幂函数题型及解析
3.3幂函数(7大题型)高一数学(人教A版必修第一册)课件
D ． p 为 偶 数 ， q为奇 数且 < 0
）
典型例题
题型四：幂函数的图象、定点问题
【对点训练8】（2023·全国·高一假期作业）已知 ( ) = (2 − 1) + 1，则函数 = ( )的图象恒过的定点
的坐标为
．
【答案】 (1,2)
【解析】令 2 − 1 = 1 ，得 = 1, = 2 ，
故选：C.
2 ；⑤
= ，其中幂函
典型例题
题型二：求函数解析式
【例2】若 = 2 − 4 + 5 − + + 1 是幂函数，则 2 ＝
【答案】
1
4
2
− 4 + 5 = 1 ，解得 ቊ = 2 ，
【解析】由题意得 ቊ
= −1
+1=0
故 = −2 ，所以 2 = 2 −2 =
典型例题
题型二：求函数解析式
1
2
【对点训练3】已知 ∈ −2, −1, − , 2 ，若幂函数 = 为偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，则
=
．
【答案】 -2
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递减，所以 < 0 ，
当 = −2 时， = −2 是偶函数，成立
当 = −1 时， = −1 是奇函数，不成立，
1
1
当 = − 时， = − 2 的定义域是 0, +∞ ，不是偶
2
函数，故不成立，
综上， = −2.
故答案为：−2
典型例题
题型三：定义域、值域问题
4
【例3】（1）函数 = 5 的定义域是
高中数学幂函数的定义练习及答案
高中数学幂函数的定义练习及答案题型一：幂函数的定义【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 形如(01)x y a a a =>≠且的函数叫做幂函数，答案为B ．【答案】B【例2】 11．函数的定义域是 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】【例3】 如果幂函数()f x x α=的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）. A. 16 B. 2 C. 116 D. 12【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】D【例4】 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f 的值为 .【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】典例分析【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x =【考点】幂函数的定义 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例6】 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 A 错，当0α=时函数y x α=的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B 错，如幂函数1y x -=的图象不过点（0，0）；C 错，如幂函数1y x -=在定义域上不是增函数；D 正确，当0x >时，0x α>．【答案】D【例7】 函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无 【解析】 幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可以得到关于m 的等式和不等式，从而解出m 的值. ∵2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，∴函数可以写成如下形式a y x =(a 是有理数) ∴211m m --=，解得121,2m m =-= 当11m =-时，211212m m Q --=∈22m =时，222211m m Q --=-∈∴m 的值域为-1或2.【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a 是有理数. 【答案】-1或2【例8】 求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.使函数有意义，则x 必须满足0030x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪-≠⎩，解得：0x >且3x ≠即函数的定义域为{|0,3}x x x >≠且.【答案】{|0,3}x x x >≠且【例9】 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（ ）．Ａ．12)，Ｂ．1)+，∞ Ｃ．(22)-，Ｄ．(11--+ 【考点】幂函数的定义【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】 要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<．解得1m >．故选（Ｂ） 【答案】Ｂ【例10】 讨论幂函数a y x =(a 为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 (1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U (3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【答案】(1)若*a N ∈，则x ∈R ，这是函数的定义域为R .(2)若a ∈{负整数} {0}U ，则(,0)(0,)x ∈-∞+∞U ，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U(3)若na m=*(,,,)m n N m n ∈且互质，则： ①m 是偶数，x R -∈，这是函数的定义域是R -； ②m 是奇数，x R ∈，这时函数的定义域为R(4)若na m=-*(,,,)m n N m n ∈且互质，则：①m 是偶数，x R +∈，这是函数的定义域是R +；②m 是奇数，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，这时函数的定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞.【例11】 已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ 幂函数图象与x 、y 轴都没有公共点，∴ 6020m m -<⎧⎨-<⎩，解得26m <<.又 ∵ 2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称， ∴ 2m -为偶数，即得4m =.【答案】4m =【例12】 幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 ∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以，25()f x x =或85()f x x =.【答案】25()f x x =或85()f x x =.【例13】 已知幂函数223()()mm f x x m Z --=∈ 的图形与x 轴对称，y 轴无交点，且关于y 轴对称，试确定的解析式.【考点】幂函数的定义 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 由()22230232m m m m n n N m Z ⎧--≤⎪--∈∈⎨⎪∈⎩得113m =-，， 1m =-和3时解析式为()0f x x =，1m =是解析式为()4f x x -=【答案】()4f x x -=题型二：幂函数的性质与应用【例14】 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.A. 1y x =B. 12y x = C. 1()3x y = D. 2215y x x =--【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】B【例15】 下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ）A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x-=【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 A 、D 中的函数为偶函数，但A 中函数在(,0)-∞为减函数．【答案】C【例16】 942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】5；【例17】 比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 （1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<< ∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-【答案】（1）6611110.60.7<（2）5533(0.88)(0.89).-<-【例18】 幂函数(1)knmy x-=（,,*,,m n k N m n ∈互质）图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】k m ,为奇数，n 是偶数；【例19】 求证：函数3x y =在R 上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无 【解析】【答案】显然)()()(33x f x x x f -=-=-=-，奇函数；令21x x <，则))(()()(22212121323121x x x x x x x x x f x f ++-=-=-， 其中，显然021<-x x ，222121x x x x ++=2222143)21(x x x ++，由于0)21(221≥+x x ，04322≥x ，且不能同时为0，否则021==x x ，故043)21(22221>++x x x .从而0)()(21<-x f x f . 所以该函数为增函数.【例20】 设120.7a =，120.8b =，c 3log 0.7=，则（ ）.A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 【答案】B【例21】 比较下列各组数的大小： 32(2)a + 32a ； 223(5)a -+ 235-； 0.50.4 0.40.5.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无 【解析】【答案】>,≤, <,【例22】 （1）若0a <，比较12,(),0.22aa a 的大小；（2）若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 （1）当0a <时，幂函数a y x =在(0,)+∞上单调减，∵10.222<<，∴12()0.22a a a <<． （2）当10a -<<时，13330,0,0aa a ><<， 指数函数()x y a =-在(0,)+∞上单调减，∵133>，∴1330()()a a <-<-，∴ 1330a a >>， ∴ 1333a a a >>【答案】（1）12()0.22aa a <<（2）1333a a a >>【例23】 函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1- C ．4D ．4-【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无【解析】 函数2y x -=在区间1[,2]2上单调减，当12x =时，max 4y =．【答案】C【例24】 函数2422-+=x x y 的单调递减区间是【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 由22240x x +-≥得：46x x ≥≤-或，∵ 函数12y t =在[0,)+∞上为增函数，函数2224t x x =+-在(,6]-∞上为减函数，故所给函数的单调减区间为(,6]-∞-．【答案】(,6]-∞-【例25】 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】C【例26】 已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】 设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=， 所以13y x =，在R 上单调递增.【答案】R 上单调递增【例27】 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ． 无法确定 【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】A【例28】 已知0＜a ＜1，试比较()(),,aa a a a a a a 的大小．【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.为比较a a 与()a a a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数()()01a f x x a =<<在区间[0,]+∞上是增函数，因此只须比较底数a 与a a 的大小，由于指数函数x y a = (0＜a ＜1)为减函数，且1>a ，所以a a a <，从而()a a a a a <.比较a a 与()aa a 的大小，也可以将它们看成底数相同(都是a α)的两个幂，于是可以利用指数函数 (),01x a yb b a a ==<<是减函数，由于1>a ，得到a a a <.由于a a a <，函数x y a = (0＜a ＜1)是减函数，因此()aa a a a >.综上，()()aa a a a a a a >>【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..【答案】()()aa a a a a a a >>【例29】 已知1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数，对于不同的a +1和3-2a 进行讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..∵13(1)a -+和13(32)a --是幂函数13()f x x -=的两个函数值， 且13()f x x -=在(,0)-∞、(0,)+∞上是减函数当10,320a a +>->时，有1320a a +>->，解得2332a <<； 当10,320a a +<-<时，有3210a a -<+<，此时无解当(1)(32)0a a +-<时，有10a +<且320a ->，解得1a <-综上可知a的取值范围为23 (,1)(,)32 -∞-⋃.【答案】23(,1)(,)32-∞-⋃.【例30】若11(1)(32)m m--+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（分类讨论）：（1）10320132mmm m+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm<<；（2）10320132mmm m+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320mm+<⎧⎨->⎩，，，解得1m<-．综上可得23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞．【答案】23(1)32m⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭U，，∞【例31】若33(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】（利用单调性）：由于函数3y x=在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m+<-，解得23m<．【答案】23m<【例32】若1122(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】由图3，10320321mmm m+⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得213m-<≤．【答案】213m-<≤【例33】若44(1)(32)m m+<-，试求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质与应用【难度】2星【题型】解答【关键词】无【解析】作出幂函数4y x=的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+U，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x=．于是有44(1)(32)m m+<-，即44132m m+<-．.又∵幂函数4y x=在(0)+，∞上单调递增，∴132m m+<-，解得23m<，或m＞4．【答案】23m<，或m＞4【例34】已知函数2()f x x=，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x=-+-+，问是否存在实数(0)q q<，使得()g x在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【考点】幂函数的性质与应用【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】∵2()f x x=，则42()(21)1g x qx q x=-+-+．假设存在实数(0)q q<，使得()g x满足题设条件，设12x x<，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x-=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--．若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <， ∴2212()32q x x q +<.． 从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立．∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>． 要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4-∞-，上是减函数，且在(40)-，上是增函数．【答案】存在，130q =-【例35】 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为正常数，且a <10，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【考点】幂函数的性质与应用 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A (110x+)， 现在卖出个数为110bx B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，现在售货金额为111110101010x bx x bx A B AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，应交税款为11101010x bx a AB ⎛⎫⎛⎫+-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，剩余款为21111111010101010010x bx a a b b y AB AB x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=--++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以5(1)b x b -=时y 最大 要使y 最大，x 的值为5(1)b x b-=.【答案】5(1)b x b-=题型三：幂函数的图像【例36】 函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】【答案】D【例37】 函数43y x =的图象是（ ）【考点】幂函数的图像 【难度】1星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】A【例38】 幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象如图所示，则（ ）.A ．101n m -<<<<B ．1,01n m <-<<C ．10,1n m -<<>D ．1,1n m <-> 【考点】幂函数的图像 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由幂函数图象在第一象限内的分布规律，观察第一象限内直线1x =的右侧，图象由下至上，依次是n y x =，1y x -=，0y x =，m y x =，1y x =，所以有101n m <-<<<. 选B.点评：观察第一象限内直线1x =的右侧，结合所记忆的分布规律. 注意比较两个隐含的图象1y x =与0y x =.【答案】B.【例39】 【答案】如图1—9所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<【考点】幂函数的图像 【难度】2星【题型】选择【关键词】无 【解析】 【答案】D【例40】 下图为幂函数y x α=在第一象限的图象，则1234,,,αααα按由小到大的顺序排列为 。
高三数学幂函数试题答案及解析
高三数学幂函数试题答案及解析1.若，则满足的取值范围是 .【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.【考点】幂函数的性质.2.对于函数f(x)若存在x0∈R，f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，若y＝f(x)图象上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y＝kx＋对称，求b的最小值．【答案】（1）－1和3.（2）(0,1)（3）－【解析】解：(1)∵a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，f(x)＝x⇒x2－2x－3＝0⇒x＝－1，x＝3，∴函数f(x)的不动点为－1和3.(2)即f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1＝x有两个不等实根，转化为ax2＋bx＋b－1＝0有两个不等实根，需有判别式大于0恒成立，即Δ＝b2－4a(b－1)>0⇒Δ1＝(－4a)2－4×4a<0⇒0<a<1，∴a的取值范围为(0,1)．(3)设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则x1＋x2＝－，则A，B中点M的坐标为(，)，即M(－，－)．∵A，B两点关于直线y＝kx＋对称，且A，B在直线y＝x上，∴k＝－1，A，B的中点M在直线y＝kx＋上．∴－＝＋⇒b＝－＝－，利用基本不等式可得当且仅当a＝时，b的最小值为－.3.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．【答案】【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝4.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为() A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】A【解析】当α=-1时函数定义域为{x|x≠0}.当α=时,定义域是[0,+∞),都不符合条件.当α=1,3时,幂函数定义域为R且为奇函数.故选A.5.幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】设幂函数，由，得.【考点】幂函数6.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.7.已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数（1）求函数的解析式；（2）设函数，其中.若函数仅在处有极值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据函数的单调性分析出指数大于零，解不等式可得的取值范围，再利用得，然后根据幂函数为偶函数可得；（2）根据导数求极值，为使方程只有一个根，则必须恒成立，于是根据判别式可求.试题解析：（1）在区间上是单调增函数，即又 4分而时，不是偶函数，时，是偶函数，. 6分（2）显然不是方程的根.为使仅在处有极值，必须恒成立， 8分即有，解不等式，得. 11分这时，是唯一极值. . 12分【考点】1.幂函数；2.函数的单调性；3.导数公式；4.函数的极值.8.函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（）A．B．C．D．或【答案】【解析】是幂函数或 . 又上是增函数,所以.【考点】幂函数的概念及性质.9.函数由确定，则方程的实数解有( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】因为，所以.方程为：，化简得，其根有3个，且1不是方程的根.【考点】幂的运算，分式方程的求解.10.下列对函数的性质描述正确的是（）A．偶函数，先减后增B．偶函数，先增后减C．奇函数，减函数D．偶函数，减函数【答案】B【解析】是偶函数，图象关于y轴对称，而在（0，+∞）是减函数，所以，在（-∞.0）是增函数，故选B。
高中数学幂函数
重点内容： 幂 函 数1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，1/2y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象.2. 观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点 ；在(0,)+∞上 是 函数.（2）当0α<时，图象过定点 ；在(0,)+∞上是 函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .题型（一）：求幂函数解析式例1：已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．变式1：幂函数273235()(1)t t f x tt x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.题型（二）：判断幂函数的奇偶性例2：一个幂函数y ＝f (x)的图象过点(3,427),另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8, －2),(1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性；变式1：下列函数中既是偶函数又是(,0)-∞上是增函数的是（ ） A ．43y x = B ．32y x = C ．2y x -= D ．14y x -=题型（三）：求幂函数的增减区间例3：函数y ＝52x 的单调递减区间为 ___________________.练习：1.函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是_______．2.函数y ＝34x -在区间上_______ 是减函数．题型（四）：图像例1：幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝12x 的图象经过的“区域”是( )．A ．④，⑦B ．④，⑧C ．③，⑧D ．①，⑤ 变式1：函数43y x =的图象是（ ）练习1：下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）32y x =；（2）13y x =；（3）23y x =；（4）2y x -=；（5）3y x -=；（6）12y x -=．。
幂函数题型及解析
α幂函数题型及解析1. （1 ）下列函数是幂函数的是y=x 2， y=（ ） x， y=4x 2 ， y=x 5 +1 ， y= （ x ﹣1）2 ， y=x ， y=a x （ a ＞ 1 ）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2 和 y=x ．解：由幂函数的定义知， y=x 2， y=（ ） x ，y=4x 2，y=x 5+1 ， y=（ x ﹣1 ） 2， y=x ，y=a x （ a ＞ 1），七个函数中是幂函数的是 y=x 2 和 y=x ，（ 2 ） ① y=x 2+1 ； ② y=2 x ； ③ y=； ④y=（ x ﹣1） 2； ⑤ y=x 5； ⑥ y=x x+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可． 解：根据幂函数 y=x， α∈R 的定义知，① y=x 2 +1 不是幂函数， ② y=2 x 不是幂函数， ③ y==x ﹣2是幂函数， ④ y=（ x ﹣1 ）2 不是幂函数， ⑤ y=x 5 是幂函数，⑥ y=x x+1 不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2. 已知幂函数 y=f （ x ）的图象过点（ 9 ， ） .（ 1）求 f （ x ）的解析式； （ 2）求 f （ 25 ）的值；（ 3）若 f （ a ） =b（ a ， b ＞0），则 a 用 b 可表示成什么？分析：（ 1）设出幂函数 f （ x ）的解析式，根据图象过点（ 9， ），求出函数解析式； （2 ）根据函数的解析式求出 f （25 ）的值；（ 3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系．解：（ 1 ）设幂函数 f （x ） =x t ，∵图象过点（ 9， ），∴ ；即 3 2t =3 ﹣1，∴，∴ ；（ 2 ）∵f （ x ）=，∴f （ 25） =25 -0.5 = = = ；（ 3）∵f （a ） =a -0.5 =b ，∴a -0.5 ＝ b ，∴a ﹣1 =b 2，∴a= ．3. 比较下列各组中两个值的大小（ 1 ） 1.5， 1.7；（ 2） 0.7 1.5 ， 0.6 1.5 ；（3） (2 1.2 ) 3，(1.25)21 3 54；（4 ）（ ） ﹣0.24与 ( ) ； 6（ 5 ） 3.1 0.5 ， 3.1 2.3 ；（ 6 ）（ ） ﹣1.5 ，（ ）﹣1.8 ；（ 7 ）0.6 2 ， 0.6 3 ；（ 8）（ ） ﹣0.3 ，（ ） ﹣0.24分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（ 1）∵幂函数 y= 3 x 5在（ 0 ，+ ∞）单调递增，∴ 3 1.553 ＜ 1.7 5；（ 2 ）∵幂函数 y=x 1.5 在（ 0， +∞ ）单调递增，∴0.7 1.5 ＞ 0.6 1.5 ；（3 ） ∵幂函数 y= 2x 3 在（﹣∞，0）单调递增， ∴(1.2) 23＞ (1.25) 23 ；（ 4）∵0＜ ＜ 1，﹣0.24，∴（ ） 0.24＜ ( 5) 614 ；（ 5）3.1 0.5 ＜ 3.1 2.3；（ 6）（ ）﹣1.5＞（ ） ﹣1.8 ；（ 7） 0.6 2 ＞0.6 3 ；（ 8）（ ） ﹣0.3＜（ ） ﹣0.244. 若函数 y=（ m 2 +2m ﹣2 ）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，求 m 的值②已知幂函数 y= （ m 2﹣m ﹣1） x m2 ﹣2m ﹣3，当 x ∈（0 ， +∞）时为减函数，求幂函数分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出 m 的值即可解：①∵函数 y=（ m 2 +2m ﹣2 ） x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2+2m-2=1 且 m ＞0；解得 m=1②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1 ）x m2 ﹣2m ﹣3 ，∴m 2﹣m ﹣1=1 ，解得m=2 ，或m= ﹣1；又x∈（0 ，+∞）时y 为减函数，∴当m=2 时，m 2-2m-3= ﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1 时，m 2-2m-3=0 ，幂函数为y=x 0 ，不满足题意；综上幂函数y=x -35. 幂函数y=（m 2 ﹣3m+3 ）x m 是偶函数，求m 的值分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1 ，即m 2﹣3m+2=0 ，则m=1 或m=2 ，当m=1 时，y=x 是奇函数，不满足条件．当m=2 时，y=x 2 是偶函数，满足条件，即m=26. 求函数y= x23 的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=22x 3 化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y= x 3= ，∴x≠0 ，且y＞0 ；∴函数y 的定义域是{x|x ≠0} ，值域是{y|y ＞0}7. 求函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可．解：令f（x）=﹣x2 ﹣3x+4= ﹣（x2 +3x+ ）+ =﹣+ ，∴f（x）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min = = ，∴函数y=0.2 ﹣x2 ﹣3x+4 的定义域是R、值域是[ ，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8. 已知幂函数y= x4 3 m m 2（m ∈Z）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象分析：由题意得4-3m-m 2 ＞0 解得﹣4 ＜m＜1 ，又因为图象关于y 轴对称，所以 4 ﹣3m ﹣m 2 必须为偶数，故m=0 ，﹣1 ，﹣2 ，﹣3 ，即可画出图象．解：由题意得 4 ﹣3m ﹣m 2＞0 ，即有（m+4 ）（m ﹣1）＜0，解得﹣4 ＜m＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0 ，﹣1 ，﹣2 ，﹣3 ，m= ﹣3 ，y=x 4，m= ﹣2 ，y=x 6，m= ﹣1 ，y=x 6，m=0 ，y=x 4其图象如图：9. 已知函数y= （n∈Z）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n 2 ﹣2n﹣3 为负数，且为偶数．由于当n=1 时，幂指数n 2﹣2n﹣3= ﹣4 ，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象．解：已知函数y= （n∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3 为非正数，且为偶数．由于当n=1 时，幂指数n2 ﹣2n ﹣3= ﹣4 ，满足条件，当n=3 时，n2 ﹣2n﹣3=0 ，满足条件故函数为y=x ﹣4，或y=x 0 ，它的图象如图所示：10. 已知幂函数y=x m﹣2 （m ∈N ）的图象与x，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．分析：由题意利用幂函数的性质可得m ∈N ，m ﹣2≤0，且m ﹣2 为偶数，由此求得m 的值．解：∵幂函数y=x m﹣2 （m ∈N）的图象与x，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，∴①m ﹣2 ＜0，m ﹣2 为偶数，故m=0 ，即幂函数y=x ﹣2，它的图象如右图所示．或②m ﹣2=0 ，m=2 ，此时y=x 0 ，（x≠0），它的图象如图所示11. 已知幂函数的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于y 轴对称，求m 的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m 2﹣2m ﹣3 ≤0 且m 2﹣2m ﹣3 为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y= （m ∈Z）的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于y 轴对称，∴m 2 ﹣2m ﹣3≤0 且m 2﹣2m ﹣3 为偶数（m ∈Z ），由m 2 ﹣2m ﹣3≤0 得：﹣1≤m ≤3 ，又m ∈Z ，∴m= ﹣1，0 ，1，2，3．当m= ﹣1 时，m 2﹣2m ﹣3=1+2 ﹣3=0 ，为偶数，符合题意；当m=0 时，m 2﹣2m﹣3= ﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m 2 ﹣2m ﹣3=1 ﹣2 ﹣3= ﹣4 ，为偶数，符合题意；当m=2 时，m 2﹣2m ﹣3=4 ﹣4﹣3= ﹣3 ，为奇数，不符合题意；当m=3 时，m 2﹣2m ﹣3=9 ﹣6﹣3=0 ，为偶数，符合题意．综上所述，m= ﹣1，1，312. 已知幂函数y=x m2 ﹣2m ﹣3（m ∈Z）的图象与x、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m 的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m 2 ﹣2m ﹣3＜0，且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，解此不等式组可得m 的值．解：幂函数y=x m2 ﹣2m ﹣3（m ∈Z ）的图象与x、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m 2﹣2m ﹣3＜0 ，且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，即﹣1 ＜m＜3 且m 2﹣2m ﹣3 为奇数，∴m=0 或2，∴y=x ﹣3 ，其图象为：13. 若实数m 满足不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，求实数m 的取值范围分析：不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，即为（）﹣（4m+6 ）＜（）3m ，再由y=（）x 在R 上递增，得到﹣（4m+6 ）＜3m ，解出即可．解：不等式0.64 2m+3 ＜1.25 3m ，即为0.8 2（2m+3 ）＜（）3m ，即有（）﹣（4m+6 ）＜（）3m ，由于y=（）x 在R 上递增，则﹣（4m+6 ）＜3m ，解得，m＞﹣，故实数m 的取值范围是（﹣，+∞）14. 已知幂函数若该函数还经过点．（1 ）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2），求m 的值并求满足条件f（2 ﹣a ）＞f（a﹣1）的实数 a 的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2 ）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1 ）∵m 2 +m=m （m+1 ），m ∈N *∴m 2+m 为偶数，∴x ≥0 ，所以函数定义域为[0 ，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2 ）依题意得：，∴，∴m=1（m ∈N*）由已知得：，∴，故 a 的取值范围为：Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结
根据幂函数的增减性知识点及题型归纳总结一、增减性的概念幂函数是指形如 y = ax^n （其中a ≠ 0 且 n 是整数）的函数。
增减性是指函数图像在定义域内的上升和下降趋势。
二、幂函数的增减性质1. 当 a > 0 时，a) 若 n > 0，函数是递增的。
b) 若 n = 0，函数是常数函数。
c) 若 n < 0，函数是递减的。
2. 当 a < 0 时，a) 若 n > 0 且 n 为奇数，函数是递增的。
b) 若 n > 0 且 n 为偶数，函数在 x > 0 时递减，在 x < 0 时递增。
c) 若 n < 0，函数是递减的。
三、常见题型归纳1. 判断题型：给定一个幂函数的函数式，判断它的增减性质。
示例：对于函数 y = 2x^3，其中 a = 2，n = 3，由于 a > 0 且 n > 0，所以函数是递增的。
2. 求解题型：根据幂函数的增减性，求解满足一定条件的未知数。
示例：求解不等式 5x^2 - 3x ≥ 0 的解集。
首先判断函数 y =5x^2 - 3x 的增减性，由于 a = 5，n = 2，a > 0 且 n > 0，所以函数是递增的。
然后求解方程 y = 5x^2 - 3x = 0 的解集，得到 x = 0 和 x =3/5。
根据函数的增减性，不等式的解集为x ≤ 0 或x ≥ 3/5。
3. 应用题型：应用幂函数的增减性解决实际问题，如最值问题、图像分析等。
示例：某电商平台上一种商品的售价为 p 元，每天的销量为 q 件，销售总额 E(p) = pq。
已知单位售价 p 提高 10%，销量 q 降低 5% 后，求销售总额的变化情况。
根据幂函数的增减性质，当 p 上升 10% 时，E(p) 的变化趋势与 p 的变化趋势相同；当 q 降低 5% 时，E(p) 的变化趋势与 q 的变化趋势相反。
因此，销售总额的变化情况为：增加 10% ×减少 5%= 增加 5%。
专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
高一数学复习考点题型专题讲解16 幂函数
高一数学复习考点题型专题讲解 第16讲 幂函数（难点）一、单选题1．已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞【答案】A【分析】构造函数()()2g x f x =-，容易判断()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，进而将原不等式转化为()()12g a g a >-，最后根据单调性求得答案.【解析】设()()2g x f x =-，R x ∈，则()()()()()()53533535g x x x x x x x g x -=-+-+-=-++=-，即()g x 为奇函数，容易判断()g x 在R 上单调递增（增+增），又()()214f a f a +->可化为，()()()()()22122112f a f a g a g a g a ->---⇒>--=-⎡⎤⎣⎦，所以a >1－2a ，∴ a >13． 故选：A.2．已知R α∈，则函数2()1x f x x a=+的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【解析】根据2()1x f x x a=+可知210x +>，所以当0x >时，0x α>，即()0f x >，故选项A 错误，而当α为其他值时，B,C,D 均有可能出现. 故选：A3．已知命题p ：幂函数2y x -=在(),0∞-上单调递增；命题q ：若函数()1f x +为偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称．则下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝ 【答案】C【分析】首先分别判断命题p 和命题q 的真假，然后再根据逻辑连接词“且”、“或”、“非”进行判断即可. 【解析】()2210y x x x-==?∴2y x -=是偶函数， 幂函数2y x -=在()0+∞，上单调递减， ∴2y x -=在(),0∞-上单调递增， ∴命题p 为真命题；则p ⌝为假命题；函数()1f x +为偶函数，()()11f x f x ∴+=-+()f x ∴的图象关于直线1x =对称∴命题q 为真命题；则q ⌝为假命题；又逻辑连接词“且”为“一假必假”，“或”为“一真必真”， 则对于A ，p q ∧为真命题； 对于B ，p q ⌝∨为真命题； 对于C ，()()p q ⌝∧⌝为假命题； 对于D ，()p q ∨⌝为真命题； 故选：C.4．①函数值域为[0,)+∞；②函数为偶函数；③函数在[0,)+∞上()()12120f x f x x x ->-恒成立；④若任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.已知函数：①121x y =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =.其中同时满足以上四个条件的函数有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【分析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象，再根据图象逐一判断四个函数是否满足①②③④四个条件即可求解.【解析】分别作出①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =；④124y x =四个函数的图象：由图知，四个函数的值域都是[)0,∞+都满足①；由图知：①121xy =-；②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③23y x =图象关于y 轴对称，都是偶函数，④124y x =的定义域为[)0,∞+不关于原点对称，既不是奇函数也不是偶函数，故④124y x =不满足条件②；排除函数④124y x =； 条件③：函数在[)0,∞+上()()12120f x f x x x ->-恒成立；由函数单调性的定义可知：函数在[)0,∞+上单调递增，由四个函数图象可知，①121x y =-，③23y x =，④124y x =满足条件③，函数②212x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭不满足条件③，排除函数②212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于条件④：函数①121xy =-：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数①121xy =-满足条件④，函数③23y x =：如图任意120,0x x ≥≥都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故函数③23y x =满足条件④，所以同时满足以上四个条件的函数有函数①121xy =-、函数③23y x =，共有2个，故选：C5．已知点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上，则函数()g x =域为（ ）A ．[0,1]B ．[2,0]-C ．[1,2]-D ．[2,1]- 【答案】D【分析】由()(2)m f x m x =-为幂函数可求m ，由点（n ，8）在幂函数()(2)m f x m x =-的图象上可求n ，再根据函数的单调性求函数()g x .【解析】由题可得m －2＝1，解得m ＝3，所以3()f x x =，则3()8,2f n n n ===，因此()g x ==[2，3]，因为函数=yy =-[2，3]上单调递减，所以函数g （x ）在[2，3]上单调递减，而g （2）＝1，g （3）＝－2，所以g （x ）的值域为[－2，1]． 故选:D.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--，若x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．⎡⎢⎣⎦ 【答案】B【分析】根据函数的解析式，分20x a ≤≤、222a x a <<和22x a ≥三种情况分类讨论，得出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解. 【解析】由题意，当0x ≥时，()2221()232f x x a x a a =-+--， 所以当20x a ≤≤时，()2221()232f x a x a x a x =-+--=-； 当222a x a <<时，()22221()232f x x a a x a a =-+--=-； 当22x a ≥时，()22221()2332f x x a x a a x a =-+--=-. 综上，函数()2221()232f x x a x a a =-+--， 在0x ≥时的解析式等价于222222,0(),23,2x x a f x a a x a x a x a ⎧-≤≤⎪=-<<⎨⎪-≥⎩. 根据奇函数的图像关于原点对称作出函数()f x 在R 上的大致图像如图所示，观察图像可知，要使x R ∀∈，(1)()f x f x -≤，则需满足()22241a a --≤，解得a ≤≤故选：B.7．定义新运算“⊕”如下：2,,a a b a b b a b⎧⊕=⎨<⎩…，已知函数()(1)2(2)([2,2])f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足(2)(2)f m f m -…的实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．122⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦C ．[0.1]D ．[ 1.4]-【答案】C【解析】根据新定义，得到()f x 的表达式，判断函数()f x 在定义域的单调性，可得结果. 【解析】当21x -≤≤时，()f x =1?224x x -⨯=-；当12x <≤时，23()224f x x x x =⋅-⨯=-； 所以34,21()4,12x x f x x x --⎧=⎨-<⎩剟…，易知，()4f x x =-在[ 2.1]-单调递增，3()4f x x =-在(1,2]单调递增，且当12x -≤≤时，max ()3f x =-， 当12x <…时，max ()3f x =-，则()f x 在[ 2.2]-上单调递增， 所以(2)(2)f m f m -…得22222222m m m m -≤-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤⎩，解得01m 剟. 故选：C【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数()f x 以及判断单调性，难点在于m 满足的不等式，属中档题.8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【解析】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、多选题9．黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①是奇函数；②值域是{y y R ∈且0}y ≠；③在(,0)-∞上是减函数则以下幂函数符合这三个性质的有（ ） A ．2()f x x =B ．()f x x = C ．1()f x x -=D ．13()f x x -= 【答案】CD【分析】通过已知三个条件，分别奇偶性、值域和单调性即可排除选项.【解析】由已知可得，此函数为奇函数，而A 选项2()f x x =为偶函数，不满足题意，排除选项；选项B ，()f x x =的值域为}{y y R ∈，且该函数在R 上单调递增，不满足题意条件，排除选项；选项C 、D 同时满足三个条件. 故选：CD.10．已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则下列选项中正确的是（ ） A ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相同 B ．()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调性相反 C ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相同 D ．()f x 和()g x 在(),0-∞上的单调性相反 【答案】BC【分析】通过解方程组求出23()1,(),f x x g x x =+=-再判断单调性即得解.【解析】解：由题得()()32321,()()1f x g x x x f x g x x x ---=-++∴+=-++（1），又()()321f x g x x x -=++ （2），解（1）（2）得23()1,(),f x x g x x =+=-3()g x x =-在(,)-∞+∞上单调递减（因为幂函数3y x =是R 上的增函数），因为23()1,(),f x x g x x =+=-在()0,∞+上的单调性相反（()f x 单调递增()g x 单调递减），23()1,(),f x x g x x =+=-在(),0-∞上都是单调递减，故选：BC11．若函数()f x 在定义域内的某区间M 是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ） A ．若()2f x x =，则不存在区间M 使()f x 为“弱增函数”B ．若()1f x x x =+，则存在区间M 使()f x 为“弱增函数”C ．若()3f x x x =+，则()f x 为R 上的“弱增函数”D ．若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则4a =【分析】根据“弱增函数”的定义，结合基本初等函数的性质，对四个选项一一判断，即可得到正确答案.【解析】对于A ：()2f x x =在[)0,∞+上为增函数，()==f x y x x在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M 使()2f x x =为“弱增函数”，A 正确； 对于B ：由对勾函数的性质可知：()1f x x x =+在[)1,+∞上为增函数，()21f x y x x-==+，由幂函数的性质可知，()21f x y x x-==+在[)1,+∞上为减函数，故存在区间[)1,M =+∞使()1f x x x=+为“弱增函数”，B 正确；对于C ：()3f x x x =+为奇函数，且0x ≥时，()3f x x x =+为增函数，由奇函数的对称性可知()3f x x x =+为R 上的增函数，()21f x y x x==+为偶函数，其在0x ≥时为增函数，在0x <时为减函数，故()3f x x x =+不是R 上的“弱增函数”，C 错误；对于D ：若()()24f x x a x a =+-+在区间(]0,2上是“弱增函数”，则()()24f x x a x a =+-+在(]0,2上为增函数，所以402a --≤，解得4a ≤，又()()4f x a y x a xx==+-+在(]0,2上为减函2，则4a ≥，综上4a =.故D 正确． 故选：ABD ．12．记使得函数()269f x x x =-+在[]1,x n ∈上的值域为[]0,4的实数n 的取值范围为集合A ，过点()4,2的幂函数()g x 在区间[]1,13m m -+上的值域为集合B ，若A 是B 的必要不充分条件，则整数m 的取值可以为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13【分析】根据二次函数的性质可得集合A ；根据幂函数的性质可得集合B ，由集合A 是集合B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即可得出答案．【解析】函数()269f x x x =-+的对称轴为3x =，在3x =时取最小值0，故3n ≥，又1x =与5x =时函数值均为4，故5n ≤， 故n 的取值范围为[]3,5，即集合[]3,5A =； 设幂函数()ag x x =，()g x 过点()4,2，即42a =，得12a =，故()g x =[]1,13m m -+上的值域为()1m ≥，即()1B m =≥，若集合A 是集合B 的必要不充分条件，则是[]3,5的真子集，即5(3等号不能同时成立)， 解得1012m ≤≤．则整数m 的取值可以为10，11，12． 故选：ABC三、填空题13．已知函数()33x x f x -=-，则关于 的下列结论：①(0)0f =②()f x 是奇函数③()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增函数④对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，其中正确的有（填写序号即可）__________．【解析】∵()33x x f x -=-，()33(33)x x x x f x ---=-=--，∴()()f x f x =--所以函数()33x x f x -=-是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又1()3333xxxx f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的单调递减函数，3x y =-是R 上的单调递减函数，由函数单调性的性质，所以()33x x f x -=-在R 上单调递减，③不正确；因为()f x 函数值域为R ，所以对任意实数a ，方程()0f x a -=都有解，④正确，故答案为①②④．14．已知函数()()2231m m f x m m x +-=--是幂函数，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，R b ∈，且()()0f a f b +<，则a b +______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数()f x 为幂函数，可得m ＝－1或m ＝2，又由题意函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()3f x x =，从而根据函数()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【解析】解：因为函数()f x 为幂函数，所以211m m --=，即220m m --=，解得m ＝－1或m ＝2．当m ＝－1时，()31f x x=；当m ＝2时，()3f x x =． 因为函数()f x 对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以()3f x x =，又()()33f x x x -=-=-，所以函数()3f x x =是奇函数，且为增函数，因为()()0f a f b +<，所以()()()f a f b f b <-=-， 所以a b <-，即0a b +<． 故答案为：＜.15．定义在R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--.则当13s ≤≤时，t s的取值范围是___________.【答案】1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由f (x −1)的图象相当于f (x )的图象向右平移了一个单位 又由f (x −1)的图象关于(1,0)中心对称 知f (x )的图象关于(0,0)中心对称， 即函数f (x )为奇函数， 得f (s 2−2s )⩽f (t 2−2t )，从而t 2−2t ⩽s 2−2s ,化简得(t −s )(t +s −2)⩽0， 又1⩽s ⩽3，则-1⩽2-s ⩽1，故2−s ⩽t ⩽s , 从而211t ss -剟,而211,13s ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故t s 的取值范围是1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 16．对于函数1()1ax f x x +=-（a 为常数），给出下列命题： ①对任意a ∈R ，()f x 都不是奇函数；②()f x 的图像关于点(1,)a 对称；③当1a <-时，()f x 无单调递增区间；④当2a =时，对于满足条件122x x <<的所有1x ，2x 总有1221()()3()f x f x x x -<-．其中正确命题的序号为__________． 【答案】①②④【解析】①()f x 定义域为{}1x x ≠，∴()f x 不可能为奇函数，正确；②(1)11()11a x a a f x a x x -+++==+--，图像关于(1,)a 对称，正确；③当1a <-时，1()1af x a x +=+-在(,1)-∞和(1,)+∞上为增，错误；④2a =时，3()21f x x =+-在(2,)+∞上为减函数，211221123()()()3()(1)(1)x x f x f x x x x x --=<---，正确，故答案为①②④.四、解答题17．已知函数()()()()212813f x a x b x c x =-+-+-∈R . (1)如果函数()f x 为幂函数，试求实数a 、b 、c 的值；(2)如果0a >、0b >，且函数()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，试求ab 的最大值.【答案】(1)5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)18【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可；（2）分2a =、2a >、02a <<三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得； (1)解：由函数()f x 的定义域为R 知，当()f x 为幂函数时，应满足()12138010a b c ⎧-=⎪⎪⎨-=⎪⎪-=⎩或()12038110a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩解得，a 、b 、c 的值分别为：5a =，8b =，1c =，或2a =，9b =，1c =. (2)解：①当2a =时，()()()81f x b x c x =-+-∈R 由题意知，08b <<，所以16ab <. ②当2a >时，函数()f x 图象的对称轴为()()3822b x a -=-，以题意得：()()38322b a -≥-，即212a b +≤所以122a b ≥+≥18ab ≤. 当且仅当3a =，6b =时取等号. ③当02a <<时，以题意得：()()381222b a -≤-，即326a b +≤，即()10263b a <≤- 又因为02a <<，所以()()()22111691169026132131633333ab a a a <≤-=--+<--+= 综上可得，ab 的最大值为18. 18．已知函数()()90f x x x x=+≠.（1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性；（2）求不等式()()2330f x f x +≤的解集.【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-.【解析】（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可；（2）法一：根据函数()()90f x x x x=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2330f x f x +≤转化为解()()233f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()233f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集.【解析】解：（1）设123x x <<，则()()()()121212121212999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增. （2）法一：原不等式可化为2233330x x x x+++…， 即21120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…，所以121x x-+剟， 当0x >时，12x x+…，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x-+…，可化为2(1)0x +…，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-.法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增，又()f x 为奇函数，()()2330f x f x +≤，所以()()()2333f x f x f x ≤-=-，当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去； 当1x =-时，上式成立；当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()233f x f x >-，与上式矛盾，故舍去；综上所述，不等式的解集为{}1-. 【点睛】确定函数单调性的四种方法： （1）定义法：利用定义判断；（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接； （4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.19．已知函数()23111x x f x x +++=+．(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)()11f x x x=-+(2)()),2-∞-⋃+∞【分析】（1）令1t x =+，则1x t =-，进而根据换元法求解即可；（2）结合函数()f x 的单调性得()max 52f x =，进而将问题转化为对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，再求解恒成立问题即可. （1）解：令1t x =+，则1x t =-， 则()()()2131111t t f t t t t-+-+==-+，故()11f x x x=-+． （2）解：由（1）可得()11f x x x=-+．因为函数1y x =+和函数1y x =-均在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．故()()max 522f x f ==．对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，[]0,1a ∈，不等式()212f x ma m <++恒成立，即对任意[]0,1a ∈，不等式25122ma m <++恒成立，则2251,2251,22m m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪<++⎪⎩解得m 2m <-．故m 的取值范围是()),2-∞-⋃+∞．20．已知幂函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且在定义域内单调递增. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()21g x f x kf x ⎡⎤=+-⎣⎦，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，是否存在实数k ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)()f x x = (2)存在，且32k =.【分析】（1）结合幂函数的定义、单调性求得m 的值.（2）求得()g x 的解析式，对k 进行分类讨论，结合()g x 的最小值为0来求得k 的取值范围. (1)函数()2122mx m m x f ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是幂函数， 222131,0,2302222m m m m m m +-=+-=+-=， 解得1m =或32m =-.由于()f x 在定义域内递增，所以32m =-不符合， 当1m =时，()f x x =，符合题意. (2)()21g x x kx =+-，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 图象开口向上，对称轴为2kx =-，当122k -≤，即1k ≥-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，11310,2422k g k ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当1,122k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即21k -<<-时，()222min 1102424k kk k g x g ⎛⎫=-=--=--< ⎪⎝⎭，不符合题意.当12k -≥，即2k ≤-时，()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，()1112g k k =+-=≤-，不符合题意.综上所述，存在32k =使得()g x 的最小值为0.21．1.已知函数2,01,()1, 1.x x f x x x≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩(1)求函数()f x 的值域；(2)记()()()a F x f x f a =-，则4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)[0,2)(2)7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分别求出()2f x x =和1()f x x=在各自区间上的值域，最后求并集即为分段函数的值域；（2）写出分段函数4()F x ，求出4()F x 的值域70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭，然后74m ≥即可(1)当01x ≤<时，()2f x x =，在[)0,1上单调递增，所以 0()2f x ≤< 当1≥x 时，1()f x x=，在[)1,+∞上单调递减，所以0()1f x <≤ 故函数()f x 的值域为[0,2)． (2)由题意可知，412,01,41()()(4)()411,1 4.4x x F x f x f f x x x ⎧-≤<⎪⎪=-=-=⎨⎪-≤≤⎪⎩当01x ≤<时，1172444x -≤-<，则4170()244F x x ≤=-<；当14x ≤≤时，113044x ≤-≤，则430()4F x ≤≤； 所以470(),[0,4]4F x x ≤<∈，所以要使4()F x m ≤在[0,4]x ∈上恒成立，只要74m ≥即可，m 的取值范围为7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．已知幂函数()()224222m m f x m m x -+=--在()0,∞+上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()()()211ag x a x f x =--+在(]0,2上的值域为(]1,11？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）3m =，()1f x x -=；（2）存在，6a =.【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出m 的值，将m 的值代入()f x 即可；（2）求出()g x 的解析式，按照1a -与0的大小关系进行分类讨论，利用()g x 的单调性列出方程组，求解即可.【解析】（1）（1）因为幂函数()2242()22m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221420m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-(舍去)，所以1()f x x -=；（2）由（1）可得，1()f x x -=，所以()(21)1(1)1g x a x ax a x =--+=-+， 假设存在0a >，使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11，①当01a <<时，10a -<，此时()g x 在(]0,2上单调递减，不符合题意；②当1a =时，()1g x =，显然不成立；③当1a >时，10a ->，()g x 在和(]0,2上单调递增， 故(2)2(1)111g a =-+=，解得6a =.综上所述，存在6a =使得()g x 在(]0,2上的值域为(]1,11.23．已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】(1)由幂函数概念及偶函数性质求()f x 解析式(2)由(1)知22()()324a a h x x a =+--+，再由()0h x ≥在[2,2]-上恒成立，即()h x 的最小值恒大于等于0，应用函数思想分类讨论，求a 的范围【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a①当22a-<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤ 又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤ ③当22a ->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥ 所以7a ≥-.又4a <- 所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-【点睛】本题考查了幂函数，并综合了偶函数、及根据不等式恒成立求参数范围，应用了分类讨论、函数的思想，属于较难的题 24．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：11022f t f t ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+-≤.【答案】(1)()21xf x x =+； (2)函数()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；(3)1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）根据奇函数的定义可求得b 的值，再结合已知条件可求得实数a 的值，由此可得出函数()f x 的解析式；（2）判断出函数()f x 在()1,1-上是增函数，任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断()()12f x f x -的符号，即可证得结论成立；（3）由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得1122f t f t ⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据函数()f x 的单调性与定义域可得出关于实数t 的不等式组，由此可解得实数t 的取值范围.（1）解：因为函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，则()()f x f x -=-， 即2211ax b ax b x x -++=-++，可得0b =，则()21axf x x =+，所以，211222255112af a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则1a =，因此，()21x f x x =+. （2）证明：函数()f x 在()1,1-上是增函数，证明如下：任取1x 、()21,1x ∈-且12x x <，则()()()()221212112212222212121111x x x x x x x x f x f x x x x x +---=-=++++()()()()()()()()12211212122222121211111x x x x x x x x x x xx xx -+---==++++，因为1211x x -<<<，则120x x -<，1211x x -<<，故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. 因此，函数()f x 在()1,1-上是增函数. （3）解：因为函数()f x 是()1,1-上的奇函数且为增函数，由11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得111222f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由已知可得112211121112t t t t ⎧+<-⎪⎪⎪-<+<⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，解得102t -<<.因此，不等式11022f t f t ⎛⎫⎛⎫++-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.25．已知______，且函数()22x bg x x a+=+. ①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【答案】(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析；(2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中，再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数，得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+. 选择②.当0a >时，()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以()222xg x x =+. ()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数. （2）当0x >时，()122g x x x =+，因为224x x +≥，当且仅当22x x=，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.。
2023年高考数学一轮复习第二章函数5二次函数与幂函数练习含解析
二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ，所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0， 又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析 由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点 答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能 答案 BC解析 因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3为奇函数． 因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0， 所以f (a )<f (－b )． 因为y ＝f (x )为增函数， 所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2， 解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2， 由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]． 若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调， 则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]， 此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4， 故g (t )∈[0,4]． 所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2； 当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6； 当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b， 得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1； 当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)， 由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根． 综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0， 解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1， 所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________． 答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0， 则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， 得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
高中数学《幂函数》题型战法试题及答案
第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞，[)0+∞，R ()(),00,-∞+∞奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．3y x =D ．2x y =变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞变式3-2．函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-变式4-4．已知幂函数()f x x α=1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ）A ．(3,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x= D ．2yx变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ） A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c<< D ．b a c <<变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2-∞ D ．[)1,2变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：()0,+∞()0,+∞0)上减∞)上减题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A．2=B．21y x=-y xC．3y=y x=D．2x【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如y xα=为幂函数.y x=的函数为幂函数，则3故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f -的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f -=-=-.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα-=⇒=⇒=-，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y ≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值， 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ①幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ①39α=， 解得12α=①()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，①正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()())10211f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()100212121f x x x x -=-+-=-， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】 ①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，①45y x =的定义域为R ， ①54y x =的定义域为(0,)+∞， ①23y x =的定义域为R ，①45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x -=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x-==， ()43y f x =-=所以430x ->，所以34x >，所以函数()43y f x =-的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】 由于函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】 ①函数2yx 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，①2min 124y -==， 故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =-，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x 吋，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x -∴=∴=-∴=，值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x ==(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10-<可得11y x x-==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x 在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =-+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x -+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =-+在(,1]-∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2-- B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】①函数是幂函数，则2441m m -+=，①3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x =，()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ）A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x =D ．2y x【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足()()f x f x =--，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足()()f x f x =--，22x x -≠-，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x --=--，所以1y x -=为奇函数，由()22x x -=可知，2y x 为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】2y x 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y -=≥+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误. lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误. 令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x =D ．3y x = 【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ==，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数， 而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ）A ．2B ．1，2C ．12，2D ．12，1，2 【答案】A【解析】【分析】 把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C【解析】【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =，故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案．【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=， b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b ac ∴<<，变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】【分析】 利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增， 00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>， 1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞)B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．[)1,2【答案】B由幂函数的性质，可得0521m m ≤-<-，解不等式组可得答案【详解】 解：因为1122(52)(1)m m -<-， 所以0521m m ≤-<-， 解得522m <≤，故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，再解不等式组即可. 【详解】 因为1122(1)(32)a a +<-，所以10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得213a -≤<. 故选：B。
第08讲：幂函数期末高频考点突破
第08讲：幂函数期末高频考点突破高频考点梳理考点一：.幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较考点二：五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．高频题型归纳题型一：幂函数的定义1．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数()()2311mf x m x =-在()0,∞+上单调递减，则()4f =（ ）A ．2B ．16C ．12D ．1162．（2022·贵州毕节·高一期末）若幂函数()122()44a f x a a x -=--在(0,)+∞上单调递增，则=a （ ）A ．1B ．6C ．2D ．1-3．（2022·江苏淮安·高一期末）已知函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数，则函数g （x ）=log a （x -m ）+1（a >0，且a ≠1）的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（0，2） C ．（1，2）D ．（-1，2）题型二：幂函数的定点和图像问题4．（2021·山东滨州·高一期末）已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则（ ）A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．d b c a >>>D ．>>>c b d a5．（2020·浙江杭州·高一期末）给出幂函数：∈ ()f x x =；∈2()f x x =；∈3()f x x =；∈ ()f x =∈1()f x x=.其中满足条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±题型三：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数）7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--8．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数()333x xf x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-∞-+∞，， B ．(41)-，C ．(1)(4)-∞-+∞，， D ．(14)-，9．（2022·四川凉山·高一期末）设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c<a<bC ．a b c <<D ．b a c <<题型四：幂函数的奇偶性问题10．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数()1()31xmf x m R =+∈+为奇函数，则下列叙述错误的是（ ） A ．2m =- B ．函数()f x 在定义域上是单调增函数 C ．()(1,1)f x ∈-D ．函数13()()F x f x x =-所有零点之和大于零11．（2020·四川凉山·高一期末）下列函数中在区间()0,∞+上是减函数，并且在定义域上为偶函数的是（ ）A ．25y x -=B ．52y x -=C ．52y x =D ．25y x =12．（2019·陕西渭南·高一期末）已知幂函数()f x x α=的图像过点，则下列说法正确的是 A ．()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增 B ．()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减题型五：幂函数的综合问题13．（2022·湖北武汉·高一期末）已知幂函数()()2253mf x m m x =-+的定义域为全体实数R.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.14．（2021·上海中学高一期末）已知幂函数()()232Z m m f x x m +-=∈的图像关于y 轴对称，且(2)(3)f f <．(1)求m 的值；(2)已知()log (()3)a g x af x x =-（0a >且1a ≠）在区间[2,3]上是严格增函数，求实数a 的取值范围．15．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =+yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.16．（2022·辽宁·大连二十四中高一期末）已知幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，设函数()()()10g x f x x x-=≠. (1)求m 的值； (2)若函数()()lg 21y g x ax =-+的值域为R ，求a 的取值范围；(3)方程()2213021xxf k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.17．（2022·四川巴中·高一期末）已知()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．(1)讨论()()22f x xg x x++=在区间()0,∞+的单调性，并证之；(2)求不等式()()22mf x m x >+-的解集．参考答案：1．D【分析】根据题意列出方程组，求得m 的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.【详解】由题意得23111m m ⎧-=⎨<⎩，解得2m =-，所以()2f x x -=，故()1416f =, 故选：D 2．D【分析】根据幂函数的系数等于1，以及x 的指数位置大于0即可求解. 【详解】∈幂函数()122()44a f x a a x-=--在(0,)+∞上单调递增，∈2441102⎧--=⎪⎨->⎪⎩a a a ，解得1a =-， 故选：D ． 3．A【分析】根据幂函数的定义，结合对数函数的性质进行求解即可. 【详解】解：∈函数f （x ）=（3m -2）xm +2（m ∈R ）是幂函数， ∈3m -2=1，∈m =1， ∈g （x ）=log a （x -1）+1，令x -1=1得x =2，此时g （2）=log a 1+1=1， ∈函数g （x ）的图象所过定点P 的坐标是（2，1）， 故选：A ． 4．B【解析】取2x =，结合图象得出2222d a c b <<<，最后由指数函数的性质得出大小关系. 【详解】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B 5．A【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凸函数，结合幂函数的图象可作答． 【详解】如图，只有上凸函数才满足题中条件，在第一象限内，函数 ()f x x =是一条直线，函数2()f x x =，3()f x x =和1()f x x=的图像是凹形曲线，而函数 ()f x =∈满足，其他4个都不满足.故选：A.【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的是上凸函数，所以准确理解121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示的几何意义是解答本题的关键. 6．B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =； 函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠，当x b = 时，11()22b bf b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()2g b =，即212b =，解得：b = 故选：B. 7．A【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案.【详解】解：因为函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A. 8．B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x xf x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增， 由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∈2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-< 解得41a -<<. 故选：B 9．B【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c<a<b .故选：B 10．D【分析】根据()f x 是奇函数，求得参数m 的值，再求该函数的单调性、值域、以及零点，即可求得判断和选择.【详解】因为()1()31x mf x m R =+∈+为奇函数，且其定义域为R ，故()00=f ， 即102m+=，解得2m =-，又当2m =-时，()2131x f x =-+，因为()()22131122031313131x x x x x f x f x -⎛⎫+-=-+-=-+= ⎪++++⎝⎭， 又()f x 定义域为R ，故()f x 为R 上的奇函数，故A 正确；因为3x y =是单调增函数，231xy =+为单调减函数，故()f x 为单调增函数，故B 正确； 又()2131x f x =-+，30x >，则()()()2311,0,2,1,131xxf x +>∈∈-+，故C 正确； 又13y x =的定义域为R ，且为奇函数，()f x 也为奇函数，故()F x 的零点之和为零，故D 错误； 综上所述，正确的是ABC . 故选：D . 11．A【解析】将各选项中的幂函数的解析式化为根式，进而判断各幂函数的奇偶性及其在区间()0,∞+上的单调性，由此可得出结论.【详解】对于A 选项，幂函数25y x -==在区间()0,∞+上是减函数，在定义域上为偶函数；对于B 选项，幂函数52y x-==()0,∞+上是减函数，在定义域上为非奇非偶函数；对于C 选项，幂函数52y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是非奇非偶函数；对于D 选项，幂函数25y x ==()0,∞+上是增函数，在定义域上是偶函数. 故选：A.【点睛】本题考查幂函数单调性与奇偶性的判断，解题时要将分数指数幂化为根式，考查推理能力，属于基础题. 12．C【分析】求出幂函数的解析式，从而判断函数的奇偶性和单调性，得出正确选项．【详解】∈幂函数y ＝x α的图象过点（2，=2α，解得α12=，故f （x ）=故f （x ）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数， 故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的定义及解析式，求解析式常用待定系数法，考查函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．13．(1)()2f x x =(2)(,1)-∞-【分析】（1）根据幂函数的定义可得22531m m -+=，结合幂函数的定义域可确定m 的值，即得函数解析式;（2）将()31f x x k >+-在[]1,1-上恒成立转化为函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0，结合二次函数的性质可得不等式，解得答案．【详解】（1）∈()f x 是幂函数，∈22531m m -+=，∈12m =或2. 当12m =时，()12f x x =，此时不满足()f x 的定义域为全体实数R ，∈m ＝2,∈()2f x x =.（2）()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[]1,1-上恒成立，令()231g x x x k =-+-,只需使函数()231g x x x k =-+-在[]1,1-上的最小值大于0. ∈()231g x x x k =-+-图象的对称轴为32x =，故()g x 在[]1,1-上单调递减， ∈()()min 11g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-，∈实数k 的取值范围是(,1)-∞-. 14．(1)1(2)3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据(2)(3)f f <得到2320m m +->，再结合m ∈Z 得到0m =或1m =，最后利用对称性得到1m =；（2）根据复合函数的单调性分1a >和01a <<两种情况讨论求a 的范围即可.【详解】（1）由(2)(3)f f <，知2320m m +->，得312m -<<，又m ∈Z ， 所以0m =或1m =，当0m =时，3()f x x =，图像不关于y 轴对称，舍； 当1m =时，2()f x x =，图像关于y 轴对称， 所以m 的值为1，2()f x x =；（2）2()log (3)a g x ax x =-，由复合函数的单调性，知∈1a >时，23ax x -严格增，且2min (3)0ax x ->，所以322a≤且460a ->， 解得32a >， ∈01a <<时，23ax x -严格减，且2min (3)0ax x ->， 所以332a≥且990a ->，无解， 综上，实数a 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．15．(1)0,()f x x =；(2)112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解； （2）由（1），得()g x x =，利用换元法得到21()2t g t t -=+，t ⎡∈⎣，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】（1）因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. （2）由（1）知，()f x x =，所以()()g x f x x ==+令t =212t x -=，11,0123,02x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，2max 1()122g t g ===所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解得15t -≤≤． 41．(1)0(2){1a a ≥或}1a ≤- (3)()0,∞+【分析】（1）根据幂函数的定义可得答案； （2）根据对数复合函数的值域可得答案； （3）原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，可得()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，结合二次函数根的分布可得答案. (1)因为幂函数()()22421mm g x m x -+=-在()0,+∞上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m =. (2)由（1）()2g x x =，()2lg 21y x ax =-+的值域R ，Δ0≥即2440a -≥， 得1a ≥或1a ≤-，所以{1a a ≥或}1a ≤-； (3)原方程化为()()2213221210x x k k --+-++=，令21x t =-，则()0,t ∈+∞，()232210t k t k -+++=有两个实数解1t ，2t ，原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记()()23221h x t k t k =-+++，则()()0210 10⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩h k h k ，解得0k >， 或()()0210 1032012h k h k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解. 综上k 的取值范围是()0,+∞.43．(1)()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增；证明见解析.(2)答案见解析.【分析】(1)由()f x 为幂函数，求出其解析式，得到()g x 的解析式，再由定义法得到其单调性.(2)由题意即求解不等式()2220mx m x -++>，分0,0,0m m m >=<三种情况进行分类讨论求解即可.(1)由()()21af x a a x =--（a 是常数）为幂函数，则211a a --=，解得2a =或1a =-当1a =-时，()11x xf x -==在第一象限单调递减，不满足条件.11 当2a =时，()2f x x =，满足在第一象限单调递增 所以()2f x x =，则()()2222222f x x x x g x x x x x ++++===++()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增. 证明：任取()12,0,x x ∈+∞，且设12x x <则()()2121212222g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+⎪⎝⎭()()1221211212221x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--=-⋅⎪⎝⎭由()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则120x x >，210x x ->当(12,x x ∈时，122x x <，则1220x x -<，则()()210g x g x -<即(12,x x ∈时，()()21g x g x <，所以()g x 单调递减.当)12,x x ∈+∞时，122x x >，则1220x x ->，则()()210g x g x ->即)12,x x ∈+∞时，()()21g x g x >，所以()g x 单调递增. 所以()g x在(上单调递减，在)+∞上单调递增.(2)不等式()()22mf x m x >+-，即()2220mx m x -++> （1）当0m =时，即220x -<，则1x <.当0m ≠时，不等式()2220mx m x -++>可化为：()()210mx x --> （2）当0m <，由不等式()()210mx x -->可得21x m <<（3）当0m >时，若m>2，则21m <，由()()210mx x -->可得1x >或2x m< 若2m =，则不等式()()210mx x -->化为()210x ->，则1x ≠ 若02m <<，则21m >，由()()210mx x -->可得1x <或2x m >综上所述：当m>2时，不等式的解集为1x x ⎧⎨⎩或2x m ⎫<⎬⎭当2m =时，不等式的解集为{}|1x x ≠当02m <<时，不等式的解集为|1x x ⎧<⎨⎩或2x m ⎫>⎬⎭当0m =时，不等式的解集为{}|1x x <当0m <时，不等式的解集为2|1x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭。
3.3幂函数11题型分类(学生版) 2024-2025学年高一数学同步知识题型讲义(人教必修第一册)
3.3幂函数11题型分类一、幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．注意：幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．二、一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象(如图)．三、一些常用幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y ＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在[0，＋∞)上单调递增在(0，＋∞)上单调递减单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减注意：幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．（一）幂函数的概念判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.C ．3D ．132-4．（2024·浙江·模拟预测）已知()f x 是幂函数，且满足：①()()f x f x -=；②()f x 在()0,+¥上单调递增，请写出符合上述条件的一个函数()f x =.2-5．（2024高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数()f x x a = (α是常数)的图象经过点()2,4，那么f (−2)=（ ）A ．4B ．-4C ．14D ．-14题型3：根据幂函数求参数3-1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =．3-2．（2024高一上·湖北孝感·阶段练习）函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-3-3．（2024高一下·上海杨浦·开学考试）已知幂函数()()22325m m f x m m x--=+-×的图像不经过原点，则实数m =.（二）幂函数的图象及应用依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．题型4：幂函数过定点问题4-1．（2024高一上·广东东莞·期中）函数()2y x a a =-为常数的图象过定点．4-2．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数a y x =的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，定点坐标为.题型5：幂函数的图象及应用5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函数则函数2,0,()()()1,0,x xf xg x f xxxì³ï==-í<ïî，则函数()g x的图象大致是（）A．B．C．D．5-2．（2024·全国·模拟预测）函数()11 3x xf xx --=的图象大致为（）A．B．C．D．5-3．（2024高三·全国·对口高考）已知幂函数p qy x=（,p q ZÎ且p与q互质）的图像如图所示，则（）A ．p 、q 均为奇数且0p q<B ．p 为奇数，q 为偶数且0p q <C ．p 为奇数，q 为偶数且0p q>D ．p 为偶数，q 为奇数且0p q<5-4．（2024高一上·福建泉州·期中）已知幂函数()()2231mm f x m m x+-=--，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．5-5．（2024高一上·黑龙江哈尔滨·期末）若点()4,2P 在幂函数()f x 的图象上，则()f x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5-6．（2024高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：①34y x =；②23y x =；③32y x -=；④23y x -=；⑤32y x =；⑥13y x -=；⑦13y x =．如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A ．⑥③④②⑦①⑤B ．⑥④②③⑦①⑤C ．⑥④③②⑦①⑤D ．⑥④③②⑦⑤①（三）求幂函数的定义域和值域幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解.幂函数的定义域由幂指数a 确定：①当幂指数取正整数时，定义域为R ；②当幂指数取零或负整数时，定义域为(一∞,0) U (0,+∞)；③当幂指数取分数时，可以先化成根式(在第四章会学到)，再根据根式的要求求定义域.题型6：求幂函数的定义域6-1．（2024高一·全国·课后作业）若幂函数()f x 的图象经过点(25,5)，求()f x 的定义域.6-2．（2024·上海杨浦·一模）函数()12f x x -=的定义域为．6-3．（2024高一上·浙江·期末）已知幂函数3y x a a =-，则此函数的定义域为．题型7：求幂函数的值域（四）利用幂函数的性质比较大小（1）比较幂大小的三种常用方法:(2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题:比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.（五）幂函数的性质综合应用利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型10：利用幂函数解不等式10-1．（2024高三上·四川遂宁·阶段练习）若12()f x x =，则不等式()(816)f x f x >-的解集是（ ）A ．162,7éö÷êëøB ．(]0,2C ．16(,)7-¥D ．[2,+∞)10-2．（2024高一上·安徽·期中）已知幂函数()f x 的图象经过点1,93æöç÷èø，且()()12f a f +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(),1-¥B ．()1,+¥C ．()3,1-D ．()(),31,-¥-+¥U 10-3．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“1122(1)(32)a a +<-”是“223a -<<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10-4．（2024高一上·上海浦东新·期中）不等式()()3355252x x --+<-的解集为 ．10-5．（2024高一上·江苏盐城·阶段练习）函数12()f x x -=，则不等式(21)(1)f x f x ->+的解集为．题型11：利用幂函数的单调性、奇偶性及其应用11-1．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知幂函数()()22322mm f x x m ,m --+=-<<ÎΖ在区间()0,¥+上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的x ÎR ，都有()()f x f x -=；②对任意的x ÎR ，都有()()0f x f x -+=中任选1个作为已知条件，求解下列问题.(1)求()f x 的解析式；(2)在（1）问的条件下，当[]3,3x Î-时，求()f x 的值域.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11-2．（2024高一·全国·课后作业）已知函数：①2y x -=，②43y x =，③35y x =，④45y x -=，既是偶函数，又在(,0)-¥上为增函数的是．11-3．（2024高一上·上海杨浦·期末）已知112,1,,,1,2,322a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a =奇函数，且在()0,¥+上为严格减函数，则a =.11-4．（2024高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数()()()2157R m f x m m xm --=-+Î为奇函数.(1)求12f æöç÷èø的值；(2)若()()21f a f a +>，求实数a 的取值范围.一、单选题1．（2024高一上·四川成都·期末）函数()f x ）A ．B ．C ．D ．2．（2024高一上·青海西宁·期末）已知点()3,2a 在幂函数()()1b f x a x =-的图象上，则（ ）A ．()1f x x-=B ．()122f x x =C ．()3f x x=D ．()13f x x =3．（2024高一上·内蒙古包头·期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则12f æöç÷èø等于（ ）A B C D ．144．（2024·海南·模拟预测）已知()()25mf x m m x =+-为幂函数，则（ ）．A ．()f x 在(),0-¥上单调递增B ．()f x 在(),0-¥上单调递减C ．()f x 在()0,¥+上单调递增D ．()f x 在()0,¥+上单调递减5．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）设R m Î，若幂函数221m m y x -+=定义域为R ，且其图像关于y 轴成轴对称，则m 的值可以为（ ）A ．1B ．4C ．7D ．106．（2024高二下·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①3y x =；②12xy æö=ç÷èø；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数()2133m y m m x +=-+的图像关于y 轴对称，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．38．（2024高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数mn y x =（,m n 均为正整数且,m n 互质）的图象，则（ ）A ．,m n 是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>D ．,m n 是奇数，且1m n>9．（24-25高二下·福建莆田·期中）如图所示，图中的曲线是幂函数n y x =在第一象限的图象，已知n 取2±，12±四个值，则相应于1C ，2C ，3C ，4C 的n 依次为（ ）A ．2-，12-，12，2B ．2，12，12-，2-C ．12-，2-，2，12D ．2，12，2-，12-10．（2024高一上·安徽·期末）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递减，则m =（ ）A ．3B ．1C ．1-或3D ．1或3-11．（2024高一上·重庆九龙坡·期末）已知111333332,,555a b c -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b<<12．（2024高一·全国·课后作业）已知()21f x x =，若01a b <<<，则下列各式中正确的是（ ）A ．()()11f a f b f f a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøB ．()()11f f f b f a a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèøC ．()()11f a f b f f b a æöæö<<<ç÷ç÷èøèøD ．()()11f f a f f b a b æöæö<<<ç÷ç÷èøèø13．（2024高一下·辽宁本溪·阶段练习）若幂函数()()224122m m f x m m x-+=--在区间()0,¥+上单调递增，则m =（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-14．（2024高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数()()22222n nf x n n x-=+-×在()0,¥+上是减函数，则n 的值为（ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1或3-15．（2024高一上·江西萍乡·期末）已知幂函数()f x 的图像过点()64,4，则()8f 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．（2024高一上·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =C ．22y x =D ．1y x x=+17．（2024高一上·全国·课后作业）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）A ．①1y x -=，②12y x =，③13y x =B ．①1y x -=，②13y x =，③12y x =C ．①13y x =，②12y x =，③1y x-=D ．①13y x =，②1y x -=，③12y x =18．（2024高一下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知幂函数()y f x =的图象过()4,32点，则()2f =（ ）．A ．B ．4C ．D ．8二、多选题19．（2024高一下·山西忻州·开学考试）已知幂函数()()23m x m x f =-的图象过点12,4æöç÷èø，则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0-¥上为减函数D ．()f x 在()0,¥+上为减函数20．（2024高一上·宁夏银川·期末）幂函数()()211m f x m m x --=+-，m ∈N ∗，则下列结论正确的是（ ）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,¥+21．（2024高一上·重庆长寿·期末）下列函数既是幂函数，又在(),0-¥上单调递减的是（ ）A ．y x =-B ．2y x -=C ．1y x -=D ．2y x =22．（2024高一上·云南红河·期末）已知幂函数()f x 的图象经过点(8,，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ³时，()2f x ³D ．当120x x <<时，()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø三、填空题23．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()()2732351t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+¥上为增函数，则函数解析式为 ．24．（2024高一上·宁夏吴忠·期中）若()f x 是幂函数，且()124f =，则13f æö=ç÷èø25．（2024高一下·江苏南京·阶段练习）请写出一个满足条件①和②的幂函数()f x ，条件：①()f x 是偶函数；②()f x 为()0,¥+上的减函数．则()f x =．26．（2024高一上·广东肇庆·期中）已知幂函数()f x 的图象过点()3,3和()m,2，则实数m ＝ .27．（2024高一·全国·课后作业）幂函数()21N nn y x n ++=Î的图像一定经过第象限28．（2024高一上·江苏徐州·阶段练习）若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是．29．（2024高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数()()222m f x m m x =--满足()()23f f <，则m = .30．（2024·宁夏银川·二模）已知函数()()22221m m f x m m x--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m = ．31．（2024高一上·辽宁·期末）已知幂函数()()231m f x m m x =++在第一象限单调递减，则()f m = .32．（2024高三上·河南许昌·期末）已知函数()()21m f x m m x =+-是幂函数，且在()0,¥+上是增函数，则实数m 的值为 ．33．（2024高三下·上海杨浦·阶段练习）已知幂函数()y f x =的图像过点(9,3)，则(2)f 的值为．34．（2024高一上·江西赣州·期中）幂函数f (x )=(m 2−2m−2)x 2m−1在()0,¥+上为减函数，则m 的值为 .35．（2024高三下·上海·阶段练习）已知函数()13f x x =，则关于t 的表达式()()222210f t t f t -+-<的解集为 .36．（2024高一上·全国·课后作业）已知幂函数1101 ()f x x æö=ç÷èø，若f (a−1)<f (8−2a )，则a 的取值范围是.37．（2024高一上·浙江宁波·期中）已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ．38．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）幂函数()()226633m m f x m m x-+=-+在()0,¥+上单调递减，则m 的值为 ．四、解答题39．（2024高一上·四川眉山·期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点1,22æöç÷èø．(1)求()f x 的解析式，并指明函数()f x 的定义域；(2)设函数()()g x x f x =+，用单调性的定义证明()g x 在()1,+¥单调递增．40．（2024高一·全国·课后作业）比较下列各组数的大小：(1)()32--，()32.5--；(2)788--，7819æö-ç÷èø；(3)3412æöç÷èø，3415æöç÷èø，1412æöç÷èø．41．（2024高一·全国·课后作业）求不等式()()2233131x x ->+的解.42．（2024高三·全国·课后作业）已知幂函数()223mm f x x --=（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上是严格减函数，求满足()()33132mma a --+>-的实数a 的取值范围．43．（2024高一上·福建龙岩·期末）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)kg x f x k x =+Î．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k £，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+¥上恒成立，求k 的取值范围．44．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-Î在()0,¥+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =+-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．45．（2024高一上·辽宁辽阳·期末）已知幂函数()()25af x a a x =+-为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若正数,m n 满足31250m n a ++=，若不等式91b m n+³恒成立．求b 的最大值．46．（2024高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数()()215m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称.(1)求m 的值;(2)若函数()()g x f x =-()g x 的单调递增区间.。
第6章-6.1-幂函数高中数学必修第一册苏教版
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0.请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：
− （答案不唯一）
=
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
调递增，且0 < 0.31 < 0.35，∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
【学会了吗丨变式题】
2.若 =
1
2
2
3
1
5
， =
A. < <
2
3
， =
1
2
1
3
，则,,的大小关系是( D
B. < <
2
3
【解析】 = 在[0, +∞)上单调递增，∴
间 0, +∞ 上单调递减，对应图象①；函数3 在区间[0, +∞)上单调递增，对应图象②；
函数4 在区间 0, +∞ 上单调递减，对应图象④.
例10 已知点
2, 2 在幂函数 的图象上，点
当为何值时：
（1） > ；
（2） = ；
（3） < .
则( B
)
A. > > >
B. > > >
C. > > >
D. > > >
图6.1-3
【解析】由幂函数的图象特征可知， < 0， > 0， > 0， > 0.
专题2.3 幂函数重难点题型(举一反三)(解析版)
专题2.3幂函数重难点题型【举一反三系列】【知识点1 幂函数概念】形如的函数，叫做幂函数，其中α为常数.幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数.【知识点2 幂函数的图象及性质】 1.作出下列函数的图象：(1)x y =；(2)21x y =；(3)2x y =；(4)1-=x y ；(5)3x y =．()y x R αα=∈()y x R αα=∈幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．(3)如函数()a f x k x =⋅是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()af x x =． 4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 【知识点3 初等函数图象变换】基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数．如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x ==（1）平移变换y =f (x )→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f (x )→y =f (x )＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移（2）对称变换y =f (x ) →y =f (－x ), 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ) , 图象关于x 轴对称 y =f (x ) →y =－f (－x ) 图象关于原点对称 y =f (x )→1()y fx -= 图象关于直线y =x 对称（3）翻折变换：y =f (x ) →y =f (|x |),把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）y =f (x ) →y =|f (x )| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称【考点1 求幂函数解析式】【例1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ． 【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ，故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式1-1】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)mm f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式1-2】已知幂函数22(29)()(919)()mm f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3， ∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．【变式1-3】（2018秋•鄂尔多斯期中）已知幂函数22()()kk f x x k N -++=∈满足f （2）f <（3），则()f x 的解析式为【分析】由已知可得幂函数f （x ）＝x ﹣k 2+k +2，（k ∈Z ）为增函数，由﹣k 2+k +2＞0求得k 的值，则幂函数解析式可求；【答案】解：（1）由f （2）＜f （3）， 可得幂函数f （x ）＝x﹣k 2+k +2，（k ∈Z ）为增函数，则﹣k 2+k +2＞0，解得：﹣1＜k ＜2， 又k ∈Z ，∴k ＝1或k ＝0， 则f （x ）＝x 2； 故答案为：f （x ）＝x 2．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，考查了幂函数的单调性． 【考点2 幂函数的定义域】【例2】（2019春•杭州校级期中）已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点11(,)24，则k α+= ；函数y =的定义域为 ．【分析】利用幂函数的定义求出k ，利用函数的图象经过的点求出α，即可得到结果，再根据二次根式，得到3﹣2x ﹣x 2≥0，解得即可．【答案】解：因为幂函数f （x ）＝k •x α（k ，α∈R ） 由幂函数的定义可知k ＝1，幂函数f （x ）＝k •x α（k ，α∈R ）的图象过点，∴＝（）α，解得α＝2，∴k +α＝3，∴f （x ）＝x 2， ∵，∴3﹣2x ﹣x 2≥0， 解得﹣3≤x ≤1， 所以函数的定义域为为[﹣3，1]． 故答案为：3；[﹣3，1]．【点睛】本题考查了幂函数的图象和性质，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知幂函数2()(5)m f x m m x =+-为定义域是R 的偶函数，则实数m = ．【分析】根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣5）x m 为定义域是R 的偶函数， ∴m 2+m ﹣5＝1， 即m 2+m ﹣6＝0， 解得m ＝﹣3或m ＝2．当m ＝﹣3时，幂函数为f （x ）＝x﹣3为奇函数，不满足条件．当m ＝2时，幂函数为f （x ）＝x 2为偶函数，满足条件． 故答案为：2．【点睛】本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义确定m 的值是解决本题的关键．【变式2-2】（2019秋•武侯区校级期末）幂函数221()(22)23m f x m m x n -=+-+-的定义域为R ，则m n += ．【分析】根据幂函数的定义，可得m2+2m﹣2＝1，且2n﹣3＝0，进而结合幂函数f（x）＝（m2+2m﹣2）+2n﹣3的定义域为R，对m的取值进行讨论，进而得到答案．【答案】解：∵函数f（x）＝（m2+2m﹣2）+2n﹣3为幂函数，故m2+2m﹣2＝1，且2n﹣3＝0，解得：m＝1，或m＝﹣3，n＝，当m＝1时，函数f（x）＝x0的定义域为{x|x≠0}，不满足条件；当m＝﹣3时，函数f（x）＝x8的定义域为R，满足条件；综上所述：m＝﹣3，∴m+n＝﹣，故答案为：﹣【点睛】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，熟练掌握幂函数的图象和性质，是解答的关键．【变式2-3】若函数1224(43)(1)y mx x m x mx-=++++-+的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是．【分析】根据题意知mx2+4x+m+3＞0对任意实数x都成立，由此求出实数m的取值范围．【答案】解：函数y＝（mx2+4x+m+3）+（x2﹣mx+1）的定义域是全体实数，∴mx2+4x+m+3＞0对任意实数x都成立，∴，解得m＞1，∴实数m的取值范围是m＞1．故答案为：m＞1．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了负分数指数幂的应用问题，是基础题．【考点3 幂函数的值域】【例3】函数32y x-=的定义域是，值域是；奇偶性：，单调区间．【分析】把函数y化为根式的形式，求出它的定义域和值域；再根据定义判断函数y的奇偶性与单调性．【答案】解：∵函数y＝＝，∴x3＞0，解得x＞0，∴函数y的定义域是{x|x＞0}；又y＝＞0，∴函数y的值域是{y|y＞0}；又函数y的定义域不关于原点对称，∴函数y是非奇非偶的函数；又y＝f（x）＝，∴当x＞0时，f（x）是减函数，（0，+∞）是函数y的单调减区间．故答案为：{x|x＞0}；{y|y＞0}；非奇非偶；（0，+∞）．【点睛】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，也考查了函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．【变式3-1】（2019秋•清浦区校级月考）已知幂函数()f x图象过点(8,4)，则()f x的值域为．【分析】利用已知条件求出幂函数的解析式，然后求解值域．【答案】解：幂函数f（x）＝x a，其图象过点（8，4），所以4＝8a，解得a＝，幂函数为：f（x）＝≥0，所以幂函数的值域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．【点睛】本题考查幂函数的基本性质，函数的图象的应用，考查计算能力．【变式3-2】（2019秋•广陵区校级期中）幂函数()f x的图象过点3)，若函数()()1g x f x=+在区间[m，2]上的值域是[1，5]，则实数m的取值范围是．【分析】利用幂函数的定义可得f（x）＝x2，函数g（x）＝f（x）+1＝x2+1．再利用二次函数的单调性与值域即可得出．【答案】解：设幂函数f（x）＝xα（α为常数）．∵幂函数f（x）的图象过点（，3），∴，解得α＝2．∴f（x）＝x2．∴函数g（x）＝f（x）+1＝x2+1．∴g（x）在（﹣∞，0]单调递减，在[0，+∞）单调递增．而f（0）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝5．又函数g（x）在区间[m，2]上的值域是[1，5]，∴﹣2≤m≤0．∴实数m的取值范围是﹣2≤m≤0．故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查了幂函数的定义、二次函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【变式3-3】（2019•吉安一模）若幂函数()f x的图象经过点，则函数()()g x f x=在1[2，3]上的值域为()A．[2B．[2C．(0D．[0，)+∞【分析】根据幂函数f（x）的图象过点（3，），求出f（x）的解析式，再求出g（x）的解析式，计算g（x）在x∈[，3]上的最值即可．【答案】解：设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（3，），∴3α＝，解得α＝﹣，∴f（x）＝；∴函数g（x）＝+f（x）＝+＝+，当x∈[，3]时，在x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝2，在x ＝3时，g （x ）取得最大值g （3）＝+＝，∴函数g （x ）在x ∈[，3]上的值域是[2，]．故选：A ．【点睛】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题以及求函数的值域的应用问题，是基础题目． 【考点4 幂函数图象的判断】【例4】（2019秋•监利县期末）如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象．已知n 分别取2±，12±四个值，与曲线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n 依次为( )A ．112,,,222--B ．112,,2,22--C ．11,2,2,22--D ．112,,,222--【分析】由题中条件：“n 取±2，±四个值”，依据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象特征可得．【答案】解：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象， 当n ＞0时，n 越大，递增速度越快， 故曲线c 1的n ＝2，曲线c 2的n ＝，当n ＜0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线c 3的n ＝，曲线c 4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选：A ．【点睛】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y ＝x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．【变式4-1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式4-2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ， 故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题．【变式4-3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①①①①①①①①．则函数y =的图象经过的部分是( )A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论．【答案】解：∵y＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减，当x＞1时，函数y＝x a为增函数，则此时＞x﹣1，即函数y＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键．【考点5 利用幂函数的单调性比较大小】【例5】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a=，130.5b=，140.5c=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c>>B．a b c<<C．a c b<<D．a c b>>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f（x）＝0.5x，因为函数f（x）＝0.5x，为单调递减函数．且，所以，即，所以a＜b＜c．故选：B．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键．【变式5-1】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是()A ． 3.3 4.50.990.99<B ．23log 0.8log π<C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式5-2】已知432a =，254b =，1325c =，则( )A．b a c<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<【分析】a＝＝，b＝，c＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【答案】解：∵a＝＝，b＝＝（22）＝＜＜a，c＝＝＞＝＝a，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式5-3】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c===，则a、b、c的大小关系是()A．a b c<<B．c a b<<C．b c a<<D．b a c<<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a、b、c的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 【考点6 幂函数性质的综合应用】【例6】（2019秋•宁阳县校级期中）已知幂函数223()(22,)m m f x x m m Z --+=-<<∈满足：（1）在区间(0,)+∞上为增函数（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x --=求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[0x ∈，4]时，()f x 的值域．【分析】由题意利用幂函数的性质，先求得f （x ）的解析式，再利用单调性求出函数的值域． 【答案】解：因为函数在（0，+∞）递增，所以﹣m 2﹣2m +3＞0，解得：﹣3＜m ＜1， 因为﹣2＜m ＜2，m ∈Z ，所以，m ＝﹣1，或m ＝0． 又因为f （﹣x ）＝f （x ），所以，f （x ）是偶函数， 所以﹣m 2﹣2m +3为偶数．当m ＝﹣1时，﹣m 2﹣2m +3＝4满足题意； 当m ＝0时，﹣m 2﹣2m +3＝3不满足题意， 所以f （x ）＝x 4．所以，f （x ）在[0，4]上递增．所以，y min ＝f （0）＝0，y max ＝f （4）＝256，所以，函数的值域是[0，256]．【点睛】本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．【变式6-1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-2】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增． （1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m＞0，解不等式可得m的整数解，结合题意可得m，即有函数的解析式；（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，原不等式可化为a+1＜4﹣3a，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f（x）＝x9﹣3m（m∈N*）的图象关于原点对称，且在R上单调递增，可得9﹣3m＞0，解得m＜3，m∈N*，可得m＝1，2，若m＝1，则f（x）＝x6的图象不关于原点对称，舍去；若m＝2，则f（x）＝x3的图象关于原点对称，且在R上单调递增，成立．则f（x）＝x3；（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，f（a+1）+f（3a﹣4）＜0，可得f（a+1）＜﹣f（3a﹣4）＝f（4﹣3a），即为a+1＜4﹣3a，解得a＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式6-3】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x是幂函数，()f x在(,0)-∞上是减函数，且(8f f=（1）求函数()f x的解析式（2）判断函数()f x的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R-=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f（x）的解析式；（2）根据奇偶性的定义判断函数f（x）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g（x）的解析式，讨论a的取值范围，利用g（x）在区间[1，2]上的最小值求出a的值．【答案】解：（1）设幂函数f（x）＝xα，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．【考点7 幂函数中存在性问题】【例7】（2018秋•赣州期中）已知幂函数()f x经过点(2,4)．（1）求1()2f-的值；（2）是否存在实数m与n，使得()f x在区间[m，]n上的值域为[68m-，68]n-，若存在，求出m与n的值，若不存在，说明理由．【分析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，从而求出函数值即可；（2）根据函数的单调性得到关于m，n的方程组，解出即可．【答案】解：（1）设幂函数的解析式是：y＝xα，则2α＝4，解得：α＝2，故f （x ）＝x 2，f （﹣）＝…（4分）（2）∵f （x ）≥0，∴6m ﹣8≥0，m ≥，由函数f （x ）在（0，+∞）递增…（5分）∴函数f （x ）在（m ，n ）递增，…（6分）∴且m ＜n …（8分）解得：m ＝2，n ＝4，故存在m ＝2，n ＝4满足题意…（10分）【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道中档题．【变式7-1】（2019秋•天山区校级期中）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k Z -+=∈，且()f x 在(0,)+∞上单调递增．（1）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1-，2]上的值域为[4-，17]8．若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由f （2）＜f （3）知幂函数在（0，+∞）上为增函数，故（2﹣k ）（1+k ）＞0，解出k 即可．（2）写出g （x ）的解析式g （x ）＝﹣qx 2+（2q ﹣1）x +1，为二次函数，只需考虑二次函数的对称轴和单调性即可．【答案】解：（1）因为幂函数f （x ）＝x （2﹣k ）（1﹣k ） 在（0，+∞）上单调递增，所以（2﹣k ）（1+k ）＞0，故﹣1＜k ＜2．又因为k ∈Z ，故k ＝0，或k ＝1，所以f （x ）＝x 2．（2）由（1）知g （x ）＝﹣qx 2+（2q ﹣1）x +1，假设存在这样的正数q 符合题意，则函数g （x ）的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为x ＝＝1﹣＜1，因而，函数g （x ）在[﹣1，2]上的最小值只能在x ＝﹣1或x ＝2处取得又g （2）＝﹣4q +4q ﹣2+1＝﹣1≠﹣4，从而必有g （﹣1）＝2﹣3q ＝﹣4解得q ＝2，此时，g （x ）＝﹣2x 2+3x +1，其对称轴x ＝∈[﹣1，2]∴g （x ）在[﹣1，2]上的最大值为g （）＝﹣2×（）2+3×+1＝符合题意．【点睛】本题考查幂函数的单调性、二次函数的值域问题，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力．【变式7-2】（2019秋•金牛区校级期中）已知函数222()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且f （3）f >（2）．（①）求m 的值，并确定()f x 的解析式； （①）若()log [()5](0a g x f x ax a =-+>，且1)a ≠，是否存在实数a ，使得()g x 在区间[1，2]上为减函数．【分析】（Ⅰ）由题知，∴﹣m 2+2m +2＞0且﹣m 2+2m +2必为偶数，确定m 的值，求出f （x ）的解析式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知g （x ）＝log a [x 2﹣ax +5]（a ＞0，且a ≠1），由复合函数单调性，据a 的值 分类讨论使得g （x ）在区间[1，2]上为减函数时a 成立的条件．【答案】解：（Ⅰ）由函数，且f （3）＞f （2）．则函数在（0，+∞）上单调递增，∴﹣m2+2m+2＞0，即m2﹣2m﹣2＜0，∴1﹣＜m＜1+，又m∈Z，∴m＝0或1或2，当m＝0时，﹣m2+2m+2＝2；当m＝1时，﹣m2+2m+2＝3；当m＝2时，﹣m2+2m+2＝2；又函数为偶函数，﹣m2+2m+2必为偶数，∴当m＝0或2时，f（x）＝x2；故m＝0或2，f（x）的解析式为f（x）＝x2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）＝log a[x2﹣ax+5]（a＞0，且a≠1），设y＝log a u，u（x）＝x2﹣ax+5，x∈[1，2]当0＜a＜1时，y＝log a u为减函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为增函数时，且u（1）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．∴，∴0＜a＜1．当a＞1时，y＝log a u为增函数，只有u（x）＝x2﹣ax+5在[1，2]为减函数时，且u（2）＞0时，g（x）在区间[1，2]上为减函数．∴，∴4≤a＜．综上，当0＜a ＜1或4≤a ＜时，g （x ）在区间[1，2]上为减函数．故存在实数a ∈（0，1）∪[4，），使得g （x ）在区间[1，2]上为减函数．【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了函数的奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了计算能力，属于中档题．【变式7-3】（2018秋•南康区校级月考）已知幂函数2(2)(1)()(1)k k f x k k x -+=+-在(0,)+∞上单调递增．（1）求实数k 的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在整数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-在[0，1]上的最大值为5，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由；（3）设函数1()()2()a h x f x ax f x x=+-++，若不等式0)(≥x h 对任意的(1x ∈，3]恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）根据幂函数的定义与性质求出k 的值，写出f （x ）的解析式；（2）写出g （x ）的解析式，讨论m 的取值情况，求出满足条件的m 值；（3）设t ＝x ﹣，把问题转化为关于t 的不等式恒成立问题，从而求得a 的取值范围． 【答案】解：（1）∵幂函数f （x ）＝（k 2+k ﹣1）x（2﹣k ）（1+k ）在（0，+∞）上单调递增，可得（2﹣k ）（1+k ）＞0，解得﹣1＜k ＜2，又k 2+k ﹣1＝1，可得k ＝﹣2或1， 即有k ＝1，幂函数f （x ）＝x 2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（2）由（1）可知：g （x ）＝﹣mx 2+（2m ﹣1）x +1，当m ＝0时，g （x ）＝1﹣x 在[0，1]递减，可得g （0）取得最大值，且为1，不成立；当m ＜0时，g （x ）图象开口向上，最大值在g （0）或g （1）处取得，而g（0）＝1，则g（1）＝5，即为m＝5，不成立；当m＞0，即﹣m＜0，g（x）＝﹣m（x﹣）2+；①当≤0，m＞0时，解得0＜m≤，则g（x）在[0，1]上单调递减，因此在x＝0处取得最大值，而g（0）＝1≠5不符合要求，应舍去；②当≥1，m＞0时，解得m不存在；③当0＜＜1，m＞0时，解得m＞，则g（x）在x＝处取得最大值，在x＝0或1处取得最小值，而g（0）＝1不符合要求；由g（1）＝5，即m＝5，满足m的范围．综上可知：满足条件的m存在且m＝5；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）由（1）知h（x）＝x2+﹣ax++2＝﹣a（x﹣）+4，x∈（1，3]，令t＝x﹣，x∈（1，3]，显然t＝x﹣在（1，3]递增，∴t∈（0，]；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）故原问题转化到不等式t2﹣at+4≥0对任意的t∈（0，]恒成立，即不等式a≤t+对任意的t∈（0，]恒成立；令u（t）＝t+，t∈（0，]，由双勾函数知u（t）在（0，2]递减，[2，]递增，∴u（t）min＝u（2）＝4，故a≤4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查了函数的图象与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．。
高一数学复习考点题型专题讲解17 幂函数
高一数学复习考点题型专题讲解 第17讲 幂函数（重点）一、单选题1．下列命题正确的是（ ）A ．幂函数的图象都经过()0,0，()1,1两点B ．函数1y x -=的图象经过第二象限C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D ．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点()1,1- 【答案】D【分析】通过举反例可判断A 、C 项，根据幂函数的性质可判断B 项，根据幂函数的性质集合偶函数的定义可判断D 项.【解析】解：对于A ，幂函数n y x =的图象都经过点()1,1，当0n ≤时，不过()0,0点，故A 项错误；对于B ，1y x -=的图象过第一、三象限，故B 项错误；对于C ，y x =与3y x =的图象有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，这两个函数不相同，故C 项错误；对于D ，因为幂函数的图象都经过点()1,1，所以幂函数为偶函数时，图象一定经过点()1,1-，故D 项正确．故选：D ．2．函数54y x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合函数定义域以及幂函数性质，即可判断【解析】由题意知，函数54y x ==则满足50x ≥，解得0x ≥，故函数的定义域为[)0,∞+，又514>，结合幂函数的性质，可得选项C 符合题意． 故选：C3．已知432a =，254b =，1325c =，236d =，则（ ） A ．b a d c <<<B ．b c a d <<< C ．c d b a <<<D ．b a c d <<< 【答案】D【分析】根据幂函数13y x =以及指数函数16x y =的单调性即可比较大小. 【解析】由题得4133216a ==，2155416b ==，1325c =，2133636d ==，因为函数13y x =在R 上单调递增，所以a c d <<．又因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <． 故选:D ．4．幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>> 【答案】D【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x =的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断； 【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，1x =的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大， 所以由图像得：b c d a >>>， 故选：D5．给出幂函数：①()f x x =；②2()f x x =；③()3f x x =；④()f x ⑤()1f x x=．其中满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>>⎪⎝⎭的函数的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【分析】条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>> ⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征判断即可 【解析】由题，满足条件()()()121221022f x f x x x f x x ++⎛⎫>>>⎪⎝⎭表示函数图象在第一象限上凸，结合幂函数的图象特征可知只有④满足.故选：A6．当()0,x ∈+∞时，幂函数()2531m y m m x --=--为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．2m =B ．1m =-C ．1m =-或2m =D ．m ≠ 【答案】A【分析】根据幂函数的定义和单调性可得答案.【解析】因为函数()2531m y m m x --=--既是幂函数又是()0,+∞的减函数，所以211530m m m ⎧--=⎨--<⎩解得：2m =.故选：A.7．函数()f x = ） A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞【答案】D【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可得出答案. 【解析】解：2430x x -+≥，则3x ≥或1x ≤， 所以函数()f x 的定义域为(][),13,-∞⋃+∞，令243x x μ=-+，此函数在(),1-∞上递减，在()3,+∞上递增，又函数y =所以函数()f x =(3,)+∞ 故选：D.8．指数函数()()0,1x f x a a a =>≠在R 上是减函数，则函数()()12g x a x -=-在R 上的单调性为（ ）A ．单调递减B ．在()0,+∞上递增，在(),0-∞上递减C ．单调递增D ．在()0,+∞上递增，在(),0-∞上递增 【答案】D【分析】根据指数函数的单调性可得01a <<，再根据幂函数的单调性即可判断. 【解析】∵x y a =为R 上的减函数，∴01a <<，∴20a -<. ∵函数1y x -=在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为减函数， ∴()()12g x a x -=-在(),0-∞上为增函数，在()0,+∞上为增函数.故选：D.9．已知幂函数21()(33)m f x m m x +=-+为偶函数，若函数()()2a g x f x x =-在［2，4]上单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2∞，＋B ．(][),23,∞⋃+∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．()13，【答案】B【分析】根据幂函数的特征和性质可得1m =，代入2()2a g x x x =-，根据二次函数的单调性即可列出不等关系求解.【解析】依题意有2331m m -+=，解得1m =或2m =．又函数()f x 为偶函数，故1m +为偶数，则1m =，所以2()f x x =，2()2ag x x x =-，若单调递增，则222a ≤，若单调递减，则242a≥，故24a ≤或28a ≥，解得2a ≤或3a ≥． 故选：B ．10．已知幂函数()a f x x =的图象过点(9,3)，则函数1()()1f x y f x -=+在区间［1,9]上的值域为（ ）A ．［－1,0]B ．1[,0]2-C ．［0,2]D ．3[,1]2-【答案】B【分析】根据幂函数经过的点可求解析式，代入1()()1f x y f x -=+中通过分离常数法即可求解. 【解析】解法一：因为幂函数()a f x x =的图象过点()9,3 ，所以93=a ，可得12a =，所以()f x =1()1()1f x y f x -====+．因为19x ≤≤，所以214≤≤，故11,02y ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦．因此，函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：B ．解法二：因为幂函数()a f x x =的图象过点(9,3)，所以93a =，可得12a =，所以()f x =[1,9]x ∈，所以()[1,3]f x ∈．因为y =1()()1f x f x -+， 所以1()1yf x y -=+，所以1131y y -≤≤+，解得102y -≤≤，即函数1()()1f x y f x -=+在区间[1,9]上的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故选：B ．11．已知幂函数()223*N m m y x m --=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132m ma a --+<-的a 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由条件知2230m m --<，*N m ∈，可得m ＝1．再利用函数13y x -=的单调性，分类讨论可解不等式.【解析】幂函数()223*N mm y xm --=∈在()0,∞+上单调递减，故2230mm --<，解得13m -<<．又*N m ∈，故m ＝1或2．当m ＝1时，4y x -=的图象关于y 轴对称，满足题意； 当m ＝2时，3y x -=的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1． 不等式化为()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<．故应选：D ．12．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2xg x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ） A ．ϕB ．28t ≥或1t ≤C ．28t >或1t <D ．128t ≤≤ 【答案】D【分析】先根据幂函数定义解得m,再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.【解析】由题意，则0m =，即()2f x x =，当[)11,6x ∈时， ()[)11,36f x ∈，又当[)21,6x ∈时， ()[)22,64g x t t ∈--，∴21{6436t t -≤-≥，解得128t ≤≤，故选D ．【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即1212,,()()()x x f x g x y f x ∀∃=⇒=的值域包含于()y g x =的值域；1212,,()()()x x f x g x y f x ∃∃=⇒=的值域与()y g x =的值域交集非空．二、多选题13．关于幂函数y x α=，下列说法错误的是（ ） A ．当0α=时，图象是一条直线B ．图象都过点()0,0和()1,1 C ．若是奇函数，则一定是增函数D ．图象不可能经过第四象限 【答案】ABC【分析】根据函数0y x =的定义域为{}0x x ≠，可判断选项A ；当0α≤时，幂函数的图象不过点()0,0，从而可判断选项B ； 可以举例说明，从而判断选项C ；根据当0x >时，0y x α=>，可判断出幂函数的图象不可能经过第四象限.【解析】当0α=时，0y x =，其定义域为{}0x x ≠，所以图象不是一条直线，故A 说法错误；幂函数1y x -=的图象不过点()0,0，故B 说法错误； 幂函数1y x -=是奇函数，但不是增函数，故C 说法错误；因为当0x >时，0y x α=>，故幂函数的图象不可能经过第四象限，故D 说法正确. 故选：ABC.14．已知幂函数()()2mf x m x =-，则（ ）A ．3m =B ．定义域为[)0,∞+C ．( 1.5)( 1.4)m m -<-D 2= 【答案】AC【分析】根据()f x 为幂函数得m 可判断A ；根据幂函数的解析式可判断B ；利用单调性可判断C ；D.【解析】()f x 为幂函数，21m ∴-=，得()33,=∴=m f x x ，A 对；函数()f x 的定义域为R ，B 错误；由于()f x 在R 上为增函数，331.5 1.4,( 1.5)( 1.4)-<-∴-<-，C 对；()3228f ==，=D 错误，故选：AC.15．已知幂函数()f x 的图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ） A ．函数()f x 为增函数 B ．函数()f x 为减函数 C ．若9x ≥，则()3f x ≥ D ．若210x x >>，则1212()()()22f x f x x x f ++> 【答案】AC【分析】求出函数的解析式，根据幂函数的图像性质即可逐项求解.【解析】设幂函数()y f x x αα==，为实数，∵其图像经过点()4,2，∴42α=，解得12α=，∴()12f x x =，其定义域为[)0+∞，，且()12f x x =在[)0+∞，上为增函数，A 正确； 9x ≥时，()()93f x f ≥=，选项C 正确；∵函数()12f x x =是上凸函数， ∴对定义域内任意的12x x <，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，选项D 错误. 故选：AC.16．已知幂函数223()(1)m m f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b ∈R 且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（ ）A ．0a b +> 且0ab <B ．0a b +< 且0ab <C ．0a b +< 且0ab >D ．以上都可能 【答案】BC【分析】先求出幂函数的解析式，3()f x x =，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到0a b +<.【解析】因为223()(1)m m f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b ∈R 且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC三、填空题17．（1）函数45y x =的定义域是________，值域是________；（2）函数25y x -=的定义域是________，值域是________；（3）函数32y x =的定义域是________，值域是________；（4）函数34y x -=的定义域是________，值域是________．【答案】 R [)0,∞+ ()(),00,∞-+∞U ()0,∞+ [)0,∞+ [)0,∞+ ()0,∞+()0,∞+ 【分析】画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域【解析】（1）幂函数45y x =图像如图所示，定义域为R ，值域为[)0,∞+,（2）幂函数25y x -=图像如图所示，定义域为()(),00,∞-+∞U ，值域为()0,∞+,（3）幂函数32y x =图像如图所示，定义域为[)0,∞+，值域为[)0,∞+,（4）幂函数34y x -=图像如图所示，定义域为()0,∞+，值域为()0,∞+,故答案为：（1）R ;[)0,∞+,（2）()(),00,∞-+∞U ;()0,∞+,（3）[)0,∞+;[)0,∞+,（4）()0,∞+;()0,∞+.18．已知幂函数()233m y m m x =--在()0,∞+上单调递增，则m ＝______．【答案】4【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.【解析】由题意可得23310m m m ⎧--=⎨>⎩，解得4m = 故答案为：4.19．幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为________.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【解析】有图象可知：该幂函数在()0+∞，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z ∈,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m = 故答案为：120．已知a 、b 为正实数且a b <，函数2k y x =-的定义域为[][],,b a a b --⋃．若函数2k y x =-在区间[],a b 上的最大值为5，最小值为2，则函数2k y x =-在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为______．【答案】7或15-##15-或7【分析】由幂函数的性质求解即可【解析】令()kf x x =，[][],,x b a a b ∈--⋃． 由幂函数的性质，可知()f x 的图像关于原点对称或者关于y 轴对称．又因为函数()2y f x =-在区间[],a b 上的最大值为5，最小值为2，所以，当()f x 的图像关于原点对称时，()f x 在区间[],a b 上的最大值为7，最小值为4，()f x 在区间[],b a --上的最大值为4-，最小值为7-，于是()2y f x =-在区间[],b a --上的最大值为6-，最小值为9-．所以2k y x =-在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为()()6915-+-=-；同理可得，当()f x 的图像关于y 轴对称时，()2y f x =-在区间[],b a --上的最大值为5，最小值为2．所以2k y x =-在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为527+=；因此，2k y x =-在区间[],b a --上的最大值与最小值的和为7或15-．故答案为：7或15-．四、解答题21．比较下列几组值的大小： (1)23( 2.5)-和45( 2.5)-； (2)1225-⎛⎫ ⎪⎝⎭和32(0.4)-； (3)1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭和1232-⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4) 2.50.4-，0.22-， 1.62.5．【答案】(1)4253( 2.5)( 2.5)->- (2)13222(0.4)5--⎛⎫< ⎪⎝⎭(3)1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1232-⎛⎫ ⎪⎝⎭(4) 2.5 1.60.20.4 2.52-->>【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可（1） 由于2233( 2.5) 2.5-=，4455( 2.5) 2.5-=．∵ 2.5x y =在R 上为增函数，且4253>， ∴42532.5 2.5>，即4253( 2.5)( 2.5)->-；（2） 由于33222(0.4)()5--=． ∵25xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，且1322->-， ∴13222()(0.4)5--<； （3） ∵13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为增函数，且102-<， ∴121()13->，123()12-<， ∴112213()()32-->； （4）∵ 2.5 2.50.4 2.5-=， 2.5x y =在R 上为增函数，且2.5 1.600.2>>>-∴ 2.5 1.60.22.5 2.51 2.5->>>，∴ 2.5 1.60.20.4 2.52-->>．22．已知幂函数()m f x x =．(1)若()f x 的图象在()0,1∈x 时位于直线y x =的上方，求实数m 的取值范围；(2)若()f x 的图象在()1,x ∈+∞时位于直线y x =的上方，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(),1-∞；(2)()1,+∞.【分析】（1）根据题意求得()1,0,1m x x x >∈，由指数函数的单调性，即可求得参数m 的范围；（2）根据题意求得1,1m x x x >>，由指数函数的单调性，即可求得参数m 的范围.(1)根据题意，当()0,1x ∈时，1m x x >，因为指数函数m y x =（以m 为自变量，底数()0,1,x x ∈为常数）是单调减函数， 故1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.(2)根据题意，当()1,x ∈+∞时，1m x x >，因为指数函数m y x =（以m 为自变量，底数()1,,x x ∈+∞为常数）是单调增函数， 故1m >，即m 的取值范围为()1,+∞.23．已知幂函数22()()m m f x x m Z --=∈是偶函数，且在()0,∞+上是减函数，求函数()f x 的解析式．【答案】()2f x x -=【分析】根据幂函数的单调性，可知220m m --<，又m Z ∈，则0,1m =，再根据函数()f x 是偶函数，将0,1m =分别代入验证可得答案.【解析】因为幂函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，则220m m --<，得(1,2)m ∈-， 又∵m Z ∈，∴0m =或1．因为函数()f x 是偶函数，将0,1m =分别代入，当0m =时，222m m --=-，函数为2()f x x -=是偶函数，满足条件.当1m =时，222m m --=-，函数为2()f x x -=是偶函数，满足条件.()f x ∴的解析式为()2f x x -=．24．结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.（1）数形结合可知，2y x =的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；31,,y x y x y x===的图象关于原点对称，故都为奇函数. （2）数形结合可知：y =[)0,+∞，值域为[)0,+∞；3,y x y x ==的定义域都是R ，值域也是R ；1y x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，值域也为()(),00,-∞⋃+∞； 2y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞.（3）数形结合可知：y =[)0,+∞，无单调减区间；3,y x y x ==的单调增区间是：R ，无单调减区间；1y x=的单调减区间是：(),0-∞和()0,+∞，无单调增区间； 2y x =的单调减区间是(),0-∞，单调增区间是()0,+∞.（4）数形结合可知：幂函数均恒过()1,1点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象. 对幂函数y x α=，当0α>，其一定在()0,+∞是单调增函数；当0α<，在()0,+∞是单调减函数.25．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2x g x k =-． (1)求m 的值：(2)当[]1,2x ∈时，记()f x ，()g x 的值域分别为A ，B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围．【答案】(1)0m =(2)[]0,1【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得m ；（2）由一次函数和指数函数单调性可求得,A B ，由并集结果可构造不等式组求得结果. （1）()f x 为幂函数且在()0,∞+上单调递增，()2211420m m m ⎧-=⎪∴⎨-+>⎪⎩，解得：0m =； （2）由（1）知：()2f x x =，∴当[]1,2x ∈时，()[]1,4f x ∈，即[]1,4A =； 当[]1,2x ∈时，()[]2,4g x k k ∈--，即[]2,4B k k =--；A B A =Q U ，B A ∴⊆2144k k -≥⎧∴⎨-≤⎩，解得：01k ≤≤，即实数k 的取值范围为[]0,1. 26．已知幂函数()()226Z m m f x x m --=∈在区间()0,∞+上是减函数． (1)求函数()f x 的解析式；(2)讨论函数()f x 的奇偶性和单调性；(3)求函数()f x 的值域．【答案】(1)()3f x x -=或()6f x x -=或()5f x x -=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）依题意可得2260m m --<，求出m 的取值范围，再根据m ∈Z ，即可得到m ，再代入求出函数解析式；（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；(1)解：依题意2260m m --<，即()()2320m m +-<，解得322m -<<，因为m ∈Z ，所以1m =-或0m =或1m =，所以()3f x x -=或()6f x x -=或()5f x x -= (2)解：若()3f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()3f x x -=为奇函数，且在(),0∞-和()0,∞+上单调递减；若()6f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()6f x x -=为偶函数，且在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减；若()5f x x -=定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()5f x x -=为奇函数，且在(),0∞-和()0,∞+上单调递减；(3)若()3f x x -=，则()f x 为奇函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()(),0f x ∈-∞，所以函数的值域为()(),00,∞-+∞U ；若()6f x x -=，则()f x 为偶函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()()0,f x ∞∈+，所以函数的值域为()0,∞+；若()5f x x -=，则()f x 为奇函数，当0x >时()()0,f x ∞∈+，所以0x <时()(),0f x ∈-∞，所以函数的值域为()(),00,∞-+∞U ；27．已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数，(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为1，求实数m 的值.【答案】(1)2()f x x = (2)13m =-或1m =-【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.（1）因为()f x 为幂函数所以233112a a a a -+===，得或因为()f x 为偶函数所以2a = 故()f x 的解析式2()f x x =.（2）由（1）知()()2213g x x m x =+--， 当1212m -≤即12m ≥-时，()()max 3361g x g m ==+=，即13m =- 当1212m ->即12m <-时，()()max 1121g x g m =-=--=即1m =- 综上所述：13m =-或1m =-28．已知幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，且()f x 在区间()0,∞+上单调递减.(1)求()f x 的解析式及定义域；(2)设函数()()()221g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦，求证：()g x 在()0,∞+上单调递减.【答案】(1)()1f x x -=，定义域为()0,∞+.(2)证明见解析【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；（2）求出()g x 利用单调性定义证明即可.（1）因为幂函数()()()22t f x t t x t R -=+∈，()f x 在区间()0,+∞上单调递减，所以221+=t t ，解得1t =-或12t =，所以()12f x x -=，定义域为()0,+∞. （2）由（1）知函数()()()()2222110--=-=-≠⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦g x f x x x x f x ， 设120x x >>，则()()()222222211212212222121211------=--+=-+x x g x g x x x x x x x x x 因为120x x >>，所以2212x x >，222221210,0-<>x x x x ，所以()()120g x g x -<，即()()12g x g x <，所以()g x 在()0,+∞上单调递减.。
高考数学复习典型题型专题讲解与练习13 幂函数
高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题13 幂函数题型一 幂函数的定义域和值域1．函数()()123421x x y +=-的定义域为__________．【答案】[)2,1-【解析】函数解析式为()()123421y x x ==-+，则2010x x +≥⎧⎨->⎩，解得21x .因此，函数()()123421x x y +=-的定义域为[)2,1-.故答案为：[)2,1-.2．讨论函数23y x =的定义域、奇偶性，并作出它的简图，根据图象说明它的单调性． 【答案】定义域R ；偶函数；图象见解析；在区间(-∞,0]上是减函数，[0,+∞)上是增函数．【解析】函数23y x ==R=，所以函数为偶函数，作出函数图象可知，在(],0-∞单减，在[0,+∞)上单增.3．已知幂函数()()21*m mfx xx N +=∈.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m 与m ＋1中必定有一个为偶数,可知m 2＋m 为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2)和m∈N *求出m 的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a 的范围即可. 试题解析:（1）m 为正整数，则：m 2+m ＝m （m +1）为偶数，令m 2+m ＝2k ，则：()f x =[0，+∞），函数在定义域内单调递增．（2）由题意可得：()122m m -+=求解关于正整数m 的方程组可得：m ＝1（m ＝﹣2舍去），则：()f x f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）脱去f 符号可得： 2﹣a ＞a ﹣1≥0，求解不等式可得实数a 的取值范围是：312a ≤＜．4．已知幂函数f (x )=(m -1)22-42m m x +在区间(0，+∞)上单调递增，函数g (x )=2x -k .（1）求实数m 的值；（2）当x ∈(1，2]时，记ƒ(x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B =A ，求实数k 的取值范围.【答案】（1）m =0；（2）[0，1].【解析】（1）依题意得(m -1)2=1.∴m =0或m =2.当m =2时，f (x )=x -2在区间(0，+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.∴m =0.（2）由（1）可知f (x )=x 2，当x ∈(1，2]时，函数f (x )和g (x )均单调递增. ∴集合A =(1，4]，B =(2-k ，4-k ]. ∵A ∪B =A ，∴B ⊆A .∴2-14- 4.k k ≥⎧⎨≤⎩，∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0，1].5．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增.（1）求m 的值；（2）当[]1,2x ∈时，记()f x 的值域为集合A ，若集合[]2,4B k k =--，且A B A ⋃=，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0；（2）[]0,1【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴()211m -=，∴0m =或2.当0m =时，()2f x x =在()0,∞+上单调递增，满足题意.当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，不满足题意，舍去.∴0m =.（2）由（1）知，()2f x x =.∵()f x 在[]1,2上单调递增，∴[]1,4A =.∵[]2,4B k k =--，A B A ⋃=，∴B A ⊆，∴21,44,k k -≥⎧⎨-≤⎩解得01k ≤≤.故实数k 的取值范围为[]0,1. 题型二 幂函数的图像问题1．函数()12f x x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得，()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >，因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数， 故选：A ．2．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x 既是二次函数，也是幂函数 【答案】D【解析】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确； 函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确； 根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确. 故选：D.3．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数 C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n <D ．m 、n 是偶数，且1mn> 【答案】ABC【解析】图象在(1,1)右侧上升但上升幅度比y x =小，01mn<<，A 正确； 图象关于y 轴对称，函数为偶函数，m 是偶数，n 是奇数，B 正确； 则C 也正确，D 错误． 故选：ABC ．4．函数()()110y x αα=-+<恒过定点______． 【答案】()2,2【解析】当11x -=，即2x =时，2y =，∴函数恒过定点()2,2. 故答案为：()2,2.5．在同一平面直角坐标系中画出函数()f x ()1g x x =-的图象，并利用图象求不等1x >-的解集．【答案】作图见解析；0⎡⎢⎣⎭．【解析】由题意，函数()f x ()1g x x =-，画出图象，如图所示：1x =-，解得x =1x >-的解集0⎡⎢⎣⎭．6．已知幂函数()21*()()f x x m m m N ∈－＝＋，经过点(2，试确定m 的值，并求满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围． 【答案】31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N ∈，∴1m =.即12()f x x =，其定义域为0x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a ≤-<-，解得312a ≤<. 题型三 幂函数的单调性及应用1．幂函数y =f （x ）的图象经过点（4，2），若0<a <b <1，则下列各式正确的是A ．f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．11f f a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<f （b ）<f （a ） C ．f （a ）<f （b ）11f f a b ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()()11f f a f f b a b ⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】设幂函数y =f （x ）=x α，∵该幂函数的图象经过点（4，2），∴4α=2，解得12α=，∴f （x ）=12x ，∵0<a <b <1，∴1110b a a b>>>>>，∴f （a ）<f （b ）<f （1b ）1f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭．故选A ．2．幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．【答案】3【解析】∵幂函数()()2231m m f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2， 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3.3．若幂函数()2222m y m m x -+=--在()0∞，+上为减函数，求实数m 的值；【答案】3m =【解析】因为函数为幂函数， 则2221m m --=，得1m =-或3m =， 当3m =时，1y x -=；当1m =-时，3y x =. 又函数在()0∞，+上为减函数， 所以3m =.4．已知2()f x x =(0x ≠)，2()g x x -=，若定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ⎧=⎨>⎩求函数()h x 的最大值及单调区间.【答案】1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.【解析】由题意，得22,11,(),1001,x x x h x x x x -⎧-=⎨-<<<⎩或或根据题中图象可知函数()h x 的最大值为1，单调递增区间为(,1]-∞-，(0,1]，单调递减区间为[1,0)-，[1,)+∞.5．已知幂函数223()(22,)m m f x x m m z --+=-<<∈满足： （1）在区间()0,∞+上为增函数（2）对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=，求同时满足（1）（2）的幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域．【答案】()4f x x =；值域是[]0,256．【解析】因为函数在()0,∞+上递增， 所以2230m m --+>，解得31m -<<，因为22m -<<，m Z ∈，所以，1m =-，或0m =． 又因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数， 所以223m m --+为偶数．当1m =-时，2234m m --+=满足题意； 当0m =时，2233m m --+=不满足题意，所以()4f x x =,又因为()4f x x =在[]0,4上递增．所以()()min 00f x f ==，()()max 4256f x f ==， 故函数的值域是[]0,256 ． 题型四 幂函数的奇偶性及应用1．设11,2,3,,12a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数a y x =的定义域为R 且函数a y x =为奇函数的所有a 的值为（ ） A ．1,3-B ．1,1- C ．1,3D ．1,1,3- 【答案】C【解析】1a =时，函数解析式为y x =满足题意；2a =时，函数解析式为2y x ，偶函数，不符合题意；3a =时，函数解析式为3y x =满足题意；12a =时，函数解析式为12y x =，定义域为[)0,+∞，不符合题意；1a =-时，函数解析式为1y x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，不符合题意. 故选：C.2．已知幂函数()y f x =的图象过(2,2，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =的定义域为[0,)+∞B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是偶函数D ．()y f x =是奇函数 【答案】B【解析】设幂函数f （x ）＝x α，因为幂函数y ＝f （x ）的图象过点⎛ ⎝⎭，所以1222a-==， 解得12a =-， 所以()12f x x -=，所以y ＝f （x ）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A 错误；B 正确， 因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C ，D 错误， 故选：B ．3．已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【答案】（1）0m =；（2）112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． 【解析】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，．4．已知幂函数21322()()p p f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.（1）求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式.（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；（2）存在，130-. 【解析】（1）由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<.又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.（2）存在.理由如下：由（1）知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞， 此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增； 当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减， 则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件.。
典型例题：幂函数常见题型
幂函数常见题型分类解析幂函数是重要的基本初等函数模型之一，下面就其可能出现的题型加以分析，以提高同学们解决问题的能力．1、求解析式例1已知幂函数2223(1)m m y m m x --=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y =_______．解：因为2223(1)m m y m m x --=--为幂函数，211m m ∴--=， 解得2m =，或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常函数，不合题意，舍去．故所求幂函数为3y x -=．评注：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，理解幂函数的定义是关键．2、比较大小例2比较0.50.8，0.50.9，0.50.9-的大小．分析：先利用幂函数0.5y x =的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9-的大小．解：0.5y x =在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<，0.50.50.80.9∴<．作出函数0.5y x =与0.5y x -=在第一象限内的图象，易知0.50.50.90.9-<．故0.50.50.50.80.90.9-<<．3、求参数的范围例3已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 解：图象与x y ，轴都无交点，2m ∴-≤0，即2m ≤．又m ∈N ，012m ∴=，，．幂函数图象关于y 轴对称，0m ∴=，或2m =．当0m =时，函数为2y x -=，图象如图1； 当2m =时，函数为01(0)y x x ==≠，图象如图2．4、讨论函数性质例4讨论函数211()()m m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶性和单调性． 解：（1）2(1)()m m m m m *+=+∈N 是正偶数， 21m m ∴++是正奇数．∴函数()f x 的定义域为R ．（2）21m m ++是正奇数，221111()()()m m m m f x x x f x ++++∴-=-=-=-，且定义域关于原点对称． ()f x ∴是R 上的奇函数．（3）2101m m >++，且21m m ++是正奇数， ∴函数()f x 在()-+，∞∞上单调递增．。
幂函数知识点及题型归纳总结
幂函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、幂函数的定义一般地，函数()y x R αα=∈叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.注：判断一个函数是否为幂函数，关键是看其系数是否为1，底数是否为变量x .二、幂函数的图像幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四项县内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像如果与坐标轴相交，则交点一定是原点. 当11,2,3,,12α=-时，在同一坐标系内的函数图像如图2-18所示.三、幂函数的性质当0α>时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是增函数，当1α>时，函数图像是向下凸的；当01α<<时，图像是向上凸的，恒过点(0,0)(1,1)和；当0α<时，幂函数y x α=在(0,)+∞上是减函数.幂函数y x α=的图像恒过点(1,1).题型归纳及思路提示题型1 幂函数的定义及其图像思路提示确定幂函数y x α=的定义域，当α为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当0α≤时，底数是非零的.例2.68函数2223()(1)a a f x a a x --=--为幂函数（a 为常数），且在(0,)+∞上是减函数，则a =______. 分析根据幂函数的定义及单调性求解a .解析依题意，得2211230a a a a ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2a =. 变式1 函数32204(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域为R ，求实数m 的取值范围.变式2 幂函数()y f x =的图像经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是______.. 变式3 设11,1,,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=为奇函数且定义域为R 的所有α的值为（ ） .1,3A .1,1B - .1,3C - .1,1,3D -题型2 幂函数性质的综合应用思路提示紧扣幂函数y x α=的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意α为奇数时，x α为奇函数，α为偶数时，x α为偶函数.例2.69已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是减函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求满足33(1)(32)mma a --+<-的a 的取值范围.分析利用函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数且为偶函数求m ，从而得到()f x 的解析式.解析（1）因为幂函数在区间(0,)+∞上是减函数，所以2230m m --<得 13,m m Z -<<∈又，当0m =时，2233m m --=-；当1m =时，2234m m --=-；当2m =时，2233m m --=-.又因为()f x 为偶函数，所以4()f x x -=.（2）由1m =得1133(1)(32)a a --+<-. 即113311132a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭又13y x =在R 上单调递增，故11132a a <+-，整理得 (1)(32)(23)0a a a +--<，解得23132a a <-<<或，如图所示.故a 的取值范围为23(,1)(,)32-∞-. 评注突破点为由单调性得m 的取值范围，进而验证满足偶函数的值，若从偶函数的条件入手，则不易向下转化.分类讨论时，确定分类标准，做到不重不漏.变式1 已知函数2()f x x =，设函数[]()()(21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使()g x 在区间(],4-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由.最有效训练题1.下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是增函数的是（ ）43.A y x =32.B y x = 2.C y x -= 14.D y x = 2.幂函数2232()m m y x m Z --=∈的图像如图2-20所示，则m 的值为（ ）.1A .2B .3C.4D3.幂函数()f x 的图像经过点11(,)42A ，则它在点A 处的切线方程为（ ） .4410A x y ++= .4410B x y -+= .20C x y -=.20D x y += 4.若幂函数()f x 的图像经过点13,9⎛⎫⎪⎝⎭则其定义域为（ ）{}.,0A x x R x ∈> {}.,0B x x R x ∈< {}.,0C x x R x ∈≠ .D R 5.设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） .Aa c b >>.B a b c >> .C c a b >> .Db c a >> 6.设1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则使y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α值的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D7.已知幂函数()y f x =的图像过点(2,2)，则(8)f 的值为_______.8.已知幂函数265()()m m f x x m Z -+=∈为奇函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，则()f x 的解析式为32 231- 图 2-19_______.9.已知函数12()f x x =，且(21)(3)f x f x -<，则x 的取值范围是_______.10.设函数()1()f x x Q αα=+∈的定义域为[][],,b a a b --，其中0a b <<，若函数()f x 在区间[],a b 上的最大值为6，最小值为3，则()f x 在[],b a --上的最大值与最小值的和为_______.11.已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1()1x f x >>则；②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-；③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 其中，所有正确命题的序号是_______.12.点在幂函数()f x 的图像上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图像上，问当x 为何值时有： (1)()()(2)()()(3)()()f xg x f x g x f x g x >=<。
幂函数考点和题型归纳
幂函数考点和题型归纳一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)xα的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f(x)＝x nm(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．考点一 幂函数的图象与性质[典例] (1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[解析] (1)设f (x )＝x α，将点(3，33)代入f (x )＝x α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x23－n n在(0，＋∞)上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x －2的图象关于y 轴对称，故n ＝1. [答案] (1)C (2)B[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．[题组训练]1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －4 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 函数y ＝x －4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 13为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)考点二 比较幂值大小[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c[解析] 因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . [答案] D[题组训练]1．若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >a解析：选B 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525>c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a >c >b .2．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 [课时跟踪检测]1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B.2 C ．22D ．1解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝12，所以f (x )＝x 12，f (8)＝812＝2 2.2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12D ．－1解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0. ∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 24＝1x 2＋x 24≥21x 2·x 24＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|与y ＝x 23－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和3解析：选C由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|m －1|>0，3m －m 2>0，m ∈Z ，解得m ＝2.6．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选C 因为a ＝8115，b ＝1615，c ＝1215，由幂函数y ＝x 15在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <xD ．z <y <x解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.9．若f (x )是幂函数，且满足f (9)f (3)＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：1410．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.答案：311．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．答案：h (x )＞g (x )＞f (x )12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 12-，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －12的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，10－2a >0，解得3<a <5.答案：(3,5)13．已知幂函数f (x )＝x ()21－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．(1)试确定m 的值；(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2()21－＋m m ，即212＝2()21－＋m m .∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。
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3. 比较下列各组中两个值的大小幕函数题型及解析1. (1)下列函数是幕函数的是 ____________y=x 2, y=(丄)x, y=4x 2, y=x 5+1, y= (x - 1) 2, y=x , y=a x(a > 1) 分析：由幕函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幕函数的是y=x 2和y=x .y=x 2, y=(丄)x, y=4x 2, y=x 5+1, y= (x - 1) 2, y=x , y=a x(a > 1),七个函数中是幕函解：由幕函数的定义知, 数的是y=x 2和y=x ,2(2［①y=x +1;②y=21 ③y； ④y= (x - 1) 2；⑤y=x 5； ⑥y=xx+1分析：根据幕函数的定义，对以下函数进行判断即可. 解：根据幕函数y=x “，a€ R 的定义知，①y=x 2+1不是幕函数，②y=2x不是幕函数，③y=—=x -2是幕函数，④y= ( x - 1) 2不是幕函数，⑤y=x 5是幕函数,x 2⑥y=x x+1不是幕函数；综上是幕函数的为③⑤2.已知幕函数y=f (x )的图象过点(9, ■) . (1 )求 f (x )的解析式；(2)求 f (25)的值；(3)若 f (a ) =b(a , b > 0),贝U a 用b 可表示成什么？分析：(1)设出幕函数f (x )的解析式，根据图象过点(9，知求出函数解析式; 出f(25)的值；(3)根据函数的解析式求出 a 与b 的关系.(2)根据函数的解析式求解：(1)设幕函数f (x ) =x t，:图象过点(9,(2)T f (x ) = . 一，••• f (25) =25 -0.5),「0出即3W 」1-1； ( 3)T f (a )=a -0.5=b ,.・. a -0.5= b ,「. a -1=b 2,(1)1.5，1.72 2_； (2) 0.71.5, 0.6 1.5； (3) ( 1.2) 丁 , ( 1.25)三-0.245、 )与(；)6)-0.246 -0.3-,(—3(6)(豆)分析：由幕函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得. 331.55 V 1.75； (2)•••幕函数“ 、0.52.3(5) 3.1 , 3.13解：(1 )•••幕函数y=x 5在(0, -1.5 -1.8；(7) 0.6 2, 0.6 3； (8)(一)+s)单调递增，•2y=x 15 在(0,2+s)单调递增,• 0.7 1.5> 0.6 1.5； (3)) T 幕函数 y=x 3 在(-g,0)单调递增，•( 1.2) 3 > ( 1.25) 3 ； (4)T 0V-V 1,-0.24 > -丄,4-0.24•■)0.24<(勢60.5 2.3；(5) 3.1 V 3.1； (6)-1.5'- 1.8 23>(二) ；(7) 0.6 > 0.6 ；®V(二)4. 若函数y= ( m i +2m- 2) x m为幕函数且在第一象限为增函数，求 m 的值②已知幕函数y= (m 2- m - 1) x m2 2m 3,当x €( 0, +^)时为减函数，求幕函数 分析：根据幕函数的性质，列出不等式组，求出 m 的值即可解：①•••函数y= ( m+2m- 2) x m为幕函数且在第一象限为增函数，• ②解：•••幕函数 y= (m 2-m - 1) x m2 2m 3,.「m 2-m - 1=1，解得 函数，•当m=2时，m 2-2m-3= - 3,幕函数为y=x -3，满足题意；当 足题意；综上幕函数 y=x -35. 幕函数y= ( m - 3m+3 乂“是偶函数，求 m 的值 分析：根据幕函数的定义先求出m 的值，结合幕函数是偶函数进行判断即可.m i +2m-2=1 且 m > 0;解得 m=1m=2，或 m= - 1 ;又 x €( 0, +^) m=-1时，m -2m-3=0 ,幕函数为y=x ",不满时y 为减 06.求函数y x 3的定义域和值域.28.已知幕函数y= x4 3m m 分析：由题意得4-3m-m2> 0解得-4v m< 1，又因为图象关于-1, - 2, - 3，即可画出图象.解：由题意得4 - 3m-卅>0，即有(m+4 ( m- 1)v 0，解得-4v m< 1,又因为图象关于y轴对称，所以4 - 3m -m必须为偶数，所以m=0 - 1，- 2,- 3, m=- 3, y=x4, m=- 2, y=x6, m=- 1, y=x6,m=0 y=x4其图象如图：29.已知函数丫=垃卅一缶7 (n € Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于函数图象.分析：由题意可得，可得幕指数n2- 2n-3为负数，且为偶数•由于当n=1时,幕指数n2- 2n-3=- 4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象.n=1时，幕指数n2- 2n- 3=- 4，满足条件，当n=3时，n2- 2n- 3=0, _ 」 , ________ 2解：.••函数是幕函数，• m-3m+3=1,m=2时，y=x2是偶函数，满足条件，即即mi - 3m+2=0则m=1或m=2当m=1时，y=x是奇函数，不满足条件.当m=2分析：本题考察幕函数的概念及性质，把2解：•函数y= x 3y=x3化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域.丄7.求函数y=0.2-x2-3X+4的定义域、值域和单调区间.分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可.4••• XM 0,且y>0；•••函数y的定义域是｛x| x丰0｝，值域是｛y|y>0｝解：令 f (x) = - x2- 3x+4= -( x2+3x+亠)4+1递减，•函数y=0.2 -x2 ― 3x+4 升 /在(-8,•)递减，在(-—+my=0.2 -x2- 3x+4的定义域是R、值域是［+m),在(-汽-仝)递减，在(-2、、-2 )递增，• •ymin = |- -■■一，+R)递增y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象y轴对称，所以4 - 3m- m必须为偶数，故m=0,解：已知函数y=(n€Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，可得幕指数(m€ Z)的图象与y轴对称，求n的值，并画出2n- 3为非正数，且为偶数•由于当条件故函数为y=x满足+丄4，•函数4,或y=x0，它的图象如图所示：10.已知幕函数y=xm2(m€ N)的图象与x, y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象.分析：由题意利用幕函数的性质可得 m € N, m- 2< 0,且m- 2为偶数，由此求得 m 的值.解：•••幕函数y=x m2(m € N )的图象与x , y 轴都无交点，且关于 y 轴对称，.••①m- 2v 0, m- 2为偶数，故m=0 即幕函数y=x -2，它的图象如右图所示.或② m- 2=0, m=2,此时y=x 0, (x 丰0),它的图象如图所示解出即可.解：不等式 0.64 2m+3< 1.25 3m,即为 0.82 (2m+3)< (丄)3m，即有(二)「(4m+6)< 隹)3m，由于 y=(旦)x在 R 上递增，4 』44则-(4m+6 < 3m,解得，01>-三，故实数 m 的取值范围是(- 寻，+^)14.已知幕函数f (工)二芒‘乜CmE 『).(1)试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点a )> f (a - 1)的实数a 的取值范围.分析：(1 )将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幕函数的性质知单调性 (2)将点的坐标代入列出方程解得 m 利用函数的单调性去掉法则 f ,列出不等式解得，注意定义域. 解：(1) v m+m=m(m+1), m € N 二nf+m为偶数，二x >0，所以函数定义域为［0 , +Q 由幕函数的性质知：其函J_ 数在定义域内单调递增.(2)依题意得：匚-J =,•••1<呂今，故a 的取值范围为：［1,曾)11. 已知幕函数分析：由幕函数的概念与该函数为偶函数的性质可知， 解：•••幕函数 2m- 3为偶数 当m=- 1时， m 的值m - 2m- 3 W 0且m - 2m- 3为偶数，从而可得答案. (m € Z )的图象与x 轴，y 轴没有交点，且关于 y 轴对称，二 卅-2m- 3< 0且nf - y= m€ Z ),由 m - 2m — 3< 0 得：-1W m W 3，又 m € Z ,「. m=— 1, 0, 1, 2, 3. m - 2m- 3=1+2- 3=0,为偶数，符合题意；当 m=0时，m - 2m- 3= - 3,为奇数，不符合题意；当 m=2时，m i - 2m- 3=4- 4 - 3=- 3,为奇数，不符合题m=1时，卅-2m- 3=1 - 2 - 3= - 4,为偶数，符合题意；当 意；当m=3时， 12. 已知幕函数 画出它的图象. 分析：由题意知，解：幕函数y=xm - 2m- 3=9 - 6 - 3=0,为偶数，符合题意.综上所述，m=- 1, 1, 3 y=x m2「2m-3(m € Z )的图象与x 、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求 m 的值，并且 3m，再由y= (―) x在R 上递增，得到-(4m+6 < 3m,4(2 - aZ>a - 1[a - 1^0什加I 忒2)(4m+63< 1.25 3m,即为(_)卅-2m- 3< 0,且m 2- 2m- 3为奇数，解此不等式组可得 m 的值. m -2m3(m € Z )的图象与x 、y 轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称， /• vm - 2m- 3< 0,且m 2分析：不等式0.642m+3•••m=1( m € N*)由已知得:。