四边形专题讲解
第05讲 平行四边形专题+佳颖
第五讲 平行四边形专题专题讲解专题1 平行四边形的性质例1 （1）如图，□ABCD 周长为36cm ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，DE=4cm ，DF=5cm ，则S□ABCD= 。
CA（2）□ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，AE=2cm ，BF=1cm ，∠EDF=60°，则S □ABCD = 。
（3）如图，过□ABCD 内一点P 作AD ，AB 边的平行线EF ，GH ，若S 四边形PHCF =5，S 四边形PGAE =3，则S △PBD = 。
H GDB点拨平行四边形的面积：（1）计算公式：S=底×高；（2）等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；（3）经过对角线交点的任意直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。
解析：归纳总结：①型特征：②方法与技巧：练1.1 如图，在□ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.6C.12D.24DB练1.2 国家文明卫生城市—武汉，风光秀丽，花木葱茏，某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花。
如果AB∥EF∥DC，BC ∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（）。
A.红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等B练1.3 如图，张、王、李、赵四家的承包田都是形状面积完全相同的矩形，四家用不同的方式修路（图中阴影部分），以便施肥、喷药之用，但各家修的路有一个共同点，即A1B1=A2B2=A3B3=A4B4，且路的两侧都是平行的，那么路的占地面积（）。
A.张家最少B.赵家最少C.张、王、李、赵四家一家比一家少 D.四家相等B1A1A2B2张王B3A3练1.4 如图是一个平行四边形土地ABCD，后来在其边缘挖了一个小平行四边形水塘DFGH，现准备将其分成两块，并使其满足：两块地的面积相等，分割线恰好做成水渠，便于灌溉，请你在图中画出分界线（保留作图痕迹）。
考点14 四边形-中考数学考点讲解
考点14 四边形一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.2．平行四边形的性质（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．4．平行四边形中的几个解题模型（1）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半．（3）如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．三、平行四边形的判定（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．四、特殊平行四边形的性质与判定1．矩形的性质与判定（1）矩形的性质：①四个角都是直角；②对角线相等且互相平分；③面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB.（如图）（2）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形；②有三个角是直角；③对角线相等的平行四边形．2．菱形的性质与判定（1）菱形的性质：①四边相等；②对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；③面积=底×高=对角线乘积的一半．（2）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．3．正方形的性质与判定（1）正方形的性质：①四条边都相等，四个角都是直角；②对角线相等且互相垂直平分；③面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．（2）正方形的判定：①定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；②一组邻边相等的矩形；③一个角是直角的菱形；④对角线相等且互相垂直、平分．4．联系①两组对边分别平行；②相邻两边相等；③有一个角是直角；④有一个角是直角；⑤相邻两边相等；⑥有一个角是直角，相邻两边相等；⑦四边相等；⑧有三个角都是直角．5．中点四边形（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.考向一多边形多边形内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；多边形外角和：任意多边形的外角和为360°；正多边形是各边相等，各角也相等的多边形．典例1 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】B典例2 如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】C【解析】多边形外角和为360°，此多边形外角个数为：360°÷60°=6，所以此多边形是六边形.故选C．【名师点睛】计算正多边形的边数，可以用外角和除以每个外角的度数得到.1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形考向二平行四边形的性质与判定1．平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.平行四边形的性质为我们证明线段平行或相等，角相等提供了新的理论依据．2．平行四边形的判定方法有五种，在选择判定方法时应根据具体条件而定．对于平行四边形的判定方法，应从边、角及对角线三个角度出发，而对于边又应考虑边的位置关系及数量关系两方面．典例3 在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值可能是：3∶4∶3∶4．故选A．【名师点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．典例4在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是A．对角线互相平分B．一组对边平行且相等C．两组对边分别平行D．一组对边平行，另一组对边相等【答案】D3．平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则平行四边形的各边长为．A．4，4，8，8 B．5，5，7，7C．5.5，5.5，6.5，6.5 D．3，3，9，94．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形考向三矩形的性质与判定1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．典例5 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是A．AB=CD，AC=BD B．OA=OC，OB=ODC．AC⊥BD，AC=BD D．AB∥CD，AD=BC【答案】B【名师点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形．此类题属于中考常考题型．典例6 如图,在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6 cm，则AB的长是A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3 cm，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=3 cm，故选C．【名师点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟记各性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．5．能判断四边形是矩形的条件是A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直6．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是A．18°B．36°C．45°D．72°考向四菱形的性质与判定1．菱形除了具有平行四边形的一切性质外，具有自己单独的性质，即：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2．菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．典例7菱形具有而平行四边形不具有的性质是A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等C．一组邻边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】根据菱形的性质及平行四边形的性质进行比较，可发现A，B，D两者均具有，而C只有菱形具有平行四边形不具有，故选C．【名师点睛】有一组邻边相等的平行四边形是菱形.典例8如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO=CO，请你添加一个适当的条件_____________，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)【答案】BO=DO(答案不唯一)【解析】四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：AC、BD互相平分（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）．故答案为：BO=DO(答案不唯一）．7．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为A．45°，135°B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．考向五正方形的性质与判定1．正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质．2．正方形的判定：以矩形和菱形的判定为基础，可以引申出更多正方形的判定方法，如对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，再根据相应判定方法证明四边形是正方形．典例9如图，正方形ABCD中,E是BD上一点,BE=BC,则∠BEC的度数是A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°【答案】C【解析】利用正方形的性质，可知∠CBE=45°，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=45°，∵BC=BE，∴∠BEC=∠BCE=12×(180°−45°)=67.5°.故选C．典例10下列命题正确的是A．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】A【名师点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的判定，此题难度不大．9．如图，已知正方形ABCD的边长为53，E为BC边上的一点，∠EBC=30°，则BE的长为A．5B．25C．5 D．1010．如图，要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分考向六中点四边形1．中点四边形一定是平行四边形；2．中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．典例11如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形【答案】D【解析】A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确；B．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确；C．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF∥HG，EF=HG，则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；D．如图所示，当E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE，则四边形EFGH为菱形，故D错误；故选D．11．顺次连接下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形12．如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．若四边形ABCD 的面积记为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是A．S1=3S2B．2S1=3S2C．S1=2S2D．3S1=4S21．下面四个图形中，是多边形的是2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是A．7 B．10 C．35 D．703．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．七边形的外角和等于A．180ºB．360ºC．540ºD．720º5．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线交DC于E，若∠DEA=30°，则∠B=A．100°B．120°C．135°D．150°6．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．7．如图，矩形ABCD中将其沿EF翻折后，D点恰落在B处，∠BFE=650，则∠AEB=____________.8．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是________．9．如图，在ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10.（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）求BD的长．学科！网10．如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．11．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，AE=CF，对角线CA平分∠ECF．（1）求证：四边形AECF为菱形．（2）已知AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．1．（2017•铜仁市）一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形的边数是A．8 B．9C．10 D．112．（2017•黑龙江）在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是A．22 B．20C．22或20 D．183．（2017•聊城）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是A．AB=AC B．AD=BDC．BE⊥AC D．BE平分∠ABC4．（2017•西宁）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为A．5 B．4 C．342D．345．（2017•扬州）在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠A=__________．6．（2017•青海）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1–∠2=__________．7．（2017•邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的大小为__________．8．（2017•抚顺）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=3时，线段BC的长为__________．9．（2017•襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．10．（2017•安顺）如图，DB∥AC，且DB=12AC，E是AC的中点．（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？3．【答案】B【解析】平行四边形的对边相等，所以两邻边的和为周长的一半．周长为24，则两邻边的和为12．又因为相邻的两边相差2，则可计算出较长的一边长为7，较短的一边长为5．故选B．变式拓展4．【答案】A【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形.故选A ． 5．【答案】C【解析】A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故错误； B 、等腰梯形的对角线也相等，故错误；C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故正确；D 、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故错误， 故选C ．7．【答案】B【解析】如图，由题意知AB =BC =AC ，∵AB =BC =AC ，∴△ABC 为等边三角形，即60B ∠=︒，根据平行四边形的性质，18060120.BAD ∠=-=︒︒︒故选B ．8．【解析】∵DE ∥AC ，DF ∥AB ， ∴四边形AEDF 为平行四边形， ∴∠FAD =∠EDA ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD =∠FAD ，∴∠EAD =∠EDA ， ∴AE =ED ，∴四边形AEDF 是菱形． 9．【答案】D 【解析】设,CE x =30EBC ∠=︒，2,BE x ∴=根据勾股定理，22353,BC BE CE x =-==5,x ∴=210.BE x ∴==故选D ．11．【答案】C【解析】∵顺次连接任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形， 当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选C ． 12．【答案】C【解析】如图，设AC 与EH 、FG 分别交于点N 、P ，BD 与EF 、HG 分别交于点K 、Q ， ∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ， 同理可证EH ∥BD ，∴△EBK ∽△ABM ，△AEN ∽△EBK ，∴EBK ABM S S △△=14，S △AEN =S △EBK ，∴EKMN ABM S S 四边形△=12，同理可得KFPM BCM S S 四边形△=12， QGPM DCM S S 四边形△=12，HQMN DAM S S 四边形△=12，∴EFGH ABCD S S 四边形四边形=12，∵四边形ABCD 的面积记为S 1，中点四边形EFGH 的面积记为S 2，则S 1与S 2的数量关系是S 1=2S 2．故选C ．1．【答案】D【解析】根据多边形的定义：平面内不在一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形,得：D 是考点冲关多边形．故选D．2．【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n–2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：(3)10722n n-⨯==35，故选C．6．【答案】4【解析】∵在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，∴DF=CF=AE=EB，AB∥CD，∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上ABCD本身，共有4个平行四边形．故答案为4．7．【答案】50°【解析】如图所示，由矩形ABCD可得AD∥BC，∴∠1=∠BFE=65°，由翻折得∠2=∠1=65°，∴∠AEB=180°–∠1–∠2=180°–65°–65°=50°.故答案为：50°．852【解析】∵正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，∴正方形ABCD5BEFG的边长为2，∴CE52，△GCE的面积=12 CE•BG=12×（5–2）×2=5–2．故答案为：5–2．9．【解析】（1）∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2＋BC2=AC2，∴∠ABC=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10.10．【解析】（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EF∥AC，且EF=12AC，同理有GH∥AC，且GH=12AC，∴EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形．11．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，FAC ECAOA OCAOF COE∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AF=CF，∴四边形AECF是菱形；（2）设CF=x，则AF=x，BF=8–x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴BF2+AB2=AF2，∴（8–x）2+42=x2，解得：x=5，即EC=5，∴S菱形AECF=FC•AB=5×4=20．1．【答案】C【解析】180°–144°=36°，360°÷36°=10，则这个多边形的边数是10．故选C．2．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2×（4+4+3）=22．故选C．4．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，∴OM是△ADC的中位线，∵OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC22AD CD34∴BO=12AC34D．5．【答案】80°【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∵∠B+∠D=200°，∴∠B=∠D=100°，∴∠A=180°–∠B=180°–100°=80°，故答案为：80°．6．【答案】24°直通中考【解析】正三角形的每个内角是：180°÷3=60°，正方形的每个内角是：360°÷4=90°，正五边形的每个内角是：（5–2）×180°÷5=108°，正六边形的每个内角是：（6–2）×180°÷6=120°，则∠3+∠1–∠2=（90°–60°）+（120°–108°）–（108°–90°）=24°．故答案为：24°．7．【答案】90°【解析】∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，∵EF=DE，∴∠EDF=∠EFD=30°，∴∠FDC=90°，故答案为：90°．8．【答案】3【解析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴BC=AD=3．故答案为3．9．【解析】（1）∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=12BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB=3ODAD，∴AD=3=23．10．【解析】（1）∵E是AC中点，∴EC=12AC．∵DB=12AC，∴DB=E C．又∵DB∥AC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．理由：∵DB∥AE，DB=AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴ADBE是矩形．。
四边形的性质和判定教案
四边形的性质和判定教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1.了解四边形的定义和性质；2.学会判定一个图形是否为四边形；3.掌握判定四边形特殊性质的方法。
二、教学重点1.四边形的定义和性质；2.判定四边形的方法。
三、教学内容1.四边形的定义和性质（教学步骤）1）引入引导学生观察周围的各种图形，了解四边形的概念。
2）讲解四边形的定义通过示意图和简单的语言解释四边形的定义，即具有四条边的图形为四边形。
3）介绍四边形的性质a.四边形的相邻两边不共线；b.四边形的对角线相交于一点；c.四边形的内角和为360度；d.四边形的对边平行且相等。
2.判定四边形的方法（教学步骤）1）引入通过给出一些图形，让学生判定是否为四边形，并思考判定的方法。
2）判定是否为四边形的方法a.检查图形的边数是否为4；b.检查图形的相邻两边是否共线；c.检查图形的对角线是否相交于一点。
四、教学方法1.讲授法：用示意图和简单的语言讲解四边形的定义和性质。
2.探究法：引导学生观察图形，思考判定是否为四边形的方法。
3.实践法：通过给出图形，让学生进行判定练习。
五、教学过程1.导入通过展示一些不规则图形，让学生思考如何判定图形是否为四边形。
2.讲解四边形的定义和性质通过示意图和简单的语言向学生讲解四边形的定义和性质，引导学生理解四边形的特点和性质。
3.判定四边形的方法通过给出一些图形，让学生运用刚才学到的方法，判定是否为四边形。
并给予反馈和指导。
4.练习提供一些练习题，要求学生判定图形是否为四边形，并写出判定的依据。
让学生在实践中巩固所学的知识。
六、教学资源1.投影仪2.课件3.教辅资料七、教学评估1.课堂练习：通过学生的判定和解释，检查他们对四边形的认识和判定方法的掌握情况。
2.小组合作：让学生合作讨论判定图形是否为四边形的问题，共同完成任务。
八、教学延伸1.引导学生进一步探究四边形的特殊性质，如平行四边形、矩形、正方形等的性质和判定方法。
初中数学四边形的讲解教案
初中数学四边形的讲解教案1. 知识与技能目标：让学生理解四边形的定义和性质，能够识别和分类四边形，掌握四边形的对边、对角的基本性质。
2. 过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力，提高学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 情感、态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
二、教学重难点1. 教学重点：四边形的定义和性质，四边形的分类。
2. 教学难点：四边形性质的证明和应用。
三、教学过程1. 导入新课通过展示生活中的四边形图片，如长方形、正方形、梯形等，引导学生关注四边形在现实生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
然后提出问题：“你们知道四边形是什么样的图形吗？”让学生回顾已学的三角形知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究四边形的定义和性质（1）引导学生通过观察、描述四边形的特征，总结出四边形的定义。
（2）利用多媒体课件展示四边形的性质，如对边、对角等，让学生通过观察和操作，验证这些性质。
（3）引导学生通过实际操作，发现四边形的对边相等、对角相等的性质。
3. 四边形的分类（1）让学生通过观察、操作，了解四边形的分类，如矩形、正方形、梯形等。
（2）引导学生掌握各种四边形的特征，如矩形的对边相等且平行，正方形的四条边相等且平行等。
4. 应用与拓展（1）利用四边形的性质解决实际问题，如计算四边形的面积、周长等。
（2）引导学生探究四边形性质的逆命题，如对边相等、对角相等的四边形是平行四边形等。
四、教学反思通过本节课的教学，学生应掌握四边形的定义、性质和分类，能够运用四边形的知识解决实际问题。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和引导，提高学生的数学素养。
同时，要注重培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气，使学生在学习过程中获得成功体验。
中考知识点四边形的性质
中考知识点四边形的性质四边形是中学数学中的一个重要概念，它是由四条线段组成的图形。
在中考中，对于四边形的性质要求比较高，学生需要熟练掌握四边形的定义、分类、对角线性质、角性质和边性质等知识点。
下面将就四边形的性质进行详细讲解。
一、四边形的定义四边形是由四条线段组成的几何图形，其中任意两条线段的交点不在其他两条线段上。
四边形的四个顶点依次连接成的四条边分别是相邻边，四边形的两条不相交的边称为对边。
二、四边形的分类根据四边形的性质和特点，可以将四边形分为以下几类：1. 平行四边形：具有两对对边相互平行的四边形。
2. 矩形：具有四个内角都是直角的四边形。
3. 正方形：具有四条边相等且内角都是直角的四边形。
4. 菱形：具有四条边相等的四边形。
5. 长方形：具有相对的两个对边相等且内角都是直角的四边形。
6. 一般四边形：除了以上几种特殊四边形之外，其余四边形都属于一般四边形。
三、对角线性质四边形的对角线是指连接四边形的非相邻顶点所形成的线段。
四边形的对角线有以下性质：1. 平行四边形的对角线互相等长。
2. 矩形的对角线相互等长。
3. 正方形的对角线相互等长且互相垂直。
4. 菱形的对角线相互垂直且互相平分。
5. 长方形的对角线相互垂直且互相等长。
四、角性质四边形的角也是研究四边形性质的重要内容，不同类型的四边形具有不同的角性质。
1. 平行四边形的对边角相等。
2. 矩形的内角都是直角，外角都是直角的补角。
3. 正方形的内角都是直角，外角都是直角的补角，且内角都是45度。
4. 菱形的内角相互等于，外角相互等于，且内角都是60度。
5. 长方形的内角都是直角，外角都是直角的补角。
五、边性质四边形的边也有一些特殊性质值得注意：1. 平行四边形的对边相等。
2. 矩形的对边相等。
3. 正方形的四条边相等。
4. 菱形的四条边相等。
5. 长方形的对边相等。
综上所述，四边形是由四条线段组成的几何图形。
根据四边形的性质和特点，可以将其分为不同的种类：平行四边形、矩形、正方形、菱形和长方形。
讲解平行四边形的性质与判定方法例如对角线互相平分对边互补等
讲解平行四边形的性质与判定方法例如对角线互相平分对边互补等平行四边形是我们在几何学中常见的一个概念，它具有一些特殊的性质和判定方法。
接下来，我将详细讲解平行四边形的性质和判定方法，包括对角线互相平分、对边互补等。
平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。
下面我们来讨论平行四边形的性质。
1.对角线互相平分性质：平行四边形的两条对角线互相平分。
证明：设ABCD是平行四边形，AC和BD为其对角线。
要证明AC 平分BD，我们可以利用向量法进行证明。
【证明过程省略】所以平行四边形的两条对角线互相平分。
2.对边互补性质：平行四边形的对边互补。
证明：设ABCD是平行四边形，AB和CD为其对边。
要证明AB 与CD互补，我们可以利用向量法进行证明。
【证明过程省略】所以平行四边形的对边互补。
3.对角线交点连线平分对边：平行四边形的对角线交点与对边的连线互相平分对边。
证明：设ABCD是平行四边形，AC和BD为其对角线，交于点E。
要证明AE平分BC，我们可以利用向量法进行证明。
【证明过程省略】所以平行四边形的对角线交点连线平分对边。
4.内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
证明：设ABCD是平行四边形，∠A、∠B、∠C、∠D分别为其内角。
要证明∠A+∠B+∠C+∠D=180度，我们可以利用向量法进行证明。
【证明过程省略】所以平行四边形的内角和为180度。
接下来，我们讨论平行四边形的判定方法。
判定方法一：已知四边形的对边平行，可以判定是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边平行，则可以判定它为平行四边形。
判定方法二：已知四边形的一组对角线互相平分，可以判定是否为平行四边形。
如果一个四边形的一组对角线互相平分，则可以判定它为平行四边形。
判定方法三：已知四边形的对边互补，可以判定是否为平行四边形。
如果一个四边形的对边互补，则可以判定它为平行四边形。
总结：平行四边形具有对角线互相平分、对边互补等性质，我们可以利用这些性质来判定一个四边形是否为平行四边形。
三年级上册数学教案-1四边形-人教新课标
三年级上册数学教案1四边形人教新课标今天我要为大家分享的是三年级上册数学教案中的一个重要部分——四边形。
在这个教案中，我们将学习四边形的定义、特征以及分类。
一、教学内容我们使用的教材是人教新课标三年级上册数学，本节课的教学内容主要包括第93页至第95页的“四边形”一章。
这一章节主要介绍了四边形的定义、特征以及分类。
具体内容包括：1. 四边形的定义：由四条线段首尾相连围成的图形；2. 四边形的特征：四条边，四个角，对边平行且相等；3. 四边形的分类：矩形、正方形、平行四边形和梯形。
二、教学目标通过本节课的学习，使学生能够理解四边形的定义和特征，能够识别和分类不同的四边形，培养学生的观察、思考和动手能力。
三、教学难点与重点本节课的教学难点是四边形的特征和分类，教学重点是让学生能够通过观察和实践，理解和掌握四边形的特征和分类。
四、教具与学具准备1. 教具：四边形模型、矩形、正方形、平行四边形和梯形的卡片；2. 学具：学生每人一份四边形模型和一张四边形分类的练习纸。
五、教学过程2. 讲解四边形的定义：我通过模型和图示，向学生讲解四边形的定义，让学生理解四边形是由四条线段首尾相连围成的图形。
3. 讲解四边形的特征：我通过模型和图示，向学生讲解四边形的特征，包括四条边，四个角，对边平行且相等。
4. 讲解四边形的分类：我通过模型和图示，向学生讲解四边形的分类，包括矩形、正方形、平行四边形和梯形。
5. 例题讲解：我通过PPT展示一些四边形的例题，让学生观察并分类。
6. 随堂练习：我发放练习纸，让学生独立完成四边形的分类练习。
六、板书设计四边形定义：由四条线段首尾相连围成的图形特征：四条边，四个角，对边平行且相等分类：矩形、正方形、平行四边形、梯形七、作业设计1. 题目：请学生画出四种不同的四边形，并标明它们的名称。
2. 答案：学生可以画出矩形、正方形、平行四边形和梯形，并正确标明它们的名称。
八、课后反思及拓展延伸本节课结束后，我进行了课后反思。
平行四边形的判定定理(基础)知识讲解
平行四边形的判定定理（基础）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形．2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题．【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据. 【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图所示，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC上的点，且四边形AECF和DEBF 都是平行四边形，AF和BE相交于点G，DF和CE相交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．【思路点拨】欲证四边形EGFH为平行四边形，只需证明它的两组对边分别平行，即EG∥FH，FG∥HE可用来证明四边形EGFH为平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形AECF为平行四边形，∴ AF∥CE．∵四边形DEBF为平行四边形，∴ BE∥DF．∴四边形EGFH为平行四边形．【总结升华】平行四边形的定义既包含平行四边形的性质，又可以用来判定一个四边形是平行四边形，即平行四边形的两组对边分别平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．举一反三：【变式】（厦门校级一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F，若CE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵∠BAD的平分线交直线BC于点E，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠F，∵CE=CF，∴∠F=∠3，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．2、（青海）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，以及全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．3、（张掖校级模拟）已知：如图四边形ABCD是平行四边形，P、Q是直线AC上的点，且AP=CQ．求证：四边形PBQD是平行四边形．【思路点拨】证明四边形是平行四边形有很多种方法，此题可由对角线互相平分来证明．【答案与解析】证明：连接BD交AC与O点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，又∵AP=CQ，∴AP+AO=CQ+CO，即PO=QO，∴四边形PBQD是平行四边形．【总结升华】本题主要考查平行四边形的判定，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．试说明：D是BC的中点.【答案】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEB中，∵,,,＝＝＝AFE DBEAEF DEB AE DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF=BD，∵AF=DC，∴BD=DC，∴D是BC的中点.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的点，且AE=CF．（1）猜想探究：BE与DF之间的关系： ________________.（2）请证明你的猜想．【思路点拨】（1）BE平行且等于DF；（2）连接BD交AC于O，根据平行四边形的性质得出OA=OC，OD=OB，推出OE=OF，得出平行四边形BEDF即可．【答案与解析】（1）解：BE和DF的关系是：BE=DF，BE∥DF，故答案为：平行且相等．（2）证明：连接BD交AC于O，∵ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理是你解决本题的关键，题型较好，通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，同时培养了学生的观察能力和猜想能力．举一反三：变式：如图，在ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．请你猜想BE与DF的关系，并说明理由．【答案】解：猜想BE与DF的关系是BE=DF，BE∥DF，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE=DF，BE∥DF．5、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC 于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．（1）求证：PA=PC．（2）若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）首先在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，可得PN=PM，则易证四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，即可证得△EAM≌△FCN，则可得PA=PC；（2）由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，易得△PED≌△PFB，则可得四边形ABCD为平行四边形，由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，即可求得四边形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．∵PE=PF，∴四边形EMFN是平行四边形．∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，∴△EAM≌△FCN．∴AM=CN．∵PM=PN，∴PA=PC．（2）解：∵PA=PC，EP=PF，∴四边形AFCE为平行四边形．∴AE∥CF．∵∠PED=∠PFB，∠EPD=∠FPB，EP=PF，∴△PED≌△PFB．∴DP=PB．由（1）知PA=PC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，∴四边形ABCD的面积为903．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质等知识．此题图形比较复杂，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．【巩固练习】一.选择题1.（雁江区模拟）点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有( ).A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3. 下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比, 其中能识别四边形ABCD为平行四边形的是( ).A. 1:2:3:4B. 2:3:2:3C. 2:2:3:3D. 1:2:2:14. 如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形5. 已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0，b2+bc-bd-cd=0，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形6. 如图，图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（）A．甲＜乙＜丙 B．乙＜丙＜甲 C．丙＜乙＜甲 D．甲=乙=丙二.填空题7. （商水县期末）如图，E、F是ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件：，使四边形AECF是平行四边形．8. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，直线EF过点O且EF∥AD，直线GH过点O且GH∥AB，则能用图中字母表示的平行四边形共有______________个．9．（龙安区月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，点E在AB边上从A向B以1cm/s 的速度移动，同时点F在CD边上从C向D以2cm/s的速度移动，若AB=7cm，CD=9cm，则秒时四边形ADFE是平行四边形．10. 如图，已知等边△ABC的边长为8，P是△ABC内一点，PD∥AC，PE∥AD，PF∥BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，则PD+PE+PF=______________.11．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是______．12．（黎川县期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点．有下列结论：①AD=BC，②△DHG≌△BFE，③BF=HO，④AO=BO，⑤四边形HFEG是平行四边形，其中正确结论的序号是．三.解答题13．（河南模拟）如图，在口ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．14.（长春模拟）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为边AB、BC的中点，点F在边AC的延长线上，∠FEC=∠B，求证：四边形CDEF是平行四边形．15.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】解：如图，连接PQ、QR、PR，分别过P、Q、R三点作直线l∥QR、m∥PR、n∥PQ，分别交于点D、E、F，∵DP∥QR，DQ∥PR，∴四边形PDQR为平行四边形，同理可知四边形PQRF、四边形PQER也为平行四边形，故D、E、F三点为满足条件的M点，故选C．2.【答案】C；【解析】①②③能判定平行四边形.3.【答案】B；【解析】平行四边形对角相等.∠A与∠C为对角，∠B与∠D为对角.4.【答案】A；【解析】∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，∴AD=BC AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故选A．5.【答案】A；【解析】由a2+ab-ac-bc=0，可知（a+b）（a-c）=0，则a-c=0，即a=c；由b2+bc-bd-cd=0，可知（b+c）（b-d）=0；则b-d=0，即b=d．（其中a，b，c，d都是正数，a+b、b+c一定不等于0）由a=c；b=d知四边形ABCD的两组对边分别相等，则四边形ABCD是平行四边形．故选A．6.【答案】D；【解析】图1中，甲走的路线长是AC+BC的长度；延长AD和BF交于C，如图2，∵∠DEA=∠B=60°，∴DE∥CF，同理EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD，DE=CF，即乙走的路线长是AD+DE+EF+FB=AD+CD+CF+BC=AC+BC的长；延长AG和BK交于C，如图3，与以上证明过程类似GH=CK，CG=HK，即丙走的路线长是AG+GH+HK+KB=AG+CG+CK+BK=AC+BC的长；即甲=乙=丙，故选D．二.填空题7.【答案】BE=DF；【解析】添加的条件是BE=DF，理由是：连接AC交BD于O，∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形．故答案为：BE=DF．8.【答案】18；【解析】图中平行四边形有：AEOG，AEFD，ABHG，GOFD，GHCD，EBHO，EBCF，OHCF，ABCD，EHFG，AEHO，AOFG，EODG，BHFO，HCOE，OHFD，OCFG，BOGE．共18个．故答案为：18．9.【答案】3；【解析】解：设t秒时四边形ADFE是平行四边形；理由：当四边形ADFE是平行四边形，则AE=DF，即t=9﹣2t，解得：t=3，故3秒时四边形ADFE是平行四边形．故答案为：3．10．【答案】8；【解析】过E点作EG∥PD，过D点作DH∥PF，∵PD∥AC，PE∥AD，∴PD∥GE，PE∥DG，∴四边形DGEP为平行四边形，∴EG=DP，PE=GD，又∵△ABC是等边三角形，EG∥AC，△BEG为等边三角形，∴EG=PD=GB，同理可证：DH=PF=AD，∴PD+PE+PF=BG+GD+AD=AB=8．．11．【答案】平行四边形；12.【答案】①，②，③，⑤；【解析】解：平行四边形ABCD中，∴AD=BC，故①正确；∵平行四边形ABCD，∴DC∥AB，DC=AB，OD=OB，∴∠CDB=∠DBA，∵E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴DG=BE=AB，DH=BF=OD，∴②△DHG≌△BFE，故②正确；∵HO=DH，DH=BF，∴BF=HO，故③正确；平行四边形ABCD，OA=OC，OB=OD，故④错误；E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点，∴HG∥OC，HG=OC，EF∥OA，EF=OA，∴HG∥EF，HG=EF，HEFG是平行四边形，故⑤正确；故答案为：①，②，③，⑤．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．14.【解析】证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，∴DE ∥AC ，CD=AB=AD=BD ，∴∠B=∠DCE ，∵∠FEC=∠B ，∴∠FEC=∠DCE ，∴DC ∥EF ，∴四边形CDEF 是平行四边形．15.【解析】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE＝AC ＝2在Rt△CDE 中，由勾股定理2223CD CE DE -=∵D 是BC 的中点，∴BC＝2CD ＝3在Rt△ABC 中，由勾股定理22213AB AC BC +=． ∵D 是BC 的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC ＝4∴四边形ACEB 的周长＝AC ＋CE ＋BE ＋BA ＝10＋213。
二年级平行四边形的课程讲解
二年级平行四边形的课程讲解1. 什么是平行四边形？嘿，小朋友们，今天我们要聊聊一种很特别的形状——平行四边形！是不是听上去有点高大上呢？其实，平行四边形就是一种有两个对边平行的四边形。
想象一下，一块美味的巧克力，如果把它切成两个平行的边，嘿，就是平行四边形啦！简单吧？而且，这个形状不仅在数学中出现，生活中随处可见，像是书本的封面、窗户的形状，甚至我们的桌子，都是平行四边形的好例子。
1.1 平行四边形的特点那么，平行四边形到底有哪些特点呢？首先，它的对边是平行的，这就像是两个好朋友总是一起走，永远不分开。
其次，平行四边形的对角线交叉后会互相平分，也就是说，无论你怎么切，切下来的两边总是相等的，真是太神奇了！再来，平行四边形的对角也是相等的，这就像两个小伙伴，各自的想法一样，总是能找到共鸣。
听起来是不是很有趣？1.2 平行四边形的分类哦，对了，平行四边形还可以分为不同的种类！比如说，矩形就是一种特殊的平行四边形，它的角都是90度，像个笔直的书本。
再说说菱形，它的四条边都是一样长的，就像一颗心形的巧克力，甜蜜又有趣。
最后，我们还有正方形，嘿嘿，它就是既是矩形又是菱形的王者，四条边都一样，四个角都是90度，简直是完美中的完美！所以，你看，平行四边形家族成员多姿多彩，各有各的特色。
2. 如何计算平行四边形的面积？接下来，我们要来解决一个大问题，那就是平行四边形的面积怎么算呢？别担心，这个问题就像吃西瓜一样简单。
面积的计算公式是底乘以高，记住了吗？底就是平行四边形的下边，而高就是从底到顶的那条垂直线。
想象一下，你把一个大西瓜切成两半，底是西瓜的一边，高是你切下去的那条线，嘿，就是面积啦！所以，如果底是5厘米，高是3厘米，那么面积就是5乘以3，哦，对啦，答案是15平方厘米！是不是很容易？2.1 生活中的应用而且，平行四边形在生活中有很多用处哦！比如说，建筑师设计房子的时候，会用到平行四边形的原理，保证房子稳稳当当，不会歪歪扭扭。
四边形求边的问题
四边形求边的问题摘要：1.引言：介绍四边形的概念和基本性质2.四边形的分类：介绍不同类型的四边形3.求边问题：解释四边形求边的问题及其方法4.实例分析：通过具体例子讲解求边问题的解法5.结论：总结四边形求边问题的重要性和应用领域正文：一、引言四边形，顾名思义，是由四条线段首尾相连围成的平面图形。
它具有一些基本性质，如稳定性、凸性等。
在几何学中，研究四边形的性质和求解四边形相关问题具有重要意义。
本文将重点讨论四边形求边的问题，即如何计算四边形的边长。
二、四边形的分类根据四边形的性质和特点，我们可以将四边形分为以下几类：1.矩形：具有四个直角的四边形；2.菱形：具有四条相等边且对角线互相垂直的四边形；3.正方形：具有四个相等边且四个直角的四边形；4.梯形：具有两边平行且不相等的四边形；5.一般四边形：不具备上述特殊性质的四边形。
三、求边问题在解决四边形求边的问题时，通常需要考虑以下几种情况：1.已知四边形的周长，求边长；2.已知四边形的面积和一组对边长，求另一组对边长；3.已知四边形的对角线长度，求边长。
四、实例分析以第一种情况为例，假设已知四边形的周长为C，边长分别为a、b、c、d，如何求解边长？根据周长的定义，我们有：a + b + c + d = C。
由此可得：a = C -b -c - d将上式代入四边形的面积公式S = √((p - a)(p - b)(p - c)(p - d))，其中p 为半周长，可得：S = √((C - a - b - c - d + a)(C - a - b - c - d + b)(C - a - b - c - d + c)(C - a - b - c - d + d))= √((C - 2a)(C - 2b)(C - 2c)(C - 2d))通过上述公式，我们可以求解四边形的边长。
五、结论四边形求边的问题在几何学中具有重要地位，其解法可以帮助我们更好地理解和应用四边形的性质。
2020年九年级数学中考复习： 四边形专题复习教案
2020年九年级数学中考复习：四边形专题复习教案一、教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1.了解四边形的定义和性质；2.掌握四边形的分类和特征；3.理解四边形的面积和周长的计算方法；4.能够解决与四边形相关的问题。
二、知识概述四边形是指由四条线段组成的封闭图形。
常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
在九年级数学中，掌握四边形的定义、分类和性质是非常重要的，同时还需要熟练掌握四边形的面积和周长的计算方法。
2.1 四边形的定义和性质四边形是由四条线段构成的封闭图形，它有以下性质：•四边形的内角和等于360°；•对角线互相垂直的四边形是矩形；•有一对对边相等且互相平行的四边形是平行四边形；•有4个边长相等的四边形是正方形；•有一对对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形。
2.2 四边形的分类和特征根据边长和角度的特征，四边形可以分为以下几类：•矩形：具有四个内角都是直角的四边形；•正方形：具有四个边长相等且四个内角都是直角的四边形；•平行四边形：具有相对的两边平行的四边形；•菱形：具有四个边长相等且对角线互相垂直的四边形。
2.3 四边形的面积和周长的计算方法•矩形的面积等于长乘以宽；•正方形的面积等于边长的平方；•平行四边形的面积等于底边乘以高；•菱形的面积等于对角线的乘积的一半。
四边形的周长等于各边长的和。
三、教学重点与难点3.1 教学重点•四边形的定义和性质；•四边形的分类和特征；•四边形的面积和周长的计算方法。
3.2 教学难点•理解和应用四边形的性质；•熟练计算不同类型四边形的面积和周长。
4.1 导入与导入教师通过原生实例或者图片，引入四边形的概念，让学生了解四边形的定义。
4.2 教学内容4.2.1 四边形的定义和性质1.讲解四边形的定义和性质，介绍四边形的内角和等于360°的性质；2.分类介绍矩形、正方形、平行四边形和菱形的特征和性质。
4.2.2 四边形的面积和周长的计算方法1.讲解不同类型四边形的面积计算方法：矩形、正方形、平行四边形和菱形；2.讲解四边形的周长计算方法。
人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)
第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大． 【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形， 小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ， 又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形． （2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2， 方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2， 比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较． 举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 （ ）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。
八年级数学竞赛例题专题讲解19：平行四边形、矩形、菱形
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：S 1S 2S 3S 4例题与求解【例l 】如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，∠CAE ＝15°，那么∠BOE ＝________.OD(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.E DACBF(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .R G FE CABP(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DGDFDB BBC EC AEC A E（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.PNMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题F E ABD2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MOBC A(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题GFCB A(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题FBDC E(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④第7题HEFOD BC (齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12abS 1S 3S 2S 4第8题AB DE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.E FABCD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.FE ABC(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.EA(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题FE BAC(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BP C(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F EB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题F ABD(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题EFBCAP(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDABC P(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题MBCA(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题E FBAC9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题B A 1P 1PA(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBCAB CCBA解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.FEB(全俄数学奥林匹克试题)。
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定
平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定大家好，我今天要给大家讲解一下平行四边形的定义及特殊四边形的性质及判定。
我们来了解一下平行四边形的定义。
平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
也就是说，如果一个四边形的两条边分别平行于另外两条边，那么这个四边形就是平行四边形。
接下来，我们来看看特殊四边形的性质及判定。
特殊四边形主要是指矩形、正方形和菱形这三种四边形。
它们都有一些特殊的性质和判定方法。
我们来看矩形。
矩形是指四个角都是直角的平行四边形。
矩形的对角线相等，而且互相平分。
矩形的对角线把矩形分为两个相等的三角形。
这些性质和判定方法在几何学中非常重要，因为它们可以帮助我们更好地理解和计算矩形的面积和周长等。
我们来看正方形。
正方形是指四个边相等且四个角都是直角的平行四边形。
正方形是矩形的特殊情况，它的所有性质和判定方法都与矩形相同。
但是，正方形还有一个额外的特点，那就是它的所有边都相等。
因此，正方形也被称为“边长相等的矩形”。
我们来看菱形。
菱形是指有一组邻边相等的平行四边形。
菱形也有一些特殊的性质和判定方法。
例如，菱形的对角线互相垂直平分，而且互相平分。
菱形的对角线把菱形分为两个相等的三角形。
这些性质和判定方法同样非常重要，因为它们可以帮助我们更好地理解和计算菱形的面积和周长等。
平行四边形及其特殊四边形(如矩形、正方形和菱形)在几何学中具有重要的地位。
了解它们的定义、性质和判定方法对于学习和应用几何学都非常关键。
希望大家能够通过今天的讲解，对平行四边形及其特殊四边形有更深入的理解和认识。
谢谢大家！。
平行四边形讲解
平行四边形讲解1. 大家好啊！今天咱们来聊聊平行四边形这个有趣的图形。
你们看啊，它就像是被人推了一把的长方形，歪歪扭扭的，可有意思了！2. 平行四边形最大的特点是啥？对面的边平行还相等！就像是两对小伙伴手拉手站着，一对在前，一对在后，谁也不比谁长！3. 对角线有什么特点呢？它们互相平分！就像两个小朋友公平分糖果，从中间刚好分成两半，谁也不会吃亏。
4. 平行四边形的面积算起来可简单了！底乘高就搞定！就像计算长方形一样，只不过这回是歪着量高度。
记住啊，这个高一定要垂直于底边，不能斜着量！5. 来看看它的性质：对角相等！就像是对面的两个角是双胞胎，长得一模一样。
一个是多少度，另一个就是多少度，太有意思了！6. 还有啊，平行四边形的邻角互补，加起来正好是一百八十度。
就像两个好朋友，一个胖一个瘦，加起来刚刚好！7. 生活中平行四边形可多了！你看课桌斜着看像不像？还有斜挎包的带子在桌子上压出的形状，都是平行四边形哦！8. 判断一个图形是不是平行四边形也简单，看看对边是不是平行且相等就行。
要是不确定，可以用尺子量一量，用三角板检查平行。
9. 平行四边形还能变身呢！把它剪开重新拼，就能变成长方形。
这就是为啥它俩面积计算方法一样，因为它们本来就是一家人！10. 要画平行四边形也不难，先画一条横线当底边，再画两条等长的斜线，最后把顶边画上，搞定！就像盖房子，有步骤地来。
11. 平行四边形的周长就是四条边加起来。
因为对边相等，所以只要量两个不同的边长，乘以二就行啦！省事又方便。
12. 最后告诉大家一个小秘密：任何一个三角形，把它的中线连起来，就能得到一个平行四边形！这就像变魔术一样神奇，你们回家也可以试试看！。
第18章 平行四边形复习(第2课时 专题讲解)八年级数学下册同步精品随堂教学课件(人教版)
例6 如图，△ABC 中，点 O 是 AC 上的一动点，过点 O 作直线 MN∥BC， 设 MN 交∠BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于 点 F，连接 AE、AF.
(1) 求证：∠ECF＝90°； (2) 当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？请说明理由；
第十八章 平行四边形
平行四边形 章节复习
考点讲
| 第2课时|
解
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，给出下列三个
条件：①BE=DF;②∠AEB=∠DFC；③AF∥EC.请你从中选择一个适当
的条件__①__，使四边形AECF是平行四边形，并证明你的结论.
考点四 本章解题思想方法——面积法
例10 .如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，
12
PF⊥BD于F，则PE+PF=__5__.
例11 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB
于H，求高DH的长.
解：∵四边形ABCD为菱形, ∴AO= 1 AC=4cm，AC⊥BD，
在△ABE 和△DAF 中，
∴△ABE≌△DAF (ASA).
(2) 解：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠1＝∠G＝30°. 在 Rt△ADF 中，AD＝2， ∴ DF＝1，AF＝ 3 . 由 (1) 得△ABE≌△DAF， ∴ AE＝DF＝1. ∴ EF＝AF－AE＝ 3－1.
(3) 在 (2) 的条件下，△ABC 满足什么条件时， 四边形 AECF 为正方形？ 解：当点 O 运动到 AC 的中点，且满足∠ACB 为直角时，四边形 AECF 是正方形． 由 (2) 知四边形 AECF 是矩形， 而 MN∥BC，当∠ACB＝90° 时， ∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴ 四边形AECF是正方形．
四边形(矩形正方形菱形梯形)讲解
四边形知识要点1.N边形以及四边形性质：1）N边形的内角和为，外角和为，2）四边形的内角和为，外角和为，正多边形的定义：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.1）正N边形的一个内角为，一个外角为，2.平行四边形的性质以及判定性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等.2）平行四边形对角相等，邻角互补.3）平行四边形对角线互相平分.4）平行四边形是中心对称图形.判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（容易忘记）注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。
如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.例题：1、平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）A.2B.4C.6D.82、在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）A.60°B.80°C.100°D.120°3、平行四边形的周长为36 cm，一组邻边之差为4 cm，求平行四边形各边的长.4、.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.5.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？3.中心对称图形1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形（平行四边形）2）经过对称中心的直线把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段经过对称中心且被对称中心平分.4.三角形的中位线以及中位线定理中位线平行且等于第三边的一半。
用来证明线段平行或长度关系 5.矩形的性质以及判定性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角.3）矩形的对角线相等. （矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形） 4）既是轴对称图形又是中心对称图形5）矩形的面积等于长乘以宽.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例题：1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
讲解平行四边形的知识点
平行四边形是几何学中的一个重要概念，它具有许多有趣的性质和特点。
在本文中，我们将通过“step by step thinking”（逐步思考）的方式，逐步讲解平行四边形的知识点。
什么是平行四边形？平行四边形是一个具有以下性质的四边形：两对相对的边是平行的。
简单来说，如果四边形的两边是平行的，那么它就是一个平行四边形。
平行四边形的性质接下来，我们将逐步介绍平行四边形的一些重要性质。
性质一：对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。
也就是说，连接平行四边形的两个相对顶点的线段，它们的交点将位于对角线的中点。
性质二：对边相等平行四边形的对边相等。
这意味着平行四边形的两对相对边的长度是相等的。
性质三：相邻内角互补平行四边形的相邻内角互补。
相邻内角是指两条平行边之间的内角，它们的和为180度。
性质四：对角线比例平行四边形的对角线之间存在一定的比例关系。
连接平行四边形的两个相对顶点所形成的两条对角线会相交于一点，而且这两条对角线的比例等于相邻边的比例。
平行四边形的判定在几何学中，判定一个四边形是否为平行四边形是一个重要的问题。
下面是一些判定平行四边形的方法。
判定一：对边平行如果一个四边形的对边是平行的，那么它就是一个平行四边形。
可以通过测量四边形的边长和角度来判断对边是否平行。
判定二：对角线比例如果一个四边形的对角线比例等于相邻边的比例，那么它就是一个平行四边形。
通过测量四边形的对角线和相邻边的长度，可以判断它们是否成比例。
判定三：对角线互相平分如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么它就是一个平行四边形。
可以通过测量四边形的对角线以及对角线上的点来判断它们是否平分对角线。
平行四边形的应用平行四边形在几何学中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用场景：1.建筑设计：平行四边形的性质可以在建筑设计中用来确保建筑物的结构稳定，例如平行四边形的对角线平分可以用来定位墙壁的中心。
2.航空航天：平行四边形的性质可以用来计算飞机或卫星的轨迹和航向，保证它们的飞行路径稳定。
四边形及三角函数知识点回顾、例题讲解及课后练习（含答案）
图形的变换、四边形及初中三角函数知识点回顾、典例精讲、课后练习（含答案）教学目标：一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。
算和证明。
教学重点与难点：特殊四边形的综合应用二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用知识要点：三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1.如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．解：如图所示，延长BE 到G ，使EG =BC ，连FG ．∵AF =BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°，°，∴△GBF 也是等边三角形．在△BCF 和△GEF 中，中，∵BC =EG ，∠B =∠G =60°，BF =FG ， ∴△BCF ≌△GEF ，∴CE =DE ，又∵FD ⊥CE ，∴∠FCE =∠FEC （等腰三角形的“三线合一”）． 过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT (AAS ),△DCE ≌△FTB (AAS )．例2. 已知：知：如图，△如图，△ABC 中，中，∠∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．解：过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT(AAS),△DCE ≌△FTB(AAS) 例3.如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．度数． 解：在CH 上截取DH =BH ，连结AD ，先证△ABH ≌△ADH ， 再证∠C =∠DAC ，得到∠B =70°．°．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：例题精讲 BACDEFAC TEBM D CA BH正多边形边数正多边形边数 3 4 5 6 …n 正多边形每个内角的度数正多边形每个内角的度数 60°90°108°120°…？（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(´-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m²90°＋n²135°＝360°的正整数解．°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，的正整数解，••这个方程的正整数解只有12mn=ìí=î一组。
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学习过程一、复习预习二、知识讲解考点1（一）、平行四边形的定义、性质及判定．1：两组对边平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边相等且平行； (2)平行四边形的对角相等，邻角互补； (3)平行四边形的对角线互相平分．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形： (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形： (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形考点2矩形的定义、性质及判定．1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； (2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形．考点3菱形的定义、性质及判定．1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(1)菱形的四条边都相等；。
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形． (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：2.菱形的面积。
3．判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 (2)四条边都相等的四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．4．对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形．考点4正方形定义、性质及判定．'1．定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角； (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形； (4)正方形的对角线与边的夹角是45度；(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．3．判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等； (2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角．4．对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形．考点5三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半；梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半．线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是两对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点.依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.三、例题精析【例题1】【题干】正十边形的每个外角等于（）A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒【答案】B【例题2】【题干】如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________． 【答案】14或16或26【解析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于3600÷10=360。
故选B 。
【例题3】【题干】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）A.31- B.35- C.5+1D.51-【答案】D【解析】利用勾股定理求出CM 的长，即ME 的长，有DM=DE ，所以可以求出DE ，从而得到DG 的长：∵四边形ABCD 是正方形，M 为边AD 的中点，∴DM=12DC=1。
∴2 2 22CMDC DM 2+1=5=+=。
∴ME=MC= 5。
∴ED=EM－DM=51-。
∵四边形EDGF 是正方形，∴DG=DE=51-。
故选D 。
【例题4】【题干】如图，在平行四边形ABCD 中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D 、C 分别落在点F 、E 处（点F 、E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则∠AMF 等于（ ）A ．70° B．40° C．30° D．20°【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD。
∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。
∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。
∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。
故选B 。
【例题5】【题干】如图，过口ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH ，那么图中的口AEMG 的面积S 1 与口HCFG 的面积S 2的大小关系是（ ）A .S 1 > S 2 B.S 1 < S 2 C .S 1 = S 2 D.2S 1 = S 2【答案】C【解析】易知，四边形BHME 和MFDG 都是平行四边形。
∵平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形， ∴ABD BCD EBM BHM GMD DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===，，。
∴ABDEBM GMD BCD BHM DMF S S S S S S ∆∆∆∆∆∆--=--，即S 1 = S 2。
故选C 。
【例题6】【题干】已知：在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】A ．25B ．50C ．252D ．3024【答案】A【解析】过点D 作DE∥AC 交BC 的延长线于点E ，作DF⊥BC 于F 。
∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED 是平行四边形。
∴AD =CE=3，AC=DE 。
在等腰梯形ABCD 中，AC=DB ，∴DB=DE。
∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE。
∴△BDE 是等腰直角三角形。
∴DF=12BE=5。
S 梯形ABCD =12（AD+BC ）•DF=12（3+7）×5=25。
故选A 。
【例题7】【题干】如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE⊥BC 于点E ，则AE 的长是【 】A ．53cm B ．25cmC ．48cm 5 D ．24cm 5【答案】D【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=12AC=3，BO=12BD=，AO⊥BO， ∴2222BC=CO +BO 3+45==。
∴ABCD 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形。
又∵ABCD S BC AE =⋅菱形，∴BC·AE=24，即()24AE cm 5=。
故选D 。
【例题8】【题干】已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C重合），经过点O 、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP ．设BP=t ． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P 再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ ，若AQ=m ，试用含有t 的式子表示m ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA 上时，求点P 的坐标（直接写出结果即可）．【答案】解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6。
在Rt△OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t 。
∵OP 2=OB 2+BP 2，即（2t ）2=62+t 2，解得：t 1=23，t 2=－23（舍去）．∴点P 的坐标为（23 ，6）。
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°。
∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。
又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ。
∴OB BPPC CQ=。
由题意设BP=t ，AQ=m ，BC=11，AC=6，则PC=11－t ，CQ=6－m ．∴6t 11t 6m =--。
∴2111m t t 666=-+（0＜t ＜11）。
（Ⅲ）点P 的坐标为（1113-，6）或（11+13，6）。
【解析】（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP 中，由∠BOP=30°，BP=t ，得OP=2t ，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。
（Ⅲ）首先过点P 作PE⊥OA 于E ，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q 的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111m t t 666=-+，即可求得t 的值：过点P 作PE⊥OA 于E ，∴∠PEA=∠QAC′=90°。
∴∠PC′E+∠EPC′=90°。
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A。
∴△PC′E∽△C′QA。
∴PE PC AC C Q'=''。
∵PC′=PC=11－t ，PE=OB=6，AQ=m ，C′Q=CQ=6－m ， ∴22AC C Q AQ 3612m '='-=-。
∴11t6m 3612m -=--。
∵6t 11t 6m =--，即611t t 6m-=-，∴6=t3612m-，即23612m=t -。
将2111m t t 666=-+代入，并化简，得23t 22 t 36=0-+。
解得：12111311+13t t -==，。
∴点P 的坐标为（11133-，6）或（11+133，6）。
【例题9】【题干】如图，A（－5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【答案】解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。
又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。
（2）分两种情况考虑：①当点P在点B右侧时，如图2，若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=3。