第七章 反演公式及其应用

DQ(0) D 2Q(0) D k Q(0) Q( x) Q(0) P P2 ( x) Pk ( x) 1 ( x) 1! 2! k! (6.1.2)
注: 若正规多项式簇为{xn}, 则(6.1.2)即为TaylorMaclaurin 公式.
例3 利用Taylor定理证明二项式公式 n n k nk n x y k x y , k 0
则
(d )
d |n k | n d
T (r , n)
rk r kd k |n k
k

d | n k
(d )
d
rk n k 1 n ( ) ( )r k k n n k |n k k |n k 1 (d )r d n d |n
9 9 9 9 1 1 d 3 9 1 例如 T (3,9) (d )3 (1)3 (3)3 (9)3 9 d |9 9 1 1 39 2 33 6 31 2195 . 9 9 9 9 9 1 1 d 3 9 1 M (3,9) (d )3 (1)3 (3)3 (9)3 9 d |9 9 1 1 39 (1) 33 0 31 2184 . 9




证明 (1)设d|n. 由于每一个长为n、周期为d的圆排列均可由 一个长度和周期均为d的圆排列重复n/d次而得到，所以长 为n而周期为d的圆排列的总数为M(r,d). 又由于每个这样的 圆排列可展成d个不同的线排列，从而M(r,d)个这样的圆排 列可展成dM(r,d)个不同的线排列，所以全体长为n的圆排 列展成不同的线排列的总数为 dM (r, d ) 。
k 0
n
说明: 若Δ 和D分别为正规多项式簇{Pn(x)}和{Qn(x)} 上的微分算子, 则由定理6.1.2知
D k Pn (0) Pn ( x) Qk ( x), k! k 0
n
k Qn (0) Qn ( x) Pk ( x), k! k 0
n
j 0,1,2,, n
1 2 r
n ! 1 d M (n1 , n2 , , nr ; n) (d ) n d |m n1 nr ! , ! d d n ! 1 d T (n1 , n2 , , nr ; n) (d ) n d |m n1 nr ! , ! d d
第七章 反演公式及其应用
----解决组合数学中一些类型的求和、级数变换问题的有效工具
§7.1 正规多项式族

1. 正规多项式族
定义7.1.1 实变量x的多项式族 P0(x), P1(x), P2(x), …, Pn(x),… 简记为{Pn(x)} 若满足P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1, 则称{Pn(x)}为正规多项式族.
Q(n, r ) P(n, r ) / r.

如允许重复取元素, 则圆排列数如何计算? 引入以下几个概念: 1)线排列的长度: 排列中元素的个数; 2)线排列的周期: 长为n的线排列(包括重排列)可看作 是由一个长为d的线排列重复k次得到(n=kd), 满足该 性质的最小的d称为线排列的周期. 例如 ①对线排列T1=(12312), 长n=5, 重复k=1次即 可,周期为5; ②对线排列T2=(123123123123), 长n=12, 由123重 复k=4次即可,周期为3.
定理7.2.2 设重集B={∞·b1, ∞·b2,… ∞·br}的 n-圆排列个数为T(r,n),其中周期为n的圆排列个数为 M(r,n),则有 n 1 1) M (r , n) (d )r d ; n d |n n 1 2) T (r , n) (d )r d . n d |n
例4 证明Norlund公式
n k nk [ x y] k [ x] [ y] , k 0
n n
2. 第一反演公式
n ( x) 为满足条件 定理7.1.3 设 n ( x) 和
j ( x) jk k ( x),
k 0
§7.2 Möbius反演公式及其应用
-----一种很有用的计算工具
1. Möbius反演公式 设n为一正整数,则n可唯一分解为
n p1 p2 pk
1
2
k
2， ，k。 其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数, i 0，i 1，
定义7.2.1 定义在正整数集上的函数μ(x)称为Möbius函 数, 若它满足
(d ) (1) (2) (3) (6)
d |6
1 (1) (1) (1) 2 0
定理7.2.1(Möbius反演定理) 设f(n)和g(n)定义在正 整数集上的两个函数,则
n f (n) g (d ) g (n) (d ) f ( ) d d |n d |n
引理7.1.1 给定正规多项式族{Pn(x)}, 则对任一k次多项式 Qk(x), 存在常数 0 , 1,, k 使得
Qk ( x) 0 P0 ( x) 1P 1 ( x) k P k ( x),
即Qk(x)可表示为P0(x), P1(x), P2(x), …, Pk(x)的线性组合.
n
定理7.2.3(r元Möbius反演公式) 设f(x1,x2,…,xr)和 g(x1,x2,…,xr)是定义在N×N×…×N(r个正整数集 的笛卡尔积)的r元函数。若
f (n1 , n2 ,, nr ) g (
则
d |m
n1 n2 n , ,, r ), d d d
ni N (i 1,2,...,r )
1, n 1 (n) 0 , n 1且n的分解式中存在一个 i 1 k ( 1 ) , n 1且n的分解式中所有 i 1
引理7.2.1 对任意正整数n有
其中求和指标d|n表示d取n的所有正因数. 例1 如n=6, 则
1, n 1 (d ) , d |n 0 , n 1
3)圆排列的展开: 将长和周期均为n的圆排列从n个位置断开可得n个 互不相同的线排列; 对长为n、元素可重复出现的周期为d<n的圆排列从 n个位置断开得到的n个线排列中有d个是互不相同 的. 例如 对圆排列(123123123123)
圆排列的周期: 圆排列展成的线排列的周期. 例如 圆排列(111223)的周期为6
例5 用两颗红珠、三颗黄珠和四颗绿珠能摆成多少 个不同样式的圆环？
例6 设重集B={2· a, 4· b}, (1)将B的所有元素作圆排列，求其中周期为6的圆 排列的个数，并列出它们。 (2)将B的所有元素作圆排列，求该圆排列的个数， 并列举它们。
g (n1 , n2 ,, nr ) (d ) f (
d |m
n1 n2 n , ,, r ), d d d
其中m gcd(n1, n2 ,, nr )(最大公约数),
对给定的正整数n1,n2,…,nr, n= n1+n2+…+nr. T(n1,n2,…,nr ;n)表示n1个b1,n2个b2,,…,nr个br的n-圆 排列个数，M(n1,n2,…,nr ;n)表示其中周期为n的圆排 列个数, 则由定理7.2.2得以下定理。 定理7.2.4 令m gcd(n , n ,, n ) ,则
D 2 P2 (0) 2! 2 D Pn (0) 2!
2Q2 (0) 2! 2 Qn (0) 2!
互为可逆.
定理7.1.4(逆二项式公式) 若数列a0 , a1,, an 和b0 , b1,, bn 满足 j j a j , n k bk， j 0,1,2, k 0 则 j j k j b j 1 , n. k ak， j 0,1,2, k 0
定理6.1.5(二项式反演公式) 若 a0 , a1,, an 和 b0 , b1,, bn 是两个数列,s为非负整数,若对任意不小于s的整数n均 有 n
n an k bk， k s
n nk
则
bn 1
k s
n k bk，
n
(2) 由于
d
1 T (r , n) M (r , d ) (d )r d d |n d |n d d |d 1 1 (d )r d (d )r d d |n d |d d d |n d |d |n d
d
d
令
d k, d
定义7.1.2 给定正规多项式族{Pn(x)}, D是将{Pn(x)} 中每个多项式Pn(x)映射为多项式DPn(x)的映射. 若D满足 nPn -1 (x), n 0, (1) DPn (x) , n 0. 0 (2)D[λPn(x)]=λDPn(x); (3) D[Pm(x)+Pn(x)]= DPm(x)+DPn(x); 则称D为{Pn(x)}上的微分算子.
d |n
另一方面，这些线排列也是从重集B中取n个元素组成的线 排列，其个数为rn。所以有
r n dM (r, d )
d |n
令f(n)=rn , g(d)= dM(r,d), 则由Möbius反演定理得
nM (r , n) (d )r
n d
即
d |n
1 M (r , n) (d )r d n d |n
注:求导运算为{xn}的微分算子.
例2 对正规多项式簇{[x]n}, 定义算子
[ x]n [ x]n [ x 1]n ,
则▽是{[x]n}上的微分算子. 定理7.1.1 若D是正规多项式簇{Pn(x)}上的一个微分算 子,则D是任意多项式上的微分算子, 称之为与{Pn(x)} 相联系的微分算子. 定理7.1.2(Taylor) 若D是正规多项式簇{Pn(x)}上的一 个微分算子,Q(x)为任一k次多项式, 则有