第二届全国大学生数学竞赛决赛试题解答
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=，⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====， 即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
第二届全国大学生数学竞赛决赛
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及解答一、求出过原点且和椭球面2224561x y z ++=的交线为一个圆周的所有平面。
【解】所述圆周过原点，则一定以原点为圆心，且在球面 222x y z R ++= ① 上。
因此，该球面与椭球面2224561x y z ++= ②的交线即为圆周。
有①、②确定的平面也必包含此圆周。
联立此二式得2222221114560x y z R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然，当215R =时，有221x y -=，这时两相交平面,0x z x z =+=，即为所求。
二、0﹤()f x ﹤1，无穷积分0()f x dx +∞⎰和0()xf x dx +∞⎰都收敛。
求证：()xf x dx +∞⎰﹥()21()2f x dx +∞⎰【证】令0()f x dx a +∞=⎰，则)(0,a ∈+∞。
根据题设条件0﹤()f x ﹤1，得()xf x dx +∞⎰=0()axf x dx ⎰+()axf x dx +∞⎰﹥0()a xf x dx ⎰+()aa f x dx +∞⎰=0()a xf x dx ⎰+()()aa a f x dx -⎰=0()a xf x dx ⎰+0(1())aa f x dx -⎰﹥0()a xf x dx ⎰+0(1())ax f x dx -⎰=0a xdx ⎰=212a 因此得：0()xf x dx +∞⎰﹥()21()2f x dx +∞⎰三、设1nn na+∞=∑收敛。
122................n n n n k t a a ka +++=++++。
证明lim 0n n t →+∞=。
【证】 首先，注意到()11n n kn k k k k t kan k a n k+∞+∞++====++∑∑ 根据题设条件1nn na+∞=∑收敛，可知()1n k k n k a +∞+=+∑收敛，而k n k ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭关于k 单调，且0﹤k n k +﹤1，即有界，故由Abel 判别法知()1n k k k n k a n k+∞+=++∑，即n t 有意义。
2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)
。
dx 2
二、（本题满分 5 分）求极限 lim( e x + e2x +
+
e nx
)
e x
，其中
n
是给定的正整数。
x→0
n
∫ 三、（本题满分 15 分）设函数 f (x) 连续， g(x) = 1 f (xt)dt ，且 lim f (x) = A ， A 为常
0
x→0 x
数，求 g′(x) 并讨论 g′(x) 在 x = 0 处的连续性。
L
2
五、（本题满分 10 分）已知 y1 = xex + e2x ， y2 = xex + e−x ， y3 = xe x + e2x − e−x 是某二
阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程。
六、（本题满分 10 分）设抛物线 y = ax2 + bx + 2 ln c 过原点。当 0 ≤ x ≤ 1 时, y ≥ 0 ,又已
六、（本题满分 12 分）设 f (x) 是在 (−∞, +∞) 内的可微函数，且 f ′(x) < mf (x) ，其中
+∞
∑ 0 < m < 1 。任取实数 a0 ，定义 an = ln f (an−1), n = 1, 2, ，证明： (an − an−1) 绝对收敛。 n =1
七、（本题满分 15 分）是否存在区间[0, 2]上的连续可微函数 f (x) ，满足 f (0) = f (2) = 1，
第一届(2009)全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
(x + y) ln(1 + y )
1．计算 ∫∫D
大学生高等数学竞赛试题汇总与答案
原式=
(ln(1t)t)1/(1t)111
2
2(1t)
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx()xde()[xe|edx]
n0
000
ss
nnn(n1)n!n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且
''()(2'
t2t)2(t)''()(2'
3
dxdx/dt(22t)
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x(1a)(1a)(1a),其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lim e1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
(1,2,)
0
（4）设函数f(t)有二阶连续导数，
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)第一届全国大学生数学竞赛预赛试题一、填空题（每小题5分，共20分）1.计算 $\iint_D \frac{y}{x+y-1} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中区域$D$ 由直线$x+y=1$ 与两坐标轴所围成三角形区域。
2.设 $f(x)$ 是连续函数，且满足 $f(x)=3x^2-\intf(x)\mathrm{d}x-2$，则 $f(x)=\underline{\hspace{2em}}$。
3.曲面 $z=\frac{x^2+y^2-2}{2}$ 平行于平面 $2x+2y-z=$ 的切平面方程是 $\underline{\hspace{2em}}$。
4.设函数 $y=y(x)$ 由方程 $xe^{f(y)}=\ln 29$ 确定，其中$f$ 具有二阶导数，且 $f'\neq 1$，则$y''=\underline{\hspace{2em}}$。
二、（5分）求极限 $\lim\limits_{x\to n}\frac{e^{ex+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}}{x}$。
三、（15分）设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\intf(xt)\mathrm{d}t$，且 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=A$，$A$ 为常数，求 $g'(x)$ 并讨论 $g'(x)$ 在 $x=1$ 处的连续性。
四、（15分）已知平面区域 $D=\{(x,y)|0\leq x\leq\pi,0\leq y\leq\pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：1）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x=\int_L xe^{-\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x$；2）$\int_L xe^{\sin y}\mathrm{d}y-ye^{-\sinx}\mathrm{d}x\geq \frac{\pi^2}{2}$。
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类).docx
第二届（2010年）全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案(非数学类)(150分钟)一、(25分，每小题5分)(1)设£ = (1 +。
)(1 + /)•••(】 + a，")，其中|a|< 1,求limxn->xi、L(2)求lime"A 1+— o"I x)(3)设5>0 ,求/ = f X e^xx x ll dx(n = 1,2,.. j oJo（4）设函数/（/）有二阶连续导数，r = y/x2 + y2,y） = f一\r）⑸求直线述了。
与直线A字二宁弓的距离。
解：(1) £=(1 +。
)(1 + /)…(1 +旷)=兀=(1一。
)(1 + 0)(1 + /)・・・(1 + 旷)/(1-6/)=(1—cr)(1 + )・・・(1+)/(1—a)=・・・=(1—)/(1—a)・•. liinx 1HII(1 - ah) / (1 - a) = 1 / (1 - a) /?-^x⑵lim厂A->X 1+丄I X)f 1 2lnr"* (1+—)r x2 ln<l+—) -x =lim^ -r = limeA->X .V->X令x=l/t,则UnU+f)-f)原式=lime z： = lime 21 fTO fTO =lin* 丽77 =产/TO(3)/” = f 宀”故=(-|)f x"de~sx =(-》[x”严I； -J；严X]=（4）略（不难，难得写）（5）用参数方程求解。
答案好像是二、（15分）设函数/（X）在（-8,乜）上具有二阶导数，并且f\x） > 0, lim f\x） = a > 0, lun f\x） = 0 v 0,且存在一点x0,使得/（x0） < 0。
A->-X证明：方程/(x) = 0在(YO、*O)恰有两个实根。
解：(简要过程) 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边 找两大于0的值。
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及详细解答
第二届全国大学生数学竞赛决赛试题及答案（非数学类，2011）一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分。
）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫ ⎪⎝⎭；解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：0202000322sin 1sin 1ln lim11cos lim1cos 201sin cos 12limlimlim 11333222sin lim x x x x x xx x x xx xx x x xx x x x x eex ee e e→→→→→-⎛⎫ ⎪⎝⎭--→----⎛⎫== ⎪⎝⎭====（2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n nn n n n+++-++++++-+由欧拉公式得（），则（），其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴=方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx 。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
高等数学竞赛试题2答案
高等数学竞赛试题2答案一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.2. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是…………………………（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x ..3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=…………（ C ） (A) 1； (B) 12 ； (C) 13 ； (D) 14.4. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 …………………………………… （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有……………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰ …………………………… （ B ）(A) 102() d f x x ⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .8. 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1n n b ∞=∑与1n n c ∞=∑……………………（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.二、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+三、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰[解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv xx e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰.四、设曲面S 为曲线 e 0y z x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰2()2e e D z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e e z zdz e e πππ==-⎰ 1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==;（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴=得又为极小值.六、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12f f x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()coty 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y . 解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+=代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y =，()sin (,)sin .xc y y f x y e y -∴==故七、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案
第二届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。
）（1）解：方法一（用两个重要极限）：()()20003221sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12limlimlim sin 11331cos 3222sin sin lim lim 1lim x x x x x xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ee eee→→→-∙---→→------→-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=====方法二（取对数）：11cos 0002sin sin ln 1sin lim exp lim exp lim 11cos 2xx x x x x x x x x x x -→→→⎡⎤⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥==⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20003221sin cos 12limlimlim 11333222x x x x x x x x x x eee e→→→----====（2）.解：方法一（用欧拉公式）令111...12n x n n n n=++++++ 111ln =C+o 12n n +++-由欧拉公式得（），11111ln 2=C+o 1212n n n n++++++-+则（），其中，()1o表示n →∞时的无穷小量，-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞∴= 方法二（用定积分的定义）111lim lim lim()12n n n n x n n n→∞→∞→∞=++++111lim ()111n n n nn→∞=++++101ln 21dx x==+⎰（3）解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()()222222412121224ttt tt tte e d y d dy e e dx dx dt dx e e edt+--+⎛⎫∴=∙==⎪⎝⎭二．（本题10分）解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0P d x Q d y +=1,P Qy x∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+方法一：由24zP x y x∂==+-∂得 ()()2244z x y dx x xy x C y =+-=+-+⎰由()'1zx C y Q x y y∂=+==+-∂得()()'211,2C y y C y y y c =-∴=-+22142z x xy x y y c ∴=+-+-+方法二：()()()(),0,024x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy==+=+-++-⎰⎰⎰,P Qy x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 ()()2200124142xyz x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰三．（本题15分）证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①由洛比达法则得()()()()()()()1232'''1230230lim2233lim 02h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得()()()()()()()()()'''1230"""1230""1232233lim24293lim02490000h h k f h k f h k f h hk f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则Ax b =， 增广矩阵*11111031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()(),3R A b R A ==所以，方程Axb =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，且1233,3,1k k k ==-=。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）行， 因 此， 由 ， Z y =2y 知（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题（每小题5分）（x + y ） ln （1 +》）1.计算 D -------------------- x dxdy =16/15，其中区域D 由直线y = 1与J 1-x-y两坐标轴所围成三角形区域.令t = 1 -u ，贝y u =1 -t1 2du =-2tdt ，u 2=1 —2t 2t 4，u(1—u)二 t 2(1—t)(1 t)，22 .设f(x)是连续 函数，且满足f(x) = 3x 2 - .o f(x)dx-2 ,则f(x) = _______________ .2解:令 A=J 0f(x)dx ，贝S f(x)=3x 3—A —2，22A (3x 2- A - 2)d x = 8 - QA 2) = 4 - 2A ,解得 A =—。
因此 f(x) =3x 2-10。
3323 .曲面z=L ，y 2-2平行平面2x 2y-z = 0的切平面方程是2解：因平面2x ，2y-z=0的法向量为（2,2,-1），而曲面2z=x y 2-2 在（X 0,y °）处的法向量为2（Z x （x °, y °）,Z y （x °, y °）,T ），故（Z x （x °, y °）, Z y （x °, y 。
）,-1）与（2,2^1）平解:令 x y=u,x=v ，贝卩 x=v, y=u —v ,■0 1 dudv = dudvJdxdy= det 〔2 =Z x (x °, y °) =x °,2 =Z y (x °, y °) =2y °，即 X o = 2, y ° =1，又 z(X o , y °) = z(2,1) = 5，于是曲面 2x 亠 2y —z =0 在(X o , y °,z(X o , y 。
大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得 因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 2因 故 由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln 1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解： 二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值;将fx 二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nna s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k; 所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离 由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有 （2） 令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得 上式将两边看做y 的多项式,整理得 由此可得 解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一． 计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭； 解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或2222220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z≥取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。
前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案大纲非数学类
中国大学生数学竞赛竞赛大纲为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,激励大学生学习数学的兴趣,发现和选拔数学创新人才,更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标,特制订本大纲;一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣,进一步推动高等学校数学课程的改革和建设,提高大学数学课程的教学水平,发现和选拔数学创新人才;“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生;二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题;中国大学生数学竞赛非数学专业类竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容,具体内容如下：一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性含左连续与右连续、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质有界性、最大值和最小值定理、介值定理.二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理,包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达L ’Hospital 法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线水平、铅直和斜渐近线、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨Newton-Leibniz 公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利Bernoulli 方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''. 4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数,以及它们的和与积7. 欧拉Euler 方程.8. 微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算直角坐标、极坐标、三重积分的计算直角坐标、柱面坐标、球面坐标.2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林Green公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯Gauss公式、斯托克斯Stokes公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨Leibniz判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间指开区间、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质和函数的连续性、逐项求导和逐项积分、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶Fourier系数与傅里叶级数、狄利克雷Dirichlei定理、函数在-l,l上的傅里叶级数、函数在0,l上的正弦级数和余弦级数前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分,共20分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d xy________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因 故 因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故 当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知 因此 2因 故 由 知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解 设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程 的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解 因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是 即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积 即 令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得 即 因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知 即 因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令 则 即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解 令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t ====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)nn x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx nn sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰ 二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解： 二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值; 将fx 二阶泰勒展开： 因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nn a s α收敛； 当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s xs x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k;所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散 五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离 由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+ 六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有 （2） 令42422(),xy x P Q x y x y ϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得 上式将两边看做y 的多项式,整理得 由此可得 解得：2()x x ϕ=-（3） 取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一． 计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； 解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关 三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或222222a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z ≥取上侧,∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11nn n aa ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。
最新全国数学竞赛试题及答案详解
最新全国数学竞赛试题及答案2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷) 参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.已知正实数a满足/= (9〃广，则10gd(女r)的值为.答案：—.16। 2 Q解：由条件知9a = ，故初=《9a a ,所以log,(3。
)=布.2.若实数集合{1,2,3,*的最大元索与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为________________ .答案：一g.解:假如*20,则最大、最小元素之差不超过max{3,R,而所有元素之和大于nm{3,M，不符合条件.故xV0,即工为最小元索.「•是3 — x = 6 + x,解得”一二3. '『而直角坐标系中，c是单位向吊,向量。
满足a.c=2 ,旦(/ <5 t/4-Ze对任意实数/成立，则同的取值范围是.答案：[石,2石].解：不妨设e = (l,0).由于。
e = 2,可设。
=(2,$),则对任意实数/,有4-|-5: =a <5 a^-te = 5j(2 + /> +s],这等价于4 + $”5卜I，解得即于是a = j4 + s> 技2⑹.4.设43为椭圆「的长轴顶点，£/为「的两个焦点，卜川=4, |"| = 2 +百尸为「上•点，满足伊用.户”| = 2,则△〃//的面积为.答案：1.解：不妨设平而走角坐标系中「的标准方程为W + E=l(«>〃>0).a'根据条件得2a = [4 闿=4, a 土 J a? — b? =|/?] = 2 + 6，可知° = 2, Z> = 1,口闭=277H=26 猛磁懒锚由椭IM定义知+ p目=2。
大学数学竞赛参考答案
大学数学竞赛参考答案大学数学竞赛参考答案数学竞赛一直以来都是大学生们展示自己数学才能的舞台，也是检验数学学习成果的重要方式。
参加数学竞赛不仅可以提高数学素养，还能培养思维能力和解决问题的能力。
然而，数学竞赛的题目往往复杂多变，难度较大，让许多参赛者望而却步。
为了帮助大家更好地应对数学竞赛，下面将给出一些参考答案和解题思路。
第一题：计算题题目要求计算一定范围内的数的和或者积。
这类题目主要考察对基本计算方法的掌握和运算的准确性。
解题方法是通过循环迭代计算每个数的和或积，注意边界条件的控制。
第二题：证明题题目要求证明一个数学定理或结论。
这类题目主要考察对数学知识的理解和运用能力。
解题方法是根据已知条件和定理，运用逻辑推理和数学推导，逐步推导出要证明的结论。
第三题：应用题题目要求将数学知识应用到实际问题中。
这类题目主要考察对数学模型建立和问题解决能力。
解题方法是根据实际问题，分析问题的特点和要求，建立数学模型，然后运用数学方法解决问题。
第四题：推理题题目给出一些条件和结论，要求判断这些条件和结论的关系。
这类题目主要考察对逻辑推理和推断能力。
解题方法是根据已知条件和结论，分析它们之间的关系，运用逻辑推理，判断它们的真假。
第五题：几何题题目给出一些几何图形和条件，要求求解几何问题。
这类题目主要考察对几何知识和几何推理的掌握。
解题方法是根据已知条件，分析图形的性质和关系，运用几何定理和几何推理，求解几何问题。
以上是数学竞赛常见题型的解题思路和方法，希望能对大家参加数学竞赛有所帮助。
参加数学竞赛不仅要掌握解题技巧和方法，还要注重平时的数学学习和积累。
多做题、多思考、多总结，才能提高数学竞赛的成绩。
数学竞赛是一项锻炼思维和解决问题能力的活动，通过参加数学竞赛，可以培养学生的逻辑思维能力、创新能力和团队合作精神。
数学竞赛的题目往往具有一定的难度和深度，需要学生们具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。
在解题过程中，学生们需要注意以下几点。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
又 ，那么 ，因此 …（3分）
…………………（2分）
五、（总分值14分）设 是一个滑腻封锁曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积分 。试确信曲面 ，使积分I
的值最小，并求该最小值。
解 记 围成的立体为V，由高斯公式
……………（3分）
为了使得I的值最小，就要求V是使得的最大空间区域 ，即
取 ，曲面 ……（3分）
为求最小值，作变换 ，那么 ，
从而 ……………………………………（4分）
利用球坐标计算，得
……………………（4分）
六、（总分值14分）设 ，其中 为常数，曲线C为椭圆 ，取正向。求极限
解 作变换 （观看发觉或用线性代数里正交变换化二次型的方式），曲线C变成 平面上的椭圆 （实现了简化积分曲线），也是取正向…（2分）
(2)方式一：
方式二（将一型曲面积分转化为二型）：
记 ，取面 向下， 向外，
由高斯公式得：
，求该三重积分的方式很多，现给出如下几种常见方式：
1先一后二：
②先二后一：
③广义极坐标代换：
六．（此题12分）设f(x)是在 内的可微函数，且 ，其中 ，任取实数 ，概念 证明： 绝对收敛。
证明：
由拉格朗日中值定理得： 介于 之间，使得
，又 得
级数 收敛， 级数 收敛，即 绝对收敛。
七．（此题15分）是不是存在区间 上的持续可微函数f(x)，知足 ，
？请说明理由。
解：假设存在，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于0，x之间，使得 ，
同理，当 时，由拉格朗日中值定理得：
介于x，2之间，使得
即
，
显然，
，又由题意得
即 ，
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(总34页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sin n ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准非数学类
全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类） （2009——2013）第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）1.求极限(lim 1sin nn →∞+.解因为()sin sin 2sinn ππ==……（2分）；原式lim 1exp lim ln 1sin nn n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦………………………………………………………………………………………(2分)；14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0sin xdx x +∞⎰不是绝对收敛的解 记()1sin n n nx a dx xππ+=⎰，只要证明0n n a ∞=∑发散即可。
……………………（2分）因为()()()()10112sin sin 111n n na x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰。
…………（2分）而()021n n π∞=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。
……………………………………（2分）3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()2222x x y y y x+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分） 又()()()()()2222222222422x xy y y x x x y yy x y yx''++--+-''=-()()()0,1,02,1,0200220010,1020x y y x y y y y ''====-==+---''''==-<=>-， 故()01y =-为极大值，()21y -=为极小值。
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如果要 f ′( x) > 0 ，须将原条件 a > b > c > 0 加强为 a > b > 1 + 2 c 。 从而得到 f ( x) 在 [b, a ] 单调增，从而 f ( a ) > f (b) ，从而原问题的最大值为 bc
b2 + c2 ， b4 + c4
最小值为 ac
a2 + c2 。 a4 + c4
f ( x) ≥ 1 − x （ x ∈ (0,1] ） ，
6
由 f (0) = 1 知， f ( x) ≥ 1 − x 在 [0,1] 上成立； 同理 x ∈ [1, 2) 时，有
f (2) − f ( x) = f ′(ξ 2 ) (2 − x) ， x < ξ 2 < 2 ，
即 利用 | f ′( x) |≤ 1 ，得
1
解：所给方程改写为
(2 xdx + ydy ) + ( ydx + xdy) − (4dx + dy ) = 0
即 故所求通解为
d ( x2 +
1 2 y ) + d ( xy ) − d (4 x + y ) = 0 2
x2 +
1 2 y + xy − (4 x + y ) = C 。 2
解
由条件 0 = lim [ k1 f ( h) + k2 f (2h) + k3 f (3h) − f (0) ] = (k1 + k2 + k3 − 1) f (0) ，
3 = 2 ≠ 0 ，所以存在唯一一组实数 k1 ， k2 ， k3 ，使得
1 4 9
lim
h →0
k 1 f (h) + k 2 f (2h) + k3 f (3h) − f (0) h2
=0。
解： 椭球面 Σ 1 上任意一点 P ( x, y, z ) 处的切平面方程是
或
x y z ( X − x) + 2 (Y − y ) + 2 ( Z − z ) = 0 2 a b c x y z ， X + 2 Y + 2 Z = 1 （由 P( x, y, z ) ∈ Σ 1 ） a2 b c
（2）因为 I = lim[
n →∞
1 1 n
+
1 1+ 2 n
+
+
1+
n i 1 1 1 ，取 ξi = ，则得被积函 ] = lim ∑ n →∞ n i n i =1 1+ n 1+ n n n
1
数为 f ( x) =
1 ，积分区间 [0,1] ，于是 1+ x
1−
I =∫
1
0
1 dx = ln(1 + x) 1 0 = ln 2 。 1+ x
0 1 0 1
1
2
1
2
1 1 = − (1 − x) 2 + ( x − 1) 2 = 1 2 2 0 1
矛盾（取严格不等号的理由见教材上册 P195） 。
1
2
7
2 2 2
，υ =
z x + (3 y ) 2 + z 2
2
，
5
∫∫ z (λ x + 3µ y + υ z )dS = ∫∫ z ⋅
S S
x2 + 9 y 2 + z 2 x + 9y + z
2 2 2
dS = ∫∫
S
z 3 dS = π。 2 ρ ( x, y , z )
证： 因
| an − an −1 | = | ln f (an −1 ) − ln f (an − 2 ) | = ≤ m | an −1 − an − 2 | ≤ m 2 | an − 2 − an −3 | ≤
(0 < b < x < a ) ，则
f ′( x) =
2 x( x 4 − 2c 2 x 2 − c 4 ) 2 x( x 2 − c 2 ) 2 − 2c 4 2 x( x 2 − c 2 + 2c 2 )( x 2 − c 2 − 2c 2 ) = = x 4 ( x 2 + c 2 )2 x 4 ( x 2 + c 2 )2 x 4 ( x 2 + c 2 )2
= (k 1 + 2k 2 + 3k 3 ) f ′(0) ，
因 f ′ ( 0 ) ≠ 0 ，所以 k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 ； 再由 0 = lim
k1 f (h) + k2 f (2h) + k3 f (3h) − f (0) k f ′(h) + 2k2 f ′(2h) + 3k3 f ′(3h) = lim 1 2 h →0 h →0 h 2h 1 1 = lim [ k1 f ′′(h) + 4k2 f ′′(2h) + 9k3 f ′′(3h) ] = [ k1 + 4k2 + 9k3 ] f ′′(0) ， 2 h →0 2
第二届全国大学生数学竞赛（非数学类）决赛试题解答 吴 洁
解： （1）原式 = exp lim
1 1 sin x − x ⎡ sin x ⎤ 1 exp lim − = ⋅ ⎥ x →0 1 − cos x ⎢ x x → 0 1 − cos x x ⎣ ⎦
1 − x3 1 − 1 = exp lim 6 = e 3 （ x − sin x ∼ x3 ） x →0 1 3 6 x 2
于是
dS = 1 + z x + z y =
2
2 2
1 − x2 − 3 y 2
又 S 在 xoy 平面上的投影为 Dxy : x + 3 y ≤ 1 ，故
z dS = ∫∫ 1 − x 2 − 3 y 2 ⋅ ∫∫ ρ ( x, y , z ) S Dx y
1 (1 + 6 y )
2 − 1 2
1+ 6 y2 1 − x2 − 3 y 2
b4 + c4 ， b 2 c 2 (b 2 + c 2 )
x2 y 2 z 2 + + a 4 b4 c4
(
ac
a2 + c2
, 0, ±
ac
a2 + c2
=
)
a4 + c4 。 a 2 c 2 (a 2 + c 2 )
x4 + c4 为比较以上两值的大小，设 f ( x ) = 2 2 2 x c ( x + c2 )
因 f ′′ ( 0 ) ≠ 0 ，所以 k1 + 4k2 + 9k3 = 0 。因此 k1 ， k2 ， k3 应满足线性方程组
⎧k1 + k2 + k3 − 1 = 0 ⎪ ⎨k 1 + 2k 2 + 3k 3 = 0 ， ⎪ k + 4k + 9k = 0 2 3 ⎩ 1
2
1 1 1
因其系数行列式 1 2
（3）
et 2t t dy e 2t = 1 + e − e = 1 ⎡e −2t + 1 − e − t ⎤ ， = 1+ ⎦ 2e 2 t dx 2e 2 t 2⎣ 1 + e2t
d y = d x2
2
d(
dy ) 1 ⎡ −2e −2t + e −t ⎤ ⎣ ⎦ 1 dx =2 = ⎡ −2e −4t + e−3t − 2e−2t + e− t ⎤ 2t ⎣ ⎦。 2e dx 4 1 + e 2t
f ′(ξ ) (an − an −1 )（ ξ 介于 an , an −1 之间） f (ξ )
≤ m n −1 | a1 − a0 |
而 0 < m < 1 ，从而
∑ (a
n =1
+∞
n
− an −1 ) 绝对收敛。
解：不存在满足题设条件的函数。 以下用反证法证明。 假设在 [0, 2] 上连续、可微，且满足 f (0) = f (2) = 1 ， | f ′( x) |≤ 1 ，
（2）由于 S 取上侧，故正法向量
⎧ x 3y z ⎪ n=⎨ , , 2 2 2 x 2 + (3 y )2 + z 2 x 2 + (3 y ) 2 + z 2 ⎪ x + (3 y ) + z ⎩
所以
⎫ ⎪ ⎬， ⎪ ⎭
λ=
x x + (3 y ) + z
2 2 2
，µ =
3y x + (3 y ) + z
于是它到原点的距离
d ( x, y, z ) = 1/ ( x 2 / a 4 ) + ( y 2 / b 4 ) + ( z 2 / c 4 ) 。
作拉格朗日函数
x2 y 2 z 2 x2 y2 z 2 F ( x, y, z, λ , µ ) = 4 + 4 + 4 + λ ( 2 + 2 + 2 − 1) + µ ( x 2 + y 2 − z 2 ) ， a b c a b c
dxdy
= ∫∫ (1 + 6 y 2 )dxdy =
Dxy
3 π。 2
其中，
Dxy
∫∫ dxdy =π ⋅1⋅
1 π = ； 3 3
⎧ x = r cos θ ⎪ 令⎨ （广义极坐标） ，则 1 ⎪ y = 3 r sin θ ⎩