模式识别第四章线性判别函数优秀课件
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第四章线性判别函数1.ppt
x1 图4.1两类模式的一个简单判别函数
4.1.1 线性判别函数的基本概念
判别规则
若给定一个未知类别的模式x
当g(x)>0 时，则决策 x 属于ω1 ； 当 g(x)<0 ，则决策 x 属于ω2； 若x处于划分边界上即g(x)=0，则x的类别不
可确定，则可将x任意分到某一类或拒绝， g(x)=0 为不可确定的条件。
判别函数 g(x) 是特征空间中某点 x 到超平 面距离的一种代数量度。
r w0 w
如果 w0>0 ，则原点在 H 的正侧； 若 w0<0 ，则原点在 H 的负侧。 若w0=0 ，则 g(x) 具有齐次形式 wTx ，说明 超平面 H 通过原点。
4.1.1 线性判别函数的基本概念
图 4.2 对这些结果作了几何解释。
4.1.1 线性判别函数的基本概念
简单线性分类器：
4.1.1 线性判别函数的基本概念
对于两类问题的线性分类器决策规则：
令 如果
g(x)=g1(x) － g2(x)
g(x) ＞ 0 ，则决策 x ∈ω1
g(x) ＜ 0 ，则决策 x ∈ω2
(4-2)
g(x) ＝ 0 ，则可将 x 任意分到某一类或
这说明线性判别函数虽然简单，但局限 性较大，不适用于非凸决策区域和多连 通区域的划分问题。
4.1.2 广义线性判别函数
如图 4.3 所示的二
g(x)
类问题。
设有一维样本空间 X ，所希望的划分 是：
如果 x< b 或 x>a ，
则 x 属于ω1 类；
ba
x
如果 b< x<a ，则 x 属于ω2 类。
ω1
ω2
ω1
4.1.1 线性判别函数的基本概念
判别规则
若给定一个未知类别的模式x
当g(x)>0 时，则决策 x 属于ω1 ； 当 g(x)<0 ，则决策 x 属于ω2； 若x处于划分边界上即g(x)=0，则x的类别不
可确定，则可将x任意分到某一类或拒绝， g(x)=0 为不可确定的条件。
判别函数 g(x) 是特征空间中某点 x 到超平 面距离的一种代数量度。
r w0 w
如果 w0>0 ，则原点在 H 的正侧； 若 w0<0 ，则原点在 H 的负侧。 若w0=0 ，则 g(x) 具有齐次形式 wTx ，说明 超平面 H 通过原点。
4.1.1 线性判别函数的基本概念
图 4.2 对这些结果作了几何解释。
4.1.1 线性判别函数的基本概念
简单线性分类器：
4.1.1 线性判别函数的基本概念
对于两类问题的线性分类器决策规则：
令 如果
g(x)=g1(x) － g2(x)
g(x) ＞ 0 ，则决策 x ∈ω1
g(x) ＜ 0 ，则决策 x ∈ω2
(4-2)
g(x) ＝ 0 ，则可将 x 任意分到某一类或
这说明线性判别函数虽然简单，但局限 性较大，不适用于非凸决策区域和多连 通区域的划分问题。
4.1.2 广义线性判别函数
如图 4.3 所示的二
g(x)
类问题。
设有一维样本空间 X ，所希望的划分 是：
如果 x< b 或 x>a ，
则 x 属于ω1 类；
ba
x
如果 b< x<a ，则 x 属于ω2 类。
ω1
ω2
ω1
模式识别第4章.ppt
所以模式x= (1,1)T属于 2类。
0.5
1
gg11
( (
x) x)
g2 (x) g3 ( x)
g g
2 2
(x) (x)
g1 ( x) g3 ( x)
2
1.0
g1(x) g3 (x) 0
0.5
3
g2 (x) g3(x) 0
g3(x) g2 (x)
问:未知模式X=(x1,x2)T=(4,3)T属
5
判
2
别
区
x2 g12 0
g23(x) 0
g23 0
于那一类
1判别区
判
3
别区
代入判别函数可得:
g12 0
g31 0
g12 (x) 2, g13 (x) 1, g23 (x) 1 g12 0
g32 0
( (
x) x)
g2 g3
(x) (x)
2x1 1 0 x1 2x2
0
g2(x) g3(x) x1 2x2 1 0
1 2
g1(x) g3(x) g2 (x) g3(x)
3
3。第三种情况（续）
用上列方程组作图如下：
0.5
1
g1(x) g2 (x)
0, 0,
x x
1 2
y3 W
a1
1
W
a2 ,Y
x
W TY o平面
C。
式中Wi (wi1, wi2,...,win , win1, )T 为第i个判别函数的 权向量。
0.5
1
gg11
( (
x) x)
g2 (x) g3 ( x)
g g
2 2
(x) (x)
g1 ( x) g3 ( x)
2
1.0
g1(x) g3 (x) 0
0.5
3
g2 (x) g3(x) 0
g3(x) g2 (x)
问:未知模式X=(x1,x2)T=(4,3)T属
5
判
2
别
区
x2 g12 0
g23(x) 0
g23 0
于那一类
1判别区
判
3
别区
代入判别函数可得:
g12 0
g31 0
g12 (x) 2, g13 (x) 1, g23 (x) 1 g12 0
g32 0
( (
x) x)
g2 g3
(x) (x)
2x1 1 0 x1 2x2
0
g2(x) g3(x) x1 2x2 1 0
1 2
g1(x) g3(x) g2 (x) g3(x)
3
3。第三种情况（续）
用上列方程组作图如下：
0.5
1
g1(x) g2 (x)
0, 0,
x x
1 2
y3 W
a1
1
W
a2 ,Y
x
W TY o平面
C。
式中Wi (wi1, wi2,...,win , win1, )T 为第i个判别函数的 权向量。
模式识别第4章 线性判别函数
w1。
44
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
w1
先看一个简
单的情况。设一
维数据1，2属于
w0
1, -1，-2属
于2 求将1和
2区分开的w0 ，
w1。
45
4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 4.3.2 权空间、解矢量与解空间
(3) 解空间
53
第四章 线性判别方法
4.1 用判别域界面方程分类的概念
有 4.2 线性判别函数 监 4.3 判别函数值的鉴别意义、权空间及解空间 督 4.4 Fisher线性判别 分 4.5 一次准则函数及梯度下降法 类 4.6 二次准则函数及其解法
4.7 广义线性判别函数
54
4.4 Fisher线性判别
这一工作是由R.A.Fisher在1936年的论文中 所提出的，因此称为Fisher线性判别方法。
0123456789
x1
d23(x)为正
d32(x)为正 d12(x)为正 d21(x)为正
i j两分法例题图示
24
25
3、第三种情况（续）
d1(xr) d2(xr)
1
2
d1(xr ) d3(xr )
3
d2 (xr ) d3(xr )
多类问题图例（第三种情况）
26
27
上述三种方法小结:
8
4.2 线性判别函数
9
10
11
d3(xr) 0
不确定区域
r
xr xrxr xr xr
x2
?
d1(x) 0
1
2
3
x1 d2(xr ) 0
模式识别课件第四章线性判别函数
线性判别函数在语音识别中用于将语音信号转换为文本或命令。
详细描述
语音识别系统使用线性判别函数来分析语音信号的特征，并将其映射到相应的 文本或命令。通过训练，线性判别函数能够学习将语音特征与对应的文本或命 令关联起来，从而实现语音识别。
自然语言处理
总结词
线性判别函数在自然语言处理中用于文本分类和情感分析。
偏置项。
线性判别函数具有线性性质 ，即输出与输入特征向量之 间是线性关系，可以通过权
重矩阵和偏置项来调整。
线性判别函数对于解决分类 问题具有高效性和简洁性， 尤其在特征之间线性可分的 情况下。
线性判别函数与分类问题
线性判别函数广泛应用于分类问题，如二分类、多分类等。
在分类问题中，线性判别函数将输入特征向量映射到类别标签上，通过设置阈值或使用优化算法来确定 分类边界。
THANKS
感谢观看
深度学习在模式识别中的应用
卷积神经网络
01
卷积神经网络特别适合处理图像数据，通过卷积层和池化层自
动提取图像中的特征。循环神网络02循环神经网络适合处理序列数据，如文本和语音，通过捕捉序
列中的时间依赖性关系来提高分类性能。
自编码器
03
自编码器是一种无监督的神经网络，通过学习数据的有效编码
来提高分类性能。
详细描述
自然语言处理任务中，线性判别函数被用于训练分类器，以将文本分类到不同的 主题或情感类别中。通过训练，线性判别函数能够学习将文本特征映射到相应的 类别上，从而实现对文本的分类和情感分析。
生物特征识别
总结词
线性判别函数在生物特征识别中用于身份验证和安全应用。
详细描述
生物特征识别技术利用个体的生物特征进行身份验证。线性判别函数在生物特征识别中用于分析和比较个体的生 物特征数据，以确定个体的身份。这种技术广泛应用于安全和隐私保护领域，如指纹识别、虹膜识别和人脸识别 等。
详细描述
语音识别系统使用线性判别函数来分析语音信号的特征，并将其映射到相应的 文本或命令。通过训练，线性判别函数能够学习将语音特征与对应的文本或命 令关联起来，从而实现语音识别。
自然语言处理
总结词
线性判别函数在自然语言处理中用于文本分类和情感分析。
偏置项。
线性判别函数具有线性性质 ，即输出与输入特征向量之 间是线性关系，可以通过权
重矩阵和偏置项来调整。
线性判别函数对于解决分类 问题具有高效性和简洁性， 尤其在特征之间线性可分的 情况下。
线性判别函数与分类问题
线性判别函数广泛应用于分类问题，如二分类、多分类等。
在分类问题中，线性判别函数将输入特征向量映射到类别标签上，通过设置阈值或使用优化算法来确定 分类边界。
THANKS
感谢观看
深度学习在模式识别中的应用
卷积神经网络
01
卷积神经网络特别适合处理图像数据，通过卷积层和池化层自
动提取图像中的特征。循环神网络02循环神经网络适合处理序列数据，如文本和语音，通过捕捉序
列中的时间依赖性关系来提高分类性能。
自编码器
03
自编码器是一种无监督的神经网络，通过学习数据的有效编码
来提高分类性能。
详细描述
自然语言处理任务中，线性判别函数被用于训练分类器，以将文本分类到不同的 主题或情感类别中。通过训练，线性判别函数能够学习将文本特征映射到相应的 类别上，从而实现对文本的分类和情感分析。
生物特征识别
总结词
线性判别函数在生物特征识别中用于身份验证和安全应用。
详细描述
生物特征识别技术利用个体的生物特征进行身份验证。线性判别函数在生物特征识别中用于分析和比较个体的生 物特征数据，以确定个体的身份。这种技术广泛应用于安全和隐私保护领域，如指纹识别、虹膜识别和人脸识别 等。
模式识别(4-1)线性判别函数
此时g(x)被称为广义线性判别函数，a称为广义权向量。
广义线性判别函数
按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数展开成高次 多项式后，都可转化成广义线性判别函数来处理。
aTy=0在Y空间确定了一个通过原点的超平面。这样我们 就可以利用线性判别函数的简单性来解决复杂的问题。
经过这种变换，维数大大增加了，这将使问题很快陷入 所谓的“维数灾难”。怎么解决？
g(x)＝0就是相应的决策面方程，在线性判别函数条件下它对 应d维空间的一个超平面。
线性判别函数的基本概念
为了说明向量w的意义，我们假设在该决策平面上有两个特 征向量x1与x2，则应有
wT x1 w0 wT x2 w0 wT (x1 x2 ) 0
其中(x1-x2)也是一个向量 ➢ 上式表明向量w与该平面上任两点组成的向量(x1-x2)正交，因 此w就是该超平面的法向量。这就是向量w的几何意义。
线性判别函数的几何意义
令 g(x) wT x w0 = r w
若x为原点，则g(x) w0
原点到超平面H的距离：r0
w0 w
w0 0 原点在H的正侧 w0 0 原点在H的负侧 w0 0 H通过原点
w x2
x
r
xp
x1
H: g=0
广义线性判别函数
线性判别函数是形式最为简单的判别函数，但是它不能用 于稍复杂一些的情况。
广义线性判别函数
由于线性判别函数具有形式简单，计算方便 的优点，并且已被充分研究，因此人们希望 能将其用适当方式扩展至原本适宜非线性判 别函数的领域。
一种方法是选择一种映射x→y，即将原样本 特征向量x映射成另一向量y，从而可以采用 线性判别函数的方法。
最新武汉大学-模式识别-第四章-统计判别教学讲义PPT课件
• 一般多类（M类）的情况
4.2 正态分布模式的贝叶斯 分类器
• 出发点
– 当已知或者有理由设想类概率密度函数 P(x|ωi )是多变量的正态分布时，上一节介 绍的贝叶斯分类器可以导出一些简单的判 别函数。
– 由于正态密度函数易于分析，且对许多重 要的实际应用又是一种合适的模型，因此 受到很大的重视。
武汉大学-模式识别-第四章 -统计判别
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
• 模式识别的目的就是要确定某一个给定 的模式样本属于哪一类。
• 可以通过对被识别对象的多次观察和测 量，构成特征向量，并将其作为某一个 判决规则的输入，按此规则来对样本进 行分类。
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
• 在获取模式的观测值时，有些事物具有确定 的因果关系，即在一定的条件下，它必然会 发生或必然不发生。
（1）设P(ω1)= P(ω2)=1/2，求这两类模式之间 的贝叶斯判别界面的方程式。 （2）绘出判别界面。
• 编写两类正态分布模式的贝叶斯分类程序。 （可选例题或上述作业题为分类模式）
4.3 均值向量和协方差矩阵 的参数估计
• 在贝叶斯分类器中，构造分类器需要知道类概 率密度函数p(x|ωi)。
– Lij称为将本应属于ωi类的模式判别成属于ωj 类的是非代价。
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
4.1.2 贝叶斯最小风险判别
• 意义
– 对于自然属性是属于ωi类的模式x来说，它来自ωi 类的概率应为P(ωi |x)。
– 如果分类器判别x是属于ωj类，但它实际上来自ωi 类，也就是说分类器失败，这时Lij为失分，对应 的条件风险为后验概率进行Lij的加权运算。
• [计算]
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
4.2 正态分布模式的贝叶斯 分类器
• 出发点
– 当已知或者有理由设想类概率密度函数 P(x|ωi )是多变量的正态分布时，上一节介 绍的贝叶斯分类器可以导出一些简单的判 别函数。
– 由于正态密度函数易于分析，且对许多重 要的实际应用又是一种合适的模型，因此 受到很大的重视。
武汉大学-模式识别-第四章 -统计判别
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
• 模式识别的目的就是要确定某一个给定 的模式样本属于哪一类。
• 可以通过对被识别对象的多次观察和测 量，构成特征向量，并将其作为某一个 判决规则的输入，按此规则来对样本进 行分类。
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
• 在获取模式的观测值时，有些事物具有确定 的因果关系，即在一定的条件下，它必然会 发生或必然不发生。
（1）设P(ω1)= P(ω2)=1/2，求这两类模式之间 的贝叶斯判别界面的方程式。 （2）绘出判别界面。
• 编写两类正态分布模式的贝叶斯分类程序。 （可选例题或上述作业题为分类模式）
4.3 均值向量和协方差矩阵 的参数估计
• 在贝叶斯分类器中，构造分类器需要知道类概 率密度函数p(x|ωi)。
– Lij称为将本应属于ωi类的模式判别成属于ωj 类的是非代价。
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
4.1.2 贝叶斯最小风险判别
• 意义
– 对于自然属性是属于ωi类的模式x来说，它来自ωi 类的概率应为P(ωi |x)。
– 如果分类器判别x是属于ωj类，但它实际上来自ωi 类，也就是说分类器失败，这时Lij为失分，对应 的条件风险为后验概率进行Lij的加权运算。
• [计算]
4.1 作为统计判别问题的 模式分类
模式识别 张学工
x j Y i
y
j
j
, i 1,2
~ S i2
x j Y i
(y
~ ) 2 , i 1,2 m i
~ ~2 ~ 2 S w S1 S 2 ~ ~ m ~ )2 S b2 (m 1 2
Fisher 准则函数(Fisher’s Criterion)：
~ m ~ )2 (m 2 max J F ( w) ~12 ~ S1 S 22
T
得
* (Y T Y ) 1 Y T b Y b
Y (Y T Y ) 1 Y T
：伪逆
T ˆd ˆ 方阵，一般非奇异） （Y Y 是 d
Xuegong Zhang, Tsinghua University
18
张学工《模式识别》教学课件
几个关系： 1. 若 b 取为
*
N / N 1 , if y i 1 bi ， N / N 2 , if y i 2
类间离散度矩阵 between-class scatter
Xuegong Zhang, Tsinghua University
S b ( m1 m 2 )( m1 m 2 ) T
6
张学工《模式识别》教学课件
在 Y 空间（一维投影） ：
类均值 类内离散度 总类内离散度 类间离散度
~ 1 m i Ni
T 如果样本 y k 被错分，则有 yk 0 ，因此可定义如下的感知准则函数：
J P ( )
y j Y
( T y j )
k
其中 Y k 是被 错分样本的集合。
Xuegong Zhang, Tsinghua University
模式识别-线性判别函数
y
y 21
Y
... ...
T
y N yN 1
T
1
T
1
y12
...
y22
...
...
...
yN 2
...
y1dˆ
y2 dˆ
...
y Ndˆ
最小平方误差准则函数
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN] T， bi任
Fisher线性判别分析
Fisher线性判别分析
Fisher线性判别分析
至此，我们还没有解决分类问题，只是将d
维映射到１维，将d维分类问题转划为１维
分类问题，如何分类？
确定阈值
Fisher线性判别分析
感知准则函数
Perceptron
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出
模式识别
第四章 线性判别函数
内容
引言
线性判别函数的基本概念
Fisher线性判别函数
感知准则函数
最小平方误差准则函数
多类问题
引言
第三章主要讲了类条件概率密度函数的估计
参数估计方法
最大似然估计
贝叶斯估计
非参数估计方法
训练样本集
样本分布的
统计特征：
概率密度函数
最小平方误差准则函数
MSE方法的迭代解
单样本修正调整权向量
Widrow-Hoff算法/最小均方根算法/LMS算法
+ = + ( − () )
其中 是使得() ≠ 的样本
最小平方误差准则函数
y 21
Y
... ...
T
y N yN 1
T
1
T
1
y12
...
y22
...
...
...
yN 2
...
y1dˆ
y2 dˆ
...
y Ndˆ
最小平方误差准则函数
引入余量(目标向量) b=[b1, b2, …, bN] T， bi任
Fisher线性判别分析
Fisher线性判别分析
Fisher线性判别分析
至此，我们还没有解决分类问题，只是将d
维映射到１维，将d维分类问题转划为１维
分类问题，如何分类？
确定阈值
Fisher线性判别分析
感知准则函数
Perceptron
感知准则函数是五十年代由Rosenblatt提出
模式识别
第四章 线性判别函数
内容
引言
线性判别函数的基本概念
Fisher线性判别函数
感知准则函数
最小平方误差准则函数
多类问题
引言
第三章主要讲了类条件概率密度函数的估计
参数估计方法
最大似然估计
贝叶斯估计
非参数估计方法
训练样本集
样本分布的
统计特征：
概率密度函数
最小平方误差准则函数
MSE方法的迭代解
单样本修正调整权向量
Widrow-Hoff算法/最小均方根算法/LMS算法
+ = + ( − () )
其中 是使得() ≠ 的样本
最小平方误差准则函数
4线性判别函数ppt课件
第四章 线性判别函数
19
矢量与矩阵的乘法
设W为N维列矢量，A为一个N*M的矩阵：
N
w
ia
i1
i1
N
W
TA
w ia i2
i1
N
i1
w
ia iN
结果是一个N维列矢量。
第四章 线性判别函数
20
正交
设W和X为N维列矢量，如果W与X的内积 等于零：
WT X 0
则称W与X正交，也称W垂直于X。
设定判别函数形式，用样本集确定判别函数 的参数。
定义准则函数，表达分类器应满足的要求。
这些准则的“最优〞并不一定与错误率最小 相一致：次优分类器。
实例：正态分布最小错误率贝叶斯分类器在
特殊情况下，是线性判别函数g(x)=wTx〔决策
面是超平面）。那选么择最我佳们准则能否决策基规则于：样本直接
确定w? 训练样本集
答： 样本向量：x = (x1, x2, x3, x4, x5)T 权向量：w = (55, 68, 32, 16, 26)T, w0=10 增广样本向量：y = (1, x1, x2, x3, x4, x5)T 增广权向量：a = (10, 55, 68, 32, 16, 26)T
第四章 线性判别函数
模式识别与神经网络 Pattern Recognition And neural network
第四章 线性判别函数
Table of Contents
第四章 线性判别函数
2
4.1 引言
分类器 功能结构
基于样本的Bayes分类 器：通过估计类条件 概率密度函数，设计 相应的判别函数
训练 样本集
样本分布的 统计特征： 概率密度函数
(模式识别)Fisher线性判别
Fisher 判别
各类样本均值
1
mi Ni yi y, i 1, 2
样本类内离散度和总类内离散度
Si ( y mi )2, i 1,2 yi
样本类间离散度
Sw S1 S2 Sb (m1 m2 )2
以上定义描述d维空间样本点到一向量投影的分 散情况，因此也就是对某向量w的投影在w上的 分布。样本离散度的定义与随机变量方差相类似
Sw1(m1 m2 )R
w*
R
Sw1(m1
m2 )
Sw1(m1 m2 )
10
8
判别函数的确定
Fisher 判别
前面讨论了使Fisher准则函数极大的d维向 量w*的计算方法，判别函数中的另一项w0 （阈值）可采用以下几种方法确定：
w0
m1
2
m2
w0
N1m1 N2m2 N1 N2
m
w0
m1
m2 2
lnP(1) / P( 1 y wT x w0 0 x 2
Fisher线性判别
线性判别函数y=g(x)=wTx:
• 样本向量x各分量的线性加权 • 样本向量x与权向量w的向量点积 • 如果|| w ||=1，则视作向量x在向量w上的投
影
Fisher准则的基本原理：找到一个最合适的 投影轴，使两类样本在该轴上投影之间的距 离尽可能远，而每一类样本的投影尽可能紧 凑，从而使分类效果为最佳。
Si (x mi )(x mi )T , i 1,2 xi
Sw S1 S2
样本类间离散度矩阵Sb：Sb (m1 m2 )(m1 m2 )T
离散矩阵在形式上与协方差矩阵很相似，但协方 差矩阵是一种期望值，而离散矩阵只是表示有限 个样本在空间分布的离散程度
模式识别 (4)
5
− g ( x) = 0
5
g g g
1 2 3
x
+
2
g
−
1
( x ) = 0
( x ) > 0 ( x ) < 0 ( x ) < 0
IR 1
1
IR 4
ω
ω
2
2
g 1( x ) < 0 g 2( x ) > 0 g 3( x ) < 0
1
IR
ω
− +
+
2
g3 (x) = 0
w 为参数， x1 , x 2为坐标向量
在两类别情况，判别函数 g (x) 具有以下性质：
> 0, X ∈ ω 1 g i ( x) = < 0, X ∈ ω 2 g ( x ) = 0 , X 不定
这是二维情况下判别由判别边界分类。情况如图：
x2
+ −
ω
2
1
ω
g ( x ) = w1 x1 + w2 x2 + w3
T
当 g1(x) =WTX=0 为判别边界 。当n=2时，二维 情况的判别边界为一直线。当n=3时，判别边界 为一平面，n>3时，则判别边界为一超平面。
(二) 多类问题
对于多类问题，模式有 ω1 ,ω2 , … , ωm 个类别。可分三种情 况： 第一种情况：每一模式类与其它模式类间可用单个判别平 面把一个类分开。这种情况，M类可有M个判别函数，且 具有以下性质：
g 另外一种表示方法： ( x) = W X
T
W = ( w1 , w2 ,..., wn , wn +1 )T 为增值权向量， X＝( x1 , x2 ,..., xn，xn +1 )T 为增值模式向量。
模式识别第4章
g(x)单元
x
1 2
决策
特征向量
判别函数的判别功能示意图
4.1.2 正态概型下贝叶斯决策中的线性判别函数
2 判别函数： 1 g j x 2 2μTj x μTj μ j ln P w j wTj x w j 0 2
2 i i i0
x1
g( X )0
R2 ()
r W W r W W
T
g(X ) r W
g (0) w0 r0 W W
x2
H
W
X
w0 W
Xp
g( X ) R1 () W
g( X )0 g( X )0
x1
g( X )0
R2 ()
4.1.4 线性判别函数应用实例
例：若一个线性判别函数的表达式为： g x x1 2x2 3x3 4
g ( x) 0, X不定 这是二维情况下判别由判别边界分类. 情况如图：
x2
1
2
g ( x) w1 x1 w2 x2 w3
x1
2. n维情况
现抽取n个特征为：
判别函数： g( x) w x
X ( x1 , x2 , x3 ,...xn )
1 1
T
w2 x2 ...... wn xn wn1
gi x
1
2μ x μ μ ln P w w x w
T i T i T i
Σi Σ j 2I 决策面： wT x x0 0
其中
w μi μ j
P wi 1 2 x0 μi μ j ln μi μ j 2 2 P wj μi μ j
《线性判别函数》课件
模型训练
训练集包含特征向量和类别标签，用于确定线性函数的权重和偏差。训练过程核心是通过优化算法调整权重和 偏差，以最大化模型的分类准确性。
模型应用
线性判别函数广泛应用于模式识别、数据挖掘、图像处理等领域。它们可以用于分类问题、聚类分析、特征选 择等任务。
总结
线性判别函数是一种重要的分类器，具有广泛的应用前景。通过深入理解线 性判别函数的模型原理和应用方法，我们可以更好地利用它们解决么是线性判别函数？
线性判别函数是一种分类器，用于将数据点分组在不同的类别中。它是一个 由一组权重和偏差（截距）确定的线性函数。
模型基本原理
线性判别函数将数据点映射到一个标量值，然后使用阈值函数将其转换为类别标签。模型训练的目的是找到一 组权重和偏差，将数据点映射到正确的类别。
模式识别(4-2)线性判别函数
有样本之和与 k 的乘积。
梯度下降算法求增广权向量
yk
+ -
迭代修正过程：
➢由于所有被a(k)错分类的样 本必然都在以a(k)为法线的超 平面的负侧，因而它们的总和 也必然处于该侧。
➢a(k+1)修正时，就会使a(k+1) 向错分类向量和趋近，有可能 使这些错分类向量之和穿过超 平面，或至少朝有利方向变动。
也就是说不管样本原来的类别标识，只要找到
一个对全部样本都满足 aT yi ' 0,i 1, 2, N
的权向量 a 就行了。
上述过程称为样本的规范化， yi ' 叫做规范化增广样本向量。 在后面我解区
➢ 在线性可分的情况下，满足 aT yi 0， i=1,2,…,N的权向量
在两类别情况下，判别准则是：
>0, g(x)=aT y <0,
则决策x 1 则决策x 2
=0, 可将其任意分类或拒绝
反过来说，如果存在一个权向量 a ，使得对于任何 y 1
都有 aT y 0 ，而对任何 y 2 ，都有 aT y 0 ，则称这
组样本集为线性可分的；否则称样本集为线性不可分的。
几个基本概念
函数J (a)在某点ak的梯度J (ak )是一个向量， 其方向是J (a)增长最快的方向。 其反方向－J (ak )是J (a)减少最快的方向。
极极小大点点：：沿沿负梯梯度度方方向向走走aa(k(k1)1)aa(k(k)＋)－k k J J k为步长。
梯度下降算法求增广权向量
J P
(a)
JP (a) a
即达到 J (a) 极小值。因此确定向量的问题变为对 J (a) 求
极小值的问题，这个准则函数就是感知准则函数。
梯度下降算法求增广权向量
yk
+ -
迭代修正过程：
➢由于所有被a(k)错分类的样 本必然都在以a(k)为法线的超 平面的负侧，因而它们的总和 也必然处于该侧。
➢a(k+1)修正时，就会使a(k+1) 向错分类向量和趋近，有可能 使这些错分类向量之和穿过超 平面，或至少朝有利方向变动。
也就是说不管样本原来的类别标识，只要找到
一个对全部样本都满足 aT yi ' 0,i 1, 2, N
的权向量 a 就行了。
上述过程称为样本的规范化， yi ' 叫做规范化增广样本向量。 在后面我解区
➢ 在线性可分的情况下，满足 aT yi 0， i=1,2,…,N的权向量
在两类别情况下，判别准则是：
>0, g(x)=aT y <0,
则决策x 1 则决策x 2
=0, 可将其任意分类或拒绝
反过来说，如果存在一个权向量 a ，使得对于任何 y 1
都有 aT y 0 ，而对任何 y 2 ，都有 aT y 0 ，则称这
组样本集为线性可分的；否则称样本集为线性不可分的。
几个基本概念
函数J (a)在某点ak的梯度J (ak )是一个向量， 其方向是J (a)增长最快的方向。 其反方向－J (ak )是J (a)减少最快的方向。
极极小大点点：：沿沿负梯梯度度方方向向走走aa(k(k1)1)aa(k(k)＋)－k k J J k为步长。
梯度下降算法求增广权向量
J P
(a)
JP (a) a
即达到 J (a) 极小值。因此确定向量的问题变为对 J (a) 求
极小值的问题，这个准则函数就是感知准则函数。
线性判别函数-Fisher-PPT课件
Y空间中任意一点y到H’的距离为：
gx a y r' a a
T
设计线性分类器的主要步骤
1.给定一组有类别标志的样本集S
2.确定准则函数J(S,w,w0) 3.用优化技术得到极值解w*,w0* 这样就得到线性判别函数g(x)=w*Tx+w0*,对未知 样本xk，计算g(xk),然后根据决策规则就可判断xk 所属的类别。
2 T 1 2 b F 2 2 T 1 2 w
Lagrange乘子法求极值： 令：
w S w c 0
T w
T
定义函数：
L w , w S w w S w c
线性判别函数
已知条件 实际问题
贝叶斯决策 条件未知
利用样本集直接设计分类器，即给定某个判别函 数类，然后利用样本集确定出判别函数中的未知 参数。
一类简单的判别函数：线性判别函数
线性判别函数(discriminant
function)是指 由x的各个分量的线性组合而成的函数 ，一 般表达式为：
1 2
~ ~ 两类均值之差 m m 越大越好
2.各类样本内部尽量密集
~ ~ 类内离散度 S S 越小越好
2 2 1 2
准则函数
~ m ~ m ~ ~ J w S S
1 2 F 2 2 1 2
T
2
求准则函数的极大值
化简分子：
1 1 1 ~ m y w x w x w m N N N
2.在一维Y空间 各类样本均值：
1 ~ m y ,i 1 ,2 N
i Y i i
样本类内离散度：
~ ~ S y m , i 1 , 2
gx a y r' a a
T
设计线性分类器的主要步骤
1.给定一组有类别标志的样本集S
2.确定准则函数J(S,w,w0) 3.用优化技术得到极值解w*,w0* 这样就得到线性判别函数g(x)=w*Tx+w0*,对未知 样本xk，计算g(xk),然后根据决策规则就可判断xk 所属的类别。
2 T 1 2 b F 2 2 T 1 2 w
Lagrange乘子法求极值： 令：
w S w c 0
T w
T
定义函数：
L w , w S w w S w c
线性判别函数
已知条件 实际问题
贝叶斯决策 条件未知
利用样本集直接设计分类器，即给定某个判别函 数类，然后利用样本集确定出判别函数中的未知 参数。
一类简单的判别函数：线性判别函数
线性判别函数(discriminant
function)是指 由x的各个分量的线性组合而成的函数 ，一 般表达式为：
1 2
~ ~ 两类均值之差 m m 越大越好
2.各类样本内部尽量密集
~ ~ 类内离散度 S S 越小越好
2 2 1 2
准则函数
~ m ~ m ~ ~ J w S S
1 2 F 2 2 1 2
T
2
求准则函数的极大值
化简分子：
1 1 1 ~ m y w x w x w m N N N
2.在一维Y空间 各类样本均值：
1 ~ m y ,i 1 ,2 N
i Y i i
样本类内离散度：
~ ~ S y m , i 1 , 2
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g(x)=0, 可将其任意分类或拒绝
线性判别函数的几何意义
决策面(decision boundary)H方程：g(x)=0
向量w是决策面H的法向量
g(x)是点x到决策面H的距离的一种代数度量
w
x xp r
w w
,
g(x) r w
x2
x
r是x到H的垂直距离
r
x p是x在H 上的投影向量
xp
当 n 和 ( x p) 夹角小于90度时，即 x 在 n 指向的半空间中
当 n 和 ( x p) 夹角大于90度时，即 x 在 n 背向的半空间中
由于 w 0 ，故 nT ( x p) 和 wT x w0 同号
广义线性判别函数
线性判别函数是形式最为简单的判别函数， 但是它不能用于复杂情况。
模式识别问题就是根据模式X的n个特征来判 别模式属于ω1 ,ω2 , … , ωc 类中的那一类。
判别函数：表示类分界面的函数。
判别函数（续）
x2
•
•••••••••2 ••••••••••••1
o x1
两类的分类问题，它们的边界线就是一个判别函数
判别函数（续）
X轴
两类问题中线性不可分的实例
模式识别第四章线性判别函数
主要内容
引言 Fisher线性判别 感知器准则 最小平方误差准则 多类问题 分段线性判别函数
4.1 引言
分类器
x1
g1
功能结构
x2
g2
MAX
a(x)
基于样本的Bayes分类
. .
. . .
器：通过估计类条件 概率密度函数，设计
.
xn
gc
相应的判别函数
最一般情况下适用的“最 优”分类器：错误率最小，
是H平面的法向量。
证明：判别函数g(x)绝对值正比于x到决策面H的距离
由平面H的方程可得： g(x)wTxw00w w Txw w0
设平面H的单位法矢量 n T w T
w
x
n
设P是平面H中的任一点，X是特 征空间中任一点，点X到平面H的 距离为差矢量（X-P）在n上的投 影的绝对值，即：
x-p w
原来一维非线性可分 三维线性可分。
y1 1
a1 c0
yy2 x，aa2c1
y3 x2
a3 c2
3
g(x)又可表示成：g(x)aTyaiyi i1
广义线性判别函数(2)
按照上述原理，任何非线性函数g(x)用级数展开成高
次多项式后，都可转化成线性判别函数来处理。 一种特殊映射方法：增广样本向量y与增广权向量a
下图所示两类模式为线性不可分
经过非线性变换，两类模式为线性可分
线性分类器设计步骤
线性分类器设计任务：给定样本集K，确定线
性判别函数g(x)=wTx的各项系数w。步骤：
1. 收集一组样本K={x1,x2,…,xN} 2. 按需要确定一准则函数J(K,w)，其值反映分类器
的性能，其极值解对应于“最好”决策。
x1
H: g=0
证明：权向量是决策面的法向量
设点 x 1 、x 2 在决策面H中，故它们满足方程，有：
w T x1 w0 0 wT x2 w0 0
上两式相减，可得：wT(x1x2)0
这表明向量w T 与向量 ( x1 x2 ) 正交，由于x 1 、x 2
是H平面中的任意两点，故w T 与决策面H正交，
Y轴
判别函数（续）
x2
2
1
边界
x1
3
三类的分类问题，它们的边界线也是一个判别函数
判别函数（续）
判别函数包含两类：
一类是线性判别函数： ➢线性判别函数 ➢广义线性判别函数
（所谓广义线性判别函数就是把非线性判别函数 映射到另外一个空间变成线性判别函数）
➢分段线性判别函数 另一类是非线性判别函数
线性判别函数
对分类器设计在理论上有
指导意义。
训练样本集
样本分布的 统计特征：
决策规则： 获取统计分布及其参数很 判别函数 困难，实际问题中并不一
概率密度函数
决策面方程 定具备获取准确统计分布
的条件。
直接确定判别函数
基于样本的直接确定判别函数方法：
针对各种不同的情况，使用不同的准则函数， 设计出满足这些不同准则要求的分类器。
3. 用最优化技术求准则函数J的极值解w*，从而确
定判别函数，完成分类器设计。
w*argmaxJ(K,w)
w
对于未知样本x，计算g(x)，判断其类别
4.2 Fisher线性判别 线性判别函数y=g(x)=wTx:
样本向量x各分量的线性加权 样本向量x与权向量w的向量点积 如果|| w ||=1，则视作向量x在向量w上的投
y1xx1,...,xd,1T aw 1w1,...,wd,w0T 线性判别函数的齐次简化： g(x)w Txw 0aTy
增广样本向量使特征空间增加了一维，但保持了样本间的 欧氏距离不变，对于分类效果也与原决策面相同，只是在Y 空间中决策面是通过坐标原点的，这在分析某些问题时具 有优点，因此经常用到。
这些准则的“最优”并不一定与错误率最小相 一致：次优分类器。
实例：正态分布最小错误率贝叶斯分类器在特
殊情况下，是线性判别函数g(x)=wTx（决策面 是超平面），能否基于样本直接确定w?
选择最佳准则
训练样本集
决策规则： 判别函数
决策面方程
判别函数
假设对一模式X已抽取n个特征，表示为： X(x1,x2,x3,...,xn)T X是n维空间的一个向量
例：设计一个一维分类器，使其功能为：
如 果 xbb或 xxaa
则 决 策 x1 则 决 策 x2
要用二次判别函数才可把二类分开：
1
2
1
0 g(x)(xa)(xb) 0
x1 x2
x
a0 b
二次判别函数
广义线性判别函数
二次函数的一般形式：
g(x)c0c1xc2x2
如果作非线性变换， 则原来的一维特征空 间映射为三维特征空 间。
d 维空间中的线性判别
函数的一般形式：
g(x)wTxw0
x是样本向量，即样本在d 维特征空间中的描述， w是权向 量，w0是一个常数(阈值权)。
x x 1 ,x 2 ,...x d Tw w 1 ,w 2 ,...w d T
两类问题的分类决策规则:
g(x)>0, 如果g(x)<0,
则决策x1 则决策x2
p
H: g=0
dx nT (x p) nT x nT p
wT
wT x
p
wT
x
w0
ww
ww
wT x w0 1 g (x)
w
w
判别函数g(x)绝对值正比于x到决策面H的距离
证明：判别函数值的正负表示出特征点 位于哪个半空间中
两矢量n和（x-p）的数积为：
n T(xp )nxpco s(n ,(xp ))w Txw 0 w