四边形专题讲解

学习过程

一、复习预习

二、知识讲解

考点1

（一）、平行四边形的定义、性质及判定．

1：两组对边平行的四边形是平行四边形．

2．性质：

(1)平行四边形的对边相等且平行； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分．

3．判定：

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形： (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

考点2

矩形的定义、性质及判定．

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等

3.判定：

(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．

4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．

考点3

菱形的定义、性质及判定．

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

(1)菱形的四条边都相等；。

(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：

2.菱形的面积。

3．判定：

(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．

考点4

正方形定义、性质及判定．'

1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．性质：

(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；

(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； (4)正方形的对角线与边的夹角是45度；

(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

3．判定：

(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等； (2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．

4．对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形．

考点5

三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半；梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．

线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是两对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点.

依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

三、例题精析

【例题1】

【题干】正十边形的每个外角等于（）

A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒

【答案】B

【例题2】

【题干】如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________． 【答案】14或16或26

【解析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于3600÷10=360。故选B 。 【例题3】

【题干】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，

则DG 的长为（ ）

A.

31- B.35- C.5+1

D.

51-

【答案】D

【解析】利用勾股定理求出CM 的长，即ME 的长，有DM=DE ，所以可以求出DE ，从而得到DG 的长：∵四边形ABCD 是正方形，M 为边AD 的中

点，∴DM=

1

2

DC=1。 ∴2 2 22CM

DC DM 2+1=5=+=。∴ME=MC= 5。∴ED=EM－DM=51-。

∵四边形EDGF 是正方形，∴DG=DE=

51-。故选D 。

【例题4】

【题干】如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D 、C 分别落在点F 、E 处（点F 、E 都在AB 所在的直线上），折痕为

MN ，则∠AMF 等于（ ）

A ．70° B．40° C．30° D．20°

【答案】B

【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD。

∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。 ∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。

∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。故选B 。

【例题5】

【题干】如图，过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积

S 2的大小关系是（ ）

A .S 1 > S 2 B.S 1 < S 2 C .S 1 = S 2 D.2S 1 = S 2

【答案】C

【解析】易知，四边形BHME 和MFDG 都是平行四边形。

∵平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形， ∴ABD BCD EBM BHM GMD DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，。

∴ABD

EBM GMD BCD BHM DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=--，即S 1 = S 2。故选C 。

【例题6】

【题干】已知：在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】

A ．25

B ．50

C ．25

2

D ．

302

4

【答案】A

【解析】过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E ，作DF⊥BC 于F 。

∵AD∥BC，DE∥AC，

∴四边形ACED 是平行四边形。∴AD =CE=3，AC=DE 。 在等腰梯形ABCD 中，AC=DB ，∴DB=DE。

∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。∴△BDE 是等腰直角三角形。∴DF=

1

2

BE=5。 S 梯形ABCD =

12（AD+BC ）•DF=1

2

（3+7）×5=25。故选A 。