第三节__三重积分的计算(2)

即
f ( x , y , z )dV lim f ( i , i , i )vi . 0 i 1
n
其中 dV 叫做体积元素 .
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面 的平面来划分 , 则 Vi x j yk zl .
三重积分记为
f ( x , y , z )dxdydz lim f ( i , i , i ) vi . 0 i 1
例 1 化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz 为三

2 2 z x 2 y 次积分，其中积分区域 为由曲面 2 及 z 2 x 所围成的闭区域.
z x2 2 y2 解 由 , 2 z 2 x
得交线投影区域
Dxy : x 2 y 2 1,
解
: {( x , y , z ) | c z c , x2 y2 z2 2 1 2} 2 a b c
z
Dz
o
y
原式

c
c
z dz dxdy,
2 Dz
x
x y z Dz {( x , y ) | 2 2 1 2 } a b c
z z 2 dxdy a (1 2 ) b (1 2 ) c c D
2
z
2
2
2
2
2
z2 ab(1 2 ), c 2 c 4 z 2 3 abc . 原式 ab(1 2 ) z dz c 15 c
下列情形可考虑用截面 法：
1) 积分区域 不是 xy 型的 , 恰是 z 型的;
2) 被积函数与 xy 无关 , 且 Dz 的面积容易 表达为 z 的函数时 , 或 f ( x , y , z )dxdy

Dz 1
z

1
Dz {( x , y ) | x y 1 z }
1 dxdy 2(1 z )(1 z ) D 1 1 1 2 原式 z (1 z ) dz . 0 2 24
z
o
1
y
x
1
解（二）
z
zdxdydz 0 zdz dxdy,
f ( x , y , z )dV f ( x , y , z )dV f ( x , y , z )dV
1 2
性质3
V 1 dV .

性质4 (1) 正性 若在D上有
则有
f ( x , y , z ) 0,
f ( x , y , z )dV 0.
其中 dxdydz 叫做直角坐标系中的体 积元素.
n
(1) 三重积分的存在性：
当 f ( x, y, z ) 在 闭 区 域 上 连 续 时 ， 则
f ( x , y , z ) 在 上的三重积分一定存在.
(2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义.
设 f ( x , y , z ) 表示某物体在点( x , y , z ) 处的体密 度， 是该物体所占有的空间区域， f ( x , y , z ) 在 上连续，则该物体的质量 M 为：
性质5
（三重积分中值定理）
V 为 设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续， 的面积，则在 上至少存在一点( , , ) 使得
f ( x , y , z )dV f ( , , ) V
例 设 f ( x , y , z ) 在区域 上连续 , ( x0 , y0 , z0 ) 是 的一个内点 , r 是以 ( x0 , y0 , z0 ) 为中 心以 r 为半径的闭球体 , 试求极限 1 lim 3 f ( x , y , z )dV . r 0 r r
例 3 计算三重积分 y 1 x dxdydz ，其中
2
2 2 由曲面 y 1 x 2 z 2 ， x z 1 ， y 1 所 围成.

解 如图, 将 投影到 zox 平面得
Dzx : x z 1,
2 2
再求 Dzx 上二重积分, 先对 y 积分，
第三节 三重积分的计算
一、三重积分的定义
二、利用直角坐标计算三重积分 三、利用柱面坐标计算三重积分 四、利用球面坐标计算三重积分
一、三重积分的定义
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界 函数，将闭区域 任意分成n 个小闭区域V1 ， V2 ,, Vn ，其中Vi 表示第 i 个小闭区域，也 表示它的体积,在每个Vi 上任取一点( i , i , i ) ( i 1,2,, n) ， 作乘积 f ( i , i , i ) Vi ， 并作和, 趋近于 如果当各小闭区域的直径中的最大值 零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为 f ( x , y, z )dV ,
{( x, y, z ) | y1 ( z , x ) y y2 ( z , x ) , ( z , x ) Dzx }
闭区域 称为 zx 型空间区域.
f ( x , y , z )dV [
Dzx
y2 ( z , x ) y1 ( z , x )
f ( x , y , z )dy ]d .
二、利用直角坐标计算三重积分
1、坐标面投影法
直角坐标系中将三重积分化为三次积分． z 闭区域 在 xoy 如图， z z ( x, y)
2
面上的投影为闭区域 Dxy , S1 : z z1 ( x , y ),
z2 S 2

z1
S2 : z z2 ( x , y ),
过点 ( x , y ) Dxy 作直线,
2 2 1 1
注意 这是平行于 z 轴且穿过闭区域 内部的
直线与闭区域 的边界曲面 S 相交不多 于两点情形．
这种方法称为坐标面投影法.
{( x, y, z ) | z1 ( x, y ) z z2 ( x, y ) , ( x, y ) Dxy }
闭区域 称为 xy 型空间区域.
M f ( x , y , z )dV

性质１
(线性性质)
[ f ( x , y , z ) g ( x , y , z )]dV f ( x , y , z )dV g ( x , y , z )dV

性质2 (对区域具有可加性) 设 1 2
1 1 x2 y2
x y 1, 1 x 1.
I 1 dx x 2 dy 0
f ( x , y , z )dz .
若平行于 x 轴且穿过闭区域 内部的直线 与 的边界曲面 S 相交不多于两点, 把 投影到 yoz 平面得投影区域 D yz :
{( x, y, z ) | x1 ( y, z ) x x2 ( y, z ) , ( y, z ) Dyz }

Dz
1
1
0 zdz0 dy 0
1 1 z
1
1 z
1 y z
o
y
dx
x
1
1
0 zdz0 (1 y z )dy
1 1 2 0 z (1 z ) dz . 2 24
1
例 5 计算三重积分 z dxdydz ，其中 是

2
x2 y2 z2 由椭球面 2 2 2 1 所成的空间闭区域. a b c
F ( x, y)
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz
计算 F ( x , y ) Βιβλιοθήκη Baidu闭区间 Dxy 上的二重积分
F ( x , y )d [ z ( x, y) D D
1
z2 ( x , y )
f ( x , y , z )dz ]d .
b 从 z1 穿入，从 z2 穿出．
S1
z z1 ( x , y )
a
o
( x, y)
D
y
y y2 ( x )
{( x, y, z ) | z1 ( x, y ) z z2 ( x, y ) , ( x, y ) Dxy }
x
y y1 ( x )
先将 x , y 看作定值，将 f ( x , y , z )只看作 z 的 函数，则
2、坐标轴投影法(截面法)
将空间区域 向 z 轴作投影得投影区间 [ p, q] ,
当 p z q 时 , 用 Dz 表示过点(0,0, z ) 且平行 于 xoy 面的平面截 所得的平面区域,
若 可表示为: {( x, y, z ) |( x, y ) Dz , p z q } , 则闭区域 称为 z 型空间区域.
闭区域 称为 yz 型空间区域.
[ f ( x , y , z )dx ]d . f ( x , y , z ) d V x ( y ,z )

D yz
1
x2 ( y , z )
若平行于 y 轴且穿过闭区域 内部的直线 与 的边界曲面 S 相交不多于两点, 把 投影到 zox 平面得投影区域 Dzx :
类似地 , 可定义 x 型区域与 y 型区域.
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
(1) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投 影，得投影区间 [ p, q ] ；
(2) 对 z [ p, q ] 用过z 轴且平行xoy 平面的平面 去截 ，得截面Dz ; q
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
z
p
其结果为 z 的函数F ( z ) ；
(4)
q p
最后计算单积分 F ( z )dz 即得三重积分值.
为三个 例 4 计算三重积分 zdxdydz ，其中
坐标面及平面 x y z 1所围成的闭区域.
解（一） zdxdydz 0 zdz dxdy,
Dz
易于计算时 .
例 6 计算 I
2
( x y )dxdydz ， 其中
2
dyx
2 x 2
2
2 y
2
f ( x , y, z )dz.
例2
化三重积分 I
f ( x , y , z )dxdydz为三

次积分，其中 积分区域
为由曲面 z x 2 y 2 , 2 y x , y 1, z 0 所围
成的空间闭区域. 如图，
解
2
: 0 z x2 y2 ,
D {( x , y ) | y1 ( x ) y y2 ( x ) , a x b } 得
f ( x , y , z )dV b y ( x) z ( x, y) dx dy f ( x , y , z )dz . a y ( x) z ( x, y)
原式
D
zx
1 x dxdz
2
1 x 2
1
2 2
1 x z
ydy
dx
1
1
1 x 2
2 2 x z 1 x2 dz 2

1
1
1
z 1 x 2 1 x ( x z ) | 1 x 2 dx 3
2 2
3
28 1 2 4 (1 x 2 x )dx . 1 3 45
故：
{( x , y , z ) | x 2 2 y 2 z 2 x 2 , ( x , y ) Dxy }
Dxy {( x , y ) | 1 x 2 y 1 x 2 , 1 x 1}
I 1 dx
1
1 x 2 1 x
(2) 单调性
则有
若在D上有 f ( x , y , z ) g( x , y , z ),
f ( x , y , z )dV g ( x , y , z )dV .
(3) 绝对可积性
f ( x , y , z )dV | f ( x , y , z ) | dV .