八校联考数学(理)试卷5.17

．
（ Ⅱ ） （ 不 等 式 选 讲 ） 设 函 数 f (x) | x 4 | | x a | (a ＞ 1 ） ， 且 f (x) 的 最 小 值 为 3 ， 若
f (x) 5 ，则 x 的取值范围
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三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17、( 1) 解：当1、2、3、5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，故该同学迟到的概率为 p （1）（4 1 2） 1 5分
3 3 3 81
(2)由题意可知X取值为0、1、2、3、4、56分
则p( X 0) 1 , p( X 1) 2 1 2 p( X 2) ( 2)2 1 4 , p( X 3) ( 2)3 1 8
x x x
y 3 y
6 k
0 0
，且
z
2x4y的最小值为
6.若实数
x
3 2
,
3
,
y
0,9,
则点 P x, y 落在上述区域内的概率为（ ）
1
A、
4
1
B、
3
1
C、
2
2
D、
3
4. 若 (x 2 m)9 a0 a1 (x 1) a2 (x 1)2 ... a9 (x 1)9 ，且
BA.BC
CA.CB
，则 3A
C;
⑤
若 tan A tan C 3 0 ,则ΔABC 为钝角三角形；
14、已知
A, B
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 和双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的公共顶
点 。 P是 双 曲 线 上 的 动 点 ,M 是 椭 圆 上 的 动 点 （ P、 M 都 异 于 A、 B） ， 且 满 足
62
12
17.（本小题满分 12 分）每一个父母都希望自己的孩子能升上比较理想的中学，于是就催生了“择校 热”，这样“择校”的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能 6：15 骑车从家出发到学校，途经 5 个路口，这 5 个路口将家到学校分成了 6 个路段，每个路段的骑
1
车时间是 10 分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为 ，且该生
3
只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯的情况统计如下：
红灯
1
2
3
4
5
等 待 时 间 60
60
90
30
90
（秒）
(1)设学校规定 7：20 后（含 7：20)到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；
(2）设 X 表示该学生第一次停车时已经通过的路口数，求它的分布列与期望．
且经过点 P ，记椭圆 C 的离心率为 e(x) ，则函数 y e(x) 的大致图像（ ）
9. 离心率为 e1 的椭圆与离心率为 e2 的双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点
到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等比数列，则 e12 1 ( ) e22 1
(A) 1 e2
（B） e2
(2) 设 AH =t AD = t(1， 3 ，-2)= (t， 3 t，-2 t)，
D
x
CH = CA + AH =(0，- 3 ,1) +(t， 3 t，-2 t) = (t， 3 t- 3 ，-2 t+1)，
若 CH BA ，则 (t，
3 t-
3 ，-2 t+1)·(0，0，2)=0
1
得 t=
AP
BP
( AM
BM ) ，其中 R ，设直线
AP
、
BP
、
AM
、
BM
的斜率分别记为
k1,k2,k3,k4 ,
k1 k2 5 ,则 k3 k4
15. （考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（Ⅰ）（坐标系与参数方程）直线 2 cos 1与圆 2 cos 相交的弦长为
................ 12 分
18. 解: 依题意， ABD=90o ，建立如图的坐标系使得△ABC 在 yoz 平面上，△ABD 与△ABC 成
30o 的二面角, DBY=30o，又 AB=BD=2， A(0，0，2)，B(0，0，0)，
C(0， 3 ，1)，D(1， 3 ，0)，
sin ACiB sin AC jB
1 (i 3
j,i, j 1, 2,3, 4) ，则称（ Ci , C j ）为一个好点对．那
么这样的好点对( )
A．不存在 B．至多有一个 C 至少有一个 D．恰有一个
8、已知两定点 A(1, 0) 和 B(1, 0) ，动点 P(x, y) 在直线 l : y x 2 上移动，椭圆 C 以 A, B 为焦点
(a0 a2 ... a8 )2 (a1 a3 ... a9 )2 39 则实数 m 的值为（ ）
A. 1 或-3
B. -1 或 3
C. 1
D. -3
5.如图，ΔABC 中， A = 600, A 的平分线交 BC 于 D,若
AB = 4,且 AD 1 AC AB( R) ,则 AD 的长为（ ） 4
16 、 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 a (5 3 cos x, cos x),b (sin x,2 cos x), 设 函 数
f
(x)
a
b
|
b
|2
3
.
（Ⅰ）当
x [
,
] ,求函数
f
(x)
的值域；
2
62
（Ⅱ）当 x [
, ] 时，若
f (x) =8,
求函数f (x Fra bibliotek) 的值；
若 kAC
kBD
2p a2
,
y
(i) 求 OA OB 的最值.
(ii) 求四边形 ABCD 的面积；
C
O D
B
x
A
21．（本小题满分 14 分）已知 G(x) x ln x (1 x) ln(1 x)
（1）求 G(x) 的最小值
（2）由（1）推出 F (m, n) m ln m n ln n (1 m n) ln(1 m n) 的最小值 C
18．（本小题满分 12 分）如图一，△ABC 是正三角形，△ABD 是等腰直角三角形，AB=BD=2。将△ABD
沿边 AB 折起， 使得△ABD 与△ABC 成 30o 的二面角 D AB C ,如图二，在二面角 D AB C
中.
(1) 求 CD 与面 ABC 所成的角正弦值的大小;
(2) 对于 AD 上任意点 H，CH 是否与面 ABD 垂直。
（C） 1 e1
（D） e1
10.若实数 a 、 b 、 c 、 d
a2 2 ln a
满足
1, c 4
1 d ,则 (a c)2
(b d )2 的最小值
为
(
)
b
33
1
A.
10
B.
2 ln 2
5
C. 2 (1 ln 2)2
(9 2 ln 3)2
D.
5
10
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A. 0
B. 2
C.3
D. 4
2、已知数列{an} 的前 n 项和 Sn 3n 2, n N * ，则（ ）
A． {an } 是递增的等比数列
B． {an } 是递增数列，但不是等比数列
C． {an } 是递减的等比数列
D． {an } 不是等比数列，也不单调
3．已知
x,
y 满足约束条件
f (x) 5sin(2x ) 5 8,则sin(2x )
3
,
x
,得
2x
7
；
6
6 56
22
66
所以 cos(2x ) 4 , 65
……………10 分
f (x ) = 5sin 2x 5 5sin(2x ) 5 3 3 7.
12
66
2
……………12 分
，
……………10 分
2
此时 CH =( 1 ，- 3 ，0)，而 BD =(1， 3 ，0)， CH · BD = 1 - 3 =-1 0, CH 和 BD 不垂
22
22
直，即 CH 不可能同时垂直 BD 和 BA，即 CH 不与面 AB D 垂直。…………………12 分
19
解（1）
13 .已知ΔABC 的内角 A、B, C 成等差数列，且 A,B、C 所对的边分别为 a, b, c , 则下列命题中正确
的有______(把所有正确的命题序号都填上).
①B
3
②若 a, b, c 成等比数列，则ΔABC 为等边三角形；
③若 a
2c ,则ΔABC
为锐角三角形；④若
2
AB
AB.AC
(1)x 轴与面 ABC 垂直，故(1，0，0)是面 ABC 的一个法向量。 z
设 CD 与面 ABC 成的角为 ，而 CD = (1，0，-1)，
A
sin =
| (1,0,0) (1,0,1) |
2
=
12 02 02 12 02 (1)2 2
[0，
]，
=
；………………6
分
2
4
C B
y
（不必写出推理过程，只要求写出结果）
（3）在（2）的条件下，已知函数
f
(x) 3aex+c