天津市滨海新区2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。
2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】C【解析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2．在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】 解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】 解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．20里 B ．10里C ．5 里D ．2.5 里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =；111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ）A ．2B ．10C D ．【答案】D【解析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x =∴2p=p = 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6．已知函数2ln ()xf x x=,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A ．3ln xx B ．31xC ．31ln x x -D ．312ln x x - 【答案】D【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】 解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D . 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7．正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．15C ．14D ．13【答案】A【解析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8．曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．0x y -= C ．20x y +-= D ．210x y --=【答案】A【解析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可． 【详解】 解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ． 【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163-=x yD ．22184x y -=【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解. 【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=故选：B 【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-1,0] B ．[0,1) C ．(-1,1) D ．[-1,1]【答案】D【解析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可. 【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.二、填空题 11．i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】 解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+2131222i i i +∴=+==-故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12．已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____. 【答案】22e【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】 解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e 【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2【解析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】 解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14．已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞【解析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x <+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题 1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立， 令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<； 即()1g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增； ()()min11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15．设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4【解析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】 解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab abab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题16．已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间. 【详解】 解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b == （Ⅱ）22()323()3af x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x = . 因为0a >,所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞时，()0f x '> ；20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得. 【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =- 又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB n PB n PB n⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【解析】（Ⅰ）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和. 【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立, 所以*21()n a n n =-∈N 即1212b a =-=,44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2nn b =,有(21)2n n n a b n =-⨯ 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b +=的长轴长为4,.(I)求C 的方程；(II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =-计算出b 的值，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上. 【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==,又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=.（Ⅱ）由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2ky x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解,故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k =+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题. 20．已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥. 【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立. 【详解】 解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值.（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-= 由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-<故()f x 在()0,π存在唯一零点.设为0x ,则00()()0g x f x '== 当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<, 所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥. 故2sin cos x x x x -≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。
2019-2020天津市部分区高二数学上学期期末试卷(下载版)
天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量)0,1,1(-=，)1,1,(-=m ，若⊥，则实数=m(A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件(C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为(A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里5.若抛物线0)>2px (p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A) 2 (B) 10 (C)7(D) 72 6.已知函数2ln )(x x x f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A) 3ln x x (B) 31x (C) 3ln 1x x - （D)3ln 21x x - 7.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A) 0 (B) 51 (C) 41 （D) 31 8.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A) 012=+-y x (B) 0=-y x (C) 02=-+y x (D) 012=--y x9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A) 1222=-y x (B) 12422=-y x (C) 13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1]第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.i 是虚数单位，则|12|i i -+的值为 . 12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为. 13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为 . 15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则ab b a )1)(4(22++的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.17.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为 PC 的中点.(I) 证明：DE ∥平面PAB;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22. (I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M, 连结心并延长交C 于点N.求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20.(本小题满分、12分）已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.。
(2019-2020)学年天津市部分区高二上学期期末数学试题(理科)(解析版)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．23．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．25．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为．12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k 的取值范围是．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）经过两点A（4，a），B（2，3）的直线的倾斜角为，则a=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：由题意可得：==1，解得a=5．故选：C．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（4分）双曲线=1的离心率是（）A．B．C．D．2【分析】利用双曲线方程求解实半轴的长，半焦距的长，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线=1，可知a=2，b=1，c==，所以双曲线的离心率是=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．3．（4分）命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是（）A．∀m∈N，曲线=1是椭圆B．∀m∈N，曲线=1不是椭圆C．∃m∈N+，曲线=1是椭圆D．∃m∈N+，曲线=1不是椭圆【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃m∈N，曲线=1是椭圆”的否定是：∀m∈N，曲线=1不是椭圆．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．4．（4分）已知向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），若，则实数λ的值为（）A．﹣2 B．﹣ C．D．2【分析】利用向量垂直的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（λ，1，3），=（0，﹣3，3+λ），，∴=0﹣3+3（3+λ）=0，解得实数λ=﹣2．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（4分）“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：∵直线a与平面M垂直，∴直线a与平面M内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面M内的无数条直线都垂直成立，即充分性成立，反之不成立，即“直线a与平面M垂直”是“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的定义是解决本题的关键．6．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A．πB．πC．π D．3π【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为，∴该四棱锥外接球的半径r=，表面积为．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．7．（4分）直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3的位置关系是（）A．相交B．相离C．相切D．与k取值有关【分析】先判断直线过定点（1，0），然后判断定点和圆的位置关系即可．【解答】解：直线y=kx﹣k=k（x﹣1）过定点A（1，0），圆心坐标为C（2，0），半径r=，则|AC|=2﹣1=1＜，则点A在圆内，则直线y=kx﹣k与圆（x﹣2）2+y2=3恒相交，故选：A【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线过定点，判断定点和圆的位置关系是解决本题的关键．8．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，m∥β，则α⊥βC．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m∥α，则n⊥α【分析】根据空间线面位置关系的判定或性质进行判断．【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n异面或m与n相交，故A错误；若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故B正确；若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；若m⊥n，m∥α，则n⊥α或n⊂α或n∥α，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了空间线面位置关系，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为2，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．M的坐标，然后求解即可．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线方程为：y2=4x，抛物线的准线方程为x=﹣1．AB的方程为：y=x﹣1M（3，3），则点M到该抛物线的准线的距离为：3+1=4．故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识．10．（4分）已知P（x，y）为椭圆C：=1上一点，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|MF|=1且MP⊥MF，则|PM|的取值范围是（）A．[2，8]B．[，8]C．[2，]D．[，]【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），由题意可知：|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，由a﹣c≤|PF|≤a+c，即可求得|PM|的取值范围．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当|PF|最小时，切线长|PM|最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．∴|PM|==，当|PF|最大时，切线长|PM|最大．当点P为左顶点（﹣5，0）时，|PF|最小，最小值为：5+3=8，∴|PM|==3，|PM|的取值范围[，3]，故选D．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查椭圆的性质，焦半径的取值范围，考查转化思想，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0）．【分析】先根据抛物线的方程判断出抛物线的开口方向，进而利用抛物线标准方程求得p，则焦点方程可得．【解答】解：根据抛物线的性质可知根据抛物线方程可知抛物线的开口向左，且2P=4，即p=2，开口向左∴焦点坐标为（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，解题过程中注意抛物线的开口方向，焦点所在的位置12．（4分）椭圆=1的两个焦点为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|=．【分析】先根据椭圆的方程求得P的坐标，进而根据椭圆的定义求得答案．【解答】解：椭圆的左焦点坐标（﹣1，0），不妨P（﹣1，）即：P（﹣1，），由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a=4∴|PF2|=4﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查椭圆的简单性质．解答的关键是利用椭圆的定义．属基础题．13．（4分）已知三条直线l1：2x+my+2=0（m∈R），l2：2x+y﹣1=0，l3：x+ny+1=0（n∈R），若l1∥l2，l1⊥l3，则m+n的值为﹣1．【分析】利用平行与垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：∵l1∥l2，∴=﹣2，解得m=1．∵l1⊥l3，m=n=0不满足题意，舍去，∴﹣×=﹣1，解得n=﹣2．则m+n=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平行与垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（4分）如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，点D在棱BB1上，且BD=1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的余弦值为．【分析】取AC，A1C1的中点分别为E，H．可得BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，解△AFD即可．【解答】解：取AC，A1C1的中点分别为E，H．∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是正三角形，且AB=1，∴BE⊥AC，即可得到BE⊥面ACC1A1，过点D作DF⊥EH于F，则DF⊥面ACC1A1，连接FA，则∠DAF为直线AD与平面AA1C1C所成角，AF=，DF=，∴∴．故答案为：【点评】本题考查了空间线面角的求解，属于中档题．15．（4分）平面上一质点在运动过程中始终保持与点F（1，0）的距离和直线x=﹣1的距离相等，若质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是∪．【分析】由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．根据质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△＜0，即可得出．【解答】解：由题意可得质点在抛物线上：y2=4x．过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线方程为：y=k（x+2）．联立，化为：k2x2+（4k2﹣4）x+4k2=0，（k≠0）．∵质点接触不到过点P（﹣2，0）且斜率为k的直线，则△=（4k2﹣4）2﹣16k4＜0，化为：k2，解得k或k．∴k的取值范围是∪．故答案为：∪．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，共60分）16．（12分）已知圆的方程x2+y2﹣2x+2y+m﹣3=0（m∈R）．（1）求m的取值范围；（2）若m=1，求圆截直线x﹣y﹣4=0所得弦的长度．【分析】（1）根据圆的一般方程的定义进行求解即可．（2）求出圆心和半径，结合直线的弦长公式进行计算．【解答】解：（1）由题意知D2+E2﹣4F=（﹣2）2+22﹣4（m﹣3）=﹣4m+20＞0，解得m＜5．…（4分）（2）当m=1时，由x2+y2﹣2x+2y﹣2=0得（x﹣1）2+（y+1）2=4，…（6分）所以圆心坐标为（1，﹣1），半径r=2，圆心到直线x﹣y﹣4=0的距离为d===，…（8分）所以弦长l=2=2=2…（10分）则弦长为2…（12分）【点评】本题主要考查圆的一般方程以及直线和圆相交时的弦长公式的计算，考查学生的计算能力．17．（12分）已知顶点为O的抛物线y2=2x与直线y=k（x﹣2）相交于不同的A，B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当k=时，求△OAB的面积．【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；（2）分别求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式，即可求出．【解答】解：（1）证明：将直线y=k（x﹣2）代入抛物线的方程y2=2x，消去y可得，k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=4+，x1x2=4，y1y2=k2（x1﹣2）（x2﹣2）=k2[x1x2+4﹣2（x1+x2）]=k2（4+4﹣8﹣）=﹣4即有x1x2+y1y2=0，则•=0=0，即有OA⊥OB；（2）因为k=，由（1）可得x1=1，x2=4，代入直线方程可得y1=﹣，y2=2，∴A（1，﹣），B（4，2），∴|OA|==，|OB|==2，=•|OA|•|OB|=××2=3．∴S△OAB【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，属于中档题．18．（12分）如图，在多面体P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）求三棱锥P﹣BCD的体积．【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明BD⊥AD，根据面面垂直的性质可得BD ⊥平面PAD，故而平面MBD⊥平面PAD；（2）求出P到平面ABCD的高和△ABD的高，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：在△ABD中，∵BD=2AD=4，AB=2DC=2，∴AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，又BD⊂平面BDM，∴平面MBD⊥平面PAD．（2）解：过P作PO⊥AD，则O为AD的中点，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣BCD的高．又△PAD是边长为2的等边三角形，∴PO=．在Rt△ABD中，斜边AB边上的高为=，又AB∥DC，∴△BCD的边CD上的高为．==2．∴S△BCD==．∴V P﹣BCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC的中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，求λ的值；（3）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求线段AD的长．【分析】（1）以D为原点，建立的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），由此能证明C1D⊥D1E．（2）由动点M满足（0＜λ＜1），得M（2a，0，λ），连接BM，求出平面AD1E的法向量，利用向量法能法语出结果．（3）连接AB1，B1E，求出平面B1AE的法向量，利用向量法能求出AD．【解答】证明：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设AD=2a，则D（0，0，0），A（2a，0，0），B（2a，1，0），A1（2a，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B1（2a，1，1），E（a，1，0），∴=（0，﹣1，﹣1），=（a，1，﹣1），∴=0，∴C1D⊥D1E．…（3分）解：（2）由动点M满足（0＜λ＜1），使得BM∥平面AD1E，∴M（2a，0，λ），连接BM，∴=（0，﹣1，λ），=（﹣a，1，0），=（﹣2a，0，1），设平面AD1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，a，2a），∵BM∥平面AD1E，∴⊥，即=﹣a+2λa=0，解得λ=．…（7分）（3）连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），=（﹣a，1，0），=（0，1，1），则，取x=1，得=（1，a，﹣a），…（9分）∵二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，∴⊥，∴=1+a2﹣2a2=0，∵a＞0，∴a=1，∴AD=2．…（12分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的实数值的求法，考查满足二面角的棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，经过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得弦的长度为3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B 两点（A，B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的离心率及通径公式即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得m=﹣k，则直线l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）．【解答】解：（1）由题意可得e===，则=，由椭圆的通径=3，解得：a=2，b=，∴所求椭圆C的方程为；…（3分）（2）设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，（6分）∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴k AD•k BD=﹣1，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，∴m1=﹣2k，m2=﹣k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，（9分）当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾，当m1=﹣k时，l的方程为y=k（x﹣），则直线过定点（，0）∴直线l过定点，定点坐标为（，0）．（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量坐标运算，考查转化思想，属于中档题．。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，集合，则（）A． B. C. D.2.若，则向量与的夹角为（）A． B. C. D.3.若坐标原点到抛物线的准线距离为2，则（）A．8 B. C. D.4.下列说法中正确的是（）A．命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则”的否命题是真命题B．若命题，则；C．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D．方程有唯一解的充要条件是5．一个长方体，其正视图面积为，侧视图面积为，俯视图面积为，则长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．6. 函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．7．点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（）A．B．C．D．8.对某同学的6次物理测试成绩(满分100分)进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12.其中，正确说法的序号是( )A. ①②B.③④C. ②④D.①③9．若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误．．的是（）A．D1O∥平面A1BC1 B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M－AC－B等于45°11. 在区间和上分别取一个数,记为, 则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．12.是定义在上的函数, 若存在区间，使函数在上的值域恰为，则称函数是型函数．给出下列说法:①不可能是型函数；②若函数是型函数, 则，；③设函数是型函数, 则的最小值为；④若函数是型函数, 则的最大值为．下列选项正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．①④2019-2020年高二上学期期末考试数学理含答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在等比数列{a n}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.14.已知，过点作一直线与曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线与函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为__________15.已知函数的图象在点处的切线斜率为1，则________________.16．给出如下五个结论：①若为钝角三角形，则②存在区间（）使为减函数而＜0③函数的图象关于点成中心对称④既有最大、最小值，又是偶函数⑤最小正周期为π其中正确结论的序号是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分) 我校开设了“足球社”、“诗雨文学社”、“旭爱公益社”三个社团，三个社团参加的人数如下表所示：已知“足球社”社团抽取的同学8人.（Ⅰ）求样本容量的值和从“诗雨文学社”社团抽取的同学的人数；（Ⅱ）若从“诗雨文学社”社团抽取的同学中选出2人担任该社团正、副社长的职务，已知“诗雨文学社”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为正、副社长的概率.18．(本小题满分10分)已知在等比数列中，，且是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.19. (本小题满分12分)已知命题“存在”，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线”（1）若“且”是真命题，求的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.20．（本小题满分12分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF.(1)若点M ，N ，K 分别是棱HA ，HC ，HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：MG ∥平面ACF ；(2)已知原长方体材料中，AB ＝2 m ，AD ＝3 m ，DH ＝1 m ，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？21．（本小题满分13分） 已知函数和．（1）若函数在区间不单调，求实数的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求实数的最大值． 22．（本小题满分13分）已知椭圆经过点，且离心率为. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 若是椭圆内一点，椭圆的内接梯形的对角线与交于点，设直线在轴上的截距为，记，求的表达式(3) 求的最大值.临川一中xx 学年度上学期期末考试高二数学试卷答题卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的.）题 号一二三总 分17 18 19 20 21 22得 分题号123456789101112考号___________________……………………线……………………………………二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分；把正确答案填在横线上.）13._________________________；14._________________________；15._________________________；16._________________________；三、解答题（本大题共6小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）法2：从这6位同学中任选2人，没有女生的有：{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}，共6种故至少有1名女同学被选中的概率1-=． .…………10分 18：（1）设等比数列的公比为 ,由是和的等差中项 …….. 5分 （2）21(11)(32)(52)(212)n n S n -∴=++++++⋅⋅⋅+-+．21[135(21)](1222)n n -=+++⋅⋅⋅-++++⋅⋅⋅+.... 10分 19解：（1）若为真：解得或 若为真：则 解得或 若“且”是真命题，则解得或 …… 6分 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件， 则可得或即或 解得或 ……12分20(1)证明：∵HM ＝MA ，HN ＝NC ，HK ＝KF ，∴MK ∥AF ，MN ∥AC .∵MK ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ，∴MK ∥平面ACF ， 同理可证MN ∥平面ACF ，∵MN ，MK ⊂平面MNK ，且MK ∩MN ＝M ，∴平面MNK ∥平面ACF ，又MG ⊂平面MNK ，故MG ∥平面ACF .(2)由程序框图可知a ＝CF ，b ＝AC ，c ＝AF ，∴d ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝AC 2＋AF 2－CF 22AC ·AF＝cos ∠CAF ， ∴e ＝12bc 1－d 2＝12AC ·AF ·sin ∠CAF ＝S △ACF . 又h ＝3t e ，∴t ＝13he ＝13h ·S △ACF＝V 三棱锥HACF . ∵三棱锥HACF 为将长方体ABCDEFGH 切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V 三棱锥HACF ＝2×3×1－4×13×12×3×2×1＝6－4＝2，故t ＝2.22.（1）椭圆的标准方程为，……………..3分（2）由已知得不垂直于轴（否则由对称性，点在轴上）设直线的方程为，直线的方程为将代入得，设点，由韦达定理得，…………..5分同理设点，由韦达定理得由三点共线A C A C C A C A A C C A y x y x y x y x y x y x 2222)21)(1()21)(1(++-=++-⇒---=---⇒同理由三点共线B D B D D B D B y x y x y x y x 2222++-=++-⇒两式相加结合的方程，得)(24)(2)()(24)(2)()(2)(242)(2)()(2)(242)(2)(D C B A D C B A D C B A B D A C D B B A D C D B C A D B D C B A x x m m x x k x x x x n n x x k x x m kx x m kx x m y x x x k x x n kx x n kx x n y x x x k x x ++++++-=++++++-+++++++++-=+++++++++-利用得，由得，…………..7分由及直线不过点得且 又点到直线的距离是，故32621222323848221)(22--=-⨯-⨯⨯==∆m m m m S m f PAB（且）…..10分 (3)=3225]2)415(4[721)415(472165922222224=-+≤-=+-m m m m m m (也可用导数求解)当且仅当即时，上式等号成立，故的最大值为.…………..13分。
2019-2020学年人教A版天津市滨海新区高二第一学期(上)期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本题共12小题）1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i2．“∀x∈（2，+∞），x2﹣2x＞0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，2]，x02﹣2x0≤0 B．∀x∈（2，+∞），x2﹣2x≤0C．∃x0∈（2，+∞），x02﹣2x0≤0 D．∀x∈（﹣∞，2]，x2﹣2x＞03．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．ac＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b24．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．145．已知等比数列{a n}中，a1＝1，且，那么S5的值是（）A．15 B．31 C．63 D．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里7．已知双曲线﹣＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．8．“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（）A．4 B．C．2 D．410．已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．11．若a＞0，b＞0，3a+b＝1，则的最小值为（）A．8 B．7 C．6 D．512．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4 D．二．填空题（共8小题）13．已知复数z＝为虚数单位），则|z|＝．14．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z等于．15．不等式＜0的解集为．16．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝na n（n∈N*），则a3+a4＝．17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是AB的中点，求DB1与CE所成角的余弦值为．18．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标2，则p＝，直线l的方程为．19．已知∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立的实数m的取值集合为M，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，则a的取值范围是．20．给出下列四个命题①已知P为椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长是8；②已知M是双曲线上任意一点，F是双曲线的右焦点，则|MF|≥1；③已知直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，且l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2+4y1y2＝0；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球（小球的半径忽略不计）从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a．其中正确命题的序号为（请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共4小题）21．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝a7+9，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和公式．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）证明：直线AB∥平面PCO；（2）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由．23．已知数列{a n}的前n项和为（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前2n项和T2n．24．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．参考答案一．选择题（共12小题）1．设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解．解：＝＝＝﹣1+i．故选：B．2．“∀x∈（2，+∞），x2﹣2x＞0”的否定是（）A．∃x0∈（﹣∞，2]，x02﹣2x0≤0 B．∀x∈（2，+∞），x2﹣2x≤0C．∃x0∈（2，+∞），x02﹣2x0≤0 D．∀x∈（﹣∞，2]，x2﹣2x＞0【分析】“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x∈M，￢p（x）”．解：依题意，“∀x∈（2，+∞），x2﹣2x＞0”的否定是：∃x∈（2，+∞），x2﹣2x≤0，故选：C．3．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论一定成立的是（）A．ac＞bc B．＜C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b2【分析】根据特殊值法判断A，B，D，根据不等式的性质判断C．解：对于A，c＝0时，不成立，对于B，令a＝1，b＝﹣2，不成立，对于C，根据不等式的基本性质，成立，对于D，令a＝0，b＝﹣2，不成立，故选：C．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解：由题意可得S3＝a1+a2+a3＝3a2＝12，解得a2＝4，∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，∴a6＝a1+5d＝2+5×2＝12，故选：C．5．已知等比数列{a n}中，a1＝1，且，那么S5的值是（）A．15 B．31 C．63 D．64【分析】先求出公比，再根据求和公式计算即可．解：设公比为q，a1＝1，且，∴＝q3＝8，∴q＝2，∴S5＝＝31，故选：B．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里【分析】设第一天走a1里，则{a n}是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得：＝378，求出a1＝192（里），由此能求出该人第四天走的路程．解：设第一天走a1里，则{a n}是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得：＝378，解得a1＝192（里），∴＝192×＝24（里）．故选：D．7．已知双曲线﹣＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线﹣＝1的实轴长为10，求出m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率．解：由题意m2+16＝25，4m﹣3＞0，∴m＝3，＝3，∴该双曲线的渐近线的斜率为，故选：D．8．“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差中项和等比中项的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若b是与的等差中项，则b＝＝1，若b是与的等比中项，则b＝±＝±1，则“b是与的等差中项”是“b是与的等比中项”的充分不必要条件，故选：A．9．若正数x，y满足x2+xy﹣2＝0，则3x+y的最小值是（）A．4 B．C．2 D．4【分析】由x2+xy﹣2＝0二元换一元，表示出3x+y＝2x+≥4，利用基本不等式求出最小值即可．解：因为x2+xy﹣2＝0，所以＝，所以3x+y＝3x+＝2x+≥4，当且仅当x＝1时等号成立，故选：A．10．已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的准线，即有双曲线的c＝2，再由离心率公式和a2+b2＝c2，可得a，b，即可得到双曲线方程．解：抛物线的准线为x＝﹣2，则有双曲线的一个焦点为（﹣2，0），双曲线的离心率为，＝，可得a＝4，则b＝＝．即有双曲线的方程为：．故选：C．11．若a＞0，b＞0，3a+b＝1，则的最小值为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】根据条件即可得出，然后根据基本不等式即可求出的最小值．解：∵a＞0，b＞0，3a+b＝1，∴＝，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为8．故选：A．12．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4 D．【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2＝，则由余弦定理可得4c2＝（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2＝4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2＝4a12+r1r2…③，+＝4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（+×）2∴+≤故选：B．二．填空题（共8小题）13．已知复数z＝为虚数单位），则|z|＝ 2 ．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：z＝，∴＝2．故答案为：214．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，则z等于﹣9 ．【分析】直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，由此得到和垂直，由此能求出z．解：∵直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面α平行，∴＝3+6+z＝0，解得z＝﹣9．故答案为：﹣9．15．不等式＜0的解集为{x|﹣2＜x＜3} ．【分析】原不等式可化为x﹣3与x+2乘积小于0，即x﹣3与x+2异号，可化为两个一元一次不等式组，分别求出解集，两解集的并集即为原不等式的解集．解：原不等式可化为：（x﹣3）（x+2）＜0，即或，解得：﹣2＜x＜3，∴原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜3}．故答案为：{x|﹣2＜x＜3}16．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝na n（n∈N*），则a3+a4＝8 ．【分析】利用数列的递推关系式式，逐步求解即可．解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝na n（n∈N*），所以a2＝1×a1＝1，a3＝2a2＝2，a4＝3a3＝6．则a3+a4＝8．故答案为：8．17．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是AB的中点，求DB1与CE所成角的余弦值为．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DB1与CE所成角的余弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），E（2，1，0），＝（2，2，2），＝（2，﹣1，0），设DB1与CE所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴DB1与CE所成角的余弦值为．故答案为：．18．直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点的纵坐标2，则p＝ 2 ，直线l的方程为x﹣y﹣1＝0 ．【分析】由焦点坐标求出抛物线方程，设直线AB的方程与抛物线联立，求出两根之和，再由中点的纵坐标直线方程．解：由题意得：＝1，∴p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x，由题意知直线l的斜率不为零，设直线l的方程：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），由题意得由中点的纵坐标为2，即y+y'＝2×2＝4，联立与椭圆的方程整理：y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，∴4m＝4，∴m＝1；故答案为：2，x﹣y﹣1＝0．19．已知∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m＝0成立的实数m的取值集合为M，不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，则a的取值范围是．【分析】先利用等价转化求出集合M，再分类讨论求出集合N，由题可知，M⊆N，再利用数轴法便可求出a的取值范围．解：由题可知，方程m＝x2﹣x，在x∈（﹣1，1）有解的实数m的取值范围为M；令f（x）＝x2﹣x，x∈（﹣1，1），则有，∴M＝．又∵x∈N是x∈M的必要条件，∴M⊆N．①当a＝1时，N＝∅，不合题意，舍去；②当a＞1时，则有N＝（2﹣a，a），利用数轴法，可知，∴；③当a＜1时，则有N＝（a，2﹣a），利用数轴法，可知，∴．故答案为：．20．给出下列四个命题①已知P为椭圆上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长是8；②已知M是双曲线上任意一点，F是双曲线的右焦点，则|MF|≥1；③已知直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，且l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1x2+4y1y2＝0；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点F1，F2是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，若静放在点F1的小球（小球的半径忽略不计）从点F1沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点F1时，小球经过的路程恰好是4a．其中正确命题的序号为②③（请将所有正确命题的序号都填上）【分析】①求得椭圆的a，c，所以△PF1F2的周长＝2a+2c，可得结论；②求得双曲线的a，b，c，讨论M在双曲线的左支或右支上，求得最小值，即可判断；③设出直线l的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，即可判断；④可假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，对球的运动方向分沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，及球从A不沿x轴，斜向上（或向下）运动，讨论即可．解：对于①，由椭圆方程可知a＝2，c＝，所以△PF1F2的周长＝2a+2c＝4+2≠8，故①错；对于②，②已知M是双曲线a＝2，b＝，则c＝3，若M在双曲线左支上，可得|MF|≥5＞1，故②对；对于③，已知直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F，设直线l的方程为y＝kx+，代入抛物线的方程可得x2﹣2pkx﹣p2＝0，且l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，可得x1x2＝﹣p2，y1y2＝＝，则x1x2+4y1y2＝0，故③正确；对于④，假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：（1）球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a﹣c）；（2 ）球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a+c）；（3）球从A不沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A．此时小球经过的路程是4a．综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或2（a﹣c）或2（a+c）．故④错误．故答案为：②③．三．解答题（共4小题）21．已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝a7+9，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和公式．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得S n＝3n+n（n﹣1）•2＝n2+2n，＝＝（﹣），再由裂项相消求和，可得所求和．解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝a7+9，可得4a1+6d＝a1+6d+9，且a1，a4，a13成等比数列，可得a42＝a1a13，即（a1+3d）2＝a1（a1+12d），解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（2）S n＝3n+n（n﹣1）•2＝n2+2n，＝＝（﹣），则数列{}的前n项和为（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝﹣•．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，O为AD中点，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝．（1）证明：直线AB∥平面PCO；（2）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点N，使AN⊥平面PCD，若存在，求线段BN的长度；若不存在，说明理由．【分析】（1）在平面ABCD中，由已知证明CO⊥AD，再由AB⊥AD，可得AB∥CO，利用线面平行的判定可得直线AB∥平面PCO；（2）由已知证明PO⊥AD，PO⊥CO，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面PCD与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角P﹣CD﹣A的余弦值；（3）若存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，则存在λ∈[0，1]，使得，求得，由与平面PCD的法向量共线列式求得λ值，由此可得存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，并求得|BN|．【解答】（1）证明：在平面ABCD中，∵AC＝CD，O为AD的中点，∴CO⊥AD，由AB⊥AD，∴AB∥CO，∵AB⊄平面PCO，CO⊂平面PCO，∴直线AB∥平面PCO；（2）解：∵PA＝PD，∴PO⊥AD．又∵PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．∵CO⊂平面ABCD，∴PO⊥CO．∵AC＝CD，∴CO⊥AD，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）．，．设平面PCD的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝2，则x＝1，y＝﹣2．∴＝（1，﹣2，2）．又平面ABCD的法向量为＝（0，0，1），∴cos＜＞＝．∴二面角P﹣CD﹣A的余弦值为；（3）解：若存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，则存在λ∈[0，1]使得，因此．∵AN⊥平面PCD，由（2）得平面PCD的法向量为＝（1，﹣2，2）．∴∥，即．解得λ＝∈[0，1]，∴存在点N是棱PB上一点，使AN⊥平面PCD，此时|BN|＝．23．已知数列{a n}的前n项和为（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前2n项和T2n．【分析】（1）求出a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1．求解即可．（2）求出，列出数列的和的表达式，通过分组求和求解即可．解：（1）由，得a1＝S1＝1．当n≥2时，．a1＝1适合上式，∴a n＝n；（2），设数列{b n}的前2n项和为T2n，则＝（1×2+2×22+3×23+…+2n×22n）+[﹣1+2﹣3+…﹣（2n﹣1）+2n]设①则②①﹣②得：＝2+（22+23+24+…+22n）﹣2n×22n+1＝＝．，所以；∴．24．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为．（1）求a，b的值．（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．（ⅰ）若k＝1，求△OAB面积的最大值；（ⅱ）若PA2+PB2的值与点P的位置无关，求k的值．【分析】（1）由题设知a＝2，e＝＝，由此能求出a＝2，b＝1．（2）（i）由（1）得，椭圆C的方程为+y2＝1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k＝1，则直线l的方程为y＝x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，得x2﹣2mx+m2﹣1＝0．|AB|＝•，点O到直线l的距离d＝，由此求出S△OAB取得最大值1．（ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣m）．将直线l与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）＝0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的．【解答】（本小题满分16分）解：（1）由题设知a＝2，e＝＝，所以c＝，故b2＝4﹣3＝1．因此，a＝2，b＝1．…（2）（i）由（1）可得，椭圆C的方程为+y2＝1．设点P（m，0）（﹣2≤m≤2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若k＝1，则直线l的方程为y＝x﹣m．联立直线l与椭圆C的方程，即．将y消去，化简得x2﹣2mx+m2﹣1＝0．解得x1＝，x2＝，从而有，x1+x2＝，x1•x2＝，而y1＝x1﹣m，y2＝x2﹣m，因此，|AB|＝＝＝•＝•，点O到直线l的距离d＝，所以，S△OAB＝×|AB|×d＝×|m|，因此，S2△OAB＝（ 5﹣m2）×m2≤•（）2＝1．…又﹣2≤m≤2，即m2∈[0，4]．所以，当5﹣m2＝m2，即m2＝，m＝±时，S△OAB取得最大值1．…（ⅱ）设直线l的方程为y＝k（x﹣m）．将直线l与椭圆C的方程联立，即．将y消去，化简得（1+4k2）x2﹣8mk2x+4（k2m2﹣1）＝0，解得，x1+x2＝，x1•x2＝．所以PA2+PB2＝（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22＝（x12+x22）﹣2m（x1+x2）+2m2+2＝（*）．因为PA2+PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有﹣8k4﹣6k2+2＝0，解得k＝±．所以，k的值为±．。
天津市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷(理科)D卷
天津市2019-2020年度高二上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A .B .C . 1D .2. （2分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 若a，b∈R，①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|＞b，则a2＞b2；③a+b≥2，其中说法正确的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分） (2016高一上·厦门期中) 给出下列五个命题：①函数y= 是偶函数，但不是奇函数；②若lna＜1成立，则a的取值范围是（﹣∞，e）；③函数f（x）=ax+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；④方程x2+（a﹣3）x+a=0的有一个正实根，一个负实根，则a＜0；⑤函数f（x）=loga（6﹣ax）（a＞0，a≠1）在[0，2]上为减函数，则1＜a＜3．其中正确的个数（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个5. （2分）(2017·菏泽模拟) “m＞2”是不等式|x﹣3m|+|x﹣ |＞2 对∀x∈R恒成立”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2013·重庆理) 在平面上，⊥ ，| |=| |=1， = + ．若||＜，则| |的取值范围是（）A . （0， ]B . （， ]C . （， ]D . （， ]7. （2分） (2016高二上·杭州期中) △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·泉州模拟) 若x，y满足约束条件，z=x+y+3与z=x+ny取得最大值的最优解相同，则实数n的取值范围是（）A . {1}B .C .D . [1，+∞）9. （2分） (2017高二下·湘东期末) 已知F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A .B . （，+∞）C . （1，2）D . （2，+∞）10. （2分）已知向量与的夹角为60°，且，则 =（）A . 0B . 2C . 4D . 811. （2分） (2019高一下·吉林月考) 数列的前项和，若，则（）A . 5B . 20C . -20D . -512. （2分） (2018高三上·德州期末) 已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·南阳月考) 命题：关于的不等式对恒成立；命题是减函数.若命题为真命题，则实数的取值范围是________．14. （1分） (2018高二上·大连期末) 在等比数列中，成等差数列，则等比数列的公比为________．15. （1分） (2015高三上·潮州期末) 在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，且b2=ac，则的值为________．16. （1分）已知向量，且，则实数m=________．三、解答题： (共6题；共40分)17. （10分）(2014·辽宁理) 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（1）写出C的参数方程；（2）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．18. （5分） (2018高三上·重庆期末) 在△ABC中，角 A ， B ， C所对的边分别为，且（I）求A；（II）若，△ABC的面积为，求的值。
2020-2021学年天津市滨海新区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线x−√3y−2=0，则该直线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，则k的值是()A. −1B. 1C. −2D. 23.抛物线x2=2y的焦点坐标是()A. (12 , 0) B. (0 , 12) C. (1,0) D. (0,1)4.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10−S7的值是()A. 24B. 48C. 60D. 725.已知等比数列{a n}中，a1=7，a4=a3a5，则a7=()A. 19B. 17C. 13D. 76.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为()A. 15天B. 16天C. 17天D. 18天7.圆C1：x2+y2=9与圆C2：(x−1)2+(y+2)2=36的位置关系是()A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含8.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为15，到y轴的距离为12，则p的值为()A. 3B. 6C. 9D. 129.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，公差d=−3.5，S n取得最大值时n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. 13OA⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗B. 12OA⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗C. 12OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗D. 14OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC⃗⃗⃗⃗⃗11.已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为()A. x+2y−1=0B. x+2y+1=0C. x−2y−1=0D. x−2y+1=012.已知F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，且|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，给出下列结论：①当PF2⊥x轴时，∠PF1F2=30°；②离心率e=1+√52；③λ=√5−12；④点I 的横坐标为定值a ． 上述结论正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）13. 已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为u ⃗ =(1,3,z)，向量v ⃗ =(4,−2,1)与平面α垂直，则z =______ ．14. 若直线x =3与圆x 2+y 2−2x −a =0相切，则a =______． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =1+1a n−1(n ∈N ∗)，则a 4= ______ ．16. 已知方程x 2m+2−y 2m+1=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为______ ．17. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，求点B 到直线AC 1的距离为______ ．18. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，并且经过点M(2,−2√2)，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则p = ______ ，线段AB 的长为______ ． 19. 已知数列{a n }为等比数列，a 1=32，公比q =12，若T n 是数列{a n }的前n 项积，则当n = ______ 时，T n有最大值为______ ． 20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆(x −c3)2+y 2=b 29相切于点Q ，且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点A(−3,0)，B(−1,2)．(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)过点P(0,2)斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长．22. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD =DC ，F ，G 分别是PB ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：GF ⊥平面PCB ；(Ⅱ)求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小； (Ⅲ)在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=3n−1，令c n=a n⋅b n+1a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．24.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(−4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】设该直线的倾斜角为α，利用斜率与倾斜角的关系k =tanα即可得出． 本题考查了斜率与倾斜角的关系k =tanα，属于基础题． 【解答】解：设该直线的倾斜角为α，由直线x −√3y −2=0，变形为y =√33x −2√33． ∴tanα=√33， ∵α∈[0°,180°)， ∴α=30°． 故选：A ． 2.【答案】C【解析】解：经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)， ∴2−00−1=k1，解得：k =−2， 故选：C ．根据直线的斜率公式即可求出．本题考查了直线的斜率公式和直线的方向向量，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：根据抛物线的定义可得，x 2=2y 的焦点坐标(0,12) 故选B ．根据抛物线的定义可得，x 2=2py(p >0)的焦点坐标(0,p2)可直接求解 本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题． 4.【答案】B【解析】 【分析】利用条件a 5=8，S 3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S 10−S 7的值 本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项，考查数列的和，属于基础题． 【解答】解：设等差数列的首项为a 1，公差为d ∵a 5=8，S 3=6，∴{a 1+4d =8a 1+a 1+d +a 1+2d =6 ∴{a 1=0d =2∴S 10−S 7=a 8+a 9+a 10=3a 9=3(a 1+8d )=48， 故选B ． 5.【答案】B【解析】解：等比数列{a n }中，a 1=7，由a 4=a 3a 5=a 42，解得a 4=1，a 4=0(舍去)， ∴a 4=a 1q 3， ∴q 3=17，∴a 7=a 1q 6=7×(17)2=17，故选：B ．先根据等比数列的性质求出a 4，再根据通项公式求出首项，即可求出a 7的值．本题考查了等比数列的性质和通项公式，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于基础题． 6.【答案】A【解析】解：由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元， 募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列， 根据题意，设共募捐了n 天，则1200=10n +n(n−1)2×10，解得n =15或−16(舍去)，所以n =15， 故选：A ．由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．本题考查了根据实际问题建立数学模型，涉及到等差数列的性质，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：由题知C 1(0,0)，r 1=3，C 2(1,−2)，r 2=6， 属于圆心距|C 1C 2|=√(1−0)2+(−2−0)2=√5， 因为r 2−r 1=3，所以|C 1C 2|<r 2−r 1， 所以圆C 1和圆C 2的位置关系是内含． 故选：D ．由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得小于两个半径之差，可得两圆内含． 本题考查圆的位置关系的判断，属于基础题． 8.【答案】B【解析】解：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 则有12+p2=15，解得p =6．故选：B ．直接利用抛物线的定义分析求解即可．本题考查了抛物线的应用，涉及了抛物线定义的运用，解题的关键是掌握抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等． 9.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=10，公差d =−3.5， ∴a n =10+(n −1)×(−3.5)=13.5−3.5n ，故{a n }是一个单调递减的等差数列，故所有的正项的和最大． 令13.5−3.5n >0，求得n >277，故前3项为正数，从第四项开始为负数， S n 取得最大值时n 的值为3， 故选：A ．由题意利用等差数列的性质，等差数列的前n 项和，求得S n 取得最大值时n 的值． 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于基础题． 10.【答案】C【解析】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ).即可得出．本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：⊙C ：x 2+y 2−2x −2y −2=0的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=4， 则圆心C(1,1)，半径r =2．因为四边形MACB 的面积S =2S △CAM =|CA|⋅|AM|=2|AM|=2√|CM|2−4， 要使四边形MACB 面积最小，则需|CM|最小，此时CM 与直线l 垂直，直线CM 的方程为y −1=2(x −1)，即y =2x −1，联立{y =2x −1x +2y +2=0，解得M(0,−1).则|CM|=√5则以CM 为直径的圆的方程为(x −12)2+y 2=54，与⊙C 的方程作差可得直线AB 的方程为x +2y +1=0． 故选：B ．由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 的面积S =2S △CAM =|CA|⋅|AM|=2|AM|=2√|CM|2−4，要使四边形MACB 面积最小，则需|CM|最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程作差可得AB 所在直线方程． 本题主要考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程及过圆两切点的直线方程的求法，属于中档题．【解析】解：当PF2⊥x轴时，可得|PF2|=b2a =c=12|F1F2|，此时tan∠PF1F2=12，故选项①错误；因为|F1F2|=2b2a，所以2c=2b2a =2c2−2a2a，整理可得c2−ac−a2=0，即e2−e−1=0，所以e=1+√52，故选项②正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，其中S△IPF1=12|PF1|⋅r，S△IPF2=12|PF2|⋅r，S△IF1F2=122c⋅r，因为S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，所以12|PF1|⋅r=12|PF2|⋅r+12⋅2c⋅λ⋅r，解得λ=|PF1|−|PF2|2c =ac=1e=√5−12，故选项③正确；设内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为M，N，T，可得|PM|=|PN|，|F1M|=|F1T|，|F2N|=|F2T|，因为|PF1|−|PF2|=|F1M|−|F2N|=|F1T|−|F2T|=2a，|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c，可得|F2T|=c−a，则点T的坐标为(a,0)，所以I点的横坐标为a，所以④正确；故正确的是②③④．故选：D．利用双曲线的定义、几何性质以及新定义对选项逐一分析判断即可．本题以命题的真假为载体考查了双曲线的应用，涉及了双曲线的定义、双曲线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握双曲线的图象和性质，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵直线l与平面α平行，直线l的一个方向向量为u⃗=(1,3,z)，向量v⃗=(4,−2,1)与平面α垂直，∴u⃗⋅v⃗=4−6+z=0，解得z=2．故答案为：2．推导出向量u⃗=(1,3,z)与向量v⃗=(4,−2,1)垂直，从而u⃗⋅v⃗=0，由此能求出z．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x2+y2−2x−a=0，得(x−1)2+y2=a+1，则a+1>0，即a>−1．∵直线x=3与圆x2+y2−2x−a=0相切，∴圆心(1,0)到直线x=3的距离d=2=r=√a+1，即a=3．故答案为：3．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线x=3的距离等于半径求解a值．本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题．15.【答案】53【解析】解：由足a1=1，a n=1+1an−1(n∈N∗)，得a2=1+1a1=1+1=2，a3=1+1a2=1+12=32，a4=1+1a3=1+23=53．故答案为：53．由已知结合数列递推式直接求解即可．本题考查数列递推式，是基础的计算题．16.【答案】(−∞,−2)∪(−1,+∞)【解析】解：方程x2m+2−y2m+1=1表示双曲线，可得(m+1)(2+m)>0，解得m∈(−∞,−2)∪(−1,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(−1,+∞)．利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．17.【答案】√63【解析】解：如图，连接AC，则AC⊥BD，又CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD，而AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，则BD⊥AC1，同理可得，A1B⊥AC1，而A1B∩BD=B，∴AC1⊥平面A1BD，设垂足为G，∵AB=AD=AA1，∴G为底面正三角形A1BD的中心，则△A1BD外接圆的半径r即为B到AC1的距离，由√2sin60°=2r，得r=√63．故答案为：√63．由题意画出图形，证明AC1⊥平面A1BD，把问题转化为求正三角形A1BD外接圆的半径即可．本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查数学转化思想，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】2 8【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，∵抛物线C：y2=2px(p>0)经过点M(2,−2√2)，∴(−2√2)2=2p×2⇒p=2，设直线l的方程为y=x−p2，代入抛物线的方程可得x2−3px+p24=0，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2=3p=6，则|AB|=x1+x2+p=3p+p=4p=8，故答案为：2，8．根据点在抛物线上求出p，再联立直线与抛物线方程求得弦长．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】5或6 32768【解析】解：根据题意，数列{a n}为等比数列，a1=32，公比q=12，则a n=a1q n−1=26−n，当n=6时，a n=1，当n<6时，a n>1，当n>6时，a n<1，若T n是数列{a n}的前n项积，当n≥2时，a n=T n Tn−1，则当n<6时，T nT n−1>1，则T n>T n−1，当n>6时，T nT n−1<1，则T n<T n−1，当n=6时，T nT n−1=1，则T n=T n−1，故当n=5或6时，T n有最大值，且其最大值T5=T6=32×16×8×4×2×1=32768，故答案为：5或6，32768．根据题意，由等比数列的通项公式可得a n=a1q n−1=26−n，结合T n的意义可得T n的变化规律，由此计算可得答案．本题考查等比数列的通项公式的应用，注意分析T n与a n的关系，属于基础题．20.【答案】√53【解析】解：设椭圆C 的左焦点为F′，作出图象如图所示， 则有EF =OF −OE =2c 3，所以EFEF′=2c 3c+13c =12， 根据PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知PF′//QE ， 所以QE PF′=13，且PF′⊥PF ， 因为QE =b 3，所以PF′=b ，根据椭圆的定义可知，PF =2a −b ， 由勾股定理可得b 2+(2a −b)2=(2c)2， 化简可得b =2a 3，所以c =√a 2−b 2=√53a ，所以e =ca =√53．故答案为：√53．作出图象，设椭圆C 的左焦点为F′，利用PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知PF′//QE ，再利用相似比、椭圆的定义、勾股定理进行分析，得到a 和b 的关系，从而求出离心率．本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆离心率的求解、椭圆定义的应用，解题的关键是利用条件构造基本量a ，b ，c 之间的关系．21.【答案】解：(Ⅰ)设AB 的中点为D ，则D(−2,1)， 由圆的性质得CD ⊥AB ，所以k CD ×k AB =−1，得k CD =−1，所以线段AB 的垂直平分线方程是y =−x −1，设圆C 的标准方程为(x −a)2+y 2=r 2，其中C(a,0)，半径为r(r >0)， 由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD 上，化简得a =−1，所以圆心C(−1,0)，r =|CA|=2，所以圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=4； (Ⅱ)因为直线l 过点P(0,2)斜率为34， 则直线l 的方程为y =34x +2， 圆心C(−1,0)到直线l 的距离为d =|2−34|√(34)2+1=1，所以MN =2√r 2−d 2=2√4−1=2√3．【解析】(Ⅰ)利用圆的几何性质，圆心在AB 的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程；(Ⅱ)先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可．本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法．22.【答案】(Ⅰ)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，G(1,0，0)，F(1,1，1)，∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PCB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0m⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，则x =0，y =1，∴m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ，∴GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，平面PCB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2) 设平面PAB 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0n⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0，令z =1，则x =1，y =0，∴平面PAB 的法向量n ⃗ =(1,0,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√2×√2=12， 由图知平面PAB 与平面PCB 的夹角是钝角，∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为120°．(Ⅲ)解：假设线段AP 上存在一点M ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(2−2λ,0，2λ)， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,0，2λ)，设平面ADF 的法向量为t =(p,m ，n)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)则{t ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2p =0t⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =p +m +n =0，令m =−1，则p =0，n =1，∴t =(0,−1,1)， ∵DM 与平面ADF 所成角为30°，∴DM 与t所成角为60°， ∴cos60°=|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,t >|=|DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅t ⃗ ||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|t ⃗ |=|2λ|√(2−2λ)2+4λ2√2，解得λ=12， 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°，点M 的坐标为(1,0，1)．【解析】(Ⅰ)以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)求出平面PCB 的法向量和平面PAB 的法向量，利用向量法能求出平面PAB 与平面PCB 的夹角大小．(Ⅲ)假设线段AP 上存在一点M ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(2−2λ,0，2λ)，求出平面ADF 的法向量为t=(p,m ，n)，利用向量法能求出在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°，点M 的坐标为(1,0，1)．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1,n ∈N ∗可得{4a 1+6d =8a 1+4d,a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1.解得{a 1=1,d =2.因此a n =2n −1，(n ∈N ∗)；(Ⅱ)由(Ⅰ)及b n =3n−1，知c n =(2n −1)⋅3n−1+1(2n−1)(2n+1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，T n =1×30+3×31+5×33+⋯+(2n −1)×3n−1+11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)，则令A =1×30+3×31+5×32+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅3n−1,B =11×3+13×5+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1T n =A +B，A =1×30+3×31+5×32+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅3n−1,3A =1×31+3×32+5×33+⋅⋅⋅+(2n −3)⋅3n−1+(2n −1)⋅3n，两式相减得， −2A =1+2×(31+32+33+⋯+3n−1)−(2n −1)×3n ，即：−2A =1+2×(3−3n )1−3−(2n −1)×3n =(2−2n)×3n −2，所以A =(n −1)⋅3n +1，综合知T n =A +B =(n −1)⋅3n +1+n 2n+1．【解析】(Ⅰ)利用等差数列的定义，等差数列前n 项和，可以直接求出通项公式；(Ⅱ)对数列进行分组求和，在分组里再进行错位相减，裂项求和．本题考查了数列求和，分组求和，裂项求和，错位相减求和，属于中档题．24.【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，左顶点为A(−4,0)， ∴a =4，又e =12，∴c =2.…(2分)又∵b 2=a 2−c 2=12，∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.…(4分) (2)直线l 的方程为y =k(x +4)，由{x 216+y 212=1y =k(x +4)消元得，x 216+[k(x+4)]212=1． 化简得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0，∴x 1=−4，x 2=−16k 2+124k 2+3.…(6分) 当x =−16k 2+124k 2+3时，y =k(−16k 2+124k 2+3+4)=24k 4k 2+3， ∴D(−16k 2+124k 2+3,24k 4k 2+3)．∵点P 为AD 的中点，∴P 的坐标为(−16k 24k 2+3,12k4k 2+3)， 则k OP =−34k (k ≠0).…(8分) 直线l 的方程为y =k(x +4)，令x =0，得E 点坐标为(0,4k)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP k EQ =−1，即−34k ⋅n−4k m =−1恒成立，∴(4m +12)k −3n =0恒成立，∴{4m +12=0−3n =0，即{m =−3n =0， ∴定点Q 的坐标为(−3,0).…(10分)(3)∵OM//l ，∴OM 的方程可设为y =kx ，由{x 216+y 212=1y =kx ，得M 点的横坐标为x =√3√4k 2+3，…(12分) 由OM//l ，得AD+AE OM =|x D −x A |+|x E −x A ||x M |=x D −2x A |x M | =−16k 2+124k 2+3+84√32=√3⋅2√4k 2+3(14分) =√3(√4k 2+3+√4k 2+3≥2√2，当且仅当√4k 2+3=√4k 2+3即k =±√32时取等号， ∴当k =±√32时，AD+AE OM 的最小值为2√2. …(16分)【解析】(1)由椭圆的离心率和左顶点，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程．(2)直线l 的方程为y =k(x +4)，与椭圆联立，得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．(3)OM 的方程可设为y =kx ，与椭圆联立得M 点的横坐标为x =√3√4k 2+3，由OM//l ，能求出结果． 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等比数列中，，，则该数列的公比q为A. 2B. 1C.D.【答案】D【解析】解：等比数列中，，，该数列的公比．故选：D．根据等比数列的通项公式，利用，即可求出q的值．本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为抛物线的准线方程为，则由题意知，点是双曲线的左焦点，所以，又双曲线的一条渐近线方程是，所以，解得，，所以双曲线的方程为．故选：B．由抛物线标准方程易得其准线方程为，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x 轴上，则双曲线的左焦点为，此时由双曲线的性质可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为，可得，则得a、b 的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质．3.在三棱柱中，D是的中点，F是的中点，且，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，，，，故选：A．根据向量加法的多边形法则可得，，从而可求，．本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．4.已知点在函数的图象上，则数列的前n项和的最小值为A. 36B.C. 6D.【答案】B【解析】解：点在函数的图象上，则，，当时，取得最小值为．故选：B．点在函数的图象上，的，，由二次函数性质，求得的最小值本题考查了等差数列前n项和的最小值，属于基础题．5.“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：若方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得，即“”是“方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆方程的性质是解决本题的关键．6.下列结论错误的是A. 命题p：“，使得”，则￢：“，”B. “”是“”的充分不必要条件C. 等比数列2，x，8，中的D. 已知a，，，则的最小值为8．【答案】D【解析】解：对于命题p：，，则￢：，使得，正确；对于B，“”“，或”，故“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于C，等比数列2，x，8，中的，正确；对于D，由于a，，，则，当且仅当时，，取等号，所以D不正确．故选：D．对于A：利用命题的否定定义即可得出；根据充要条件的定义，可判断B；利用等比数列的通项公式求解即可判断C的正误；所求式子乘以1，而1用代换；判断D的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，命题的否定，充要条件等知识点，难度中档．7.若不等式对于一切恒成立，则a的最小值是A. 0B.C.D.【答案】C【解析】解：不等式对于一切恒成立，即有对于一切恒成立．由于的导数为，当时，，函数y递减．则当时，y取得最小值且为，则有，解得．则a的最小值为．故选：C．由题意可得对于一切恒成立运用函数的导数判断右边的单调性，求得最小值，令不大于最小值即可．本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数有极大值和极小值B. 函数有极大值和极小值C. 函数有极大值和极小值D. 函数有极大值和极小值【答案】D【解析】解：由函数的图象可知，，，并且当时，，当，，函数有极大值．又当时，，当时，，故函数有极小值．故选：D．利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9.如图，长方体中，，点E，F，G分别是，AB，的中点，则异面直线与GF所成的角是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意：是长方体，E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，为异面直线与GF所成的角．连接，在三角形中，，，，，．，即异面直线与GF所成的角为．故选：A．异面直线所成的角通过平移相交，找到平面角，转化为平面三角形的角求解，由题意：E，F，G分别是，AB，的中点，连接，，那么就是异面直线与GF 所成的角．本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.已知a，，且，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：a，，且，设，，则，即为，由a，b为二次方程的两根，可得，解得，则的取值范围是．故选：A．a，，设，，，由a，b为二次方程的两根，运用判别式法，解二次不等式即可得到所求范围．本题考查了换元法和构造法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.已知函数的定义域为R，并且满足，且当时其导函数满足2f{{'}}(x)'/>，若则A. B.C. D.【答案】C【解析】解：函数对定义域R内的任意x都有，关于直线对称；又当时其导函数满足，当时，，在上的单调递增；同理可得，当时，在单调递减；，，，又，，在上的单调递增；故选：C．由，可知函数关于直线对称，由，可知在与上的单调性，从而可得答案．本题考查抽象函数及其应用，考查导数的性质，判断在与上的单调性是关键，属于中档题．12.已知点，分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若，则该双曲线的离心率e的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，，得，则，则，则，，，若，则只要即可，则，即，即，则，即，则，得，，，故选：B．求出交点M，N的坐标，若，则只要即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求是解决本题的关键考查学生的转化能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则k的值为______．【答案】【解析】解：；；；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积运算．14.若“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围是______．【答案】或【解析】解：若“”是“”表示，则，，则，即实数a的取值范围是，故答案为：根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键．15.若数列的前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】解：当时，，解得当时，，整理可得，即，故数列从第二项开始是以为首项，为公比的等比数列，故当时，，经验证当时，上式也适合，故答案为：把代入已知式子可得数列的首项，由时，，可得数列为等比数列，且公比为，代入等比数列的通项公式分段可得答案．本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．16.设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则M，N两点间的距离的最小值为______．【答案】2【解析】解：当时，0'/>，函数在上单调递增．点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，即，则M，N两点间的距离为．令，，则，，故在上单调递增，故，故在上单调递增，故的最小值为，即M，N两点间的距离的最小值为2，故答案为2．求出导函数，根据题意可知，令，求出其导函数，进而求得的最小值即为M、N两点间的最短距离．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是首项为1的等比数列的前n项的和，，，成等差数列，求的值；若，求．【答案】解：由题意，，显然，分，分解得分，分，分两式相减，得分分，分分【解析】利用已知条件，列出方程求解的值；化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.已知函数在点处的切线方程是．求实数a，b的值；求函数在上的最大值和最小值其中e是自然对数的底数．【答案】解：因为，，分则，，函数在点处的切线方程为：，分直线过点，则由题意得，即，分由得，函数的定义域为，分，，0⇒x > 2'/>，在上单调递减，在上单调递增分故在上单调递减，在上单调递增，分在上的最小值为分又，，且．在上的最大值为分综上，在上的最大值为，最小值为分【解析】求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数在上的最大值和最小值．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19.如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，，点E是PD的中点．求证：平面AEC；求二面角的大小．【答案】解：平面ABCD，AB，平面ABCD，，且．以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；分证明：，0，，，，设平面AEC的法向量为，则，取，得．又2，，所以，，又平面AEC，因此：平面分平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，则，得：所以二面角的大小为分【解析】由已知得，，且以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系；设平面AEC的法向量为，由，得平面AEC 求出平面BAC的一个法向量为，由知：平面AEC的法向量为，设二面角的平面角为为钝角，，可得二面角的大小本题考查了空间线面平行的判定，及向量法求二面角，属于中档题．20.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知米，米．Ⅰ要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？Ⅱ当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【答案】解：Ⅰ设DN的长为米，则米，由得又得解得：或即DN的长取值范围是Ⅱ矩形花坛的面积为当且仅当，即时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】Ⅰ设DN的长为米，则米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．21.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．求椭圆的标准方程；是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【答案】解：抛物线的焦点是，，，又椭圆的离心率为，即，，则故椭圆的方程为；分由题意得直线l的方程为，由，消去y得，由，解得．又，．设，，则，．分，，分分若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，分解得或又，．即存在使以线段AB为直径的圆经过点分【解析】由抛物线得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由，求出b，则椭圆的方程可求；由题意得直线l的方程为，联立，消去y得，由，解得m的范围，设，，则，，求出，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m的值即可．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力和计算能力，是中档题．22.已知函数，其中e为自然对数的底数，Ⅰ判断函数的单调性，并说明理由Ⅱ若，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】解：Ⅰ由，得，当时，，为R上的减函数；当时，令，得，若，则，此时为的单调减函数；若，则，此时为的单调增函数．综上所述，当时，为R上的减函数；当时，若，为的单调减函数；若，为的单调增函数．Ⅱ由题意，，不等式恒成立，等价于恒成立，即，恒成立．令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值．由，函数在上单调递减，令，，．在上也是减函数，在上也是减函数，在上的最大值为．故，不等式恒成立的实数a的取值范围是．【解析】Ⅰ求出原函数的导函数，然后对a分类，当时，，为R上的减函数；当时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；Ⅱ，不等式恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立令，则问题等价于a不小于函数在上的最大值，然后利用导数求得函数在上的最大值得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，训练了利用分离变量法求函数的最值，是中档题．。
天津市滨海新区2019年数学高二年级上学期期末检测试题
天津市滨海新区2019年数学高二年级上学期期末检测试题一、选择题1．已知0.6222,log 3,log sin 5a b c ππ===，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<2．某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ） A ．68种 B ．70种 C ．240种 D ．280种 3．已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4．先后掷一颗质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）两次，落在水平桌面上后，记正面朝上的点数分别为,m n ，记事件A 为“m n +为偶数”，事件B 为“,m n 中有偶数且m n ≠”，则概率(|)P B A =（ ） A ．13B ．12C ．16D ．145．已知全集U =R ，集合2{|5140}A x x x =--<，{|33}B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A.(3,2]--B.(2,3]-C.(2,3]D.[3,7)6．下列结论成立的是( ) A ．若ac bc >，则a b > B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若a b >，c d >，则a d b c ->-7．若对任意的x ∈R ，关于x 的不等式|||214|x x m +--≥恒成立，则实数m 的取值范围为 A.(,1]-∞- B.5(,]2-∞- C.9(,]2-∞-D.(,5]-∞-8．观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是（ ）①正方体 ②圆锥 ③正三棱柱 ④正四棱锥 A.①②B.②④C.①③D.①④9．某射手每次射击击中目标的概率为p ，这名射手进行了10次射击，设X 为击中目标的次数，1.6DX =，(=3)(=7)P X P X <，则p =A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.210．设m 、n 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若//m α，n α⊂，则//m n B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m n ⊥，n α⊂，则m α⊥D ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥11．若0.33a =，log 3b π=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ）A.34B.78C.1516D.3132二、填空题 13．命题“，”的否定是___________.14．15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小是__________。
2019-2020年高二上学期期末考试试卷数学(理)含答案
秘密★启用前2019-2020年高二上学期期末考试试卷数学（理）含答案数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆22143xy的焦距为（）A.1B.2C.3D.4 2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A.2B.3 C.4 D.3.已知圆22:440C xy ax y 的圆心C 在直线20xy上，则实数a 的值为（）A.1B.1C.2 D.24.已知实数,x y 满足2000xy x y，则2zx y 的最大值为（）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（）A.x R ，都有210xB.平面直角坐标系中任意直线都有斜率C.aR ，使得21aD.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（）A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面的距离都相等”是“平面//ABC 平面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC 所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂直，1OA OC ，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥OABC 的体积为1412，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（）A.66B.33C.12D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCDA BC D 中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（）A.55B.255C.52D.5410.（原创）已知点M 是双曲线22:1C xy上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（）A.34B.23C.13D.1211.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（）种A.2880B.2156C.3040D.354412.（原创）已知抛物线2:4(0)ypx p ，AB 为过抛物线焦点的弦，AB 的中垂线交OACBE抛物线于点,C D 。
2019-2020学年天津市滨海新区高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4}，{1A =，3}，{1B =，4}，则()(U A B =⋂ð ) A ．{2，3}B ．{3}C ．{1}D ．{1，2，3，4}2．（5分）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 3．（5分）命题“(1,)x ∃∈+∞，213x x +…”的否定是( ) A ．(x ∀∈-∞，1]，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +… C ．(x ∃∈-∞，1]，213x x +…D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>4．（5分）“1x >”是“21x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）在下列区间中，函数()3f x lnx x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．（5分）若0.43.3a =， 3.3log 0.2b =， 3.3log 2.8c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是()A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>7．（5分）为了得到函数3sin(2)5y x π=-的图象，只需把函数3sin()5y x π=-的图象上所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 8．（5分）下列命题为真命题的是( ) A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则2a ab <D ．若0a b <<，则11a b<9．（5分）已知[0x ∈，2]( ) A ．8B ．2C ．1D ．010．（5分）给定函数2()f x x =，()2g x x =+，对于x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为(){()M x max f x =，()}g x ，则()M x 的最小值为( ) A ．1-B ．1C ．2D ．411．（5分）已知函数32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+⎩…，()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1x ∈-，1]，总存在2[1x ∈-，1]使得12()()f x g x …成立，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，2]B ．2(0,]3C ．(0，3]D ．(1，2]12．（5分）已知函数()3cos()(0f x x ωϕω=-+>，0)ϕπ<<是奇函数，将()f x 图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在区间[,]62ππ上是单调递增的，且2()()()236g g g πππ==-，某同学得出：①()g x 在区间713[,]1212ππ上是单调递减；②3()32g π=；③53π是()g x 的一个零点；④θ的最小值为23π．上述四个结论正确的是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④二．填空题（共8小题）13．（5分）计算：22cos 15sin 15︒-︒= ． 14．（5分）不等式(3)(5)0x x -+<的解集为 ． 15．（5分）若2sin 3α=，则sin()πα-= ． 16．（5分）已知函数2()28f x x kx =--在区间[3，)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 ．17．（5分）已知2lg a =，3lg b =，则3log 12= ．18．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0，)+∞上是增函数，若(tan(55))a f =-︒，(tan 47)b f =︒，c f =（1），则用“<”将a ，b ，c 从小到大排序为 ．19．（5分）发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成，某农村电商结合自己出售的商品，要购买3000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒．经过市场调研．此类包装盒按面积计价，每平方分米的的价格y （单位：元）与订购数量x （单位：个）之间有如下关系：0.011,100020000.01,200040000.009,4000x y x x <⎧⎪=<⎨⎪⎩………（说明：商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和），则该电商购入3000个包装盒至少需要 元．20．（5分）已知函数log ,01()(0,1)2,1ax m x f x a a x x +<<⎧=>≠⎨-+⎩…定义域内单调递减，若|(2)|f m f >（a ），则实数m 的取值范围是 ． 三．解答题（共4小题）21．（12分）已知3cos ,(,0)52παα=∈-．（1）求sin α和tan α定义域； （2）求sin()3πα+的值．22．（12分）已知函数()log (2)(0a f x x a =+>，1)a ≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若f （2）2=，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．23．（13分）已知函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+-∈，x R ∈． （1）求使得()f x 的最大值及时x 的集合； （2）求()f x 在[0，]π上的单调减区间；（3）若方程()f x a =在[0,]2x π∈上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．24．（13分）已知函数()(1)x g x a a =>，且1()()()tf xg x g x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求实数t 的值并判断函数()f x 的单调性（不需要证明）；（2）关于x 的不等式2()(4)0f x bx f x ++->在(0,)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若1()(2)[(2)]2()h x g x g x mf x -=+-在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x，求证：m >且12log (2a x x +>+．2019-2020学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（5分）已知集合{1U =，2，3，4}，{1A =，3}，{1B =，4}，则()(U A B =⋂ð ) A ．{2，3}B ．{3}C ．{1}D ．{1，2，3，4}【解答】解：{1U =，2，3，4}，{1B =，4}， {2U B ∴=ð，3}，又{1A =，3}，(){3}U AB ∴=ð，故选：B ．2．（5分）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π 【解答】解：函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为：22ππ=．故选：C ．3．（5分）命题“(1,)x ∃∈+∞，213x x +…”的否定是( ) A ．(x ∀∈-∞，1]，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +… C ．(x ∃∈-∞，1]，213x x +…D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“(1,)x ∃∈+∞，213x x +…”的否定是：(1,)x ∀∈+∞，213x x +>． 故选：D ．4．（5分）“1x >”是“21x >”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“1x >” ⇒ “21x >”，而“21x >”推不出“1x >”，所以“1x >”是“21x >”充分不必要条件． 故选：A ．5．（5分）在下列区间中，函数()3f x lnx x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解答】解：()3f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数f （1）20=-<，f （2）210ln =-<，f （3）30ln =>f ∴（2）f （3）0<，根据零点存在性定理，可得函数()3f x lnx x =+-的零点所在区间为(2,3) 故选：C ．6．（5分）若0.43.3a =， 3.3log 0.2b =， 3.3log 2.8c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是()A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【解答】解：0.403.3 3.31>=， 3.3 3.3log 0.2log 10<=， 3.3 3.3 3.30log 1log 2.8log 3.31=<<=， a c b ∴>>．故选：D ．7．（5分）为了得到函数3sin(2)5y x π=-的图象，只需把函数3sin()5y x π=-的图象上所有的点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 【解答】解：由于变换前后，两个函数的初相相同，所以3sin()5y x π=-在纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍得到函数3sin(2)5y x π=-的图象． 故选：B ．8．（5分）下列命题为真命题的是( ) A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则2a ab <D ．若0a b <<，则11a b< 【解答】解：由于0a b >>，所以22a b >，故选项B 正确．对于选项A ，当0c =时，不成立． 选项CD 不等号需要改变． 故选：B ．9．（5分）已知[0x ∈，2]( ) A ．8 B ．2C ．1D ．0【解答】解：[0x ∈，2]，(0,2)x ∴∈，则20x ->，函数212x xy +-==， 当且仅当1x =时，y 取得最大值1． 故选：C ．10．（5分）给定函数2()f x x =，()2g x x =+，对于x R ∀∈，用()M x 表示()f x ，()g x 中较大者，记为(){()M x max f x =，()}g x ，则()M x 的最小值为( ) A ．1-B ．1C ．2D ．4【解答】解：由题意，函数()M x 的图象为函数()f x 与函数()g x 的图象取两者位于上面的部分，如下： 由图可知，函数()M x 的最小值为1． 故选：B ．11．（5分）已知函数32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+⎩…，()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1x ∈-，1]，总存在2[1x ∈-，1]使得12()()f x g x …成立，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，2]B ．2(0,]3C ．(0，3]D ．(1，2]【解答】解：[1x ∈-，0)，()f x 单调递减，()(2f x ∈，3]，[0x ∈，1]，()f x 单调递减，()[2f x ∈，3]，[1x ∴∈-，1]，()[2f x ∈，3]，即()3max f x =，而()52(0)g x kx k k =+->，[1x ∈-，1]，()g x 单调递增，所以()max g x g =（1）525k k k =+-=-， ∴由题意得：35k -…，解得：02k <…， 故选：A ．12．（5分）已知函数()3cos()(0f x x ωϕω=-+>，0)ϕπ<<是奇函数，将()f x 图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在区间[,]62ππ上是单调递增的，且2()()()236g g g πππ==-，某同学得出：①()g x 在区间713[,]1212ππ上是单调递减；②3()32g π=；③53π是()g x 的一个零点；④θ的最小值为23π．上述四个结论正确的是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①④【解答】解：因为函数()3cos()(0f x x ωϕω=-+>，0)ϕπ<<是奇函数，所以(0)3c o s f ϕ=-=，则2πϕ=，则()3cos()3sin 2f x x x πωω=-+=；根据题意()3sin ()3sin()g x x x ωθωωθ=+=+．函数()g x 在区间[,]62ππ上是单调递增的，且2()()()236g g g πππ==-，(3π∴，0)是()g x 的一个中心，712x π=是一条轴， 故周期为74()123πππ⨯-=，2ω∴=． ()3sin(22)g x x θ∴=+，又77()3sin(2)3126g ππθ=+=， ∴3πθ=-，2()3sin(2)3g x x π∴=-， 对于①，713[,]1212x ππ∈时，232[,]322x πππ-∈，[2π，3]2π是sin y x =的单调递减区间，故正确； 对于②，37()3sin 323g ππ=≠，故错； 对于③，58()3sin 033g ππ=≠，故错； 对于④，θ的最小值为23π，正确． 故选：D ．二．填空题（共8小题）13．（5分）计算：22cos 15sin 15︒-︒=． 【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=．． 14．（5分）不等式(3)(5)0x x -+<的解集为 (5,3)- ． 【解答】解：由不等式(3)(5)0x x -+<， 得53x -<<，所以该不等式的解集为(5,3)-． 故答案为：(5,3)-． 15．（5分）若2sin 3α=，则sin()πα-= 23 ． 【解答】解：2sin 3α=， 2sin()sin 3παα∴-==． 故答案为：23． 16．（5分）已知函数2()28f x x kx =--在区间[3，)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 (-∞，12] ．【解答】解：由于函数2()28f x x kx =--在区间[3，)+∞上单调递增， 所以34k…，解得12k …．故答案为：(-∞，12]．17．（5分）已知2lg a =，3lg b =，则3log 12=2a bb+ ．【解答】解：2lg a =，3lg b =， 3122232log 1233lg lg lg a blg lg b++∴===． 故答案为：2a bb+． 18．（5分）定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0，)+∞上是增函数，若(tan(55))a f =-︒，(tan 47)b f =︒，c f =（1），则用“<”将a ，b ，c 从小到大排序为 c b a << ． 【解答】解：偶函数()f x 在区间[0，)+∞上是增函数，根据偶函数的对称性可知，()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，距离对称轴越远，函数值越大， tan55tan471︒>︒>，又(tan(55))(tan55)a f f =-︒=︒，(tan 47)b f =︒，c f =（1） c b a ∴<<．故答案为：c b a <<．19．（5分）发展农村电商是“乡村振兴计划”的重要组成，某农村电商结合自己出售的商品，要购买3000个高为2分米，体积为18立方分米的长方体纸质包装盒．经过市场调研．此类包装盒按面积计价，每平方分米的的价格y （单位：元）与订购数量x （单位：个）之间有如下关系：0.011,100020000.01,200040000.009,4000x y x x <⎧⎪=<⎨⎪⎩………（说明：商家规定每个纸盒计费面积为六个面的面积之和），则该电商购入3000个包装盒至少需要 1260 元．【解答】解：由题意，设长方体纸质包装盒的长为a 分米，宽为b 分米，则 218ab =，故9ab =．()()222418S ab a b a b =++=++表． 设总费用为W ，则30000.01W S =⨯⨯表[4()18]30a b =++⨯[4218]30ab +⨯…[42318]30=+⨯1260=．当且仅当3a b ==时，等号成立．故答案为：1260．20．（5分）已知函数log ,01()(0,1)2,1ax m x f x a a x x +<<⎧=>≠⎨-+⎩…定义域内单调递减，若|(2)|f m f >（a ），则实数m 的取值范围是 (3,)+∞ ． 【解答】解：因为函数()f x 在定义域内单调递减，则有01a <<，且l o g 11a m +…，则1m …； 作出函数()f x 的图象如图：因为|(2)|f m f >（a ）log 1a a m m =+=+，又因为1m …，所以22m …时， 且(2)220f m m =-+…，则221m m ->+，解得3m >， 故答案为(3,)+∞三．解答题（共4小题）21．（12分）已知3cos ,(,0)52παα=∈-．（1）求sin α和tan α定义域； （2）求sin()3πα+的值．【解答】解：（1）由3cos ,(,0)52παα=∈-，∴4sin 5α==- ∴sin 4tan cos 3ααα==-（2）413sin()sin cos cos sin 333525πππααα+=+=-⨯+=22．（12分）已知函数()log (2)(0a f x x a =+>，1)a ≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若f （2）2=，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明；（3）解关于x 的不等式()0f x >．【解答】解：（1）由题意：20x +>，解得：2x >-， 则函数的定义域为：{|2}x x >- （2）因为f （2）2=， 所以2log 4a =，22()log (2)a f x x ∴=∴=+，函数()f x 在(2,)-+∞上单调递增．设1x ，2(2,)x ∈-+∞，且122x x -<<， 则1122122222()()log (2)log (2)log 2x f x f x x x x +-=+-+=+， 111212222222,0221log 022x x x x x x x x ++-<<∴<+<+∴<∴<++ 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x 在(2,)-+∞上单调递增， （3）由题意log (2)0a x +>，即log (2)log 1a a x +> 当01a <<时，221x x >-⎧⎨+<⎩，解得：21x -<<-；当1a >时，221x x >-⎧⎨+>⎩，解得：1x >-，综上所述：当01a <<时，不等式的解集为{|21}x x -<<-； 当1a >时，不等式的解集为{|1}x x >-．23．（13分）已知函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+-∈，x R ∈． （1）求使得()f x 的最大值及时x 的集合； （2）求()f x 在[0，]π上的单调减区间；（3）若方程()f x a =在[0,]2x π∈上有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）函数2()2sin cos 1,f x x x x x R =+-∈，整理得：()1cos2212sin(2)6f x x x x π=--=-设26x t π-=，函数取得最大值的集合为{|2,}2t t k k Z ππ=+∈∴2262t x k πππ=-=+，解得：3x k ππ=+所以使得()f x 的最大值及时x 的集合为：{|,}3x x k k Z ππ=+∈．（2）设112,[0,],26666x t x x πππππ-=∈∴-<-<， 函数11sin ,(,)66y t t ππ=∈-的单调减区间是3(,)22ππ即32262x πππ<-<，解得536x ππ<<， 所以函数()f x 的单调减区间是5(,)36ππ．（3）由（2）可知()f x 在(0,)3π上单调递增，在(,)32ππ上单调递减且(0)1,()2,()132f f f ππ===若方程()f x a =在[0,]2x π∈上有两个不同的实数解，则[1a ∈，2)．24．（13分）已知函数()(1)x g x a a =>，且1()()()tf xg x g x +=+是定义在R 上的奇函数．（1）求实数t 的值并判断函数()f x 的单调性（不需要证明）；（2）关于x 的不等式2()(4)0f x bx f x ++->在(0,)+∞上恒成立，求实数b 的取值范围；（3）若1()(2)[(2)]2()h x g x g x mf x -=+-在(0,)+∞上有两个零点1x ，2x ，求证：m >且12log (2a x x +>+．【解答】解：（1）由题意1()x xtf x a a +=+是定义在R 上的奇函数 所以(0)0f =，所以1(1)0t ++=，即2t =- 经检验，2t =-是()f x 是奇函数（不写不减分） 由题意得：1()x x f x a a=-，因为1a >，()f x 是R 上的增函数． （2）因为奇函数()f x 是定义域在R 上的增函数又222()(4)0()(4)4f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>- 即41b x x>--+在(0,)+∞上恒成立，由基本不等式，当且仅当2x =时，41x x --+取得最大值3-所以3b >-，则实数b 的取值范围为(3,)-+∞． （3）由题意：2221111()2()()2()2x x x xx x x xh x a m a a m a a a a a =+--=---+ 令1,(0,),(0,)x xu a x u a =-∈+∞∴∈+∞则2()22p u u mu =-+在(0,)+∞有两个不相等的零点，函数的对称轴是200(0)0(0)20()0()20m m u m p p p m p m m >>⎧⎧⎪⎪=∴>⇒=>⎨⎨⎪⎪<=-+<⎩⎩解得：m 设1u ，2u 是方程2220u m u -+=的两个不等的正实数根12122u m u m u u ==∴=，又12121211,x x x x u a u a a a =-=-， ∴21121212121212111()()()2x x x x x x x x x x x x a a u u a a a a a a a a =--=+-+=，由基本不等式211212,2x x x x a a x x a a≠∴+>，∴121212122122,()410x x x x x x x x a a a a++++<+-∴-+>，解得：122x x a +<122x x a +>1212120,1,1,2x x x x x x a a a +++>>∴>∴>+，121,log (2a a x x >∴+>+，所以：m12log (2a x x +>．。
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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！天津市滨海新区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题一．选择题（共12小题）1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于()A．1i --B．1i -+C．1i -D．1i+2．“(2,)x ∀∈+∞，220x x ->”的否定是()A．0(2,)x ∃∈+∞，20020x x -≤B．(2,)x ∀∈+∞，220x x -≤C．0(,2)x ∃∈-∞，20020x x -≤D．(,2)x ∀∈-∞，220x x ->3．若a ，b ，c R ∈，且a b >，则下列结论一定成立的是()A．ac bc >B．11a b<C．22a b >D．a c b c->-4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若312,12a S ==，则6a =()A．8B．10C．12D．145．已知等比数列{}n a 中，11a =，且4581258a a a a a a ++=++，那么5S =()A．31B．32C．63D．646．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为()A．24里B．12里C．6里D．3里7．已知双曲线22211643x y m m -=+-的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．53±B．35±C．54±D．45±8．“b 是1与1-b 是2+与2-()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．若正数x ，y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是()A．2B．4C．D．10．已知双曲线22221(0,0)y a x b a b -=>>的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为()A．22143x y -=B．22134x y -=C．2211612x y -=D．2211216x y -=11．若0a >，0b >，31a b +=，11a a b++则的最小值为()A．8B．7C．6D．512．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点．且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A．2B．4二．填空题（共8小题）13．已知复数(z i i =-为虚数单位），则||z =．14．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =- ，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，则z 等于．15．不等式302x x -<+的解集为．16．已知数列{}n a 满足11a =，*1()n n a na n N +=∈，则34a a +=．17．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是AB 的中点，求1DB 与CE 所成角的余弦值为．18．直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点(1,0)F ，且与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点的纵坐标2，则p =，直线l 的方程为．（本题第一空2分，第二空3分）19．已知{|11}x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立的实数m 的取值集合为M ，不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，则a 的取值范围是．20．给出下列四个命题①已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，则12PF F ∆的周长是8；②已知M 是双曲线22145x y -=上任意一点，F 是双曲线的右焦点，则||1MF ；③已知直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，且l 与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，则121240x x y y +=；④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点1F ，2F 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，若静放在点1F 的小球（小球的半径忽略不计）从点1F 沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点1F 时，小球经过的路程恰好是4a ．其中正确命题的序号为（请将所有正确命题的序号都填上）三．解答题（共4小题）21．（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，74=9S a +且有1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．22．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，O 为AD 中点，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）证明：直线//AB 平面PCO ；（2）求二面角P CD A --的余弦值；（3）在棱PB 上是否存在点N ，使AN ⊥平面PCD ，若存在，求线段BN 的长度；若不存在，说明理由．23．（本题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2(*)2n n n S n N +=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(1)n a n n n n b a a =+-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．24．（本题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点到焦点的距离为2，离心率为2．（1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点．（ⅰ）若1k =，求OAB ∆面积的最大值；（ⅱ）若22PA PB +的值与点P 的位置无关，求k 的值．滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高二年级数学参考答案一．选择题（共12小题）123456789101112BADCAABABCAD二．填空题（共8小题）13.214.—915.(2,3)-16.817.1518.2；10x y +-=19.19(,)(,)44-∞-+∞ 20.②③三．解答题（共4小题）21．【解答】（本小题满分12分）解：（1）{}n a 为公差d 不为零的等差数列，其中1a ，4a ，5a 成等比数列，可得24113a a a =，即2111(3)(12)a d a a d +=+，可得123d a =，又74=9S a +，∴114669a d a d +=++，即1=3a ∴2d =，即21n a n =+，*n N ∈；（2）由（1）可得(321)(2)2n n nS n n ++==+∴11111=((2)22n S n n n n =-++，前n 项和：111111111111(1)232435*********(1)22123123=42(1)(2)n T n n n n n n n n n =-+-+-+-+⋯+-+--++=+--+++-⋅++．22．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：在平面ABCD 中，AC CD = ，O 为AD 的中点，CO AD ∴⊥，由AB AD ⊥，//AB CO ∴，AB ⊂/ 平面PCO ，CO ⊂平面PCO ，∴直线//AB 平面PCO ；（2）解：PA PD = ，PO AD ∴⊥．又PO ⊂ 平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ．CO ⊂ 平面ABCD ，PO CO ∴⊥．AC CD = ，CO AD ∴⊥，如图建立空间直角坐标系O xyz -．由题意得，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)，(2C ，0，0)，(0D ，1-，0)，(0P ，0，1)．(0,1,1)PD =-- ，(2,0,1)PC =-．设平面PCD 的法向量为(n x =，y ，)z ，则020n PD y z n PC x z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩ ，令2z =，则1x =，2y =-．∴(1n = ，2-，2)．又平面ABCD 的法向量为(0OP =，0，1)，22cos ,313||||n OP n OP n OP ∴<>===⨯．∴二面角P CD A --的余弦值为23；（3）解：若存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ，则存在[0λ∈，1]使得(1,1,1)(,,)BN BP λλλλλ==--=--，因此(1,0,0)(,,)(1,,)AN AB BN λλλλλλ=+=+--=--．AN ⊥ 平面PCD ，由（2）得平面PCD 的法向量为(1n =，2-，2)．∴//AN n ，即1122λλλ--==-．解得2[03λ=∈，1]，∴存在点N 是棱PB 上一点，使AN ⊥平面PCD ，此时2||||3BN BP ==．23．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由2(*)2n n nS n N +=∈，得111a S ==．当2n 时，221(1)(1)22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=．11a =适合上式，n a n ∴=；（2）2(1)2(1)n a n n n n n n b a a n n =+-=⋅+-⋅⋅，设数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则12322(121)(222)(323)(222)n n T n n =⨯-+⨯++⨯-+⋯+⨯+232(12223222)[123(21)2]n n n n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+-+-+⋯--+设1232212223222n n n A =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯①则234212122232222n n n A +=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯②①-②得：234221222121212(222222)2=22=2(12)12222n n n n n n A n n n ++++--⨯-+-⨯-+--=++++⋯+．所以2122(21)2n n n A +=+-；则2122[123(21)2]=2(21)2n n n T A n n n n +=+-+-+⋯--++-+24．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由题设知2a =，2c e a ==，所以c =，故2431b =-=．因此，2a =，1b =．⋯（2分）（2）()i 由（1）可得，椭圆C 的方程为2214x y +=．设点(P m ，0)(22)m - ，点1(A x ，1)y ，点2(B x ，2)y ．若1k =，则直线l 的方程为y x m =-．联立直线l 与椭圆C 的方程，即2214y x mx y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩．将y 消去，化简得2252104x mx m -+-=．解得12(21)5m x =，22(21)5m x =，从而有，1285m x x +=，2124(1)5m x x -= ，而11y x m =-，22y x m =-，因此，||AB ====，点O 到直线l的距离d =，所以，1||||2OAB S AB d m ∆=⨯⨯=，因此，24(25OAB S ∆=22222455)()1252m m m m -+-⨯= ．又22m - ，即2[0m ∈，4]．所以，当225m m -=，即252m =，m =OAB S ∆取得最大值1（ⅱ）设直线l 的方程为()y k x m =-．将直线l 与椭圆C 的方程联立，即22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩．将y 消去，化简得22222(14)84(1)0k x mk x k m +-+-=，解得，2122814mk x x k +=+，221224(1)14k m x x k -=+ ．所以2222221122()()PA PB x m y x m y +=-++-+22212123()2()224x x m x x m =+-+++2422222(862)(14)(88)(14)m k k k k k --++++=+(*)．因为22PA PB +的值与点P 的位置无关，即(*)式取值与m 无关，所以有428620k k --+=，解得12k =±．所以，k 的值为12±．。