椭圆基础训练题(学生版)

椭圆基础训练题（学生版）

1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（ ）

（A ）5x 2＋3y 2＝1（B ）25x 2＋9y 2＝1 （C ）3x 2＋5y 2＝1 （D ）9x 2＋25y 2

＝1

2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）

（A ）21（B ）22

（C ）23（D ）33

3．已知椭圆x2＋2y2＝m ，则下列与m 无关的是（ ）

（A ）焦点坐标 （B ）准线方程 （C ）焦距 （D ）离心率

4. 曲线25x 2＋9y 2

=1与曲线k 25x 2－＋k 9y 2-=1 (k<9)，具有的等量关系是（ ）。

（A ）有相等的长、短轴 （B ）有相等的焦距

（C ）有相等的离心率 （D ）一相同的准线

5. P(x, y)是椭圆16x 2＋9y 2

=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线PD ，D 是垂足，M 是PD 的中点，则M 的轨迹方程是（ ）。

（A ）4x 2＋9y 2=1 （B ）64x 2＋9y 2=1 （C ）16x 2＋9y 42=1 （D ）16x 2＋36y 2

=1

6．过椭圆x2a2＋y2b2

＝1(0

A ．ab

B ．ac

C ．bc

D ．b2

7. 椭圆4x2＋9y2=144内有一点P(3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）。

（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0

（C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=0

8. 如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两条准线的距离与焦距的比是（ ）。

（A ）4 : 1 （B ）9 : 1 （C ）12 : 1 （D ）18 : 1

9. 设A(－2, 3)，椭圆3x2＋4y2=48的右焦点是F ，点P 在椭圆上移动，当|AP|＋2|PF|取最小值时P 点的坐标是（ ）。

（A ）(0, 23) （B ）(0, －23) （C ）(23, 3) （D ）(－23, 3)

10. 已知椭圆2x 2

＋y2=1的两焦点为F1, F2,上顶点为B ，那么△F1BF2的外接圆方程为 x2＋y2=1 。

11. 椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆14y 9x 2

2=+共焦点，并经过点P(3, －2)，则椭

圆的方程为 。

12. 在椭圆40x 2＋10y 2

=1内有一点M(4, －1),使过点M 的弦AB 的中点正好为点M ，求弦AB 所在的直线的方程。

13．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方

程是 9x 2

＋y2=1 。

14. 椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等

于椭圆的焦距，又已知直线2x －y －4=0被此椭圆所截得的弦长为35

4，求此椭圆的方程。

15. 直线l 过点M(1, 1), 与椭圆16x 2＋4y 2=1交于P,Q 两点，已知线段PQ 的中点横坐标为21

, 求直线l 的方程。

16．(12分)已知椭圆x29＋y24

＝1及点D(2,1)，过点D 任意引直线交椭圆于A ，B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程．

知识点一 定义和性质的应用

设F1、F2是椭圆x29＋y24

＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|

的值． 解 由题意知，a ＝3，b ＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c ＝ 5.

由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5.

(1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2，

|PF1|2－|PF2|2＝20.

即⎩⎪⎨⎪⎧

|PF1|－|PF2|＝103，|PF1|＋|PF2|＝6， 解得|PF1|＝

143，|PF2|＝43

. 所以|PF1||PF2|＝72

. (2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.

即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，

解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)．

所以|PF1||PF2|

＝2.

知识点二 圆锥曲线的最值问题

已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆x225＋y29

＝1内的两定点，点M 是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．

解 因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A ′为椭圆的左焦点，则A ′(-4,0)，由椭圆定义知

|MA|+|MA ′|=10.

如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|+|MB|-|MA ′|=10+|MB|-|MA ′|≤10+|A ′B|. 当点M 在BA ′的延长线上时取等号．

所以当M 为射线BA ′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A ′B|=10+210.

又如图所示，

|MA|+|MB|=|MA|+|MA ′|-|MA ′|+|MB|=10- (|MA ′|-|MB|)≥10-|A ′B|，当M 在A ′B 的延长线上时取等号．

所以当M 为射线A ′B 与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10-|A ′B|=10- 210.

知识点三 轨迹问题

抛物线x2＝4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A 、B ，以AF ，BF 为邻边作平行四边形FARB ，求顶点R 的轨迹方程．

解 设直线AB ：y ＝kx －1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x ，y)，由题意F(0,1)，由⎩

⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1x2＝4y ，可得x2－4kx ＋4＝0，

∴x1＋x2＝4k.

又AB 和RF 是平行四边形的对角线，

∴x1＋x2＝x ，y1＋y2＝y ＋1.

而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝4k y ＝4k2－3，消去k 得x2＝4(y ＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－16>0，

∴k>1或k<－1，∴x>4或x<－4.

∴顶点R 的轨迹方程为x2＝4(y ＋3)，且|x|>4.

知识点四 直线与圆锥曲线的位置关系

已知直线l ：y ＝kx ＋b 与椭圆x22

＋y2＝1相交于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)当k ＝0,0

解 (1)把y ＝b 代入x22＋y2＝1，得x ＝±2－2b2.