椭圆的极坐标方程及其应用

椭圆的极坐标方程及其应用

如图，倾斜角为θ且过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆

C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明:

22

11

PF QF +

为定值

改为：抛物线

2

2(0)y px p => 呢？

例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>F 且斜率为(0)k k >的

直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。

练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于

A ，

B 两点，直线l 的倾斜角为60o

,2AF FB =，求椭圆C 的离心率；

例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值．

练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12

2

2

=+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.

例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： |

|1

||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值.

推广：已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>,F 是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n 个不同点12,,,n P P P ⋅⋅⋅,若

122311

n n n PFP P FP P FP P FP -∠=∠=⋅⋅⋅=∠=∠,则11||n

i i n

PF ep ==∑，你能证明吗？ 练习3. （08年福建理科）如图，椭圆2222.

1(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有2

2

2

OA OB AB +<,求a 的

取值范围.

作业1. （08年宁夏文）过椭圆

14

52

2=+y

x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为

.

作业2.（09年全国Ⅰ）已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F,右准线l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B 。若3FA FB =,求AF 。

作业 3. （15年四市二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的顶点都在椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>> 上，对角线AC 与BD 分别过椭圆的左焦点1(1,0)F -和右焦点2(1,0)F ，且AC BD ⊥，椭圆的一条准线方程为4x =

（1）求椭圆方程；

（2）求四边形ABCD 面积的取值范围。

练习4.（08年安徽文）已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=＞＞，其相应于焦点F (2，0)的准线方程为x =4.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知过点F 1(-2,0)倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ，B 两点.

求证：22cos AB =-θ

；

（Ⅲ）过点F 1(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于点A 、B 和D 、E ，求AB DE +的最小值.

作业5. 已知以F 为焦点的抛物线2

4y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =,求弦AB 的中点到准线的距离.

参考答案：

例

1.

练习

1.

例

2.

练习

2..

例3. 解：（Ⅰ）设椭圆方程为12

2

22

=+b y

a x . 因焦点为)0,3(F ，故半焦距3=c .又右 准线l 的方程为c

a x 2

=，从而由已知

36,1222

==a c

a ，

因此3327,622==-=

=c a b a .

故所求椭圆方程为

127

362

2=+y x .

（Ⅱ）方法一:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性

假设1203θπ≤<

,且213124,33

θθθθππ=+=+ 又设点i P 在l 上的射影为i Q ,因椭圆的离心率1

2

c e a =

=,据椭圆第二定义得 2||||(||cos )i i i i i

a FP PQ e c FP e c θ==--1

(9cos )2

i i FP θ=-(1,2,3)i = ∴

121

(1cos )92

i i FP θ=+(1,2,3)i =. ∴

1111

2311121243(cos cos()cos()9233FP FP FP θθθππ⎡⎤

++=+++++⎢⎥⎣⎦ 又

11111111241313

cos cos()cos()cos cos cos sin 0332222

θθθθθθθθππ++

++=---+= ∴1

2311123FP FP FP ++=(定值) 方法二:记椭圆的右顶点为A ,并设(1,2,3)i i AFP i θ∠==,不失一般性假设1203

θπ

≤<

,且 213124,33

θθθθππ

=+

=+,另设点(,)i i P x y ,则||cos 3,||sin i i i i i

i x PF y PF θθ=+= 点i P 在椭圆上,∴

22(||cos 3)(||sin )13627

i i i

i PF PF θθ++= ∴

11

(2cos )9

i i FP θ=+(1,2,3)i =,以下同方法一 ∴

1

2311123FP FP FP ++=(定值) 推广：

引理1:(1)sin

cos()22cos cos()cos(2)cos()sin

2

n n n ββ

θθθβθβθββ

+++++++⋅⋅⋅++=

.

证明:1cos sin

[sin()sin()]2222β

ββ

θθθ=+-------------------------(1) 13cos()sin [sin()sin()]2222βββ

θβθθ+=+-+----------------------(2)

……

12121

cos()sin

[sin()sin()]2222

n n n β

θβθβθβ+-+=+-+----------(1n +) 将上述1n +个式子相加得

1211

[cos cos()cos()]sin

[sin()sin()]2222

n n β

θθβθβθβθβ++++⋅⋅⋅++=+--