高中数学选修2-3说课稿组合说课稿

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新人教B版高中数学(选修2-3)1.2.2《组合》word教案

1．2．2组合课标要求：知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课课时安排：2课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同m n C的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ （,,m n N m n *∈≤）6阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!1=．7．排列数的另一个计算公式：m n A =!()!n n m - 8.提出问题：示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：组合．．．二、讲解新课：1组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？（2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abd cba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.三、讲解范例：例2．用计算器计算710C ．解：由计算器可得例3．计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解： 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例4．求证：11+⋅-+=m n m n C m n m C ．证明：∵)!(!!m n m n C m n -= 111!(1)!(1)!m n m m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+-- ＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+--- ＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m n m n C mn m C 例5．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．例6．一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）.例7．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 2101094512C ⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）.例8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 31001009998123C ⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种） .解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

人教课标版高中数学选修2-3《组合(第2课时)》教案-新版

1.2.2 组合（第2课时）一、教学目标【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力．【学习目标】（1）掌握组合数的性质（2）解答涉及到组合问题的应用题【学习重点】通过实例，理解组合数的性质并能解决简单的实际问题【学习难点】组合数性质的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 默写组合数公式的具体内容任务2 回忆组合数的推导过程整理组合的应用方法 2．预习自测1.计算：69584737C C C C +++；【知识点：组合数的性质】解：原式4565664889991010210C C C C C C C =++=+===；2.求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．【知识点：组合数的性质】解：（2）右边1121112()()n n n n n n nm m m m m m m C C C C C C C ----+++=+++=+=左边（二）课堂设计问题探究一 ●活动一组合数的性质推导 1：m n nm n C C -=．一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：m n n m n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=-又)!(!!m n m n C m n -=，∴mn n m n C C -=说明：①规定：10=n C ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2nm >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④yn x n C C =y x =⇒或n y x =+． 2．m n C 1+＝m n C +1-m n C ．一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m个元素组成的，共有mn C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n mn C 1+=∴m n C 1+＝m n C +1-m n C ．说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）5638=C ,或=38C +27C 37C ，；（2）2127=C ；（3）3537=C ．点拨：区分排列与组合例2．解方程：（1）3213113-+=x x CC；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．【知识点：组合数的性质】解：（1）由原方程得123x x +=-或12313x x ++-=，∴4x =或5x =，又由111312313x x x N *⎧≤+≤⎪≤-≤⎨⎪∈⎩得28x ≤≤且x N *∈，∴原方程的解为4x =或5x =点拨：上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把4x =和5x =代入检验,这样运算量小得多.（2）原方程可化为2333110x x x C A -++=，即5333110x x C A ++=，∴(3)!(3)!5!(2)!10!x x x x ++=-⋅，∴11120(2)!10(1)(2)!x x x x =-⋅-⋅-，∴2120x x --=，解得4x =或3x =-，经检验：4x =是原方程的解点拨：组合数中含参数，要注意参数范围问题探究二1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复．计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理． 3．考查顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属于排列问题．4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，有时“定位置选元素”．例3．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件. (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有31001009998123C⨯⨯=⨯⨯= 161700 （种）.(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有298C 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有12298C C ⋅=9506(种). (3）解法 1 从100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有12298C C ⋅种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有12298C C ⋅+21298C C ⋅=9 604 （种）解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即3310098C C -=161 700-152 096 = 9 604 （种）. 点拨：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解. 3．课堂总结【知识梳理】1掌握组合数性质m n n m n C C -=和m n C 1+＝m n C +1-m n C ，为解题提供方便2区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．【重难点突破】写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏．当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价转化，使问题变得简单、明朗. 4．随堂检测1．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数的性质】解：C2从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45【知识点：排列组合，古典概型】解：C 如图，基本事件共有25C ＝10个，小于正方形边长的事件有OA 、OB 、OC 、OD 共4个，∴P ＝1－410＝35. 3．222223416C C C C ++++…等于( )A ．215CB ．316C C ．317CD ．417C【知识点：组合数的性质】解：C 原式＝222223416C C C C ++++…＝3224416C C C +++…＝3225516C C C +++…＝…＝321616C C +＝317C .4.从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的有多少个？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：方法一：（直接法）满足条件的五位数有两类：第一类：万位数大于1，这样的五位数共有498A ⨯个；第二类：万位数为1，千位数不小于3，这样的五位数共有387A ⨯个．根据分类计数原理，大于13000的五位数共有498A ⨯+38726544A ⨯=个．方法二：（间接法）由0，1，2，…，9这10个数字中不同的5个数字组成的五位数共有499A 个，其中不大于13000的五位数的万位数都是1，且千位数小于3，这样的数共有382A 个，所以，满足条件的五位数共有43989226544A A -=个． 5.有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：法一：先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙．根据乘法原理，不同的选法共有2111087C C C ＝2 520种．法二：先从10人中选出2人承担任务甲，再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙．根据乘法原理，不同的选法共有22108C A ＝2 520种．【易错剖析】本题易出现如下错解：错解一：分3步完成：第一步，从10人中选出4人，有410C 种方法．第二步，从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法．第三步，剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法．根据乘法原理，不同的选法共有4221042C A A ＝5 040 种．错解二：分3步完成，不同的选法共有4221042C C C ＝1 260 种．错解一的错因是：“排列”“组合” 概念混淆不清．承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应改为24C .错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即22C 应改为22A . （三）课后作业基础型自主突破1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．70 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 先分组再排列，一组2人一组4人有26C ＝15种不同的分法；两组各3人共有3622C A ＝10种不同的分法，所以乘车方法数为(15＋10)×2＝50，故选B ．2．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 解法1：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有13132333C C C A ＝36种选派方案． ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有222332C A A ＝36种选派方案，综上可得，共有36＋36＝72种不同的选派方案，解法2：从甲、乙以外的三人中选一人从事A 工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有1334C A ＝72种选法． 3．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．12 D ．38【知识点：排列组合，古典概型】解：C 由这两张卡片排成的两位数共有6个，其中奇数有3个，∴P ＝36＝12.4．男、女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )A ．2人或3人B ．3人或4人C ．3人D ．4人【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得218n n C C ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．能力型师生共研5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )A ．45种B ．36种C ．28种D ．25种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 因为10级台阶走8步，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么只需从8步中选取2步，这两步中每一步上两个台阶即可，共有28C ＝28种选法．6．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A 、B 、C 、D 中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A ．72种B ．48种 D ．12种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 解法1：(1)4种颜色全用时，有44A ＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A 、B 、C 中，有34A 种涂法，然后涂D ，D 可以与A (或B )同色，有2种涂法，∴共有234A ＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．解法2：涂A 有4种方法，涂B 有3种方法，涂C 有2种方法，涂D 有3种方法，故共有4×3×2×3＝72种涂法．7．用1、2、3、4、5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1、3、5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________(注：用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：48 按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个；②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个数字，所以满足条件的五位数有22232A A ＝24个；③当2出现在第4位时，即00020，则第5位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有122322C A A ＝12个．综上，共有12＋24＋12＝48个． 8．高三某学生计划报名参加某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校，那么该学生不同的报考方法有________种．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：25 报考学校甲的方法有35C ，报考学校乙的方法有35C ，甲、乙都不报的方法有45C ，∴共有352C ＋45C ＝25种．9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：1080 先将6名志愿者分为4组，共有226422C C A 种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有44A 种分法，故所有分配方案有：22464422C C A A ＝1 080种10．已知集合A ＝{5}，B ＝{1,2}，C ＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36【知识点：排列组合，分步计数原理，分类计数原理数学思想：分类讨论】解：A ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有1323C A ＝12个； ②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有1323C A ＋33A ＝18个； ③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有13C ＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A ．探究型多维突破11．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有( )A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种【知识点：分步计数原理】解：D 按第二天到第七天选择持平次数分类得642222033662642663C C A C C C C C C +++＝141种． 12．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )A ．50种B ．60种C ．120种D ．210种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为16C ，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有25A 种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法1265C A ＝120种，故选C ． 13. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为( )A ．360B ．520C ．600D ．720 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：C 当甲、乙两人中只有一人参加时，有134254C C A ＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有2242225423()C C A A A -＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．14. 要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_____种不同的种法(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：72 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．自助餐1．将标号为1，2，，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 2．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有44C ＝1种，取2奇数2偶数的取法有2245C C ＝60种，取4个数均为奇数的取法有45C ＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种． 3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【知识点：排列组合】解：C4 .5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )A ．45A 种B ．45种C ．54种D ．45C 种【知识点：排列组合】解：D 由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C 45种．5．将标号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A 、B 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 由题意，不同的放法共有1234C C ＝4332⨯⨯＝18种． 6.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168 【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：B 依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为3433A A ＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为332222A A A ＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.7．A ，B 两地街道如图所示，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有________种(用数字作答)．【知识点：排列组合】解：根据题意，要求从A 地到B 地路程最短，必须只向上或向右行走即可，分析可得，需要向上走2次，向右走3次，共5次，从5次中选3次向右，剩下2次向上即可，则有35C ＝10种不同的走法，故答案为10.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人．【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：140 第一步安排周六有37C 种方法，第二步安排周日有34C 种方法，所以不同的安排方案共有3374C C ＝140种． 10．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当最左端排甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有4414A C 种.故不同的排法共有55A ＋4414A C ＝120＋96＝216(种).11．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是多少？【知识点：对数运算，基本事件，排列组合，分类计数原理，数学思想：分类讨论】解：记基本事件为(a ，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lga －lgb ＝lg a b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)12．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可) (1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有6467A A 种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有99A 种排法，若甲不在末位，则甲有18A 种排法，乙有18A 种排法，其余有88A 种排法，综上共有(99A ＋18A 18A 88A )种排法．方法二：甲在首位的共有99A 种，乙在末位的共有99A 种，甲在首位且乙在末位的有88A 种，因此共有(1010A －299A ＋88A )种排法．(3)10人的所有排列方法有1010A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有101033A A 种．男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10.。

人教B版数学选修2-3第二章第三节《离散型随机变量的数学期望》说课稿

人教B版数学选修2-3第二章第三节《离散型随机变量的数学期望》说课稿各位领导，专家上午好：今天我说课的题目是《离散型随机变量的数学期望》，我将从教材分析，学情分析，教学目标，教法与学法，教学过程，评价分析这六个方面来阐述我的教学构思设计一．教材分析：《离散型随机变量的数学期望》是人教B版选修2-3第二章第三节的内容，本节之前我们学习了定理，排列组合二项式定理，离散型随机变量的分布列，二项分布，超几何分布。

这些内容是学习本节课的基础，并且为下一节学习方差打下基础，因此，本节起到承上启下的作用。

本节内容不仅是本章《概率》的重点内容，也是整个高中学段的主要研究的内容之一，更是高频考点，有着不可替代的重要作用。

通过本节学习，在概念的形成过程有利培养学生归纳概括的推理能力和学以致用的应用意识。

概念的引出使学生体验知识的发展过程，培养学生创新能力。

二．学情分析：在本节教学前，学生已经与概率，统计有广泛接触，对数学知识具备一定的运用能力。

在已掌握分布列的基础上进一步学习本节困难不大。

由于现在高中生对问题的理解能力较差，会出现有些学生只会利用公式计算期望，不理解公式含义。

会对解决实际问题造成困难。

因此在本节课教学中注重概念的理解，要让学生知其然，还要知其所以然。

三．教学目标：根据课程标准的要求，结合本节课教材及学情分析，我确定如下教学目标（1）知识与技能目标理解离散型随机变量的数学期望的定义，会求离散型随机变量的期望。

并解决实际问题。

（2）过程与方法目标通过具体实例分析，总结归纳出离散型随机变量的数学期望的概念。

体会从特殊到一般的思想，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力。

（3）情感态度价值观通过丰富的问题情境，激发学生学习数学的情感，培养其积极探索的精神。

通过实例，体验数学与日常生活的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识。

2、重点难点及确定依据本着新课程标准，在吃透教材的基础上，依据新课标和学生认知水平，我确定了如下的教学重点，难点：重点：离散型随机变量的数学期望的概念及其含义。

高中数学选修2—3全套教案

高中数学选修2—3全套教案基本计数原理（第一课时）教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课：问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。

已知当天长途车有2班，列车有3班。

问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法?第一类方法, 乘火车，有___ 种方法;第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤第一步, 由济南去天津有___种方法第二步, 由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的?1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。

1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。

高中排列说课稿

高中排列说课稿导读：高中排列说课稿1今天，我说课的题目是《排列》，选自人教版高中数学选修2—3第一章第二小节第一课时的第一节课。

一、说教材。

1、教材的地位和作用：本节课是在学习了两个计数原理的的基础上进行的。

与日常生活密切相关（如体彩，足彩等抽奖活动）。

处于一个承上启下的地位。

排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要的应用，同时排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。

这一部分内容是高考必考的内容。

2、教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构，我制定如下目标：通过教学使学生能够利用“分步计数原理”及“树形图”写出简单问题的所有排列，能够正确理解理解排列的定义，通过“框图”掌握排列数推导方法及排列数公式。

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力。

3、教材的重点、难点和关键：根据教材特点及教学目标的要求，我将教学重点确定为——排列的定义。

用分步计数原理推导排列数公式是这节课的一个难点。

同时学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的又一难点。

4、说教法学法：1、为了突出学生的主体地位，充分调动学生的积极性，本节课采用点拔式指导法和讲练结合教学法交叉进行，通过实例引出定义，再辅助相应的习题训练，在教学中把启发、诱导贯彻于教学的始终。

2、采用多媒体教具，增大教学容量和增强直观性，提高教学效率和教学质量。

二、说教学过程①、复习提问：1、什么是分类计数原理，分步计数原理？提问：（1）、这两个原理有什么异同？（2）、应用这两个原理解决问题关键在于明确什么？（设计意图：明确问题是分类还是分步）上节例9的解决方法能否简化？②、引入新课：2、实际问题1 ：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？要完成的“一件事情”是什么？（设计意图：为理解排列概念奠定基础）怎么用计数原理解决它？（设计意图：启发学生应用分步计数原理分析问题）“甲上午乙下午”与“乙上午甲下午”一样吗？（设计意图：辨析问题，在计数过程中这是两种不同的选法）列出所有选法（设计意图：验证计数原理所得结果的正确性，进一步说明用计数原理解题的可靠性）师生活动：教师引导学生使用树形图列举结果。

【备课精选】2012年高中数学苏教版选修2-3教案1.3《组合》3

(E)-1-氯-1-溴-1-丁烯
E configuration: the high-priority groups are on the opposite sides of the double-bond
Z configuration: the high-priority groups are on the same sides of the double-bond
（烯烃与卤化氢加成）
Orientation of electrophilic addition
（亲电加成的方向）
Mechanism of the Reaction（反应机理）
The stability of carbocations （碳正离子的稳定性） Carbocation Rearrangements （碳正离子的重排） Peroxide effect（过氧化物效应） (2) Addition of Sulfuric acid to Alkenes
分子的不饱和度(Degree of unsaturation) 只含碳、氢、氧、氮以及单价卤素的计算公式：
Ω＝C＋1－(X－N)/2 其中，C 代表碳原子的数目，X代表氢和卤素原子的
总数，N 代表氮原子的数目，氧和其他二价原子对
不饱和度计算没有贡献，故不需要考虑氧原子数。
这种方法只适用于含碳、氢、单价卤素、氮和氧的化合物。
(I)
(II)
(III)
(IV)
Constitutional (I)
isomers
(II) (III) (IV)
(III)
Stereoisomers
(IV)
Cis-trans isomers
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高中数学选修23教案

高中数学选修23教案【篇一：高中数学选修2-3 教案】第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有同的方法. 那么完成这件事共有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，a,b两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： a大学b大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 a , b 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 a , b 两所大学中的一所．在 a 大学中有 5 种专业选择方法，在 b 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有c大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法??在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 n=m+nn=m1+m2+???+mn种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点a爬到顶点c1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,所以, 根据加法原理, 从顶点a到顶点c1最近路线共有 n = 2 + 2 +2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 a 村去 b 村的道路有 3 条，从 b 村去 c 村的道路有 2 条，从 a 村经 b 的路线有＿条．第二课时2分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码： a1,a2,?，b1,b2,?的方式给教室里的座位编号，（2）发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有种不同的方法.（3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；种不同的选法．一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法??做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 n=m?nn=m1?m2?????mn种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图a、b、c、d四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图a、b、c、d四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种,第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是n=m1+m2+m3=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是（3）n=4?3+4?2+3?2=26。

高中数学选修2-3精品教案5：1.2.2 组合第三课时教学设计

1.2.2 组合第三课时知识与技能理解排列组合的区别和联系，综合运用排列组合解决计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为排列组合问题，利用排列、组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用排列组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：综合运用排列组合解决计数问题．教学难点：综合运用排列组合解决计数问题．教学过程典型例题类型一：排数字问题例1.(1)用0,1,2,3,4能组成多少个无重复数字的四位数？(2)这四位数中能被3整除的数有多少个？思路分析：可以从特殊元素或特殊位置入手直接分析，也可以从对立面间接排除．解：(1)直接分类法：①特殊元素分析法：分两类：选0，有A13A34＝72个；不选0，有A44＝24个．根据分类加法计数原理可得共有72＋24＝96个．②特殊位置分析法：先考虑首位，可以从1,2,3,4四个数字中任取一个，共A14种方法，再考虑其他三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个，即A34种方法．根据分步乘法计数原理共有A14A34＝96种方法，即96个无重复数字的四位数．③间接排除法：先从五个数字中任取四个排成四位数：A45，再排除不符合要求的四位数，即0在首位的四位数：A34.则共有A45－A34＝96个．(2)能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数的数．分析：因为不含0时，1＋2＋3＋4＝10,10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0，即0,1,2,3或0,2,3,4，共有2(A 44－A 33)＝36个．点评：对于有特殊元素和特殊位置的问题，往往有三种方法：特殊元素分析法、特殊位置分析法、间接排除法．巩固练习1.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列．(1)第49个数是多少？(2)23 140是第几个数？解：(1)首位是1,2,3,4组成的五位数各24个．所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数，即30 124.(2)首位为1组成A 44＝24个数；首位为2，第二位为0,1共组成2A 33＝12个数．首位为2，第二位为3，第三位为0的数共A 22＝2个；首位为2，第二位为3，第三位为1，第四位为0的数有1个，为23 104.由分类加法计数原理得：A 44＋2A 33＋A 22＋1＝39.按照从小到大的顺序排列，23 104后面的五位数就是23 140，所以23 140是第40个数．类型二：分组分配问题例2.(1)6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法：①分给甲、乙、丙三人，每人两本；②分成三份，每份两本；③分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；④分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；⑤分给5个人，每人至少一本；(2)6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本，有多少种不同的分法？思路分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列数和组合数来解决这类问题．解：(1)①分成三个步骤：第一步，选2本书分配给甲，有C 26种方法；第二步，从剩下的4本书中选2本书分配给乙，有C 24种方法；第三步，将剩下的2本书分配给丙，有C 22种方法．根据分步乘法计数原理，共有C 26C 24C 22＝90种方法．②在①的基础上去掉顺序即可，有C 26C 24C 22A 33＝15种方法． ③分成三个步骤：第一步，选1本书成为一组，有C 16种方法；第二步，从剩下的5本书中选2本书成为一组，有C25种方法；第三步，剩下的3本书成为一组，有C33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种方法．④在③的基础上，把三组书分配给三个人即可，有C16C25C33A33＝360种方法．⑤分成两个步骤：第一步，分成5组，有C26种方法；第二步，将5组分配给5个人，有A55种方法．根据分步乘法计数原理，共有C26A55＝1 800种方法．(2)分成两个步骤：第一步，分成3组，有C25种方法；第二步，将3组分配给3个人，有A33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C25A33＝60种方法．点评：在解决问题时，要先考虑分类还是分步完成，然后考虑是否有顺序，再确定方法．巩固练习2.①今有10件不同奖品，从中选6件分成三份，其中两份各1件，另一份4件，有多少种分法？②今有10件不同奖品，从中选6件分给甲乙丙三人，每人二件，有多少种分法？【答案】①.C610C46＝3 150②C610C26C24C22＝18 900.达标检测1．把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有____________种．2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为________________．3．要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为____________．(用排列数和组合数表示) 【答案】1.9 2.9 3.C38C27＋C28C37课堂小结1．知识收获：进一步复习分类加法计数原理和分步乘法计数原理以及排列、组合的概念．2．方法收获：(1)注意区别“恰好”与“至少”；(2)特殊元素(或位置)优先安排；(3)“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；(4)混合问题，先“组”后“排”．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习基础练习1．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个(用数字作答)．2．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有______种．3．从集合{O，P，Q，R，S}与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是______．【答案】1.576 2.96 3.8 424拓展练习4．某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同的派遣方案？解：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方案；③若乙参加而甲不参加，同理也有3A38种方案；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另两个城市有A28种，共有7A28种方法．所以共有不同的派遣方案总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088.设计说明本节课是排列组合复习课，目的是总结综合应用排列组合的问题和方法．特点是教师总结题目，学生在解决的过程中总结方法，举一反三，达到灵活掌握的程度．备课资料相同元素的分配问题隔板法：1.把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？解：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216＝120种．2.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C69＝84种．3.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？解：(1)先从4个盒子中选三个放置小球有C34种方法．(2)注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法．为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个、5个空档中分别插入两个板．各有C23、C24、C25种方法．(3)由分步乘法计数原理可得C34C23C24C25＝720种．。

高中数学选修2-3精品教案3：1.2.2 组合 ( 1 )教学设计

1.2.2 组合（1）教学目的：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别.3．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.举一反三、融会贯通.教学重点：组合的概念和组合数公式.教学难点：组合的概念和组合数公式.授课类型：新授课.课时安排：1课时.教具：多媒体、实物投影仪情境设置一、问题1（1）、从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？二、问题2有6本不同的书：（1）取出3本分给三个同学每人1本，有几种不同的分法？（2）取出4本给甲，有几种不同的取法？三、温故而知新什么叫做排列？排列的特征是什么？一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.新知探究一、组合定义1、一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不论次序地构成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2、排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它的根本区别．3、排列与组合，它们有什么共同点、不同点？共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．4、什么是两个相同的排列？什么是两个相同的组合？二、组合数1、从n 个不同元素中取出m （m ≤n ））个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．记为即时体验例1.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A ={a ,b ,c ,d ,e }，则集合A 的含有3个元素的子集有多少个?（组合问题）（2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?（组合问题）(3)从4个风景点中选出2个去游览,有多少种不同的方法?（组合问题）四、计算组合数1、引入：从4个不同元素a 、b 、c 、d 中取出3个元素的组合数是多少？启发：由于排列是先组合再排列．．．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcb cdb bdc dbc cbd bcd bcd dca cda adc dac cad acd acddba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =． 2、求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,可看作以下2个步骤得到:第1步,从这n 个不同元素中取出m 个元素,共有种不同的取法; 第2步,将取出的m 个元素做全排列,共有种不同的排法. m nC mn C mm A根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m m A ⋅．3、组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且即时体验例2．计算：（1）47C ；（2）710C ；（1）解：4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．例3．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C 巩固练习：1．（1）从9名同学中选两名同学担任正副班长，共有多少种不同的选法.（2）若选出两名代表参加一个会议，共有多少种不同的选法.（1）72种（2）36种2．(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?（1）45条（2）90条3．在10件产品中,有8件合格品,2件次品.从这10件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?（1）310C(2)1228C C ( 3) 310C -38C课堂小结：①主要学习了组合、组合数的概念.②利用组合和排列的关系得到了组合数公式. 板书设计：（略）教学反思：。

(精)高中数学选修2-3教案[1]

高中数学教案选修全套第一章计数原理1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有nm N += 种不同的方法. （3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A 大学 B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A 爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条第二类, m2 = 1×2 = 2 条第三类, m3 = 1×2 = 2 条所以, 根据加法原理, 从顶点A 到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条练习: ( 1 ）一件工作可以用 2 种方法完成，有 5 人只会用第 1 种方法完成，另有 4 人只会用第 2 种方法完成，从中选出 l 人来完成这件工作，不同选法的种数是＿ ; ( 2 ）从 A 村去 B 村的道路有 3 条，从 B 村去 C 村的道路有 2 条，从 A 村经 B 的路线有＿条．第二课时2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．（2）发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 nm N ⨯= 种不同的方法. （3）知识应用例1.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720 种不同的选法．一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法. 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点 ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.例2 .如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A 、B 、C 、D 四个区域依次分四步完成,第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6第三课时3 综合应用例1. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。

高二数学选修2-3教案

二次备课第课时总第教案课型：新授课主备人：审核人：1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程一、新课讲授引入课题先看下面的问题：①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法. 那么完成这件事共有m=N+n种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A ,B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以1A ,2A ,…，1B ,2B ,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9 = 54 个不同的号码．探究：你能说说这个问题的特征吗？（2）发现新知二次备课分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N ⨯=种不同的方法.（3）知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第 l 步选男生．第2步选女生．解：第 1 步，从 30 名男生中选出1人，有30种不同选择；第 2 步，从24 名女生中选出1人，有 24 种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24 =720种不同的选法．探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，做第3步有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例3. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解： (1) 从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4 种方法；第2 类方法是从第2 层取1本文艺书，有3 种方法；第3类方法是从第 3 层取 1 本二次备课体育书，有 2 种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =++=4+3+2=9;( 2 ）从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书，可以分成3个步骤完成：第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有 4 种方法；第 2 步从第 2 层取1本文艺书，有 3 种方法；第 3 步从第3层取1 本体育书，有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是123N m m m =⨯⨯=4×3×2=24 .（3）26232434=⨯+⨯+⨯=N 。

人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿

人教B版数学选修2-3《1.1基本计数原理》说课稿各位老师，大家好，我今天说课的课题是《基本计数原理》，我将从教材、学情、教学策略、教学过程、板书设计、教学反思等几个方面对本节课进行说明。

一、教材分析本节课是人教B版的数学教材选修2-3第一章第一节第一课，本节课所讲授的两个基本计数原理，即分类加法原理与分步乘法原理，是本章继续学习排列、组合的基础，学生能否理解并能应用两个基本原理，是学好本章知识的一个关键，本节课建议安排两课时，本节为第一课时，根据其在教材中的地位，结合课标的要求，设置了如下的教学目标：1、知识目标理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能应用两个基本原理分析、解决一些简单的应用问题。

2、能力目标在概念形成的过程中培养学生的总结与概括能力，在解决实际问题过程中锻炼学生逻辑思维能力。

3、情感目标让学生体验知识从生活中来又应用到生活中去得过程，培养学生用数学的眼光观察世界和用数学的思想思考世界的习惯。

教学重点是两个基本计数原理的内容。

难点是如何正确是用两个基本计数原理来解决实际问题。

二、学情分析高二学段的高中生已经具备较好的计算能力和基本的逻辑思维能力，但是对于实际问题的生活背景了解不多，对问题中创设的实际背景和如何完成一件事的含义的理解将成为学生运用两个基本计数原理解决问题是的瓶颈，所以找到如何完成一项实际任务的方法，是应用过程中难点。

三、教学策略本课由于内容比较简单学生通过预习多都能够看懂，在实际授课时，我将使用更能贴近学生生活的实例，以激发学生的求知欲和学习热情。

采用教师启发、学生小组合作学习方式进行教学，利用多媒体课件展示引例的问题环境，引导学生思维，具体的分析比较进而归纳出两个基本计数原理，遵循从特殊到一般的思维过程，在学生现有的认知基础上，促使其获取知识，让学生始终保持高水平的思维活动水平，增强学习效果。

四、教学过程1、设置情景，引入新课使用多媒体课件展示郑板桥《咏雪》让学生齐读古诗并请学生对古诗进行自由鉴赏。

数学选修2-3教案

数学选修2-3教案【篇一：高中数学全套教案新人教版选修2-3】高中数学选修2-3修订教案王国昌1.1基本计数原理（第一课时）教学目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学过程一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？二、讲解新课：问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。

已知当天长途车有2班，列车有3班。

问共有多少种走法？设问1：从济南到北京按交通工具可分____类方法? 第一类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法;∴从甲地到乙地共有__________ 种方法设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤第一步, 由济南去天津有___种方法第二步, 由天津去北京有____种方法,设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，??由第k种途径有nk种方法可以完成。

那么，完成这件工作共有n1+n2+??+nk种不同的方法。

1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的即：它们两两的交集为空集！ 3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成1标准必须一致、正确。

高中数学选修2-3教案

高中数学选修2-3教案在现代教育体系中，高中数学课程是培养学生逻辑思维和解决实际问题能力的重要环节。

其中，选修2-3作为高中数学的拓展模块，不仅涵盖了更多深入的数学知识，还注重培养学生的应用能力和创新思维。

本文旨在为教师们提供一个关于高中数学选修2-3的教案范本，以供参考和借鉴。

## 教学目标在设计教案之前，首先明确本节课的教学目标：1. 让学生掌握本节课程的核心概念和基本原理；2. 通过实例讲解，帮助学生理解抽象概念的具体应用；3. 引导学生发现问题、分析问题，并尝试解决问题；4. 培养学生的合作学习和沟通能力；5. 激发学生的探索兴趣，鼓励自主学习。

## 教学内容针对高中数学选修2-3的特点，选择适当的教学内容至关重要。

例如，本节课可以围绕“函数与导数”的主题展开，包括以下几个部分：- 函数的概念及其性质；- 导数的定义和计算方法；- 导数在研究函数变化趋势中的应用；- 实际问题中如何运用导数进行优化。

## 教学方法采用多样化的教学方法能够有效提升学生的学习效率和兴趣。

以下是一些建议：- **案例分析法**：引入实际生活中的例子，如物理学中的运动速度问题，经济学中的成本收益分析等，将抽象的数学概念具体化；- **小组讨论法**：让学生分组探讨问题，互相交流思路和方法，培养合作精神；- **启发式教学法**：通过提问引导学生思考，而不是直接给出答案，激发学生的好奇心和求知欲；- **实践操作法**：设置实验或实践活动，使学生通过动手操作加深对知识点的理解。

## 教学过程1. 导入新课：简要回顾上一节课的内容，提出本节课的学习目标和预期效果。

2. 讲解新知：系统阐述函数与导数的基本概念，强调其在实际问题中的应用。

3. 实例演示：结合具体的数学问题，展示如何运用导数解决实际问题，并引导学生发现其中的规律。

4. 学生练习：布置适量的练习题，让学生独立完成或小组合作，巩固所学知识。

5. 总结反馈：教师总结本节课的重点难点，对学生的练习给予及时的反馈和指导。

人教课标版高中数学选修2-3：《组合(第1课时)》教案-新版

1.2.2 组合一、教学目标【核心素养】通过学习组合与组合数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力．【学习目标】（1）判断具体问题是组合还是排列（2）组合数公式的推导（3）组合数公式的应用【学习重点】1明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题. 2理解组合的概念，组合数公式，组合数公式的简单应用. 【学习难点】组合数公式的推导，组合数公式的简单应用.二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P21－P26，思考：组合的内容是什么？组合数有哪些应用？任务2 默写组合数公式的具体内容 2．预习自测 1.组合的概念①从全班40人中选出5人组成班委会．②从全班40人中选出5人分别担任班委中的5个不同职务．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？解：②是排列，①中选出的5人无需排列，②中选出的5人有顺序． 2．组合数公式与性质①计算组合数=37C ；②计算=+3626C C .解：35 35 （二）课堂设计1．知识回顾（1）分类加法计数原理；（2）分步乘法计数原理；（3）排列的概念；（4）排列数的定义. 2．问题探究问题探究一排列与组合的区别和联系引导学生通过实例，辨析“有序（排列）”与“无序（组合）”. 引入：判断下列问题是组合还是排列①设集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e}，则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ ②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？③2017年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？答案：①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．②因为甲站到乙站与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同问题探究二组合数公式的推导引例：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？启发：由于排列．．是先组合再排列．．．．．．．，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组合排列dcbcdb bdc dbc cbd bcd bcddca cda adc dac cad acd acd dba bda adb dab bad abd abdcba bca acb cab bac abc abc ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,→→→→ 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法．由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅．（3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.例1．计算：（1）47C ；（2）710C ；【知识点：组合数公式】详解：（1） 4776544!C ⨯⨯⨯=＝35；（2）解法1：710109876547!C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=＝120．解法2：71010!10987!3!3!C ⨯⨯==＝120．点拨：正确运用组合数公式.例2．求证：11+⋅-+=m n m n C mn m C ．【知识点：组合数公式】证明：∵)!(!!m n m n C m n -=111!(1)!(1)!m nm m n C n m n m m n m +++⋅=⋅--+--＝1!(1)!()(1)!m n m n m n m +⋅+---＝!!()!n m n m - ∴11+⋅-+=m nm n C m n m C点拨：做组合类证明题一定要准确使用组合数公式.例3．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x CC的值【知识点：组合数公式】解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x ，解得24x ≤≤， ∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为7；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11．∴所求值为4或7或11．点拨：含参数的组合题，明确参数范围.问题探究三组合数公式的应用例4 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？【知识点：排列组合，分步计数原理；数学思想：分类讨论】解：(1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有1117C ＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有1117C 种选法；第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有111C 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有1111711C C ⨯=136136（种）. 点拨：对于（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．例5．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？【知识点：排列组合；数学思想：分类讨论】解：(1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有2101094512C⨯==⨯（条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有21010990A =⨯=（条）点拨：与其他数学问题结合的组合问题，需要对空间点线和面的准确认识 3．课堂总结【知识梳理】1. 区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．2.写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作图法，这样做直观、明了、清楚，可防重复和遗漏．【重难点突破】1.组合数公式的推导过程体现了众多数学思想方法的应用，教学的关键是引导学生研究组合与排列的关系，发现排列可以分为“先取元素，再作全排列”两个步骤，即A C A =m m m n n m，从而化解难点．2.通过对具体实例的对比分析，亲身经历组合概念的形成过程，明确排列与组合的关系；在用列举法列出组合、排列的过程中体会组合数与排列数、计数原理的关系，并参与体验组合数的应用，体会将实际问题化归为组合问题的方法． 4．随堂检测1．判断下列问题是排列问题还是组合问题：①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？【知识点：排列组合】解：(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． ③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．2．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数公式】解：由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C.3．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：甲选修2门有24C ＝6种选法，乙、丙各有34C ＝4种选法．由分步乘法原理可知，共有6×4×4＝96种选法4．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．222583C C C ++B ．222323C C C C ．222583A A A ++D ．216C 【知识点：排列组合】解：A (三)课后作业基础型自主突破1．①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4个去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点：排列组合】解：选C.①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．故选C.2．若266x C C =，则x 的值为( )A ．2B ．4C ．4或2D ．3 【知识点：组合数公式】解：由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C.3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条【知识点：排列组合】解：D4．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有______种．【知识点：排列组合】解：9能力型师生共研5．集合M ＝{x |4n x C =，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是( )A ．M ∪Q ＝{0，1，2，3，4}B ．Q ⊆MC ．M ⊆QD ．M ∩Q ＝{1，4} 【知识点：排列组合】解：D 由4n x C =知，n ＝0，1，2，3，4，又041C =，144C =，2443621C ⨯==⨯，31444C C ==，441C =.∴M ＝{1，4，6}．故M ∩Q ＝{1，4}．6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：A 法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有1226C C 种选法，含2名女生有2226C C 种选法，∴共有12222626C C C C +＝36种选法．法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有36C 种选法，∴至少有一名女生的选法数为38C －36C ＝36种．7．方程22171616x x x C C C +-=的解集是________．【知识点：组合数公式】解：{5} 因为1171616x x x C C C -=+，所以1221616x x C C -+=，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若213B A =，则这组学生共有________人．【知识点：排列组合】解：15 设有学生n 人，则24213n n A C =，解之得n ＝15.9．解不等式211123x x x x C C --++＜【知识点：组合数公式】解：因为211123x x x x C C --++＜，所以321123x x C C ++＜，所以2(1)(1)3(1)32121x x x x x⨯+-⨯+⨯⨯⨯＜，所以1332x -＜，所以112x ＜，因为1312x x +⎧⎨+⎩≥，≥,所以x ≥2，所以2≤x <112，又x ∈N *，所以x ＝2，3，4，5. 所以不等式的解集为{2，3，4，5}．探究型多维突破10．（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：（1）解：90222426=⋅⋅C C C ．（2）解：问题可以分成2类：第一类 2名男生和2名女生参加，有225460C C =中选法；第二类 3名男生和1名女生参加，有315440C C =中选法依据分类计数原理，共有100种选法11．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法．解法二：（间接法）10036310=-C C 自助餐1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有( )A ．27种B ．24种C ．21种D ．18种【知识点：排列组合，数学思想：分类讨论】解：C 分两类：一类是2个白球有26C ＝15种取法，另一类是2个黑球有24C ＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．故选C.2．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种【知识点：排列组合，分步计数原理】解：B 依题意，满足题意的选法共有24C ×2×2＝24(种)． 3．计算：34567789C C C C +++＝( ) A ．120 B ．150 C ．180D ．210 【知识点：组合数公式】解：D 根据公式111n n n m m m C C C ++++=知，原式＝456889C C C ++＝5699C C +＝610C ＝410C ＝210.4．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________种不同送法．【知识点：排列组合，分步计数原理】解：10 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有25C ＝10种5．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有24C 种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有34C 种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法2344C C +＝10种． 6．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：A 分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有12213434C C C C +＝30 种选法．7．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有_______个．【知识点：排列组合，分步计数原理】解：328．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有__________种(用数字作答)．【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：50 把6名同学分成两组，一组最多4人，有分法223362631252C C C C += (种)，每一种分法对应着两种安排方案，因此共有不同的安排方案2×25＝50(种)．9．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有__________个【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此进满足条件的偶数共有3412A C ＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3413A C ＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个)10．已知平面M 内有4个点，平面N 内有5个点，则这九个点最多能确定： (1)多少个平面？(2)多少个四面体？【知识点：空间点线面基本关系，排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论，数形结合】解：(1)可分三类．第一类：平面M 中取一点，N 中取两点，最多可确定1245C C 个；第二类：平面M 中取两点，N 中取一点，最多可确定2145C C 个；第三类：平面M 和平面N ，共2个．故最多可确定平面12214545C C C C +＋2＝72(个)．(2)法一(直接分类法)：分三类．第一类：平面M 内取一个点，N 内取三个点，最多可确定1345C C 个．第二类：平面M 内取两个点，N 内取两个点，最多可确定2245C C 个．第三类：平面M 内取三个点，N 内取一个点，最多可确定3145C C 个．故最多可确定平面1345C C ＋2245C C ＋3145C C ＝120(个)．法二(间接法)：49C －45C －44C ＝120(个)．11．为了提高学生参加体育锻炼的热情，宏达中学组织篮球比赛，共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环赛(在第一轮中相遇过的两个队不再进行比赛)，问要进行多少场比赛？【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：第一轮每组6个队进行单循环赛，共有26C 场比赛，4个组共计426C 场．第二轮每组取前两名，共计8个组，应比赛28C 场，由于第一轮中在同一组的两队不再比赛，故应减少4场，因此第二轮应比赛28C －4场．综上，两轮比赛共进行426C ＋28C －4＝84场．12．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每人2本.【知识点：排列组合，分步计数原理，数学思想：分类讨论】解：(1)分三步：先选一本有16C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；对于余下的三本全选有35C 种选法，由分步乘法计数原理知有16C 25C 35C ＝60(种)选法.(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有16C 25C 33C 33A ＝360(种)选法.(3)先分三步，则应是222426C C C 种选法，但是这里面出现了重复，不妨记6本书分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了(AB ，CD ，EF)，则222426C C C 种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD 、AB 、EF)、(CD 、EF 、AB)、(EF 、CD 、AB)、(EF 、AB 、CD)共有33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分配方式有33222426A C C C ＝15(种). (4)在问题(3)的基础上再分配，故分配方式有33222426A C C C 33A ＝90(种).。