高等数学下册ppt课件

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《高等数学下教学资料》课件

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二重积分的计算方法
总结词
二重积分的计算方法和步骤
详细描述
二重积分的计算方法包括直角坐标系法和极坐标系法。在直角坐标系中,将二重积分转化为累次积分 ,通过逐次积分来计算。在极坐标系中,将二重积分转化为极坐标形式,利用极坐标的性质简化计算 。
三重积分的概念与计算
总结词
三重积分的概念、性质和计算方法
详细描述
三重积分是定积分在三维空间中的扩展,用于计算三维物体的体积和更复杂几何形状的量。它具有连续性、可加 性和可交换性等性质。三重积分的计算方法包括直角坐标系法、柱面坐标系法和球面坐标系法,根据不同的几何 形状选择合适的坐标系进行计算。
04
曲线积分与曲面积分
曲线积分的概念与性质
曲线积分定义
曲线积分是计算函数在曲线上的积分值,其定义为函数在曲线上的 每一点处的值与该点处切线的角度的正弦或余弦值的乘积的积分。
数项级数是无穷多个数按照一定的顺序排列 的序列,其和为有限或无限。
数项级数的性质
数项级数具有可加性、可减性、可乘性和可 除性等基本性质。
数项级数的收敛与发散
数项级数收敛时,其和为有限;发散时,其 和为无限。
数项级数的极限
数项级数的极限是数列的极限的推广,其性 质与数列的极限类似。
函数项级数的概念与性质
线的方向和斜率的关键。
全微分的概念
表示函数在某点处所有方向上的变化 量的总和,是偏导数的线性组合。
全微分的应用
用于近似计算函数在某点处的值,以 及判断函数在某点处的连续性和可微
性。
多元函数的极值
极值的定义
函数在某点的值大于或小于其邻 近点的值,是研究函数最优化的 关键概念。
极值的判定条件
包括一阶条件和二阶条件,用于 判断函数在某点处是否取得极值 以及极值的类型。

高等数学高职PPT课件

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第一节 无穷级数概念与性质
❖ 重点:(1) 级数及其收敛与发散 (2) 级数的基本性质 (3) 级数收敛的必要条件
❖ 难点: 用定义判断级数的敛散性
4
高等数学(下) 高职高专 ppt 课件
一、无穷级数的基本概念
定义 :给定序列 u1 , u 2 , u3 ,…, un ,…,则式子
u1 u2 u3 un
性质 4 收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛, 其和不变。
注意:性质 4 的逆命题是错误的。
13
例4
判别级数
2 (1)n1
(
)
是否收敛,如果收敛,并求其和。
n1
3n
1
1
解: n1 3n 是
同理
q1 3
的等比级数,收敛并且和为
1
3 1 1 1 2
3

(1)n1
3
1
n1 3n
1 1 4
称为无穷级数,简称级数,缩记为 un ,即 n1 un u1 u2 u3 un , n1
其中 un 叫做级数的一般项(或称通项)。 当级数的每一项都是常数时,称级数为常数项级数,简称数项 级数。当级数的每一项都是函数时,称级数为函数项级数。
5
高等数学(下) 高职高专 ppt 课件
9
1. 判定下列级数的敛散性 (1) 1 2 3 n
(2) 1 1 1 1 1 (1)n1
(3)
1 1 1 L 1 L
1 2 23 3 4
n(n 1)
(4) ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1
123
n
解:(1) 级数的部分和为
Sn
1 23
n
n(n 1) 2

高等数学下7_4课件.ppt

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无论 z 是自变量u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数, 都有 dz z du z dv. 这一性质称为
u v
多元函数全微分形式不变性。
7.4.2 全微分形式不变性
例7.26 设 z 3 x y , 求全微分 dz.
x y
解 ln z 1ln( x y) ln( x y),
3
两边求全微分,利用全微分形式的不变性,可得
exy x sin x y cos x y ,
解法二 用 xy 置换 u ,x y 置换 v ,得到 x ,y 为
自变量的二元复合函数
z exy sin x y ,
7.4.1 多元复合函数的链式求导法则
这就是 7.2 节中,例 7.14 所给的二元函数,当时
视其中一个变量为常数,再根据一元复合函数的链式法
z z u z v , z z u z v . x u x v x y u y v y
7.4.1 多元复合函数的链式求导法则
●结构分析 定理 7.5 中所给出的复合函数由两层
构成,外层是一个二元函数,内层是并列的两个二元函 数,且有同样的自变量,
复合结构如图.称定理中
给出的偏导计算公式为链
式求导法则.法 则 给 出 z
对 x 的偏导数为
z z u z v . x u x v x
(*)
7.4.1 多元复合函数的链式求导法则
(1)结构图中, x 通向 z 的路径有 z u x 和 z v x 两条,公式(*)对应地由两项之和构成.
(2)结构图中,沿路径 z u x 有两层复合,式(*) 的第一项恰为两个因子的乘积,两个因子为 z ,u ,x 顺 次连锁求导而得的偏导数;路径 z v x 与式(*)中第 二项也有同样的对应关系.

高等数学下册-全微分课件

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全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题,如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用, 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式:(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性,是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性,即当函数在某点处可微时,其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性,即全微分只在函数可微的点处有
意义,且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义,全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$,求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$,求在点$(1, 1)$的全微分。

《高等数学(下册)课件》

《高等数学(下册)课件》

贝叶斯思想与统计参数 估计
理解贝叶斯思想的背景和内 容,进一步学习常用的参数 估计模型、统计推断方法及 其程序实现。
重积分
1
二元函数图像简析
花式画图分析二元函数图像,并解决其
用二重积分计算几何体积、质量
2
中最常见的高中教学题目。
中心等问题
通过几何示意图展示直立与平行截面、
微元体、微积分算法等内容。
3
重积分计算物理性质
理解重积分在求解质心、转动惯量、流 量等问题中应用的原理与技巧。
曲线与曲面积分
场论中的应用
解析电场和磁场,理解曲线和曲 面积分在场的计算中的基本方法 和意义。
螺旋楼梯
利用曲线积分计算实际场景的长 度、路径等物理量,利用曲面积 分计算重心、质心等参数。
建筑中的应用
在建筑设计中加入曲线和曲面元 素,优化建筑风格并提高场馆整 体性能。
格林公式与斯托克斯公式
1
单元向量积分
介绍微积分中的基础概率已经量的子力学中的应用
学习如何通过格林公式来解决如量子力学中的经典-量子的相关问题。
3
斯托克斯公式在流体力学中的应用
学习如何通过斯托克斯公式来解决如流体寀学中的曲线偏微分方程的相关问题。
广义积分
广义积分的概念及其计 算方法
常系数线性微分方程组
1 线性代数初步
学习线性空间、线性变换、特征值、特征向量,创新性思考代数学习中的数学问 题。
2 微分方程基础
学习理解常微分方程的基本结构和分类、二阶微分方程的特征、解微分方程的方 法。
3 矩阵方法
研究利用矩阵的相关方法解决线性代数初步中的范数问题、二次型问题、方差等 问题。
4 常系数线性微分方程组的解法

高等数学下6_课件3.ppt

高等数学下6_课件3.ppt
a ax , ay , az b bx ,by ,bz
垂直的充分必要条件是
axbx ayby azbz 0
6.3.1 二向量的数量积
例6.5 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
AMB .
解 MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
i 4 j 2k
6.3.2 二向量的向量积
而与 c 同向的单位向量
c c
i 4 j 2k
c 12 42 22
1 i 4 j 2k
21
故与 a 、 b 均垂直的单位向量为 c ,即
1 i 4 j 2k
21

1 i 4 j 2k
21
例6.8 已知三点A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
ax az , bx bz
6.3.2 二向量的向量积
例 6.7 设 a 0,1, 2, b 2, 1,1,求与 a 和 b 都
垂直的单位向量. 解 令 c ab ,由向量积的定义 c 与 a 、b 均垂直,

c ab 0,1, 22, 1,1
1 2 2 0 0 1
i
j
k
1 1 1 2 2 1
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩 思考 右图三角形面积
S=
a
b
c ab
6.3.2 二向量的向量积
性质 6.8 a a = 0. 性质 6.9 两非零向量 a , b 平行的充要条件是向 量积 a b = 0 .
性质 6.10 ab = ba . 性质 6.11 ab ab ab .
6.3.1 二向量的数量积

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ,每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用,例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用,例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用,例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广,表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质,这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ,表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率,是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质,如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量,用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值,这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

《高等数学下》课件

《高等数学下》课件

教学目标
1 掌握高等数学下各个重要知识点的概念和性质。 2 培养解决实际问题的数学建模和分析能力。 3 提高逻辑思维和分析问题的能力。
课程安排和考核
1
课程安排
每周3学时
2
考核方式
闭卷考试:60%;实践项目:40%
3
考核内容
课堂作业、实验报告、小组项目等
学习策略
理论与实践相结合
通过理论学习和实际应用相结合的方式,提高学生对数学知识的理解和运用能力。
积极参与课堂讨论
鼓励学生积极参与课堂讨论,提问和解答问题,加深对数学概念和问题的理解。
多样化的学习资源
为学生提供多样化的学习资源,如教材、习题集、在线教学平台等,帮助学生更好地掌握课 程内容。
课程资源
教材与参考书
《高等数学下》教材、相关参考 书籍
在线学习平台
学校提供的在线学习平台,包括 课程资料、习题库、讨论区等。
主要包括多元函数微分学、重积分与曲线积分、无 穷级数等内容,是进一步学习与应用高等数学的关 键。
高等数学下的主要内容
多元函数微分学
学习多元函数的概念、极限、连续性、偏导数等重要概念和性质。
重积分与曲线积分
掌握重积分和曲线积分的基本定义和计算方法,理解曲线积分在工程、物理等领域的应用。
无穷级数
深入了解级数的概念、收敛性、敛散判别法等基本概念,学习级数计算和应用技巧。
《高等数学下》PPT课件
本课件是关于《高等数学下》课程的完整介绍和内容概要。通过本课件,您 将了解到该课程的教学目标、课程安排和考核、学习策略以及课程资源等重 要信息。
课程介绍
课程背景
《高等数学下》是继《高等数学上》之后的一门高 等数学课程,是深化和扩展大学生的数学基础能力 的重要课程之一。

《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章

《高等数学(下册)》课件 高等数学  第7章
n
un
1 lim
n n
0
,所以该级数收敛。
(2)该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
,所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负,那么称为任意项级数。对于任 意项级数,有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数,如果级数 | un | 收敛,则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1,2 , ) 是定义在区间I上的函数,级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0, n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛,那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时,其和与部分和的差,即 S Sn ,称为级数 n 1
的余项,记为 rn ,则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。

级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
,所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ,n
1,2 ,
,则级数 n 为正项级数。

高等数学(第二版)下册课件:二元函数极值和最值

高等数学(第二版)下册课件:二元函数极值和最值
因此,在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当予以考虑.
因此,求解函数 z f (x, y) 极值的步骤:
第一步:解方程组 fx (x0, y0 ) 0,fy (x0 , y0 ) 0 求得一切实数解,即求得一切驻点;
第二步:对于每一个驻点 (x0 , y0 )
为 f 3,2 31 .
如果函数 f x, y 在有界闭区域 D 上连续,则 f x, y 在 D 上必能取得最大值和最小值,并且函数
的最大值、最小值点必在函数的极值点或在 D 的边界
点中取得 . 因此,要求函数的最值点,我们只需求出函 数的驻点和偏导数不存在的点处的函数值,以及边界上 的最大、最小值,然后加以计较即可 .
,
y0
)
0
, fy (x0, y0 ) 0
同时成立的点
(x0, y0 ) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
定理6.8只给出了二元函数有极值的必要条件.那么, 我们如 何判定二元函数的驻点为极值点呢?对极值点又如何区分极 大值点和极小值点?有下面的定理.
.
定理6.9(充分条件)
设函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
f

(x,
y)
y
(
x,
y)
0,
(x, y) 0.
得 x, y, ,其中 x, y 就是函数在条件 (x, y) 0下的可能
的极值点的坐标;
(3)确定所求点是否为极值点,在实际问题中往往可根据实际
问题本身的性质来判定.
这种直接寻求条件极值的方法就是拉格朗日乘数法.
拉格朗日乘数法推广
求函数 u f (x, y, z,t) 在条件 (x, y, z,t) 0, (x, y, z,t) 0

高等数学下册课件PPT。重大的内部教材哦.ppt

高等数学下册课件PPT。重大的内部教材哦.ppt
,(2)式总成立.特别当 y 0 时(2)式也应成立,
这时 x ,所以(2)式成为
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f (x x, y) f (x, y) Agx ( x )
上式两边各除以x ,再令x 0 而极限,就

lim f (x x, y) f (x, y) A
x0
x
z
从而,偏导数 存在,而且等于A.同样可证
x
z =B.所以三式成立.证毕.
y
上一页 下一页 返 回
定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
z 、z 在(x,y)连续,则函数在该点可微分. x y
证 因为我们只限于讨论在某一区域内有定 义的函数(对于偏导数也如此),所以假定偏导 数在点P(x,y)连续,就含有偏导数在该点的某 一邻域内必然存在的意思.设点(x x, y y)为 这邻域内任意一点,考察函数的全增量
PQ ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 L ( yn xn )2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为
z f (x, y)或z f (P)
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f (P2 ) f (P) f (P1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数,则在D上至少有一点Q,使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续,那么对于任意 给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于D上的

高数下册课件

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不定积分的计算方法
计算方法
不定积分的计算方法有很多种,包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。这些方法都是基于微积分的基本定理,即不 定积分的结果是由一个函数的导数确定的。通过这些方法,我们可以求解各种复杂的不定积分问题。
积分的应用
应用领域
VS
不定积分在各个领域都有广泛的应用 ,包括物理、工程、经济、生物等领 域。例如,在物理中,不定积分可以 用来解决力、速度、加速度等问题; 在工程中,不定积分可以用来解决流 体动力学、热传导等问题;在经济中 ,不定积分可以用来解决成本、收益 、效用等问题。
01
换元法
换元法是计算定积分的另一种方法,通 过换元可以简化定积分的计算。
02
03
分部积分法
分部积分法是计算定积分的另一种方 法,通过分部积分可以将复杂函数的 定积分转化为简单函数的定积分。
定积分的应用
变速直线运动的路程
01
通过定积分可以计算变速直线运动的路程。
曲线的长度
02
通过定积分可以计算曲线的长度。
未定式是指形式上无法直接计算极限的表达 式,需要通过适当的变换将其转化为可以计 算的形式。
02 导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点的切线斜率,是函数局部变 化率的一种度量。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质,如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
无穷小与无穷大
无穷小和无穷大是极限概念中的重要概念,它们在研究函数的极限 行为中起着重要的作用。
极限的运算
四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基本法则 ,包括加法、减法、乘法和除法等运算。

高等数学下册第九章课件.ppt

高等数学下册第九章课件.ppt
f x, y A
(2) lim lim f (x, y) xx0 y y0 lim lim f (x, y) y y0 xx0 一般地,A1 A2
(x, y) (x0, y0 ) (x, y) (x0, y0 )
f A1
f A2
第一节 多元函数


f
(x,
y)
xy
x2 x2
y2 y2
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
第一节 多元函数
多元函数的极限
定义 设 n 元函数 f (P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U (P0, ), 都有
解 函数 xy 的定义域为 D x, y xy 0 , 0,0 为 xy 1 1
D 的聚点.由积的极限运算法则,得
lim
xy
xy( xy 1 1) lim
( x, y)(0,0) xy 1 1 ( x, y)(0,0)
xy
lim ( xy 1 1) 2 . ( x, y)(0,0)
f (x)
A
0,
0,当0
x xo
时,有
f (x)-A <
f (xo -0) f (xo 0) A
f (x) A (lim 0) xxo
ank x0 (ank x0 ) f (ank ) A
lim
xx0
f
(x)
A ()0 U (x0, ),
f
(x)
()0
x x0 P0 P ,因此,
f (x, y) f (x0 , y0 ) cos x cos x0
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类似地可定义三元及三元以上函数.
当n 2时,n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
10
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域. x y2
解 3 x2 y2 1 x y2 0
2 x2 y2 4
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点, 是某
一正数,与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y)
的全体,称为点P0 的 邻域,记为U (P0 , ) ,
U(P0 , ) P | PP0 |
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
x y
例如,{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点
P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ,
即 AP K
对一切 P E 成立,则称 E 为有界点集,否
则称为无界点集.
5
{(x, y) |1 x2 y2 4}
y
有界闭域;
为二元函数的图形.
(如右图)
二元函数的图形通 常是一张曲面.
12
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为
D, P0 ( x0 , y0 )是其聚点,如果对于任意给定的正
数 ,总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点,都有| f ( x, y) A | 成立,则称 A 为函数
•P
可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.
E 的边界点的全体称为 E 的边界.
设 D 是开集.如果对于D内
E
任何两点,都可用折线连结起来,

且该折线上的点都属于D ,则称

开集 D 是连通的.
4
y
连通的开集称为区域或开区域.
例如,{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
1
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质上要出现一些新东西,但 从二元函数到二元以上函数则可以类推, 因此这里基本上只讨论二元函数。
重点
多元函数基本概念,偏导数,全微分, 复合函数求导,隐函数求导,偏导数的几何 应用,多元函数极值。
难点
复邻域
说明: n维空间的记号为Rn;
n维空间中两点间距离公式
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设两点为 P( x1, x2, , xn ), Q( y1, y2, , yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时,便为数轴、平面、
空间两点间的距离.
P0
(2)区域
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的
一个点.如果存在点P 的某一邻域U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点. 3
如果点集 E 的点都是内点,
则称E为开集.
•P
例如,E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集.
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点,
也有不属于 E 的点(点 P 本身可以属于E ,也
x
y2
所求定义域为
D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
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(6) 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D ,对于任意 取定的P( x, y) D,对应的函数值为 z f ( x, y),这样,以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z), 当x 取遍D 上一切点时,得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D},这个点集称
n维空间中邻域、区域等概念
邻域: U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.
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(5)二元函数的定义
设 D 是平面上的一个点集,如果对于每个点
P( x, y) D,变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数,记为 z f ( x, y)(或记为z f (P)).
{( x, y) | x y 0} 无界开区域. o
x
(3)聚点
设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点.
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说明: 内点一定是聚点;
边界点可能是聚点;
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
z
f (x, y)当 x
x

0
y
y0时的极限,
记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
(或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |).
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说明:
(1)定义中 P P0 的方式可能是多种多样
的,方向可能任意多,路径可以是千姿百态的, 所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有 的任何方式和任何路径趋于定点时,函数都趋 于同一常数。——这是产生本质差异的根本原 因。
(0,0)既是边界点也是聚点. 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E .
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合.
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合.
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(4)n维空间
设n 为取定的一个自然数,我们称n 元数组 ( x1 , x2 , , xn )的全体为n 维空间,而每个n 元数 组( x1 , x2 , , xn ) 称为n 维空间中的一个点,数 xi 称为该点的第i 个坐标.
多元函数微分学
在上册中,我们讨论的是一元函数微积分, 但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的 函数—多元函数,也提出了多元微积分问题。
多元微积分的概念、理论、方法是一元微 积分中相应概念、理论、方法的推广和发展, 它们既有相似之处(概念及处理问题的思想方 法)又有许多本质的不同,要善于进行比较, 既要认识到它们的共同点和相互联系,更要注 意它们的区别,研究新情况和新问题,深刻理 解,融会贯通。
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