n次方根()
复数的n次方根公式
复数的n次方根公式
这个公式表示了复数z的n个不同的n次方根。其中，r^(1/n)表示模的n次方根，cos((θ + 2πk)/n)和sin((θ + 2πk)/n)表示辐角的n等分点的余弦值和正弦值。
需要注意的是，当n为偶数时，复数的n次方根有两个实数解和两个虚数解。而当n为奇数 时，复数的n次方根有一个实数解和n-1个虚数解。
这个公式可以用来求解复数的n次方根，帮助我们理解和计的n次方根公式是指求解复数的n次方根的公式。设复数z = a + bi，其中a和b分别为 实部和虚部，n为正整数。
复数的n次方根可以用以下公式表示：
z^(1/n) = r^(1/n) * [cos((θ + 2πk)/n) + i * sin((θ + 2πk)/n)]
其中，r = |z| = √(a^2 + b^2) 是复数z的模，θ是复数z的辐角（即与正实轴的夹角），k 为整数，k = 0, 1, 2, ..., n-1。
中职数学基础模块第4章《指数函数与对数函数》知识点
【注意】： (1) 底数的限制： a>0 且 a 不等于 1 ； (2)N 的限制： N>0 ；
(3)log 是对数的符号 .
2. 指数式与对数式的互化：a 0且a 1，N 0时，ab N loga N b
3. 对数的性质：
(1)N>0( 零和负数没有对数 ) ； (2)loga1=0(1 的数等于 0) ； (3)logaa=1( 底的对数等于 1) ； (4) aloga N .N
(2)loga
M N
loga M
loga
N (商的对数等于对数的差)
(3)logaM b b loga M (幂的对数等于幂指数乘幂的底数的对数)
推广：loga (N1 N2 NK ) loga N1 loga N2 loga Nk
6. 换底公式
logb
N
loga N loga b
(b
2.n 次根式：形如n a (n N*且n 1)
的式
子叫作 a 的 n 次根式，其中 n 叫做根指数， a 叫做
被开方数。
3. 根式的性质： (1) ( n a )n a n an a (2) 当 n 为奇数时，
当 n 为偶数时，
1
an n a
n
an
a
a(a 0) a(a 0)
知识清单 —————————————————————————
知识清单
知识清单
—————————————————————————
一—. 有理数指数幂
二 . 根式
1. 正整数指数幂an aaa (n N*)
n个a相乘
a 叫幂的底数， n 叫幂的指数
2. 零指数幂 a0 1(a 0)
matlab n次方根
matlab n次方根在数学中，n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的情况下，这个数就是原数的n次方根。
在实际应用中，n次方根经常被用来解决各种问题，例如计算复杂的数学公式、解决工程问题等等。
在本文中，我们将介绍如何使用Matlab计算n次方根。
我们需要了解Matlab中计算n次方根的函数。
Matlab中有两个函数可以计算n次方根，分别是nthroot和power。
nthroot函数用于计算一个数的n次方根，而power函数用于计算一个数的任意次方。
在本文中，我们将主要介绍nthroot函数的使用。
nthroot函数的语法如下：y = nthroot(x,n)其中，x是要计算n次方根的数，n是根数，y是计算结果。
例如，如果我们要计算16的2次方根，可以使用以下代码：y = nthroot(16,2)运行结果为：y = 4这意味着16的2次方根是4。
同样，如果我们要计算27的3次方根，可以使用以下代码：y = nthroot(27,3)运行结果为：y = 3这意味着27的3次方根是3。
除了计算整数的n次方根，nthroot函数还可以计算小数的n次方根。
例如，如果我们要计算8的1.5次方根，可以使用以下代码： y = nthroot(8,1.5)运行结果为：y = 4这意味着8的1.5次方根是4。
在Matlab中，我们还可以使用符号计算n次方根。
例如，如果我们要计算x的n次方根，可以使用以下代码：syms x ny = x^(1/n)其中，syms函数用于定义符号变量，x和n是符号变量，y是计算结果。
例如，如果我们要计算x的3次方根，可以使用以下代码：syms xy = x^(1/3)这意味着我们可以使用符号计算任意数的n次方根。
Matlab是一个强大的数学计算工具，可以用于计算各种数学问题，包括n次方根。
使用nthroot函数和符号计算，我们可以轻松地计算整数和小数的n次方根，以及任意数的n次方根。
n次方根的定义.
一、n 次方根的定义 引例（1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ；（3）(±2)4=16，则称±2为16的 。
定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。
记作,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。
练习:(1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质：1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
表示（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。
记作00=a探究：归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时,例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）练习１：练习２：(1)当6<a<7,则(2)=---22)7()6(aa =-++625625na x= 一定成立吗？ a a nn =.na )0>±a a n（_____233=-）（______844=-）（_____)3()32=>-a a （=nn a a =nn a a{,0,≥<-=a a a a (2) (4))ab .>_____________________________==三、分数指数幂注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 例如： 5102552510)(a a a a=== （a ＞0）4123443412)(a a a a === （a ＞0）规定：正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是如0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。
升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)
x的n次方根的公式
x的n次方根的公式
（实用版）
目录
1.引言：介绍 x 的 n 次方根的公式
2.公式推导：讲解如何从指数运算推导出 x 的 n 次方根的公式
3.公式应用：展示 x 的 n 次方根的公式在实际问题中的应用
4.结论：总结 x 的 n 次方根的公式的重要性和应用价值
正文
1.引言
在数学中，x 的 n 次方根是一个重要的概念，特别是在代数和微积分等数学领域中。
在实际问题中，我们常常需要求解 x 的 n 次方根，因此了解和掌握 x 的 n 次方根的公式是至关重要的。
本文将从公式推导、公式应用等方面介绍 x 的 n 次方根的公式。
2.公式推导
我们可以从指数运算出发来推导 x 的 n 次方根的公式。
根据指数运算法则，我们知道：
x^n = (x^n)^(1/n)
这意味着x的n次方等于x的1/n次方的n次方。
因此，我们可以得出x的n次方根的公式：
x^(1/n) = (x^n)^(1/n)
这就是 x 的 n 次方根的公式。
3.公式应用
x 的 n 次方根的公式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在求解方程时，我们常常需要求解一个数的 n 次方根。
通过使用 x 的 n 次方根
的公式，我们可以快速地求解这个问题。
假设我们有一个方程：
y = x^n
我们可以通过求解 x 的 n 次方根来求解 x：
x = y^(1/n)
这样我们就可以求解出 x 的值，从而解决实际问题。
4.结论
总的来说，x 的 n 次方根的公式是数学中一个重要的公式，它在实际问题中有广泛的应用。
根号和开方公式
根号和开方公式
根号和开方的公式如下：
1.根号的定义：对于一个非负实数a，根号下a表示一个非负实数x，满足x的平方等于a。
即，根号下a = x，其中x ≥ 0，且x的平
方等于a，即x² = a。
2.开方的定义：如果一个正数a的n次方等于b，那么a就称为数
b的n次方根（简称根）。
而开n次方就是求b的n次方根，记作
“ **n√a** ”，即为求解方程xⁿ = a。
以下是一些关于根号和开方的拓展：
1.根号和开方都可以用于解决各种实际问题，如计算三角形的斜
边长度、计算圆的直径与面积等。
2.根号和开方也有很多应用，如在高等数学、物理学、工程学以
及计算机科学中都有广泛的应用，是数学实践中必不可少的重要工具。
3.在计算开方时，有些数可以直接求出，而对于一些数来说，需
要使用近似算法才能得到解，如牛顿迭代法、二分法等。
4.在实际应用中，由于计算机的存在，人们可以得到更高精度、更快速的计算结果，从而更好地满足实际应用的需求。
n次方根的概念
n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。
n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。
二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。
2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。
3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。
4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。
5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。
三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。
它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。
2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。
求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。
四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。
同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。
在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。
总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。
n次根式
练习
3.化简
(1) 6 64 (2) 4 (3)2 (3) 6 x6 y3 (4) (x y)2
4.计算 7 40 7 40 2 5
小结
1.n次方根的概念
2.根式 n a
3.根式的性质
(1) ( n a )n a a
(2) n an a
(3) n 0 0
n是奇数 n是偶数
作业 课本59页 第1题
看看(2)(4)(5)分别求几次方根？有几个？
3和5 (奇数)
有1个
结论：实数a 的奇次方根只有1个，用n a 表示，n是奇数
(1) 4的平方根是2和-2 (3) 16的4次方根是2和-2
看看(1)(3)分别求几次方根？有几个？ 2和4 (偶数) 有2个
再看看4和16是正数还是负数？ 正数
结论：正数a 的偶次方根有2个，它们分别为相反数，
用 n a表示，n是偶数， a 0
负数的偶次方根有几个？ 负数没有偶次方根
我们知道 0n 0
0的n次方根为0
认识根式
a 根指数 n
根式 被开方数
读作n次根号 a
根指数为2时，根式为二次根式 根指数为3时，根式为三次根式 根指数为n时，根式为n次根式
根式性质
由n次根式的意义，可得
1. ( n a )n a
a
2. n an a
3.n 0 0
n是奇数 n是偶数
例1.求下列各式的值
(1) 3 (8)3 (2) (10)2 (3) 4 (3 )4 (4) (a b)2 (a b)
解：(1) 3 (8)3 8
(2) (10)2 10 10
有理数指数幂
B. −4
B. －3
5.81的4次方根有（
A. 0个
C.
3
−8
D.
4
16
A ）.
4.81的4次算术根是（
A. 3
B ）.
C. ±3
D.没有意义
C. 2个
D. 4个
C ）.
B. 1个
二、填空题
1.－65的3次方根可以表示为
3
−65 ，其中根指数是
－65 .
2. 9＝
3 ， 3 8＝
2 ， 3 −64＝
个
1
＝ .
4.分数指数幂： ＝ （其中m、n∈N*且n＞1，当n为偶数时，a≥0）
−
＝
1
（其中 有意义，且a≠0）
一、选择题
1.计算－24，得（
A. －8
2.计算
A. －2
D ）.
B. 8
1
，得（
4
C. 16
D. －16
C ）.
B. 2
C.
1
2
1
2
D. ±
3.下列根式中，没有意义的是（
5
()6
2.化为分数指数幂的形式：
（1）
2
5
5
2
1
（2）
()3
3
()
−2
3.计算：
（1）
5
323
2
5
8
（3）27
1
9
（2）
4
25
2
−3
（4）
27
8
9
根式定义取值范围
03
根式取值范围的性质
平方根取值范围的性质
01
实数范围内，非负数的平方根有两个值，一个正数和一个 负数。例如，√9=3和-√9=-3。
02
负数没有实数平方根，因为任何实数的平方都是非负的。
03
0的平方根是0本身。
立方根取值范围的性质
任何实数的立方根只有一个实数值。例如，三次根号下8=2，三次根号下-8=-2。
根式定义取值范围
• 根式定义 • 根式取值范围 • 根式取值范围的性质 • 根式取值范围的应用
01
根式定义
平方根定义
平方根定义
对于非负实数a，其平方根是一个实数 x，满足x²=a。平方根用符号√表示， 例如√4=2。
取值范围
平方根的定义域是非负实数，即被开 方数大于等于0。
立方根定义
立方根定义
0的立方根是0本身。
n次方根取值范围的性质
对于正整数n，非负实数的n次方根有n个值，分布在0和1之间。例如，四次根号下16=2，四次根号下 (-16)=-2，四次根号下(1/16)=1/2，四次根号下(-1/16)=-1/2。
对于负整数n，实数范围内没有n次方根。
0的n次方根是0本身。
04
根式取值范围的应用
对于实数a，其立方根是一个实数x， 满足x³=a。立方根用符号∛表示，例 如∛8=2。
取值范围
立方根的定义域是全体实数，即被开 方数可以是任意实数。
n次方根定义
n次方根定义
对于实数a，其n次方根是一个实数x，满足x^n=a。n次方根用符号∛表示，例如∛8=2。
取值范围
n次方根的定义域是全体实数，即被开方数可以是任意实数。
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指数与指数幂的运算——根式
小练习 求下列根式值：
（ 4）2 =4 （4 16）4 =16 （3 27）3 = 27
5 0 =0
3 27 =3 2（ 4）2=4
根式性质：
4 16 =2
①（n a）n a
②（n
an）
a,
a
,
n为奇数 n为偶数
③0的任何次方根都是0
6 0 =0
能得出什么 结论吗？
判断下列说法的正误. (1)、2 的平方根是2.
xn=a？
思考：x4=a、x5=a，x6=a，…，的意义及性质？
一、n次方根
1、定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做
a的n次方根，其中n＞1，且n∈ N* .
根指数 根式
na
被开方数
【1】试根据n次方根的定义分别求出下列各 数的n次方根.
(1)25的平方根是_±__5____;
(2)27的三次方根是__3___; (3)-32的五次方根是_-_2__;
2.1.1 指数与指数幂的运算
——根式
二次方根
1、平方根 ：如果 x2=a，那么x叫做a的平方根.
性质：①正数有两个平方根，且互为相反数.
②0的平方根是0.
③负数没有平方根.
三次方根
2、立方根 ：如果 x3=a，那么x叫做a的立方根.
性质：①正数的立方根是一个正数.
②0的立方根是0. ③负数的立方根是负数.
根式的概念： 根指数 根式
na
被开方数
根式的性质： 对于任意正整数 (n a)n a
当n是奇数时 n an a ；
当n是偶数时
n
an
aa(a 0)来自a(a 0)(-3)4=81
n次方根 快速算法
计算n次方根的快速算法通常可以使用二分查找法（Binary Search）来逼近根的值，特别是当n是正整数时。
以下是一个示例算法，用于计算给定数x的n次方根：
初始化参数：设置左边界（left）为0和右边界（right）为x。
初始化一个容差（tolerance），它决定了根的精度。
通常可以选择一个很小的正数，例如0.00001。
开始循环：使用二分查找法在left和right之间查找根的近似值。
循环条件为abs(left - right) > tolerance，即左边界和右边界之差大于容差。
计算中点：计算中点（mid）为(left + right) / 2。
计算中点的n次方：计算mid的n次方，即mid^n。
比较中点的n次方与x：比较mid^n与x的大小。
如果mid^n接近x（即abs(mid^n - x) < tolerance），则mid是近似的n次方根，算法结束。
如果mid^n < x，说明mid太小，需要将left更新为mid，继续二分查找。
如果mid^n > x，说明mid太大，需要将right更新为mid，继续二分查找。
重复步骤2至步骤5，直到找到足够接近x的n次方根为止。
这个算法使用二分查找法逐渐逼近n次方根的值，每次迭代减小搜索范围，直到找到满足精度要求的根。
这个方法对于正整数n的根特别有效，但也可以用于非整数幂的根，只要精度足够高。
注意，要确保选择足够小的容差，以获得满足需求的精度。
七年级(下) n次方根
一、 乘方的运算：
2 2 4 平方： 2 2 、 、 3 立方： 23 、 33 、43 n次方(n是大于3的整数)： 2n 、 3n 、 4n 二、 开平方与开立方： 开平方： 4 、 16 、 64 3 3 开立方： 3 8 、 27 、 64 三、 逆运算： 平方 开平方 、立方 开立方 n次方 ？
6
= 64 ,
-64 ; = (-2) 64 , 那么x = ±2 ;
6
(2)
34 = 81 , (3) 4 = -81 ; 如果 y 4 = 81 , 那么 y = ±3 ;
2 -27 ; = ( 3 ) 3 如果 z 2 = 9 , 那么 z =
2
(3)
= 27 ,
±3;
结论2：
1. 正数a的偶次方根有两个，它们互为相 n 反数，正n次方根用“ a ” 表示，负n 次 -n a 方根用“ ”表示，其中被开方数 naa ＞ 0，根指数n是正偶数(当n=2时，在 中省略n). 2. 负数的偶次方根不存在.
第十二章 第4节：n次方根
我们将平方根和立方根的概念加以推广： 1. n次方根的定义：如果一个数的n次方(n是大于1的整数) 等于a，那么这个数叫做a的n次方根； 其中，当n=2时，这个数叫做a的平方根； 当n=3时，这个数叫做a的立方根；
2. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开 方数，n叫做根指数；用符号如何表示？ 3. 有时n次方根简称“方根”；开n次方简称“开方”；
例题1：
32 2 (1) 求 的 5 次方根：243 3
(2) 求(-8)² 的 6 次方根： 2 (3) 求 625 的4次方根： 5
7
= 128 ,
n次方根与实数的运算(学生版)
高一数学寒假课程n 次方根与实数的运算（学生版） 1 / 14 初一数学暑假课程高一数学寒假课程n 次方根与实数的运算（学生版） 2 / 14 初一数学暑假课程 初一数学暑假班（学生版）一、n 次方根1、★如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。
★当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。
★求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。
2、实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示。
其中被开方数a 是任意一个数，根指数n 是大于1的奇数。
正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示，负n 次方根用“-na ”表示。
其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数（当n=2时，在±na 中省略n ）。
负数的偶次方根不存在。
零的n 次方根等于零，表示为n 0=0。
二、用数轴上的点表示实数1、数轴上的每一个点都可以用唯一的一个实数来表示，全体实数所对应的点布满整个数轴。
n 次方根与实数的运算知识梳理2、绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
实数a的绝对值记作a。
3、相反数：绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数；零的相反数是零，非零实数a的相反数是a-。
4、实数的绝对值表示：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
5、负数小于零；零小于正数。
两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
从数轴上看，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大。
实数的大小比较方法⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩利用数轴直接法近似估计放缩法间接法分母有理化作商或作差比较三、实数的运算：1、加法：（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
1.2.1《n次方根 》-根式的概念-高职数学
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式 理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性 性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根 如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳 形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数 根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
根的性质与运算
根的性质与运算根是数学中一个重要的概念，它在各个数学领域和实际问题中都有广泛的应用。
本文将讨论根的性质和运算，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、根的定义和基本性质根的定义：对于正整数a和正整数n，如果存在一个正整数x，使得x的n次方等于a，那么x就是a的n次方根，用符号√n来表示。
1.1 平方根的性质平方根是指n=2时的根，常用符号√来表示。
平方根有以下基本性质：- 如果a≥0，那么它的平方根一定是非负数。
- 如果a＞b≥0，那么它们的平方根满足√a＞√b。
- 如果a≥0，那么它的平方根的平方等于a。
1.2 n次方根的性质n次方根是指任意正整数n的根，常用符号√n来表示。
n次方根有以下基本性质：- 如果n是奇数，那么对于任意实数a，它的n次方根存在且唯一。
- 如果n是偶数，那么对于任意实数a，如果a≥0，则它的n次方根存在且唯一；如果a＜0，则它没有实数解，但存在复数解。
- 对于任意正数a和正整数m，有√m√a = √(m*a)，即根的积等于积的根。
二、根的运算法则根的运算法则是计算根的值的方法和规律。
2.1 根的乘法法则根的乘法法则是指相同指数的根的乘法运算，具体如下：- 对于任意正数a和正整数m、n，有√m(√n a) = (√m√n) a = √(m*n) a。
即相同指数的根的乘积等于这些根的指数相乘后再开根，且能够移动到根号内与其他根进行运算。
2.2 根的除法法则根的除法法则是指相同指数的根的除法运算，具体如下：- 对于任意正数a和正整数m、n，有√m(a/√n) = a/√(m*n)。
即相同指数的根相除等于分子与分母同除以指数后再计算商，且能够移动到根号内与其他根进行运算。
2.3 根的加减法则根的加减法则是指相同指数的根的加减法运算，具体如下：- 对于任意正数a和正整数m、n，有√m a ± √n a = √m a ± √n a = √m a ± a√n。
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.-n次方根-()
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
教学内容：12.4 n次方根
教学目标：1．类比平方根与立方根建立n次方根和开方运算的概念；
2．通过体验“从特殊到一般”的数学归纳过程，理解n次方根的概念，并从中
体会分类和类比等数学思想；
3．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学重点：1．通过类比平方根、立方根建立n次方根的概念，并在此过程中体验分类讨论、类比和“从特殊到一般”等数学思想；
2．掌握开方运算的运算性质，会根据乘方运算与开方运算的互逆关系求任意实
数的奇次方根或非负数的偶次方根，理解负数没有偶次方根.
教学难点：理解并能初步掌握在建立n次方根概念过程中所体现出的、以及在求偶次方根时所必须的“分类讨论思想”.
教学过程：
一、温故知新
二、概念解析
1、如果一个数x的n次方等于a（n是大于1的整数），则这个数x叫a的n次方根；
2、求一个数的n次方根的运算叫做开n次方；
3、a叫做被开方数，n叫做根指数；
4、当n为奇数时，数x叫做a的奇次方根；
5、 当n 为偶数时，数x 叫做a 的偶次方根。
三、 问题探索
1、 探究
➢ 问题1
✓ 27=______， (-2)7=_______;
如果x 7=128，那么x=_______。
✓ 35 =______， (-3)5=_______;
如果y 5= --243，那么y=_______。
➢ 思考
✓ 当根指数n 为奇数时，n 次方根应如何表示？
✓ 是不是任何一个数都有奇次方根？
➢ 问题2
✓ 26=______， (-2)6=_______;
如果x 6=64，那么x=_______。
✓ 34 =______， (-3)4=_______;
如果y4=84，那么y=_______。
➢ 思考
✓ 当根指数n 为偶数时，n 次方根应如何表示？
✓ 是不是任何一个数都有偶次方根？
2、 性质归纳
➢ 任意一个实数a 的奇次方根有且只有一个，并且与a 有相同的正负性，表示为 n a （读
作“n 次根号a ”，根指数n 是大于1的奇数）
➢ 正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根表示为 n a
，负n 次方根表示为 -n a （根指数n 是正偶数）
➢ 负数的偶次方根不存在（即当a<0，根指数n 是正偶数时，n a 无意义）
➢ 零的n 次方根等于0，表示为 n 0 =0
3、 例题分析
➢ 例题1：（1） 求-24332
的5次方根；
（2） 求（-8）2的6次方根.
【说明】
（1）正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个；
（2）求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数分解质因数.
四、 练习反馈
1．计算： 3216； 481； 5243-.
2．书P16 题1
五、 拓展研究
1． 若n 为自然数，n 2n 2a =-a ，a 的取值范围是什么？
2． 5的n 次方根是多少？（由n 的奇偶性决定）
六、 课堂小结
完成下表： 方根 平方根 立方根 偶次方根 奇次方根 定义
表示
a>0 a=0
a<0
n 为正偶数时
()a a n n = a a n n =
n 为正奇数时
()a a n n = a a n n =
求n 次方根口诀 ：
负取偶根是外行，正数可开任意方．奇次方根只一个，偶次方根有一双．
七、 课后作业
1、算术平方根等于它本身的数（ ）
不存在；B 、只有1个；C 、有2个；D 、有无数多个；
2、下列说法正确的是（ ）
A .a 的平方根是±a ；
B ．a 的算术平方根是a ；
C .a 的算术立方根3a ；
D ．-a 的立方根是－3a ．
3、满足-2＜x ＜3的整数x 共有（ ）
A ．4个；
B ．3个；
C ．2个；
D ．1个．
4.已知a 中，a 是正数，如果a 的值扩大100倍，则a 的值（ ）
扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍；
5.()20.7-的平方根是（ ）
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49
6. 033=+y x , 则x ，y 的关系是（ ）
A 0==y x
B y x =
C 0=+y x
D 1=xy
7．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5
8．如果x 、y 满足|2|+++x y x =0，则x= ，y=＿＿＿；
9.若102.0110.1=，则± 1.0201= 。
10如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ；
11.计算：40083321633⨯-
--；
12．计算：36464-+－22120123-
13.计算：x 2 -
12149
= 0。
14.已知32-x 与311y -互为相反数，求x y -的值．
15.已知()013222
=-++-y x x ，求x ，y 的值。
16.已知43-=a ，且()02122=-+--c c b ，求32c b a -+的值。