2014年高考一轮复习数学教案：2.5 反函数

2.5 反函数

●知识梳理

1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样

的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1

（y ）.

在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y 表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1

（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1

（x ）.

2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1

（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.

3.求反函数的步骤：

（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.

（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基

1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－1

1+x （x ≠－1）的反函数是

A.y =－

x

1－1（x ≠0）

B.y =－x

1+1（x ≠0）

C.y =－x +1（x ∈R ）

D.y =－x －1（x ∈R ）

解析：y =－1

1+x （x ≠－1）⇒x +1=－y

1⇒x =－1－y

1.x 、y 交换位置，得y =－1－

x

1.

答案：A

2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为

A.y =2x －1－1（x ＞1）

B.y =2x －1

+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0）

解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1

－1.

∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A

3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－2

1）的反函数 A.在［－

2

1，+∞）上为增函数

B.在［－

2

1，+∞）上为减函数

C.在（－∞，0］上为增函数

D.在（－∞，0］上为减函数

解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－2

1）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－2

1，+∞）

上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.

答案：D

4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）

=______________.

解析：y =－x 2

（x ≤－2），y ≤－4.

∴x =－y -.x 、y 互换，

∴f －1

（x ）=－x -（x ≤－4）.

答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=

2

+x x ，则f －1

（

3

1）=___________.

解法一：由f （x ）=

2

+x x ，得f －1（x ）=

x

x -12.∴f －1（

3

1）=

3

11312-

⋅=1. 解法二：由2

+x x =

3

1，解得x =1.

∴f －1（

3

1）=1.

答案：1

评述：显然解法二更简便. ●典例剖析

【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x

2

1的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞）

B.（－∞，0］

C.［0，2）

D.（－2，0］

解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.

答案：C

深化拓展

1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.

2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）

【例2】 求函数f （x ）=⎩

⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.

解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）. ∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨

⎧<+-≥--

).

2(1

),2(1

x x x x

评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函

数也是分段函数.