函数的幂级数展开式的应用

用函数的幂级数展开式, 可以在展开式有效 的区间内计算函数的近似值, 而且可达到预先指 定的精度要求.
常用方法
1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.
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例 计算e的近似值, 使其误差不超过10 5 . 1 2 1 n x 解 e 1 x x x , 2! n! 1 1 令 x 1, 得 e 1 1 , 2! n!
1 1 1 余和: rn ( n 1)! ( n 2)! ( n 3)! 1 1 1 (1 ) ( n 1)! n 2 ( n 3)( n 2) 1 1 1 (1 2 ) ( n 1)! n 1 ( n 1) 1 1 1 5 5 n n ! 10 10 ( n 1)! 1 1 n n! n1
欧拉(Euler)公式
e x iy e x (cos y i sin y )
揭示了三角函数和复变量指数函数之间的
一种关系.
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五、小结
求极限 (求未定式的极限)
函数值的近似计算 积分的近似计算 欧拉公式的证明
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思考题

x x n x cos x 1 ( 1) 2! 4! ( 2n)!
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5 10 而 8 8! 322560
1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
用级数作近似计算时, 常将其余和放大 为几何级数. 这样估计误差, 在一般情况下, 泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好, 因此计算量要小一些.
2
4
4
6
6
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作 业
习题11-5(229页) 1.(1) (3) 2.(1) 3.
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sin 9 0 0.157079 0.000646 0.156433
5 10 其误差不超过
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三、积分的近似计算
有些初等函数的原函数不能用初等函数 表示, 故其定积分就不能用牛顿--莱布尼茨 公式计算. 但如果这些函数在积分区间上能 能展开成幂级数, 则可利用幂级数逐项积分 性质来计算这些定积分.
这里, sinx与其等价无穷小x相差高阶无穷小
1 3 1 5 x x .这个高阶无穷小不能与分子 的 3! 5!
第一项x 抵消,它在极限中是起作用的. 但如果将 sinx用x代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷
小也略去了, 这显然是错误的.
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函数的幂级数展开式的应用
二、函数值的近似计算
例 计算
1
xห้องสมุดไป่ตู้
3! 5! 7! 1 1 1 1 收敛的交错级数 3 3! 5 5! 7 7! 9
函数的幂级数展开式的应用
例 计算 sin x dx 的近似值, 精确到104. 0 x 1 sin x 1 1 1 0 x dx 1 3 3! 5 5! 7 7!
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例 利用sin x x
x 计算 sin 90的近似值, 3!
3
并估计误差. 1 3 0 解 sin 9 sin ( ) 20 20 6 20
1 5 1 1 5 5 r2 ( ) (0.2) 10 5! 20 120 300000
1 3 1 5 x x x x x sin x 3! 5! lim lim x 0 x 0 x3 x3 1 1 2 1 1 lim x x 0 3! 5! 3! 6
2
函数的幂级数展开式的应用
由此例可看出: 在求极限时,为什么加、减项 的无穷小不能用其等价无穷小代换.
4 2 3
2
4
2n
1 (1 x计算 ) lim 6 [cos 2 x sin2 x x 2 (1 x ) ]. x 0 x ( 1) 2 ( 1)(1 n 1) n 1 2 1 x x x 2 2 ( 1 cos 4 x) 解 因为 cos sin 2 x 2! x sin x n! 8 4 x ( 1,1)
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函数的幂级数展开式的应用
sin x dx 的近似值, 精确到104. 0 x sin x 解 被积函数 的原函数不能用初等函数表示. x sin x 的可去间断点, 故定义 由于x = 0是 x sin x sin x 1,这样被积函数在[0, 1]上 lim x x 0 x 0 x 连续. 展开 sin x , 得 x 1 1sin x 1 2 1 4 1 6 0 dx 0[1 x x x ]dx x (,)
第五节 函数的幂级数展开式 的应用
求极限 函数值的近似计算 积分的近似计算 欧拉(Euler)公式 小结 思考题 作业
第十一章 无穷级数
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函数的幂级数展开式的应用
一、求极限
有些未定式的极限 可以用幂级数方法求出. 这种方法的优点是: 可以将极限过程中的主要、 次要成份表示得非常清楚.
x si n x 0 例 求 l im 3 x 0 x 0 解 x 0, ∴将sinx展开为x = 0的幂级数.
n 1 1 1 ( 1) ( 1 ) ( 4 x )2 n ( 4 x )2 n 8 8 n0 ( 2n)! n1 8 ( 2n)! n
4 4 32 6 4 x 4 x 2 x x x x 3 45 8 4! 8 6! 4 4 2 2 2 3 2 2 又 x (1 x ) x [1 x x 4 ] 3 9 1 32 6 2 6 22 . 所以, 原式 lim 6 [ x x ] x 0 x 45 9 45
2n 1 2 x (1 x ( 1)n ) 2! ( 2n)! cos x
cos x i sin x
2 n 1 1 3 x i ( x x ( 1)n ) 3! ( 2n 1)! sin x
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ix ix e e cos x e ix cos x i sin x 2 ix ix e e sin x ix 又 e cos x i sin x 2i
n 1


n 1

n 1
则 un , v n 绝对收敛, 称复数项级数(1) 绝对收敛.
n 1 n 1
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2 n x x 三 x 个 e 1 x 2! n! 2 n 1 基 x3 x5 x 本 sin x x ( 1)n1 3! 5! ( 2n 1)! 展 2 4 2n x x x 开 n cos x 1 ( 1 ) 式 2! 4! ( 2n)! 1 1 ix 2 e 1 ix ( ix ) ( ix )n 2! n!
其中 un , vn (n 1,2,3,) 为实常数或实函数.
若 u un , v vn , 则称级数 ( un ivn ) 收敛, 且其和为 u iv . 复数项级数绝对收敛的概念
2 2 2 2 2 2 v1 u2 v2 un vn 收敛, 若 u1
1
1 1 4 10 , 第四项 7 7! 3000
取前三项作为积分的近似值,得
0
1
sin x 1 1 dx 1 x 3 3! 5 5!
0.9461
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Euler(1707 –1783)是瑞士数学家、物理学家
四、欧拉(Euler)公式
复数项级数 ( u1 iv1 ) ( u2 iv2 ) ( un ivn ) (1)