()iw i e π=5．解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-=y x yv xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂均连续， 要满足R C -条件，必须要222234,43y xy y x x ==成立即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析；,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='xv ixu f)1(1627)4343()43,43()43,43(i xv ixu i f +=∂∂+∂∂=+'第3章1．解：256(2)(3)z ze e z z z z =++++ 因奇点z=-2,-3在单位圆||1z ≤外部，所以256ze z z ++在||1z ≤处处解析。
由柯西积分定理：2056z c e dzz z =++⎰ 2．解：由于2()(281)f z z z =++在z 平面上解析 所以在z 平面内积分与路径无关因此，选取最简单的路径为0与2a π的直线段[0,2a π]则：22322002(281)(4)|3aaz z dz z z z ππ++=++⎰3322161623a a a πππ=++3．解：由C-R 条件2x y u v x y ==+则2(2)2()2y v x y dy xy x ϕ=+=++⎰又因为y x u v =- 即'2(2())x y y x ϕ-=-+则'()x x ϕ=- 即2()2x x C ϕ=-+2222()()(2)22y x f z u iv x xy y i xy C =+=+-++-+又221()1()12f i i C i =-++=-+所以12C =故22221()()(2)222y x f z x xy y i xy =+-++-+4．解：(1)C 内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ===-++⎰(2)C 内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ=-==--+-⎰第4章1．解：)2()1(1)(--=z z z f 2111-+--=z z z z ---=2111， 在复平面上以原点为中心分为三个解析环：1||0<≤z ， 2||1<<z ， +∞<<||2z ．(1) 在1||0<≤z 内，⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212111)(z zz f∑∑+∞=+∞=-=0221n n nn nz z ∑+∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01211n n n z ． (2) 在2||1<<z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2121111)(z z z z f∑∑+∞=+∞=--=022111n n n n n z z z∑∑+∞=++∞=+--=010121n n nn n z z ．(3) 在+∞<<||2z 内，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=z z z z z f 211111)(∑∑+∞=+∞=+-=02111n nn n n z zz z∑+∞=+-=011)12(n n nz ． 2．解 因为部分和110()1nk k n n k s z z z ++==-=-∑，所以，1,1n z s <→-当时1,0n z s =→当时，1,n z s =-当时不存在.当i e z θ=而0θ≠时（即1,1z z =≠），c o s θ和sin θ都没有极限,所以也不收敛．,n z s →∞当>1时.故当1z =和1z <时, 10()n nn z z ∞+=-∑收敛.3．解: （1）11limlim 1n n n nC n C n +→∞→∞+==故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：-111(1)(1)1z nn n n n n znz dz z z ∞∞==-=-=+∑∑⎰所以-1211(1)(),11(1)n n n z nz z z z ∞='-⋅==<++∑于是有：11211(1)(1)1(1)n nn n n n znz z n z z z ∞∞--==-⋅=--⋅=-<+∑∑(2)令：20()(1)(2)!nnn z s z n ∞==-⋅∑ 11limlim 0.(21)(22)n n n nC C n n +→∞→∞==++ 故R=∞, 由逐项求导性质211()(1)(21)!n nn z s z n -∞='=-⋅-∑ 2222+1100()(1)(1)(1)(1)(22)!(2)!(2)!n m nn m n n m n z z z s z m n n m n -∞∞∞===''=-⋅=-⋅=-=--⋅-∑∑∑由此得到()()s z s z ''=-即有微分方程()()0s z s z ''+=故有：()cos sin s z A z B z =+， A, B 待定。