TOPSIS方法研究讲解(最新整理)

假设有 m 个目标，每个目标都有 n 个属性，则多属性决策问题的数学描述如式(1)所示：
Z=max／min{ zij | i=l，2，…m，j=l，2，….n}
(1)
1．2 TOPSIS 分析方法的一般解题步骤
○1 ．设有 m 个目标(有限个目标)，n 个属性,专家对其中第 i 个目标的第 j 个属性的评估值为 xij ,则初始判断矩阵 V 为：
f11 f12 f1n f21 f22 f2n = fi1 fij fm1 fm2 fmn
○4 ．根据加权判断矩阵获取评估目标的正负理想解：
正理想解：
f
* j
max(
min(
fij fij
), ),
j j
J J
* '
j 1, 2,..., n.
负理想解：
f
' j
min( max(
结果分析: 根据方案的排序结果，可以看出, 技术可行性占方案的比重最大，经济成 本次之，他们对整个评估结果的影响也最大.
2.改进的 TOPSIS 法
2.1 一般 TOPSIS 解法的缺点
从 TOPSIS 法的排序决策步骤可知，TOPSIS 法存在如下的缺点：① 用(4)式求规范决 策矩阵时比较复杂，不易求出正理想解和负理想解；②权重 j (j=l，2，… ，n)是事先确
TOPSIS 分析方法研究
摘要
本文主要介绍了 TOPSIS 分析方法理论及其主要思想，运用数学理论，对其 算法进行了详细的分析，并指出原始方法存在的优缺点；在此基础上提出了一种 改进的 TOPSIS 分析方法，给出具体求权重的方法，突出其客观公正性.本文还分 析了 TOPSIS 方法逆序产生的原因及其改进的方法，突出其实用性，推广其应用 范围.
关键词 TOPSIS 法; 改进的 TOPSIS; 权重；逆序
TOPSIS ANALYSIS METHOD
ABSTRACT
This paper describes a method of theory—TOPSIS, and its main idea. Using mathematical theory, its algorithm for a detailed analysis and noted the advantages and disadvantages of the original methods. On this base ,an improved TOPSIS method is given, and specific for weight, in order to highlight its objective impartiality. The paper also analyzes the causes of TOPSIS Reverse and its improved methods, highlight its practicality and the promotion of its use. Keywords TOPSIS method; Improved TOPSIS; weight; Reverse
结论………………………………………………………………………………………….....13 参考文献..................................................……………………………………………………..13
3
引言
TOPSIS 的全称是“逼近于理想值的排序方法”(Technique for Order Preference bv Similarity to Ideal Solution)，是 Hwang 和 Yoon 于 1981 年提 出的一种适用于根据多项指标、对多个方案进行比较选择的分析方法.这种方法 的中心思想在于首先确定各项指标的正理想值和负理想值，所谓正理想解是一设 想的最好值(方案) ,它的各个属性值都达到各候选方案中最好的值,而负理想解 是另一设想的最坏值(方案)，然后求出各个方案与理想值、负理想值之间的加权 欧氏距离，由此得出各方案与最优方案的接近程度，作为评价方案优劣的标准.
2
目录
中文摘要 ....................................................………………………………………………….Ⅰ 英文摘要 ....................................................………………………………………………….Ⅱ 引言 .......................................................……………………………………………………...1 1 一般 TOPSIS 分析方法
fij ), fij ),
jJ* jJ'
j 1, 2,..., n.
其中， J * 为效益型指标， J ' 为成本型指标.
○5 ．计算各目标值与理想值之间的欧氏距离：
m
Si*
(
fij
f
* j
)2
,
j
1, 2,..., n,
j 1
m
Si'
(
fij
f
' j
பைடு நூலகம்
)2
,
j
1, 2,..., n.
j 1
定的，其值通常是主观值，因而具有一定的随意性；③当方案 zi ， z j 关于 f * 和 f ' 的连线对
称时，由于
fi* =
f
* j
，
fi'
=
f
' j
，
因而无法比较 zi 、 z j 的优劣.
文献[10]提出了一种改进的
TOPSIS 法，既保留了 TOPSIS 法的优点，同时又克服了 TOPSIS 法存在的三个缺点.
x11 x12 x1n
x21 x22 x2n
V
(2)
xi1 xij
xm1 xm2 xmn
○2 ．由于各个指标的量纲可能不同，需要对决策矩阵进行归一化处理：
x1' 1 x1' 2 x1'n
x2' 1 x2' 2 x2' n
V'
(3)
xi'1 xi'j
xm' 1 xm' 2 xm' n
○6 ．计算各个目标的相对贴近度：
Ci* Si' /(Si* Si' ), i 1, 2,..., m.
3
（5）
(6) (7) (8) (9)
(10)
○7 ．依照相对贴近度的大小对目标进行排序，形成决策依据.
1.3 应用实例
某公司需要对其信息化建设方案进行评估，方案由 4 家信息咨询公司分别提供，记为 方案一(S1)、方案二(S2)、方案三(S3)、方案四(S4). 每套方案的评估标准均包括以下 6 项 内容：Pl(目标指标)、P2(经济成本)、P3(实施可行性)、P4(技术可行性)、P5(人力资源成本)、 P6(抗风险能力).，四个方案作为 4 个目标，6 个评价标准作为 6 个属性. 其中，P2 和 P5 是 成本型指标，其他为效益型指标. 这里每个目标所对应的属性值均由 4 名评估专家分别给 出，表 l 列出了去模糊化之后 4 位专家评估值的集结结果，并把它作为多属性决策的初始 矩阵，每个属性在评估结果中所占的比重(W)根据德尔菲法获得，整个决策方法的处理步 骤如下所述：
尽管如此，该方法在评价各类不同问题过程中还存在着不同的问题，例如权 重信息是事先给定，因此结果有一定主观性；另外此方法在应用中由于新增加方 案而容易产生逆序问题等，需要对其进行更加具体深入的分析研究.
1
1．一般 TOPSIS 分析方法
1．1 TOPSIS 分析方法概念
TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)称为逼近于理想 解的排序方法.它的基本思想是：对归一化后的原始数据矩阵，确定出理想中的最佳方案和 最差方案，然后通过求出各被评方案与最佳方案和最差方案之间的距离，得出该方案与最 佳方案的接近程度，并以此作为评价各被评对象优劣的依据.
其中
n
xi'j = xij /
xi2j , i=1,2…m; j=1,2…n.
k 1
（4）
○3 ．根据DELPHI法获取专家群体对属性的信息权重矩阵B，形成加权判断矩阵：
2
x1'1 x1'2 x1'n w1 0 0 x2' 1 x2' 2 x2' n 0 w2 0 Z V 'B xi'1 xi'j 0 wj xm' 1 xm' 2 xm' n 0 0 wn
6.0 233 15.3 9.5 63 3.1 4.5 202 15.2 13.0 120 2.6
利用德尔菲法则，生成集结后的群体偏好矩阵：
B (2.3,5.1, 4.0, 6.5, 4.8,3.2)T .
○2 ．正、负理想解如下：
f
* j
(1.4428, 2.2797, 2.1664,3.6653,1.2878, 0.8756)
TOPSIS 法是有限方案多目标决策的综合评价方法之一，它对原始数据进行 同趋势和归一化的处理后，消除了不同指标量纲的影响，并能充分利用原始数据 的信息，所以能充分反映各方案之间的差距、客观真实的反映实际情况，具有真 实、直观、可靠的优点，而且其对样本资料无特殊要求，故应用日趋广泛.
TOPSIS 法较之单项指标相互分析法，能集中反映总体情况、能综合分析评 价，具有普遍适用性.例如，其在评价卫生质量、计划免疫工作质量、医疗质量； 评价专业课程的设置、顾客满意程度、软件项目风险评价、房地产投资选址；评 价企业经济效益、城市间宏观经济效益、地区科技竞争力、各地区农村小康社会 等方面都已得到广泛、系统的应用.
2.2 改进的 TOPSIS 法
2.2.1 统一指标，确定理想解
此处举一工程招标的例子来说明改进的 TOPSIS 法的求解步骤. 一般来说，对承包单 位的选择需要从招标单位的利益出发，考虑的因素包括投标单位的工程报价、工程工期等 等，由于评标方案有多指标性特点，各方案指标的优劣程度可能会不统一. 除此之外，在 这类评标过程中，对客观、公正性要求较高，因此，我们运用改进的理想解法对各个承包 单位进行优选.
表 1 专家评估值结果表
目标
P1
P2
属性
P3
P4
P5
P6
S1
8.1
255
12.6
13.2
76
5.4
S2
6.7
210
13.2
10.7
102 7.2
S3
6.0
233
15.3
9.5
63
3.1
S4
4.5
202
15.2
13
120 2.6
○1 ．初始条件：根据表 l 的专家决策结果生成初始判断矩阵 V
8.1 255 12.6 13.2 76 5.4 V 6.7 210 13.2 10.7 102 7.2
1.1 TOPSIS 分析方法概念................................………………………………2 1.2 TOPSIS 分析方法的一般解题步骤........................………………………2 1.3 应用实例...................……………………………………………………..4 2 改进的 TOPSIS 法 2.1 一般 TOPSIS 解法的缺点……………….......................................……………5 2.2 改进的 TOPSIS 法...……………………………………………………………….5
4
f
' j
(0.8016,
2.8779,1.7840, 2.6377, 2.4533, 0.3162)
○3 ．结果(计算贴近度)：
Ci* = （0.6621，0.4666，0.6106，0.5851），依据 Ci* 从小到大的顺序对决策方案进行 排序可知 C2 〈 C4 〈 C3 〈 C1 ，表明方案一更优.
2.2.1 统一指标，确定理想解…………………………………………………..5 2.2.2 指标权重的确定……………………………………………………….…..6 2.2.3 各方案优劣排序…………………………………………………………...7 2.3 实例分析…………………………………………………………………………….7 3. 关于 TOPSIS 法的逆序问题……………………………………………………………9 3.1 逆序产生的原因…………………………………………………………………..9 3.1.1 由于增加新的方案产生逆序................…………………………………9 3.1.2 由于指标权重改变原始数据结构产生逆序........……………………10 3.2 逆序消除的方法……………………………………………………………….….11